九年级数学下册专题08相似三角形的基本模型(手拉手模型)(原卷版+解析)(人教版)

这是一份九年级数学下册专题08相似三角形的基本模型(手拉手模型)(原卷版+解析)(人教版)，共47页。
“手拉手”旋转型定义：如果将一个三角形绕着它的项点旋转并放大或缩小(这个顶点不变)，我们称这样的图形变换为旋转相似变换，这个顶点称为旋转相似中心，所得的三角形称为原三角形的旋转相似三角形。
1）手拉手相似模型（任意三角形）
条件:如图，∠BAC=∠DAE=，；
结论：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；.
2）手拉手相似模型（直角三角形）

条件:如图，，（即△COD∽△AOB）；
结论：△AOC∽△BOD；，AC⊥BD，.
3）手拉手相似模型（等边三角形与等腰直角三角形）

条件:M为等边三角形ABC和DEF的中点； 结论：△BME∽△CMF；.
条件:△ABC和ADE是等腰直角三角形； 结论：△ABD∽△ACE.
【例题精讲】
例1．（等腰三角形）【问题发现】（1）如图1，在中，，D为边上一点（不与点B、C重合）将线段绕点A顺时针旋转90°得到，连接，则线段与的数量关系是 ，位置关系是 ；
【探究证明】（2）如图2，在和中，将绕点A旋转，当点C，D，E在同一直线时，与具有怎样的位置关系，并说明理由；
【拓展延伸】（3）如图3，在中，，将绕顺时针旋转，点C对应点E，设旋转角为（），当点C，D，E在同一直线时，画出图形，并求出线段的长度．
例2．（直角三角形）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，点D，E分别为AC，BC的中点．△CDE绕点C顺时针旋转，设旋转角为α（0°≤α≤360°），记直线AD与直线BE的交点为点P．
(1)如图1，当α＝0°时，AD与BE的数量关系为______，AD与BE的位置关系为______；
(2)当0°＜α≤360°时，上述结论是否成立？若成立，请仅就图2的情形进行证明；若不成立，请说明理由；
(3)△CDE绕点C顺时针旋转一周，请直接写出运动过程中P点运动轨迹的长度和P点到直线BC距离的最大值．
例3．（等边三角形）
(1)【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．
(2)【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出的值．
(3)【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．连接BD，CE．
①求的值；②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值．
例4．（正方形）如图（1），在矩形中，，点分别是边的中点，四边形为矩形，连接．

（1）问题发现：在图（1）中，_________；
（2）拓展探究：将图（1）中的矩形绕点旋转一周，在旋转过程中，的大小有无变化？请仅就图（2）的情形给出证明；
（3）问题解决
当矩形旋转至三点共线时，请直接写出线段的长．
例5．（培优综合1）（1）如图1，Rt△ABC与Rt△ADE，∠ADE＝∠ABC＝90°，，连接BD，CE．求证：．
（2）如图2，四边形ABCD，∠BAD＝∠BCD＝90°，且，连接BC，BC、AC、CD之间有何数量关系？
小明在完成本题中，如图3，使用了“旋转放缩”的技巧，即将△ABC绕点A逆时针旋转90°，并放大2倍，点B对应点D．点C落点为点E，连接DE，请你根据以上思路直接写出BC，AC，CD之间的关系．
（3）拓展：如图4，矩形ABCD，E为线段AD上一点，以CE为边，在其右侧作矩形CEFG，且，AB＝5，连接BE，BF．求BE+BF的最小值．
例6．（培优综合2）在正方形中，等腰直角，，连接，H为中点，连接、、，发现和为定值．
（1）①__________；
②__________；
③小明为了证明①②，连接交于O，连接，证明了和的关系，请你按他的思路证明①②．
（2）小明又用三个相似三角形（两个大三角形全等）摆出如图2，，（）求：
①__________（用k的代数式表示）
②__________（用k、的代数式表示）
课后训练
1．在同一平面内，如图①，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，点A为公共顶点，．如图②，若△ABC固定不动，把△ADE绕点A逆时针旋转，使AD、AE与边BC的交点分别为M、N点M不与点B重合，点N不与点C重合．
【探究】求证：．
【应用】已知等腰直角三角形的斜边长为4．
(1)的值为______．
(2)若，则MN的长为______．
2．将绕点逆时针方向旋转，并使各边长变为原来的倍，得到，我们将这种变换记为．
（1）问题发现
如图①，对作变换得，则______；直线与直线所夹的锐角度数为______．
（2）拓展探究
如图②，中，且，连结，．对作变换得，求的值及直线与直线相交所成的较小角的度数，并就图②的情形说明理由．
（3）问题解决
如图③，中，，，对作变换得，使点、、在同一直线上，且四边形为矩形，请直接写出的值．
3．如图，在RtABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点O在线段AB上（点O不与点A，B重合），且OB＝kOA，点M是AC延长线上的一点，作射线OM，将射线OM绕点O逆时针旋转90°，交射线CB于点N．
（1）如图1，当k＝1时，判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，当k＞1时，判断线段OM与ON的数量关系（用含k的式子表示），并证明；
（3）点P在射线BC上，若∠BON＝15°，PN＝kAM（k≠1），且＜，请直接写出的值（用含k的式子表示）．
4．某校数学活动小组探究了如下数学问题：
(1)问题发现：如图1，中，，．点P是底边BC上一点，连接AP，以AP为腰作等腰，且，连接CQ、则BP和CQ的数量关系是______；
(2)变式探究：如图2，中，，．点P是腰AB上一点，连接CP，以CP为底边作等腰，连接AQ，判断BP和AQ的数量关系，并说明理由；
(3)问题解决：如图3，在正方形ABCD中，点P是边BC上一点，以DP为边作正方形DPEF，点Q是正方形DPEF两条对角线的交点，连接CQ．若正方形DPEF的边长为，，求正方形ABCD的边长．
5．如图1所示，矩形ABCD中，点E，F分别为边AB，AD的中点，将△AEF绕点A逆时针旋转（0°＜≤360°），直线BE，DF相交于点P．
（1）若AB＝AD，将△AEF绕点A逆时针旋至如图2所示的位置上，则线段BE与DF的位置关系是 ，数量关系是 ．
（2）若AD＝nAB（n≠1）将△AEF绕点A逆时针旋转，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请就图3所示的情况加以证明；若不成立，请写出正确结论，并说明理由．
（3）若AB＝6，BC＝8，将△AEF旋转至AE⊥BE时，请直接写出DP的长．
6．如图，以的两边、分别向外作等边和等边，与交于点，已知，，．
（1）求证：；
（2）求的度数及的长；
（3）若点、分别是等边和等边的重心（三边中线的交点），连接、、，作出图象，求的长．
7．如图，正方形ABCD，对角线AC，BD相交于O，Q为线段DB上的一点，，点M、N分别在直线BC、DC上．
（1）如图1，当Q为线段OD的中点时，求证：；
（2）如图2，当Q为线段OB的中点，点N在CD的延长线上时，则线段DN、BM、BC的数量关系为 ；
（3）在（2）的条件下，连接MN，交AD、BD于点E、F，若，，求EF的长．
8.如图1，分别是的内角的平分线，过点作，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）如图2，如果，且，求的值；
（3）如果是锐角，且与相似，求的度数，并直接写出的值．
专题08 相似三角形的基本模型（手拉手模型）
【模型说明】
“手拉手”旋转型定义：如果将一个三角形绕着它的项点旋转并放大或缩小(这个顶点不变)，我们称这样的图形变换为旋转相似变换，这个顶点称为旋转相似中心，所得的三角形称为原三角形的旋转相似三角形。
1）手拉手相似模型（任意三角形）
条件:如图，∠BAC=∠DAE=，；
结论：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；.
2）手拉手相似模型（直角三角形）

条件:如图，，（即△COD∽△AOB）；
结论：△AOC∽△BOD；，AC⊥BD，.
3）手拉手相似模型（等边三角形与等腰直角三角形）

条件:M为等边三角形ABC和DEF的中点； 结论：△BME∽△CMF；.
条件:△ABC和ADE是等腰直角三角形； 结论：△ABD∽△ACE.
【例题精讲】
例1．（等腰三角形）【问题发现】（1）如图1，在中，，D为边上一点（不与点B、C重合）将线段绕点A顺时针旋转90°得到，连接，则线段与的数量关系是 ，位置关系是 ；
【探究证明】（2）如图2，在和中，将绕点A旋转，当点C，D，E在同一直线时，与具有怎样的位置关系，并说明理由；
【拓展延伸】（3）如图3，在中，，将绕顺时针旋转，点C对应点E，设旋转角为（），当点C，D，E在同一直线时，画出图形，并求出线段的长度．
【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）画出图形见解析，线段的长度为．
【分析】（1）由题意易得，，从而可证，然后根据三角形全等的性质可求解；
（2）连接，由题意易得，进而可证，最后根据三角形全等的性质及角的等量关系可求证；
（3）如图，过A作，由题意可知，，然后根据相似三角形的性质及题意易证，最后根据勾股定理及等积法进行求解即可．
【详解】解：（1）在中，，
，
，
，即，
在和中，，
，
，
，
，
故答案为：；
（2），
理由：如图2，连接，
∵在和中，，，，
，
，
∵，，
，
，
，
∴；
（3）如图3，过A作AF⊥EC，
由题意可知，，
∴，即，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，，
，2×，
．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定及相似三角形的性质与判定，关键是根据题意得到三角形的全等，然后利用全等三角形的性质得到相似三角形，进而求解．
例2．（直角三角形）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，点D，E分别为AC，BC的中点．△CDE绕点C顺时针旋转，设旋转角为α（0°≤α≤360°），记直线AD与直线BE的交点为点P．
(1)如图1，当α＝0°时，AD与BE的数量关系为______，AD与BE的位置关系为______；
(2)当0°＜α≤360°时，上述结论是否成立？若成立，请仅就图2的情形进行证明；若不成立，请说明理由；
(3)△CDE绕点C顺时针旋转一周，请直接写出运动过程中P点运动轨迹的长度和P点到直线BC距离的最大值．
【答案】(1)AD＝BE，AD⊥BE
(2)结论仍然成立，证明见解析
(3)P点运动轨迹的长度是π；P点到直线BC距离的最大值是
【分析】（1）分别求出AD、BE的长即可解答；
（2）先证明△BCE∽△ACD ，可得＝，∠CBO＝∠CAD即可解答；
（3）利用锐角三角函数可求∠EBC=30°，由弧长公式可求P点运动轨迹的长度，由直角三角形的性质可求P点到直线BC距离的最大值即可．
【详解】（1）解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，
∴AC=BC=，AB=2BC=2，AD⊥BE
∵点D，E分别为AC，BC的中点
∴AD=CD=AC=，BE=EC=BC=，∴ AD＝BE．
故答案为：AD＝BE，AD⊥BE．
（2）解：结论仍然成立，理由如下：∵AC＝，BC＝1，CD＝，EC＝，
∴，＝，∴，
∵△CDE绕点C顺时针旋转，∴∠BCE＝∠ACD，∴△BCE∽△ACD，
∴＝，∠CBO＝∠CAD，∴AD＝BE，
∵∠CBO+∠BOC＝90°，∴∠CAD+∠AOP＝90°，∴∠APO＝90°，∴BE⊥AD．
（3）解：∵∠APB＝90°， ∴点P在以AB为直径的圆上，
如图3，取AB的中点G，作⊙G，以点C为圆心，CE为半径作⊙C，当BE是⊙C切线时，点P到BC的距离最大，过点P作PH⊥BC，交BC的延长线于H，连接GP，
∵BE是⊙C切线，∴CE⊥BE，
∵＝，∴∠EBC＝30°， ∴∠GBP＝30°，
∵GB＝GP，∴∠GBP＝∠GPB＝30°， ∴∠BGP＝120°，
∵点P的运动轨迹为点C→点P→点C→点B→点C，
∴P点运动轨迹的长度＝×2＝π，
∵∠ABP＝30°，BP⊥AP，∴AP＝AB＝1，BP＝AP＝，
∵∠CBP＝30°，PH⊥BH，∴PH＝BP＝．
∴P点到直线BC距离的最大值．
【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质、旋转的性质、锐角三角函数等知识点，灵活应用相关知识是解答本题的关键．
例3．（等边三角形）
(1)【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．
(2)【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出的值．
(3)【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．连接BD，CE．
①求的值；
②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)①；②
【分析】（1）证明△BAD≌△CAE，从而得出结论；
（2）证明△BAD∽△CAE，进而得出结果；
（3）①先证明△ABC∽△ADE，再证得△CAE∽△BAD，进而得出结果；
②在①的基础上得出∠ACE＝∠ABD，进而∠BFC＝∠BAC，进一步得出结果．
【详解】（1）证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
，∠DAE＝∠BAC＝45°，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD∽△CAE，
；
（3）解：①，∠ABC＝∠ADE＝90°，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，，
∴∠CAE＝∠BAD，
∴△CAE∽△BAD，
；
②由①得：△CAE∽△BAD，
∴∠ACE＝∠ABD，
∵∠AGC＝∠BGF，
∴∠BFC＝∠BAC，
∴sin∠BFC．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型及其变形．
例4．（正方形）如图（1），在矩形中，，点分别是边的中点，四边形为矩形，连接．

（1）问题发现
在图（1）中，_________；
（2）拓展探究
将图（1）中的矩形绕点旋转一周，在旋转过程中，的大小有无变化？请仅就图（2）的情形给出证明；
（3）问题解决
当矩形旋转至三点共线时，请直接写出线段的长．
【答案】（1）；（2）的大小无变化，证明见解析；（3）或
【分析】（1延长FG交BC于点H，可根据题意分别求出，的长，即可求的值；
（2）连接，先由勾股定理计算的值，再计算，最后根据相似三角形的判定与性质解题即可；
（3）采用分类讨论法解题，一种是点在线段上，另一种是点在的延长线上，据此分别求解即可.
【详解】（1）解：延长FG交BC于点H，
则
，
，
故答案为：

（2）的大小无变化.
证明：如图（1），连接，
由题意可知：，
∴，
即，
在矩形中，，
∴，
∴，
在矩形中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；

（3）或
如图（2），图（3）：

如图（2），当点在线段上，由（2）知，，，在中，
；
当点在的延长线上时，由（2）知，，，在中，
综上所述，或
【点睛】本题考查勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，其中涉及分类讨论思想，综合性较强，有一定难度，熟练并灵活运用知识是解题的关键.
例5．（培优综合1）（1）如图1，Rt△ABC与Rt△ADE，∠ADE＝∠ABC＝90°，，连接BD，CE．求证：．
（2）如图2，四边形ABCD，∠BAD＝∠BCD＝90°，且，连接BC，BC、AC、CD之间有何数量关系？
小明在完成本题中，如图3，使用了“旋转放缩”的技巧，即将△ABC绕点A逆时针旋转90°，并放大2倍，点B对应点D．点C落点为点E，连接DE，请你根据以上思路直接写出BC，AC，CD之间的关系．
（3）拓展：如图4，矩形ABCD，E为线段AD上一点，以CE为边，在其右侧作矩形CEFG，且，AB＝5，连接BE，BF．求BE+BF的最小值．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【分析】（1）根据已知条件直接证明，再证明，从而可得，设，则,根据勾股定理求得,求得，即可得证；
（2）根据题意可知，，设则,求得,分别求得,根据，即可求得；
（3）根据（2）的方法，旋转放缩,缩小为原来的，使得的落点为,的落点为，过点作于点,交的延长线于点，作点关于的对称点,连接,则,当点三点共线时，取等于号，接下来根据相似的性质分别求得各边的长度，最后根据勾股定理求得即可求得最小值
【详解】（1）∠ADE＝∠ABC＝90°，
即
设，则,
（2）∠BAD＝∠BCD＝90°，且
将△ABC绕点A逆时针旋转90°，并放大2倍，点B对应点D．点C落点为点E，
，
，


三点共线，
，设则
（3）如图，设,将绕点逆时针旋转，并缩小为原来的，
使得的落点为,的落点为，
过点作于点,交的延长线于点，
作点关于的对称点,连接
则，
当点三点共线时，取等于号
由作图知:， 且,
，AB＝5
,

四边形是矩形
在中
在中，
四边形是矩形
,
四边形是矩形
,
在中，
的最小值为
【点睛】本题考查了三角形相似的性质与判定，旋转放缩法构造相似三角形，线段和最值问题，勾股定理，正确的作出图形和辅助线是解题的关键．
例6．（培优综合2）在正方形中，等腰直角，，连接，H为中点，连接、、，发现和为定值．
（1）①__________；
②__________；
③小明为了证明①②，连接交于O，连接，证明了和的关系，请你按他的思路证明①②．
（2）小明又用三个相似三角形（两个大三角形全等）摆出如图2，，（）求：
①__________（用k的代数式表示）
②__________（用k、的代数式表示）
【答案】（1）①；②45°；③见解析；（2）①；②
【分析】（1）①通过中位线得出，再通过等腰直角三角形斜边与直角边的关系得出,则，在等腰Rt△OBA中得出，再结合中位线OH和正方形的性质证明∠BOH=∠BAF，即可证明出，即可得出比值；②利用相似三角形的性质，对应角相等，代换角即可求出；
（2）①用与（1）相似的方法可以证明出，即可得出比值；②通过添加辅助线，构造两个直角三角形，用锐角三角函数和勾股定理表示出两边，即可求出比值．
【详解】（1）；②45°
③证明：如图所示：
由正方形性质得：，O为的中点
又∵H为的中点，则，
∴是等腰直角三角形
∴
∴
∵
∴，
又∵
∴
又
∴，
又∵
∴
∴，
∴
（2）① ②
理由如下：
①如图，连接，与交于O点，连接
由题可知四边形ABCD为平行四边形，
∴O为AC和BD的中点，
又∵H为CE中点，
∴， ,
又∵,
∴ ,即，
,即，
∵OH是△ACE的中位线，
∴OH∥AE，
∴,
又∵是△AOD的外角，
∴,
又∵ ,
∴ ,∴ ,
又∵，∴，∴
②：由得：，则
在中，，
不妨令，，如图作
则：，
则
由勾股定理解得：
∴．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，平行四边形的性质，锐角三角函数，涉及知识点较多，难度较大，能够通过已知条件找出判定相似三角形的条件是解题关键．
课后训练
1．在同一平面内，如图①，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，点A为公共顶点，．如图②，若△ABC固定不动，把△ADE绕点A逆时针旋转，使AD、AE与边BC的交点分别为M、N点M不与点B重合，点N不与点C重合．
【探究】求证：．
【应用】已知等腰直角三角形的斜边长为4．
(1)的值为______．
(2)若，则MN的长为______．
【答案】(1)8
(2)
【探究】利用三角形外角的性质可证，又由，可证明结论；
【应用】（1）首先求出等腰直角三角形的直角边长，再由，得，则；
（2）由，得，由（1）知，得，从而得出答案．
【详解】（1）∵△ABC为等腰直角三角形，，
∴，同理，，
∵，
，∴，∴；
（2）（1）∵等腰直角三角形的斜边长为4，
∴，∵，
∴，∴，∴，故答案为：8；
（2）∵，∴，∵，
∴，∴，
故答案为：．
【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，利用前面探索的结论解决新的问题是解题的关键．
2．将绕点逆时针方向旋转，并使各边长变为原来的倍，得到，我们将这种变换记为．
（1）问题发现
如图①，对作变换得，则______；直线与直线所夹的锐角度数为______．
（2）拓展探究
如图②，中，且，连结，．对作变换得，求的值及直线与直线相交所成的较小角的度数，并就图②的情形说明理由．
（3）问题解决
如图③，中，，，对作变换得，使点、、在同一直线上，且四边形为矩形，请直接写出的值．
【答案】（1），；（2），理由见解析；（3）．
【分析】（1）利用新定义得出的意义，利用旋转的性质得到∽，且相似比为，，进而求出面积比，通过外角的性质得到即可求出直线与直线所夹的锐角度数；
（2）利用新定义得出的意义，得到，，进而可以得到，下证∽，通过题中给的相似比即可求出面积之比，延长交于，通过，，可以证得∽，从而得到的度数，即可得直线与直线相交所成的较小角的度数；
（3）由四边形为矩形，得到，进而求出的度数，利用含角的直角三角形的性质即可得到的值，进而求出的值．
【详解】解：（1）由题意可知：对作变换得，
∽，且相似比为，，
，
，
，，
，
即直线与直线所夹的锐角度数为：．
故答案为：，．
（2）根据题意得：，，
，
，
∽，
相似比，，
，
，
延长交于，如图，
设交于．
，，
∽，
，
，直线与直线相交所成的较小角的度数为．
（3）四边形为矩形，
，
，
，
，
，
在中，，
，，的值为．
【点睛】本题考查了图形的旋转，相似三角形的判定和性质，新定义运算，三角形的外角性质以及含角的直角三角形的性质，解题的关键是根据题意得出的意义．
3．如图，在RtABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点O在线段AB上（点O不与点A，B重合），且OB＝kOA，点M是AC延长线上的一点，作射线OM，将射线OM绕点O逆时针旋转90°，交射线CB于点N．
（1）如图1，当k＝1时，判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，当k＞1时，判断线段OM与ON的数量关系（用含k的式子表示），并证明；
（3）点P在射线BC上，若∠BON＝15°，PN＝kAM（k≠1），且＜，请直接写出的值（用含k的式子表示）．
【答案】（1）OM＝ON，见解析；（2）ON＝k•OM，见解析；（3）
【分析】（1）作OD⊥AM，OE⊥BC，证明△DOM≌△EON；
（2）作OD⊥AM，OE⊥BC，证明△DOM∽△EON；
（3）设AC＝BC＝a，解Rt△EON和斜△AOM，用含的代数式分别表示再利用比例的性质可得答案．
【详解】解：（1）OM＝ON，如图1，
作OD⊥AM于D，OE⊥CB于E，
∴∠ADO＝∠MDO＝∠CEO＝∠OEN＝90°，
∴∠DOE＝90°，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠ABC＝45°，
在Rt△AOD中，
，
同理：OE＝OB，
∵OA＝OB，
∴OD＝OE，
∵∠DOE＝90°，
∴∠DOM＋∠MOE＝90°，
∵∠MON＝90°，
∴∠EON＋∠MOE＝90°，
∴∠DOM＝∠EON，
在Rt△DOM和Rt△EON中，
，
∴△DOM≌△EON（ASA），
∴OM＝ON．
（2）如图2，
作OD⊥AM于D，OE⊥BC于E，
由（1）知：OD＝OA，OE＝OB，
∴，
由（1）知：
∠DOM＝∠EON，∠MDO＝∠NEO＝90°，
∴△DOM∽△EON，
∴，
∴ON＝k•OM．
（3）如图3，
设AC＝BC＝a，
∴AB＝a，
∵OB＝k•OA，
∴OB＝•a，OA＝•a，
∴OE＝OB＝a，
∵∠N＝∠ABC﹣∠BON＝45°﹣15°＝30°，
∴EN＝＝OE＝•a，
∵CE＝OD＝OA＝a，
∴NC＝CE＋EN＝a＋•a，
由（2）知：，△DOM∽△EON，
∴∠AMO＝∠N＝30°
∵，
∴，
∴△PON∽△AOM，
∴∠P＝∠A＝45°，
∴PE＝OE＝a，
∴PN＝PE＋EN＝a＋•a，
设AD＝OD＝x，
∴DM＝，
由AD＋DM＝AC＋CM得，
（＋1）x＝AC＋CM，
∴x＝（AC＋CM）＜（AC＋AC）＝AC，
∴k＞1
∴，


∴．
【点睛】本题考查了三角形全等和相似，以及解直角三角形，解决问题的关键是作OD⊥AC，OE⊥BC；本题的难点是条件得出k＞1．
4．某校数学活动小组探究了如下数学问题：
(1)问题发现：如图1，中，，．点P是底边BC上一点，连接AP，以AP为腰作等腰，且，连接CQ、则BP和CQ的数量关系是______；
(2)变式探究：如图2，中，，．点P是腰AB上一点，连接CP，以CP为底边作等腰，连接AQ，判断BP和AQ的数量关系，并说明理由；
(3)问题解决：如图3，在正方形ABCD中，点P是边BC上一点，以DP为边作正方形DPEF，点Q是正方形DPEF两条对角线的交点，连接CQ．若正方形DPEF的边长为，，求正方形ABCD的边长．
【答案】(1)
(2)
(3)3
【分析】（1）根据已知条件利用边角边证明，再利用全等三角形的性质即可得到BP和CQ的数量关系；
（2）根据任意等腰直角三角形的直角边与斜边的比是相等的，利用两边长比例且夹角相等的判定定理证明，之后再由相似三角形对应边成比例即可得到BP和AQ的数量关系；
（3）连接BD，如图（见详解），先由正方形的性质判断出和都是等腰直角三角形，再利用与第二问同样的方法证出，由对应边成比例，依据相似比求出线段BP的长，接着设正方形ABCD的边长为x，运用勾股定理列出方程即可求得答案．
【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形，，
在中，，，
∴，，
∴．
在和中， ，
∴，
∴；
（2）解：判断，理由如下：
∵是等腰直角三角形，中，，，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：连接BD，如图所示，
∵四边形与四边形是正方形，DE与PF交于点Q，
∴和都是等腰直角三角形，∴，．
∵，∴，
∴，∴．
∵，∴．
在中，，设，则，
又∵正方形的边长为，∴，
∴，
解得（舍去），．
∴正方形的边长为3．
【点睛】本题是一道几何综合题，考查了全等三角形，相似三角形的判定和性质，以及正方形和等腰三角形的性质，正确识图并能熟练地掌握几何图形的性质与判定定理进行证明是解题的关键．
5．如图1所示，矩形ABCD中，点E，F分别为边AB，AD的中点，将△AEF绕点A逆时针旋转（0°＜≤360°），直线BE，DF相交于点P．
（1）若AB＝AD，将△AEF绕点A逆时针旋至如图2所示的位置上，则线段BE与DF的位置关系是 ，数量关系是 ．
（2）若AD＝nAB（n≠1）将△AEF绕点A逆时针旋转，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请就图3所示的情况加以证明；若不成立，请写出正确结论，并说明理由．
（3）若AB＝6，BC＝8，将△AEF旋转至AE⊥BE时，请直接写出DP的长．
【答案】（1）BE＝DF，BE⊥DF
（2）不成立；结论：DF＝nBE，BE⊥DF；理由见解析
（3）4﹣3或4＋3
【分析】（1）如图2中，结论：BE＝DF，BE⊥DF．证明△ABE≌△ADF（SAS），利用全等三角形的性质可得结论；
（2）结论：DF＝nBE，BE⊥DF，证明△ABE∽△ADF（SAS），利用相似三角形的性质可得结论；
（3）分两种情形画出图形，利用相似三角形的性质以及勾股定理求解即可.
【详解】解：（1）如图2中，结论：BE＝DF，BE⊥DF，
理由：∵四边形ABCD是矩形，AB＝AD，
∴四边形ABCD是正方形，
AE＝AB，AF＝AD，
∴AE＝AF，
∵∠DAB＝∠EAF＝90°，
∴∠BAE＝∠DAF，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴BE＝DF，∠ABE＝∠ADF，
∵∠ABE＋∠AHB＝90°，∠AHB＝∠DHP，
∴∠ADF＋∠PHD＝90°，
∴∠DPH＝90°，
∴BE⊥DF，
故答案为：BE＝DF，BE⊥DF；
（2）如图3中，结论不成立，结论：DF＝nBE，BE⊥DF，
∵AE＝AB，AF＝AD，AD＝nAB，
∴AF＝nAE，
∴AF∶AE＝AD∶AB，
∴AF∶AE＝AD∶AB，
∵∠DAB＝∠EAF＝90°，
∴∠BAE＝∠DAF，
∴△BAE∽△DAF，
∴DF∶BE＝AF∶AE＝n，∠ABE＝∠ADF，
∴DF＝nBE，
∵∠ABE＋∠AHB＝90°，∠AHB＝∠DHP，
∴∠ADF＋∠PHD＝90°，
∴∠DPH＝90°，
∴BE⊥DF；
（3）如图4﹣1中，当点P在BE的延长线上时，
在Rt△AEB中，∵∠AEB＝90°，AB＝6，AE＝3，
∴BE＝＝3，
∵△ABE∽△ADF，
∴＝，
∴＝，∴DF＝4，
∵四边形AEPF是矩形，
∴AE＝PF＝3，
∴PD＝DF﹣PF＝4﹣3；
如图4﹣2中，当点P在线段BE上时，同法可得DF＝4，PF＝AE＝3，
∴PD＝DF＋PF＝4＋3，
综上所述，满足条件的PD的值为4﹣3或4＋3.
【点睛】此题考查了矩形的性质，全等三角形的判定及性质，旋转的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，注意应用分类思想解决问题， 是一道较难的几何综合题.
6．如图，以的两边、分别向外作等边和等边，与交于点，已知，，．
（1）求证：；
（2）求的度数及的长；
（3）若点、分别是等边和等边的重心（三边中线的交点），连接、、，作出图象，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）60°，12；（3）
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠EAC=∠AEC=∠ACE=60°，得到∠DAC=∠BAE，即可证明△ADC≌△ABE；
（2）根据全等三角形的性质得到∠ADP=∠ABP，设AB，PD交于O，根据三角形的内角和即可得到∠DPB=∠DAB=60°；在PE上取点F，使∠PCF=60°，根据全等三角形的性质和等边三角形的性质即可得到结论；
（3）过点Q作QG⊥AD于G，设QG=x，根据等边三角形的性质得到AQ=2x，AG=x，AB=x，证明△ABE∽△AQR，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：（1）∵△ABD和△ACE都为等边三角形，
∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠EAC=∠AEC=∠ACE=60°，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，
即∠DAC=∠BAE，
在△ADC与△ABE中，
，
∴△ADC≌△ABE（SAS）；
（2）∵△ADC≌△ABE；
∴∠ADP=∠ABP，
设AB，PD交于O，
∵∠AOD=∠POB，
∴∠DPB=∠DAB=60°；
如图①，在PE上取点F，使∠PCF=60°，
同（1）可得△APC≌△EFC，∠EPC=∠EAC=60°，
∴EF=AP=3，△CPF为等边三角形，
∴BE=PB+PF+FE=4+5+3=12；
（3）如图②，过点Q作QG⊥AD于G，设QG=x，
∵点Q、R分别是等边△ABD和等边△ACE的重心，
∴AQ=2x，AG=x，AB=x，
∵，∠QAR=∠QAB+∠BAC+∠RAC=30°+∠BAC+30°=60°+∠BAC，
∴∠QAR=∠BAE，
∴△ABE∽△AQR，
∴QR：BE=AQ：AB，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
7．如图，正方形ABCD，对角线AC，BD相交于O，Q为线段DB上的一点，，点M、N分别在直线BC、DC上．
（1）如图1，当Q为线段OD的中点时，求证：；
（2）如图2，当Q为线段OB的中点，点N在CD的延长线上时，则线段DN、BM、BC的数量关系为 ；
（3）在（2）的条件下，连接MN，交AD、BD于点E、F，若，，求EF的长．
【答案】（1）见解析；（2）BM−DN=BC；（3）EF的长为．
【分析】（1）如图1，过Q点作QP⊥BD交DC于P，然后根据正方形的性质证明△QPN∽△QBM，就可以得出结论；
（2）如图2，过Q点作QH⊥BD交BC于H，通过证明△QHM∽△QDN，由相似三角形的性质就可以得出结论；
（3）由条件设CM=x，MB=3x，就用CB=4x，得出BH=2x，由（2）相似的性质可以求出MQ的值，再根据勾股定理就可以求出MN的值，可以表示出ND，由△NDE∽△NCM就可以求出NE，也可以表示出DE，最后由△DEF∽△BMF而求出结论．
【详解】解：（1）如图，过Q点作QP⊥BD交DC于P，
∴∠PQB=90°．
∵∠MQN=90°，
∴∠NQP=∠MQB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=CB，∠BDC=∠DBC=45°．DO=BO，
∴∠DPQ=45°，DQ=PQ，
∴∠DPQ=∠DBC=45°，
∴△QPN∽△QBM，
∴，
∵Q是OD的中点，且PQ⊥BD，
∴DO=2DQ，DP=DC，
∴BQ=3DQ，DN+NP=DC=BC，
∴BQ=3PQ，
∴，
∴NP=BM，
∴DN+BM=BC；
（2）如图，过Q点作QH⊥BD交BC于H，
∴∠BQH=∠DQH=90°，
∴∠BHQ=45°，
∵∠COB=90°，
∴QH∥OC，
∵Q是OB的中点，
∴BH=CH=BC，
∵∠NQM=90°，
∴∠NQD=∠MQH，
∵∠QND+∠NQD=45°，∠MQH+∠QMH=45°，
∴∠QND=∠QMH，
∴△QHM∽△QDN，
∴，
∴HM=ND，
∵BM-HM=HB，
∴BM−DN=BC．
故答案为：BM−DN=BC；
（3）∵MB：MC=3：1，设CM=x，
∴MB=3x，
∴CB=CD=4x，
∴HB=2x，
∴HM=x．
∵HM=ND，
∴ND=3x，
∴CN=7x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴ED∥BC，
∴△NDE∽△NCM，△DEF∽△BMF，
∴，
∴，
∴DE=x，
∴，
∵NQ=9，
∴QM=3，
在Rt△MNQ中，由勾股定理得：
，
∴，
∴，
∴，
设EF=a，则FM=7a，
∴，
∴．
∴EF的长为．
【点睛】本题考查了正方形的性质的运用，相似三角形的判定和性质的运用，勾股定理的运用及平行线等分线段定理的运用，在解答时利用三角形相似的性质求出线段的比是解答本题的关键．
9.如图1，分别是的内角的平分线，过点作，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）如图2，如果，且，求的值；
（3）如果是锐角，且与相似，求的度数，并直接写出的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3），或，．
【分析】（1）由题意：，根据三角形外内角性质和三角形内角和可得，由此即可解决问题．
（2）延长交于点．证明，可得，，由，可得．
（3）因为与相似，，所以中必有一个内角为因为是锐角，推出．接下来分两种情形分别求解即可．
【详解】（1）证明：如图1中，
，
，，
平分，平分的，
，，
，，
，
．
（2）解：延长交于点．
，
，
又∵，
，
，
，，
，
．
（3）与相似，，
中必有一个内角为
是锐角，
．
①当时，，
，
，
，
，
如图，过B点作BH⊥AE，
∵，AD平分∠BAC，
∴∠BAH=45°，
∴AH=BH，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
②当时，即时，，
，
，
如解图（3）-2；过B点作BH⊥AE，
，分别是的内角的平分线，
∴，
∴BD=AD，
又∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴在中，
∴
综上所述，，或，．
【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．