专题07 双等腰旋转模型-八年级数学上册全等三角形基本模型探究（人教版）

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专题07 双等腰旋转模型【模型说明】【例题精讲】例1．（基本模型）在ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作ADE，使AD=AE，∠DAE =∠BAC，连接CE．（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE=         度； （2）设，．①如图2，当点在线段BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请说明理由；②当点在直线BC上（线段BC之外）移动，则，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．【答案】（1）90；（2），见解析；②或【详解】解：（1）∵，∴，∵AB=AC，AD=AE，∴，，∵，∴， 在和中∴，∴（2）或． 理由：①∵，∴．即．在和中，∴． ∴．∴．∴． ∵，∴．②如图：∵，∴．即．在和中，∴． ∴．∵，，，．综上所述：点D在直线BC上移动，α+β＝180°或α＝β．例2．（坐标系综合）已知：平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点B在第二象限，将OB绕O点顺时针转60°至OA．（1）如图1，试判定△ABO的形状，并说明理由．（2）如图1，若点E为y轴的正半轴上一动点，以BE为边作等边△BEG，延长GA交x轴于点P，问：AP与AO之间有何数量关系，试证明你的结论．（3）如图2，若BC⊥BO，BC＝BO，作BD⊥CO ，AC、DB交于E，补全图形，并证明：AE＝BE+CE．【答案】（1）等边三角形，理由见解析；（2）AP＝2AO，证明见解析；（3）见解析【详解】解：（1）如图1，△AOB为等边三角形，理由是：∵将绕OB绕O点旋转至OA∴∠AOB=60°，∵AO＝AB∴△AOB为等边三角形； （2）AP＝2AO，理由为：证明：∵△AOB与△BGE都为等边三角形，∴BE＝BG，AB＝OB，∠EBG＝∠OBA＝60°，∴∠EBG+∠EBA＝∠OBA+∠EBA，即∠ABG＝∠OBE，在△ABG和△OBE中，∴△ABG≌△OBE（SAS），∴∠BAG＝∠BOE＝60°，∴∠GAO＝∠GAB+∠BAO＝120°，∵∠GAO为△AOP的外角，且∠AOP＝90°，∴∠APO＝30°在Rt△AOP中，∠APO＝30°，则AP＝2AO． （3）补全图形，在AC上截取AM＝EC，连接BM，可得AM+EM＝CE+EM，即AE＝CM，∵△AOB 为等边三角形，△BOC为等腰直角三角形，∴∠OBC＝90°，∠ABO＝60°，∵D为CO的中点，∴BD平分∠OBC，即∠CBD＝∠OBD＝45°，∴∠ABD＝105°，∠ABC＝150°，∴∠BAC＝∠BCA＝15°，∴∠AEB＝15°+45°＝60°，在△ABE和△CBM 中，∵∴△ABE≌△CBM （SAS），∴BM＝BE，∴△BEM为等边三角形，∴BE＝EM，∴AE＝AM+EM＝CE+BE；例3．（培优综合）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D是直线AB上的一点，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，连接EB．（1）操作发现如图1，当点D在线段AB上时，请你直接写出AB与BE的位置关系为　   　；线段BD、AB、EB的数量关系为　   　；（2）猜想论证当点D在直线AB上运动时，如图2，是点D在射线AB上，如图3，是点D在射线BA上，请你写出这两种情况下，线段BD、AB、EB的数量关系，并对图2的结论进行证明；（3）拓展延伸若AB＝5，BD＝7，请你直接写出△ADE的面积．【答案】（1）AB⊥BE，AB＝BD+BE；（2）图2中BE＝AB+BD，图3中，BD＝AB+BE，证明见解析；（3）72或2【详解】解：（1）如图1中，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，∵CA＝CB，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∠CBE＝∠A，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠CBA＝45°，∴∠CBE＝∠A＝45°，∴ABE＝90°，∴AB⊥BE，∵AB＝AD+BD，AD＝BE，∴AB＝BD+BE，故答案为AB⊥BE，AB＝BD+BE．（2）①如图2中，结论：BE＝AB+BD．理由：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，∵CA＝CB，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∵AD＝AB+BD，AD＝BE，∴BE＝AB+BD．②如图3中，结论：BD＝AB+BE．理由：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，∵CA＝CB，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS）∴AD＝BE，∵BD＝AB+AD，AD＝BE，∴BD＝AB+BE．（3）如图2中，∵AB＝5，BD＝7，∴BE＝AD＝5+7＝12，∵BE⊥AD，∴S△AED•AD•EB12×12＝72．如图3中，∵AB＝5，BD＝7，∴BE＝AD＝BD﹣AB＝7﹣5＝2，∵BE⊥AD，∴S△AED•AD•EB2×2＝2．【课后作业】1．如图，在中，，点D在内，，，点E在外，．(1)的度数为_______________；(2)小华说是等腰三角形，小明说是等边三角形，___________的说法更准确，并说明理由；(3)连接，若，求的长．【答案】(1)；(2)小明，理由见解析；(3)5【解析】（1）解：∵BD=BC，∠DBC=60° ，∴△DBC是等边三角形 ，∴DB=DC，∠BDC=∠DBC=∠DCB=60°．在△ADB和△ADC中，  ，∴△ADB≌△ADC（SSS），∴∠ADB=∠ADC  ，∴∠ADB=(360°﹣60°)=150°．（2）解：小明的说法更准确，理由如下：∵∠ABE=∠DBC=60°，∴∠ABD=∠EBC ，在△ABD和△EBC中，∴△ABD≌△EBC（ASA），∴AB=BE ．∵∠ABE=60° ，∴△ABE是等边三角形．（3）解：连接DE，如图所示，∵∠BCE=150°，∠DCB=60° ，∴∠DCE=90°，∵∠EDB=90°，∠BDC=60° ，∴∠EDC=30° ，∴ ．∵△ABD≌△EBC，∴．2．[发现]：（1）如图1．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，过点A作AH⊥BC于点H，求证：AH=BC．[拓展]：（2）如图2．在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE=90°，点D、B、C在同一条直线上，AH为△ABC中BC边上的高，连接CE．则∠DCE的度数为________，同时猜想线段AH、CD、CE之间的数量关系，并说明理由．[应用]：（3）在图3、图4中．在△ABC中，AB=AC，且∠BAC=90°，在同一平面内有一点P，满足PC=1，PB=6，且∠BPC=90°，请求出点A到BP的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）∠DCE的度数为90°，CE+2AH=CD，理由见解析；（3）或．【详解】解：发现：（1）证明：∵AH⊥BC，∠BAC=90°，∴∠AHC=90°=∠BAC．∴∠BAH+∠CAH=90°，∠BAH+∠B=90°．∴∠CAH=∠B，在△ABH和△CAH中， ，∴△ABH≌△CAH．（AAS）．∴BH=AH，AH=CH．∴AH=BC．拓展：∠DCE的度数为90°，线段AH、CD、CE之间的数量关系为：CE+2AH=CD，理由如下：∵∠DAB+∠BAE=90°，∠EAC+∠BAE=90°，∴∠DAB=∠EAC，∵AD=AE，AB=AC，∴△ADB≌△AEC（SAS），∴∠ABD=∠ACE，∵AB=AC，∠BAC=90°∴∠ABC=∠ACB=45°，∴∠ABD=135°，∴∠DCE=90°；∵D、B、C三点共线，∴DB+BC=CD，∵DB=CE，AH=BC，∴CE+2AH=CD．应用：点A到BP的距离为：或．理由如下：如图3，过点A作AH⊥BP于点H，连接AP，作∠PAD=90°，交BP于点D，∴∠BAC=∠DAP=90°，∴∠BAD=∠CAP，∵∠BDA=∠APC=90°+∠APD，∴△APC≌△ADB（AAS），∴BD=CP=1，∴DP=BP-BD=6-1=5，∵AH⊥DP，∴AH=DP=；如图4，过点A作AH⊥BP于点H，作∠PAD=90°，交PB的延长线于点D，∴∠BAC=∠DAP=90°，∴∠BAD=∠CAP，∵∠BAC=90°，∠BPC=90°，∴∠ACP+∠ABP=180°，∴∠ACP=∠ABD，∵AB=AC，∴△APC≌△ADB（AAS），∴BD=CP=1∴DP=BP+BD=6+1=7．∵AH⊥DP，∴AH=DP=．综上所述：点A到BP的距离为：或．3．在中，，点是直线上一点（不与、重合），以为一边在的右侧作，使，，连接．（1）如图，当点在线段上，如果，则______度．（2）设，．①如图，当点在线段上移动时，、之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．②如图，当点在线段的反向延长线上移动时，、之间有怎样的数量关系？请说明理由．【答案】（1）90；（2）①，理由见解析；②，理由见解析【详解】（1）∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，∵∠DAE=∠BAC，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，∴△BAD≌△CAE（SAS）∴∠ABC=∠ACE=45°，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，故答案为：90；（2）①．理由：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC．即∠BAD=∠CAE．在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B=∠ACE．∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB．∵∠ACE+∠ACB=β，∴∠B+∠ACB=β，∵α+∠B+∠ACB=180°，∴α+β=180°；② 当点在射线的反向延长线上时，．理由如下：∵，∴，在△ABD与△ACE中，，∴，∴，∵，，∴，，∴，即．4．（1）如图①，在直角中，，，点D为边上一动点（与点B不重合），连接，将绕点A逆时针旋转，得到，那么之间的位置关系为__________，数量关系为__________；（2）如图②，在中，，，D，E（点D，E不与点B，C重合）为上两动点，且．求证：．（3）如图③，在中，，，，，D，E（点D，E不与点B，C重合）为上两动点，若以为边长的三角形是以为斜边的直角三角形时，求的长．【答案】（1）CE⊥BD；CE=BD；（2）见解析；（3）．【详解】解：（1）CE与BD位置关系是CE⊥BD，数量关系是CE=BD∵绕点A逆时针旋转，得到∴∴，∴∵BA=CA，AD=AE∴∴且CE=BD∵∴，即CE⊥BD故答案为：CE⊥BD；CE=BD；（2）如图②，把绕点A顺时针旋转，得到，连接DG，则∴AG=AE，BG=CE，∵，∴在和中，∴∴ED=GD∵∴即（3）如图③，把绕点A顺时针旋转，得到，∴∴AF=AE，，EC=BF，∵，AB=AC∴∴∵，∴，且AF=AE，AD=AD∴∴DF=DE∵以BD、DE、EC为边的三角形是直角三角形∴以BD、DF、BF为边的三角形是直角三角形∴是直角三角形若，且∴BF=2BD=EC，∵∴∴∴若，且∴BD=2BF=2EC，∵∴∴BD=2，∴