九年级数学下册专题09三角函数与几何综合(原卷版+解析)

这是一份九年级数学下册专题09三角函数与几何综合(原卷版+解析)，共27页。试卷主要包含了网格问题，三角函数与圆综合等内容，欢迎下载使用。
例．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，与相交于点P，则的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练1】．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点、、、均在格点上，与相交于点，则的余弦值为（ ）

A．B．C．D．
【变式训练2】．如图，A、B、C、D是正方形网格的格点，AD、BC交于点O，则sin∠AOB＝ ．
【变式训练3】．如图，在正方形网格中，点都是小正方形的顶点，与相交于点，则的值是 ．
【变式训练4】．如图，在正方形网格中，四边形ABCD的顶点均在格点上，对角线AC交BD于点E，则tan∠CED的值是 ．
类型二、三角函数与圆综合
例．在锐角△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交边 BC，AC于点D，E，AF⊥DE于点F．
（1）求证：∠EDC＝2∠CAF；
（2）若AB＝BC，判断直线AF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）若，求的值．
【变式训练1】．如图，中，以为直径的交于点D，．
（1）求证：为的切线；
（2）在上取点E，使，过点E作交于点F．若，求的值．
【变式训练2】．如图，以AB为直径的⊙O，交AC于点E，过点O作半径OD⊥AC于点G，连接BD交AC于点F，且FC=BC．
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为5，tanA=，求GF的长．
【变式训练3】．如图，在中，，以为直径作，交于点D，过点D作，垂足为点E，交的延长线于点F．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为5，，求的长．
课后训练
1．如图，在正方形ABCD中．以AD、AB为斜边分别向外和向内作Rt△ADN和Rt△ABM，且满足AN=AM，连接MN交AD于点T．若DC=4，tan∠ABM=，则AT的长为（ ）
A．1B．C．D．
2．在平面直角坐标系中，将一块直角三角形纸板如图放置，直角顶点与原点O重合，顶点A、B恰好分别落在反比例函数、的图像上，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，一次函数与反比例函数（，）的图象交于，两点，与轴交于点．若，的面积为5，则的正切值为 ，的值为 ．
4．如图，内接于的半径为6，于点，则的长为 ．
5．如图，在中，，．矩形DEFG的顶点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，若，则矩形EDFG面积的最大值= ．
6．如图，在每个边长均为1的正方形网格中，点A、B、C均在网格的交点上，则 ．

7．如图，在正方形中，是的中点，是边上的一点，的平分线交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的值
专题09 三角函数与几何综合
类型一、网格问题
例．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，与相交于点P，则的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】取格点，连接、，设网格中每个小正方形的边长为1，先证得，求得，再根据题意证得即可求解．
【详解】解：取格点，连接、，设网格中每个小正方形的边长为1，
则，，，
∵，，
∴，
∴，
在中，，
由题意知，，
∴，
∴，
∴，
故选：
【点睛】本题考查了网格问题中解直角三角形，构造直角三角形是解题的关键．
【变式训练1】．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点、、、均在格点上，与相交于点，则的余弦值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】作于E，由可证，则可得，由此可求出的长，再在中根据面积法求出的长，再根据勾股定理求出的长，即可求出的余弦值，由于，因此可得的余弦值．
【详解】

作于E，
，
，
，
，
．
中，
．
，
，
解得，
．
，
．
故选：C
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、用面积法求直角三角形斜边上的高、勾股定理及余弦的定义．熟练掌握以上知识并且正确的作出辅助线是解题的关键．
【变式训练2】．如图，A、B、C、D是正方形网格的格点，AD、BC交于点O，则sin∠AOB＝ ．
【答案】/
【分析】构造直角三角形BCE，使顶点E在格点上，一个锐角∠CBE正好等于∠AOB，求出sin∠CBE即可.
【详解】解：如图，
由图可知，，，
∴，
而，，，，
∴，
∴，
故答案为：
【点睛】本题考查了锐角三角函数，解题的关键构造格点直角三角形.
【变式训练3】．如图，在正方形网格中，点都是小正方形的顶点，与相交于点，则的值是 ．
【答案】.
【分析】建立平面直角坐标系，利用直线解析式确定交点的坐标，计算两点间距离，判定三角形的形状，继而计算即可.
【详解】如图，建立平面直角坐标系，连接DE，交AB于点F，根据题意，得
A（0，3），B（4，1），C（1，3），D（2，0），E（3，2），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
∴，
∴，
∴直线AB的解析式为，
同理可得，直线CD的解析式为，直线DE的解析式为，
∴，解得，∴点P的坐标为（，），
同理可得，点F的坐标为（，），∴=，
=，=，
∴，
∴△DPF是等腰直角三角形，
∴∠BPD=45°，
∴sin∠BPD= sin 45°=，
故答案为：.
【点睛】本题考查了特殊角的锐角三角函数值的计算，勾股定理的逆定理，根据题意，熟练建立平面直角坐标系，利用待定系数法确定解析式，利用解析式确定交点坐标，利用两点间距离公式确定线段长是解题的关键.
【变式训练4】．如图，在正方形网格中，四边形ABCD的顶点均在格点上，对角线AC交BD于点E，则tan∠CED的值是 ．
【答案】
【分析】设小正方形的边长为1，则AD＝5，BC＝4，根据平行线分线段成比例定理得出，由勾股定理求出BD、DC、AC，求出DE和CE，过C作CF⊥BD于F，根据三角形的面积得出，求出CF，根据勾股定理求出EF，再解直角三角形求出答案即可．
【详解】解：设小正方形的边长为1，则AD＝5，BC＝4，
∵，
∴
∴，
由勾股定理得：，，，
则，，
过C作CF⊥BD于F，
∵△BCD的面积，
∴△DCE的面积为，
∴，∴ ，∴，
由勾股定理得：，
∴，故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，三角形的面积，相似三角形的判定和性质等知识点，能求出CF的长是解此题的关键．
类型二、三角函数与圆综合
例．在锐角△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交边 BC，AC于点D，E，AF⊥DE于点F．
（1）求证：∠EDC＝2∠CAF；
（2）若AB＝BC，判断直线AF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）若，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）相切，见解析；（3）．
【分析】（1）由AB是直径，得AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，证明∠EDC=∠BAC=2∠DAC，只需证明∠CAF=∠DAC即可；
（2）证明∠BAF=90°即可；
（3）连接BE，则cs∠ABE= cs∠ADE==，求得AE，EC，后利用勾股定理表示BC，代入计算即可．
【详解】（1）∵AB是直径，∴AD⊥BC，
∵AB=AC，∴∠BAD=∠CAD，
∴∠BAC=2∠DAC，
∵A，B，D，E四点共圆，
∴∠EDC=∠BAC，∠DEC=∠ABC，
∴∠EDC==2∠DAC，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，
∴∠DEC=∠ACB，
∵AF⊥DE，
∴∠CAF=90°-∠AEF=90°-∠DEC=90°-∠ACD=∠DAC，
∴∠EDC==2∠CAF；
（2）直线AF与⊙O的相切．
理由如下：∵AB=BC，AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，∠BAC=60°，
∵∠BAD=∠CAD，由（1）得∠BAD=∠CAD=∠CAF=30°，
∴∠BAF=3∠BAD=90°，
∵AB是直径，
∴直线AF与⊙O的相切；
（3）如图，连接BE，则∠ABE= ∠ADE ，
∴cs∠ABE= cs∠ADE==，设AB=25k，则BE=24k，
∵AB是直径，∴∠AEB=90°，∴AE==7k，
∵AB=AC，∴AC=25k，EC=AC-AE=25k-7k=18k，
在直角三角形BEC中，BC==30k，∴==．
【点睛】本题考查了圆的内接四边形外角等于内对角，等腰三角形的性质，直径上的圆周角是直角，锐角三角函数的定义，勾股定理，切线的判定，等边三角形的判定，熟记切线的判定，等腰三角形的性质，灵活运用勾股定理是解题的关键．
【变式训练1】．如图，中，以为直径的交于点D，．
（1）求证：为的切线；
（2）在上取点E，使，过点E作交于点F．若，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）．
【分析】（1）为直径，得到，根据，得到，问题得证；
（2）先证明，，设，则，得到，，即，得到，进而得到，即可得到．
【详解】解：（1）证明：
∵为直径，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴，
∴为的切线．
（2）解：∵，
∴．
∵，
∴．
设，则．
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数、圆周角定理等知识，熟知相关知识并灵活应用是解题关键．
【变式训练2】．如图，以AB为直径的⊙O，交AC于点E，过点O作半径OD⊥AC于点G，连接BD交AC于点F，且FC=BC．
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为5，tanA=，求GF的长．
【答案】(1)见解析；(2)1
【分析】（1）根据圆的性质得，再通过角的转换及可证明；
（2）连接，由圆的相关性质可证，得到，即可求GF的长；
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：如图，连接，

是的直径，
，
，
，
，
的半径为，,
，
，
在中，，，
，，
∵ OG∥BE，O为AB的中点，
，
，
，
，
即，
，解得．
所以的长为．
【点睛】本题主要考查了圆的性质、锐角三角函数，掌握相关知识，并灵活应用是解题的关键．
【变式训练3】．如图，在中，，以为直径作，交于点D，过点D作，垂足为点E，交的延长线于点F．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为5，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据等腰三角形和三角形内角和的性质，推导得，结合平行线的性质，得，根据切线的性质分析，即可完成求解；
（2）分别连接、，根据直径所对圆周角为直角和三角函数的性质，推导得；根据勾股定理的性质，得；再结合相似三角形的性质计算，即可得到答案．
【详解】（1）连接，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴
∴
∵，
∴
∴是的切线；
（2）分别连接、，
∵是的直径，
∴，即．
在中，，
设，
∴
∵，
∴．
∴或（舍去）
∴
∴．
∵，
∴．
在中，，∴．
∵，∴．
∴，即．∴
经检验，是原方程的解
∴．
【点睛】本题考查了三角函数、圆、相似三角形、勾股定理、分式方程的知识；解题的关键是熟练掌握三角函数、圆周角、切线、相似三角形的性质，从而完成求解．
课后训练
1．如图，在正方形ABCD中．以AD、AB为斜边分别向外和向内作Rt△ADN和Rt△ABM，且满足AN=AM，连接MN交AD于点T．若DC=4，tan∠ABM=，则AT的长为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】A
【分析】根据HL判定Rt△ABM Rt△AND，再由全等三角形的对应角相等证明∠DAM=∠AND，继而证明DN//AM，进一步得到△DNT△AMT，然后根据相似三角形对应边成比例解题，结合tan∠ABM=，可解得，据此解题．
【详解】∵AD=AB，AM=AW，∠AMB=∠AND=90°，
∴Rt△ABM Rt△ADN（HL）
∴∠DAN=∠BAM，DN=BM．
∵ ∠BAM+∠DAM=90°，∠DAN+∠ADN=90°，
∴∠DAM=∠ADN，
∴DN//AM，
∴△DNT△AMT，
∴=，
∵tan∠ABM===
∴
∵AD=DC=4，
∴AT=AD=1，
故选 A．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、正切等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
2．在平面直角坐标系中，将一块直角三角形纸板如图放置，直角顶点与原点O重合，顶点A、B恰好分别落在反比例函数、的图像上，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】点A，B落在函数，的图象上，根据反比例函数的几何意义，可得直角三角形的面积；根据题意又可知这两个直角三角形相似，而相似比恰好是直角三角形AOB的两条直角边的比，再利用勾股定理，可得直角边与斜边的比，从而得出答案．
【详解】解：过点A、B分别作AD⊥x轴，BE⊥x轴，垂足为D、E，
∵点A在反比例函数上，点B在上，∴S△AOD＝，S△BOE＝2，
又∵∠AOB＝90°,∠ADO=∠BEO=90°，∴∠AOD+∠BOE＝90°
∠OBE+∠BOE＝90°，
∴∠AOD=∠OBE,∴△AOD∽△OBE，
∴，∴
设OA＝a，则OB＝2a，AB＝，
在RtAOB中，cs∠ABO＝
故选C．
【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义、相似三角形的性质，将面积比转化为相似比，利用勾股定理可得直角边与斜边的比，求出cs∠ABO的值．
3．如图，一次函数与反比例函数（，）的图象交于，两点，与轴交于点．若，的面积为5，则的正切值为 ，的值为 ．
【答案】 2 12
【分析】设直线与x轴的交点为D，则D（2b,0），C（0，b），可求tan∠OCA，根据OA=OC，得∠OCA=∠CAO，即tan∠OCA=tan∠CAO；设点A的坐标为（，），点B的坐标为（，），则=，，是方程=的两个根，利用OA=OC和一元二次方程根与系数的关系定理计算即可．
【详解】设直线与x轴的交点为D，
∵
∴D（2b,0），C（0，b），
∴OD=2b，OC=b，
∴tan∠OCA=，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠CAO，
∴tan∠OCA=tan∠CAO=2
故答案为：2；
设点A的坐标为（，），点B的坐标为（，），则，是方程=的两个根，
∴，是方程的两个根，
∴+=2b，=2k，
∴=，
∵OA=OC，
∴
∴，
解得b=，
∴+=，
∴=，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得=4或=-4（舍去）
∴==6，
∵=2k，
∴2k=24，
∴k=12，
故答案为：12；
故答案为：2,12．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的相交，一元二次方程的解法，根与系数的关系定理，两点间的距离公式，等腰三角形的性质，灵活用等腰三角形的性质构造等式，构造一元二次方程是解题的关键．
4．如图，内接于的半径为6，于点，则的长为 ．
【答案】
【分析】作直径BE，连接CE，作CFBE于点F，则在直角△BCE中解直角三角形求得EC的长，然后根据勾股定理即可求得BC的长．
【详解】解：作直径BE，连接CE，作CFBE于点F，如图，
，
，
是直径，CFBE，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理，以及三角函数的定义，勾股定理，正确作出辅助线是关键．
5．如图，在中，，．矩形DEFG的顶点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，若，则矩形EDFG面积的最大值= ．
【答案】/
【分析】设ED=x ，EF=y， 过F作FH⊥AC于H，用含x和y的代数式表示出矩形EDGF的面积，再配方可求出面积的最大值．
【详解】解：设ED=x，EF=y，过F作FH⊥AC于H,
在Rt△ECD中，∵tan∠DEC=，∴sin∠DEC=，cs∠DEC=，∴EC=x.
∵∠FEH+∠CED=90°，∴∠EFH=∠DEC，
∴HE=y×sin∠EFH= y×sin∠DEC= y，∴FH=，
∵△AHF是等腰直角三角形，∴AH=FH=，
∵AC=AH+HE+EC=，∴=4，∴y=，
∴S矩形EDEF=xy==，
∴当x=时，矩形EDGF面积有最大值，最大值为．故答案为： ．
【点睛】本题考查二次函数的最值，等腰直角三角形，锐角三角函数的定义，属于中档题．
6．如图，在每个边长均为1的正方形网格中，点A、B、C均在网格的交点上，则 ．

【答案】1
【分析】取格点D，连接，根据勾股定理的逆定理得到是直角三角形，根据，得到．
【详解】解：如图所示，取格点D，连接，
∵，，，
，
∴是直角三角形，，
∵，
∴．故答案：1．

【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，锐角三角函数等， 添加辅助线，熟练掌握勾股定理解直角三角形，勾股定理的逆定理判定直角三角形，正切的定义，是解决问题的关键．
7．如图，在正方形中，是的中点，是边上的一点，的平分线交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的值
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）延长交的延长线于，证得，再利用等量代换证得，即可得证；
（2）作，垂足为，得矩形，根据（1）的结论求得DG，也就是AM的长度，再利用线段的和差关系和勾股定理求得MF、MG的长度，即可求解．
【详解】（1）证明：延长交的延长线于，
在正方形中，，
∴，，．
又∵是的中点，
∴．
∴
∴，
∴
∵，
∴
∴．
∴．
（2）解：作，垂足为，得矩形．
在正方形中，，又，，
∴．
由（1）可知，，
∴，
又，是的中点，
，
∴在Rt△MFG中，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，矩形的性质，三角函数公式等知识点，难度较大，题目比较综合．