数学：浙江省杭州市上城区2024年九年级中考一模试题（解析版）

这是一份数学：浙江省杭州市上城区2024年九年级中考一模试题（解析版），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列各数中，最小的数是（ ）
A. B. C. 0D. 3
【答案】A
【解析】，最小，
故选：A．
2. 杭州亚运会主会场莲花体育场有固定座位80800个，其中数字80800用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】，
故选：A．
3. 如图所示的几何体是由6个大小相同的小正方体组成，则该物体的俯视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】从上边看，底层靠左侧是一个小正方形，上层是四个小正方形．
故选：C．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A．，故本选项不符合题意；
B．，故本选项不符合题意；
C．，故本选项符合题意；
D．，故本选项不符合题意．
故选：C．
5. 如图，转盘中8个扇形的面积都相等，涂色的为灰色部分，其余为白色部分，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在灰色区域的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵圆被等分成8份，其中灰色区域占2份，
∴指针落在灰色区域的概率为．
故选：B．
6. 《孙子算经》中有这样一道题，大意为：今有100头鹿，每户分一头鹿后，还有剩余，将剩下的鹿按每3户共分一头，恰好分完，问：有多少户人家？若设有x户人家，则下列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】根据题意得：．
故选：D．
7. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象如图所示，若的图象与x轴交于，则下列判断正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由函数图象可知，，
∵的图象与轴交于，
∴当时，，
∴，
∴，
令，则，
∴，
∴．
故选：D．
8. 如图，在中，点为边上的中点，点为边上的三等分点，连接，，交点为，过作，已知的面积为4，则 为（ ）
A. 144B. 120C. 60D. 48
【答案】D
【解析】点为边上的中点，
，
，，
∴，
，
为边上的三等分点，
，
，
，
∴，
，
是的中位线，
，
，
，
，
的面积为4，
，
，
，
的面积，
．
故选：D．
9. 二次函数（，是常数）过，两个不重合的点，一次函数过和二次函数的顶点，则的值为（ ）
A. ﹣1B. 0C. 1D. 2
【答案】B
【解析】抛物线过，，
抛物线的对称轴是直线，，
，
，
顶点为，
又一次函数过和二次函数的顶点，
，且，
，
或（舍去），
．
故选：B．
10. 如图，在中，将沿弦翻折，使恰好经过圆心O，C是劣弧上一点．已知，，则的长为( )
A. B. 6C. D.
【答案】C
【解析】连接并延长交于点H，连接，过点O作于F，延长交于点G，连接，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的半径为，
∴，
∵于F，
∴，
根据折叠的性质得，，
∴=，
∴，
∴，
故选：C．
二、填空题：本大题有6小题，每题3分，共18分．
11. 在实数范围内分解因式：2x2﹣8=____．
【答案】2(x+2)(x-2)
【解析】2x2-8=2（x2-4）=2（x+2）（x-2)
故答案为2（x+2）（x-2）
12. 不等式的最大整数解是_____．
【答案】1
【解析】移项、合并，得：，
系数化为1，得：，
∴不等式的最大整数解为1，
故答案为：1．
13. 如图，在菱形中，、为对角线，平分，若，则的度数为 _______．
【答案】52
【解析】∵平分，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴．
故答案为：52．
14. 第19届杭州亚运会会徽如图1所示，名为“潮涌”，象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展．其主体部分可以看成如图2的几何图形，小明测量得，，．则图2中的阴影部分的面积为_______ （结果保留π）
【答案】7π
【解析】
故答案为：．
15. 如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．
（1）连接，若恰为中点，则的度数为_______°；
（2）连接，若与的面积相等，，则的长为_________________．
【答案】45
【解析】（1）∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形，
∴，
，
恰为中点，
，
，
是等腰直角三角形，
，
故答案为：45；
（2）四边形是正方形，
，
设，
由题意得，，
，
若与的面积相等，
，
，
或（不合题意舍去），
，
，
故答案为：．
16. 如图，在中，边在轴上．反比例函数的图象恰好经过点，与边交于点．若，．则的值为 _____．
【答案】4
【解析】连接，过点作轴,交于点G，过点B作轴，
，．
，
设点，则，
∵
，
，
，
解得：．
三、解答题：本大题有8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 先化简，再求值：，其中，．
解：，
当，时，
原式．
18. 今年是农历龙年，假期里学校组织学生进行龙灯制作活动，每班精选一项进行年级评选，校学生会组织对同学的作品按10分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于6的整数．对每个班的成绩进行整理，并绘制统计表，信息如表：
八年级10个班成绩统计表
已知八年级各班成绩只有一个众数为9分，且a、b均为正整数．
请根据以上信息，完成下列问题：
（1） ， ；
（2）八年级成绩的中位数为 分；
（3）若年级均分高于8.5分，则认定该年级在活动中荣获“优秀组织奖”，请判断本次活动八年级能否获得“优秀组织奖”．
解：（1）八年级各班成绩只有一个众数为9分，且、均为正整数，
，则，
故答案为：1，4；
（2）由表格可得，
八年级的中位数为：（分，
故答案：8.5；
（3）由表格可得，八年级的平均分为：（分），
，
本次活动八年级不能获得“优秀组织奖”．
19. 光线从空气射入水中会发生折射现象（如图1），我们把称为折射率（其中α代表入射角，β代表折射角）．明明制作了一个测算液体折射率的装置．光线从点A按固定角度从空气射入液面（介质），如图2，装入某液体（介质），使光线折射后恰好落到点C，直线GH为法线．已知，液面高度为12cm，正方形的边长为30cm．
（参考数据：，，，，，
（1）求的长；
（2）求该液体（介质）的折射率n．
解：（1）正方形边长为，．
由题意知：液面平行于底垂直于、两边，法线垂直于液面，
四边形、、、都是矩形．
，．
在中，
，
．
（2）四边形、、、都是矩形，
，
在中，
．
．
．
20. 如图，反比例函数的图象与直线交于点，点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线分别交反比例函数图象和轴于点和点．
（1）求k和a的值；
（2）根据图象直接写出的自变量x的取值范围；
（3）当AB长为时，求点A的坐标．
解：（1）反比例函数的图象与直线交于点，
，；
（2）根据图象可知，的自变量的取值范围为：；
（3）由（1）可知，反比例函数解析式为：，正比例函数解析式为：，
设则，
点在反比例函数图象上，
，
解得或（舍去），
．
21. 如图，点D为的边上一点，延长至点F，使得，点E在线段上，且．
（1）若，求的长．
（2）若平分，求的长．
解：（1）∵，
，
，
，
；
（2）过作于，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
22. 某校开展劳动实践活动，九（1）班分配得到一块如图所示的边长为8米的正方形菜地，由于场地调整，现将菜地改成周长不变的长方形菜地，两块菜地的重叠部分为矩形，不重叠两块是矩形和矩形，设长为x米，长为y米．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）求矩形面积的最大值；
（3）九（1）班的亮亮同学说：“矩形面积一定不小于矩形的面积”，请你判断他的说法是否正确，并说明理由．
解：（1）根据长方形的周长公式，得，
即，
∴y关于x的函数表达式为．
（2）∵，
∴，
∴，
∴当时，矩形面积最大，最大值为16平方米．
（3）他的说法正确．理由如下：
∵，，
∴，
∴，
∴．
23. 综合与实践
解：（1）如图1，
，，不确定，
，
故答案为：相等，不相等；
（2）（平方米），
故答案为：平方米；
（3）由题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：两条小路的宽度是1米；
（4）如图2，连接，过点作，交于，
，，
，
四边形圆内接四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，四边形是平行四边形，
，，
（米；
（5）如图3，连接、、、，过点作，交于，
则四边形是平行四边形，
，，
，，
四边形是平行四边形，
由（4）知：，
，
四边形是矩形，
在中，，
同理可得，
，
四边形是正方形，
两条路重叠部分四边形的面积为平方米；
如图4，当与重合时，
，，
，
此时最小，即的值最小，
，
，
在中，，
，
．
24. 如图，内接于，点D为弦的中点，连接、，延长交弦的延长线于点E，与弦交于点F，DE与交于点G，已知，．
（1）求的半径；
（2）求证：；
（3）若，求的长．
（1）解：∵点D为弦的中点，O为圆心，，
∴，，
设的半径为r，则，，
∵，
∴，
∴．
∴的半径为5．
（2）证明：延长交于点K，连接，如图，
∵为的直径，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
（3）解：连接，
∵，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴．
由（1）知：，，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．成绩/分
6
7
8
9
10
班级个数
1
3
a
b
1
主题任务
“我的校园我做主”草坪设计
入项探究环节
任务背景
学校举办“迎五一，爱劳动”主题实践活动，九（2）班参加校园美化设计任务：
校园内有一块宽为31米，长为40米的矩形草坪，在草坪上设计两条小路，
具体要求：
（1）矩形草坪每条边上必须有一个口宽相等的路口；
（2）两条小路必须设计成平行四边形；
驱动任务一
九（2）班各个实践小组的设计方案汇总后，主要有甲、乙、丙三种不同的方案（如图1）：
（1）直观猜想：方案中小路的总面积大小关系 ， ；（请填“相等”或“不相等”）
深入探究
驱动任务二
验证猜想：各个实践小组用如表格进行研究：
方案
纵向小路面积
横向小路面积
纵横交叉面积
小路总面积
乙方案
甲方案
丙方案
（2）请用含x的代数式表示甲方案中小路总面积： ；
驱动任务三
（3）如果甲种方案除小路后草坪总面积约为1170平方米．请计算两条小路的宽度是多少？
拓展探究
驱动任务四
为了深入研究，各个小组选择丙方案（如图2）进行研究．若两条小路与矩形两组对边所夹锐角．
（4）若时，用含的代数式拓表示四边形的边长；
（5）若时，请用含的三角函数表示两条路重叠部分四边形的面积，并写出取值范围．