2024年湖南省长沙市长郡集团中考数学押题金卷(一)（全解全析）

这是一份2024年湖南省长沙市长郡集团中考数学押题金卷(一)（全解全析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列各数中，是无理数的是
A．B．C．D．3.33333…
【分析】根据无理数的定义解答即可．
【解答】解：．是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；
．=1是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
．是无理数，故本选项符合题意；
．3.33333…是循环小数，属于有理数，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查的是无理数，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键．
2．（3分）截至2023年12月11日17时，全国水稻收获2.39亿亩，进度过七成半，将239000000用科学记数法表示应为
A．B．C．D．
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：，
故选：．
【点评】本题考查了科学记数法的表示方法，用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少1，解题的关键是要正确确定和的值．
3．（3分）已知，则下列结论正确的是
A．B．C．D．
【分析】根据不等式的性质，进行计算即可解答．
【解答】解：，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
4．（3分）如图，直线，被直线所截，若，，则的度数为
A．B．C．D．
【分析】根据平行线的性质可以得到，然后根据的度数，即可得到的度数．
【解答】解：，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答．
5．（3分）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为
A．B．C．D．9
【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式△，建立关于的等式，即可求解．
【解答】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
△，
解得．
故选：．
【点评】此题考查了根的判别式．一元二次方程的根与△有如下关系：（1）△方程有两个不相等的实数根；（2）△方程有两个相等的实数根；（3）△方程没有实数根．
6．（3分）如图，已知，，若的长度为6，则的长度为
A．4B．9C．12D．13.5
【分析】根据相似三角形的性质列出方程即可求解．
【解答】解：，．
，
当时，．
故选：．
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，找到对应的边成比例是解题的关键．
7．（3分）用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，，按此规律排列下去，则第⑦个图案中圆圈的个数为
A．14B．20C．23D．26
【分析】根据前4个图中的个数找到规律，再求解．
【解答】解：第①个图案中有2个圆圈，
第②个图案中有个圆圈，
第③个图案中有个圆圈，
第④个图案中有个圆圈，
，
则第⑦个图案中圆圈的个数为：，
故选：．
【点评】本题考查了规律型图形的变化类，找到变换规律是解题的关键．
8．（3分）先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是
A．B．C．D．
【分析】根据概率的意义，即可解答．
【解答】解：先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，总共有四种等可能结果，分别是：（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反），则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是，
故选：．
【点评】本题考查了概率的意义，本题考查了概率的意义是解题的关键．
9．（3分）估计的值应在
A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间
【分析】先化简题干中的式子得到，明确的范围，利用不等式的性质求出的范围得出答案．
【解答】解：原式．
．
．
故选：．
【点评】本题以计算选择为背景考查了无理数的估算，考核了学生对式子的化简和比较大小的能力，解题关键是将式子化简，确定无理数的范围最后利用不等式的性质．
10．（3分）在多项式（其中中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：，，．下列说法：
①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；
②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；
③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果．
其中正确的个数是
A．0B．1C．2D．3
【分析】根据给定的定义，举出符合条件的说法①和②．说法③需要对绝对操作分析添加一个和两个绝对值的情况，并将结果进行比较排除相等的结果，汇总得出答案．
【解答】解：，故说法①正确．
若使其运算结果与原多项式之和为0，需出现，
显然无论怎么添加绝对值，都无法使的符号为负号，故说法②正确．
当添加一个绝对值时，共有4种情况，分别是；；；．当添加两个绝对值时，共有3种情况，分别是；；．共有7种情况；
有两对运算结果相同，故共有5种不同运算结果，故说法③不符合题意．
故选：．
【点评】本题考查新定义题型，根据所给的定义，举出符合条件的代数式进行情况讨论；
需要注意去绝对值时的符号，和所有结果可能的比较．主要考查绝对值计算和分类讨论思想的应用．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）若代数式有意义，则实数的取值范围是 ．
【分析】根据分式的分母不为零列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件，熟记分式的分母不为零是解题的关键．
12．（3分）某厂生产了1000只灯泡．为了解这1000只灯泡的使用寿命，从中随机抽取了50只灯泡进行检测，获得了它们的使用寿命（单位：小时），数据整理如下：
根据以上数据，估计这1000只灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡的数量为 460 只．
【分析】用1000乘以使用寿命不小于2200小时的百分比即可．
【解答】解：估计这1000只灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡的数量为（只．
故答案为：460．
【点评】本题考查了频数（率分布表和用样本估计总体，解题的关键是利用样本估计总体思想的运用．
13．（3分）如图，在中，，是边的中线，若，，则的长度为 4 ．
【分析】根据等腰三角形的性质可得，在中，根据勾股定理即可求出的长．
【解答】解：，是边的中线，
，
，
，，
，
在中，根据勾股定理，得，
故答案为：4．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，涉及勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
14．（3分）为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能路灯，第一个月新建了301个路灯，第三个月新建了500个路灯，设该市新建智能路灯个数的月平均增长率为，根据题意，请列出方程 ．
【分析】设该市新建智能路灯个数的月平均增长率为，根据第一个月新建了301个路灯，第三个月新建了500个路灯，即可得出关于的一元二次方程．
【解答】解：设该市新建智能路灯个数的月平均增长率为，
依题意得：．
故答案为：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
15．（3分）如图为矩形，已知，，为的中点，连接．．以为圆心，长为半径画弧，分别与，交于点，．则图中阴影部分的面积为 （结果保留．
【分析】用三角形的面积减去2个扇形的面积即可．
【解答】解：，为的中点，
，
，
阴影部分的面积为．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了扇形面积求法以及等腰直角三角形的性质，应用扇形面积的计算方法进行求解是解决本题的关键．
16．（3分）学校组织学生参加传统文化手工艺传承劳动实践活动．已知某传统工艺品陶瓷加工完成共需，、，、，、七道工序，加工要求如下：
①工序，须在工序完成后进行，工序须在工序，都完成后进行，工序须在工序，都完成后进行；
②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；
③各道工序所需时间如下表所示：
在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要 53 分钟；若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要 分钟．
【分析】将所有工序需要的时间相加即可得出由一名学生单独完成需要的时间；假设这两名学生为甲、乙，根据加工要求可知甲学生做工序，乙学生同时做工序；然后甲学生做工序，乙学生同时做工序，乙学生工序完成后接着做工序；最后甲学生做工序，乙学生同时做工序，然后可得答案．
【解答】解：由题意得：（分钟），
即由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，需要53分钟；
假设这两名学生为甲、乙，
工序，须在工序完成后进行，工序须在工序，都完成后进行，且工序，都需要9分钟完成，
甲学生做工序，乙学生同时做工序，需要9分钟，
然后甲学生做工序，乙学生同时做工序，乙学生工序完成后接着做工序，需要9分钟，
最后甲学生做工序，乙学生同时做工序，需要10分钟，
若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，最少需要（分钟），
故答案为：53，28．
【点评】本题考查了逻辑推理与时间统筹，根据加工要求得出加工顺序是解题的关键．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：．
【分析】根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂的运算法则、绝对值的性质、二次根式的性质计算．
【解答】解：原式
．
【点评】本题考查的是实数的运算，熟记特殊角的三角函数值、负整数指数幂的运算法则、绝对值的性质、二次根式的性质是解题的关键．
18. （6分）已知，求代数式的值．
【分析】根据已知可得，然后利用分式的基本性质化简分式，再把代入化简后的式子进行计算即可解答．
【解答】解：，
，
，
的值为2．
【点评】本题考查了分式的值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
19．（6分）在学习了平行四边形的相关知识后，小明发现，如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线，那么这条垂直平分线在该四边形内部的线段被这条对角线平分．其解决问题的思路为通过证明对应线段所在两个三角形全等即可得出结论．
请根据她的思路完成以下作图和填空：
用直尺和圆规作平行四边形对角线的垂直平分线，交于点，交于点，垂足为．（只保留作图痕迹）
如图，四边形是平行四边形，是对角线，垂直平分，垂足为．求证：．
证明：四边形是平行四边形
．
．
垂直平分，
．
又 ，
．
．
再进一步研究发现，过平行四边形对角线中点的所有与该四边形一组对边相交所得的线段均具备此特征，请你依照题目中的相关表述完成下面命题的填空：
过平行四边形对角线中点的直线 ．
【分析】根据要求画出图形，证明，可得结论．
【解答】解：图形如图所示：
理由：四边形是平行四边形，
．
，
垂直平分，
．
又，
．
．
再进一步研究发现，过平行四边形对角线中点的所有与该四边形一组对边相交所得的线段均具备此特征，
所以过平行四边形对角线中点的直线被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分，
故答案为：，，，过平行四边形对角线中点的直线被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分．
【点评】本题考查命题与定理，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题．
20．（8分）某学校心理中心安装了，两款心理训练设备，工作人员从学生对、两款设备的满意度评分中各随机抽取20份，并对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意，下面给出了部分信息：
抽取的对款设备的评分数据中“满意”包含的所有数据：
83，85，85，87，87，89；
抽取的对款设备的评分数据：
68，69，76，78，81，84，85，86，87，87，87，89，95，97，98，98，98，98，99，100．
抽取的对，款设备的评分统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空： 15 ， ， ；
（2）5月份，有600名消费者对款自动洗车设备进行评分，估计其中对款自动洗车设备“比较满意”的人数；
（3）根据以上数据，你认为哪一款自动洗车设备更受消费者欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）．
【分析】（1）用“1”分别减去其他三个等级所占百分比可得的值，根据中位数的定义可得的值，根据众数的定义可得的值；
（2）用600乘款自动洗车设备“比较满意”所占百分比即可；
（3）通过比较，款设备的评分统计表的数据解答即可．
【解答】解：（1）由题意得，，即；
把款设备的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数是87，89，故中位数；
在款设备的评分数据中，98出现的次数最多，故众数．
故答案为：15；88；98；
（2）（名，
答：估计其中对款自动洗车设备“比较满意”的人数大约为90名；
（3）款自动洗车设备更受消费者欢迎，理由如下：
因为两款自动洗车设备的评分数据的平均数相同，但款自动洗车设备的评分数据的中位数比款高，所以款自动洗车设备更受消费者欢迎（答案不唯一）．
【点评】本题考查扇形统计图，中位数、众数以及样本估计总体，理解中位数、众数的意义，掌握中位数、众数的计算方法是解决问题的前提．
21．（8分）已知图中为，点，分别在，上，，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，，求的长．
【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再由矩形的判定即可得出结论；
（2）由矩形的性质得，再证是等腰直角三角形，得，然后由锐角三角函数定义得，即可解决问题．
【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
即，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是矩形；
（2）解：四边形是矩形，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
即的长为．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质以及锐角三角函数定义等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
22．（9分）某粮食生产基地为了落实在适宜地区开展双季稻中间季节再种一季大豆的号召，积极扩大粮食生产规模，计划用基地的甲、乙两区农田进行大豆试种，甲区的农田比乙区的农田多10000亩，甲区农田的和乙区全部农田均适宜试种，且两区适宜试种农田的面积刚好相同．
（1）求甲、乙两区各有农田多少亩？
（2）在甲、乙两区适宜试种的农田全部种上大豆后，为加强大豆的虫害治理，基地派出一批性能相同的无人机，对试种农田喷洒除虫药，由于两区地势差别，派往乙区的无人机架次是甲区的1.2倍（每架次无人机喷洒时间相同），喷洒任务完成后，发现派往甲区的每架次无人机比乙区的平均多喷洒亩，求派往甲区每架次无人机平均喷洒多少亩？
【分析】（1）设乙区有农田亩，则甲区有农田亩，根据“甲区农田的和乙区全部农田均适宜试种，且两区适宜试种农田的面积刚好相同”，可得出关于的一元一次方程，解之可得出乙区的农田亩数，再将其代入中，即可求出甲区的农田亩数；
（2）设派往甲区每架次无人机平均喷洒亩，则派往乙区每架次无人机平均喷洒亩，根据派往乙区的无人机架次是甲区的1.2倍（每架次无人机喷洒时间相同），可得出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
【解答】解：（1）设乙区有农田亩，则甲区有农田亩，
根据题意得：，
解得：，
．
答：甲区有农田50000亩，乙区有农田40000亩；
（2）设派往甲区每架次无人机平均喷洒亩，则派往乙区每架次无人机平均喷洒亩，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列分式方程的解，且符合题意．
答：派往甲区每架次无人机平均喷洒100亩．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出分式方程．
23．（9分）如图所示，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，．
（1）求证平分，并求的大小；
（2）过点作交的延长线于点，若，，试求四边形ABCD的面积和此圆半径的长．
【分析】（1）由圆周角定理得到，而，因此，得到平分，由圆内接四边形的性质得到，即可求出；
（2）由垂径定理推出是等边三角形，求出四边形ABCD的面积，得到由，得到，由平行线的性质求出，由圆内接四边形的性质求出，得到，由直角三角形的性质得到，因为是圆的直径，即可得到圆半径的长是4．
【解答】（1）证明：，，
，
平分，
平分，
，
四边形是圆内接四边形，
，
，
，
，
；
（2）解：，，
，
，
，
是圆的直径，
垂直平分，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
四边形是圆内接四边形，
，
，
，
，
，，
，
是圆的直径，
圆的半径长是4．
【点评】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，平行线的性质，等边三角形的判定和性质，关键是由圆内接四边形的性质得到，由垂径定理推出是等边三角形．
24．（10分）在平面直角坐标系中，如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，其中，且△BOC为等腰直角三角形．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点是直线下方抛物线上一动点，过点作于点，求的最大值及此时点的坐标；
（3）在（2）的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以为腰的是等腰三角形的点的坐标，并把求其中一个点的坐标的过程写出来．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由，即可求解；
（3）分、两种情况，列出等式，即可求解．
【解答】解：（1）由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：；
（2）令，则或3，则点，
由点、知，直线的表达式为：，
过点作轴的平行线交于点，则，
则，则，
则，
设点，则点，
则，
即的最大值为：，此时点；
（3）平移后的抛物线的表达式为：，
则点，设点，，
则，，，
当时，则，
解得：，
则点的坐标为，；
当时，则，
解得：或，
则点的坐标为：，或，；
综上，点的坐标为：，或，或，．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、等腰三角形的性质、解直角三角形等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
25．（10分）在平面直角坐标系中，的半径为1．对于的弦和外一点给出如下定义：若直线，中一条经过点，另一条是的切线，则称点是弦的“友好点”．
（1）如图，点，，，，．
①在点，，，中，弦的“友好点”是 ， ；
②若点是弦的“友好点”，直接写出的长；
（2）已知点，，，对于线段上一点，存在的弦，使得点是弦的“友好点”．记的长为，当点在线段上运动时，直接写出的取值范围．
【分析】（1）根据题目中友好点的定义分情况讨论即可；
（2）根据，，两点来求最值情况，共有两种情况，分别位于点和经过点的的垂直平分线上，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
【解答】解：（1）①由友好定义可知，若直线、中一条经过点，另一条是的切线，则称点是弦的“友好点”，
点，，，点，，，，
直线经过点，且与相切，
是弦的“友好点”，
，的横坐标相同，与，都位于直线上，
与相切，经过点，
是弦 “友好点”；
故答案为：，；
②，，，
设，如图所示，共有两种情况，
、若与相切，经过点，
则，所在直线为，
解得，
，，
，
、若与相切，经过点，
则直线，所在直线为，
解得，
，
，
综上所述，；
（2）线段上一点，存在的弦，使得点是弦的“友好点”，
弦随着的变动在一定范围内变动，且，，，，
共有2种情况，分别位于点和经过点的的垂直平分线上，如图所示，
①当位于点时，为的切线，作，
，的半径为1，且是的切线，
，
，
，
，即，
解得，
，，
，
同理，
当位于时，的临界值为和；
②当位于经过点的的垂直平分线上的点时，
，，，
，
，
的半径为1，
，
为等边三角形，
或，
当位于经过点且垂直于的直线上即点时，的临界点为1和，
在两种情况下，的最小值在内，最大值在，
综上所述，的取值范围为，．
【点评】本题是圆的综合题，考查了最值问题，切线的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握心概念“友好点”是解题的关键．
使用寿命
灯泡只数
5
10
12
17
6
工序
所需时间分钟
9
9
7
9
7
10
2
设备
平均数
中位数
众数
“非常满意”所占百分比
88
96
88
87