数学：陕西省西安市莲湖区2024年中考三模试题（解析版）

这是一份数学：陕西省西安市莲湖区2024年中考三模试题（解析版），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题(共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的)
1. 计算：（ ）
A. B. -3C. D. 3
【答案】D
【解析】，故选：D.
2. 四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，它的主视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】主视图是：

故选：A．
3. 如图，已知，，，则的度数为（ ）
A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°
【答案】B
【解析】∵，，，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A ．，该选项计算错误；
B ．，该选项计算正确；
C ．，该选项计算错误；
D ．，该选项计算错误；
故选：B ．
5. 与直线关于y轴对称的直线经过点，则m的值为（ ）
A. B. 2C. D. 4
【答案】C
【解析】直线关于轴对称的直线为，
把代入，得．
故选：C．
6. 如图，在中，D、E、F分别是边、、的中点，于点H，若，则的长为（ ）
A. 6B. C. 8D. 10
【答案】C
【解析】∵E、F分别是、的中点，
∴是的中位线，
∴(三角形中位线定理)；
又∵D是线段的中点，，
∴，
∴．
故选：C．
7. 如图，在中，半径互相垂直，点C在弧上．若则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】连接，
∵，
∴，
∵半径互相垂直，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
8. 已知二次函数 中，函数y与自变量x部分对应值如下表：
下列说法正确的是（ ）
A. 该二次函数的开口向下
B. 图象与x轴有两个交点
C. 当时，y随x的增大而增大
D. 若，都在该函数的图象上，则
【答案】D
【解析】设抛物线：，
∴，解得：，
∴抛物线为：，
∴抛物线开口向上，故A不符合题意；
而，
∴图象与x轴没有交点，故B不符合题意；
∵时，；时，，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而减小，故C不符合题意；
∵点，在抛物线上，而，
∴，故D符合题意；故选：D．
第二部分(非选择题 共96分)
二、填空题(共5小题，每小题3分，计15分)
9. 比较大小：_______．（填“>”，“<”或“=”）
【答案】＞
【解析】根据二次根式的性质可知，被开方数越大，所对应的二次根式就越大，因此可判断与=1的大小为＞1．
10. 如图，一个正多边形被撕掉了一块，若，则原正多边形的边数为_______．
【答案】8
【解析】如图，
∵正多边形中，，∴，，
∴这个正多边形的边数为：，
故答案为：8．
11. 如图，点是线段的黄金分割点（即），若以为边的正方形的面积为100，则长为，宽为的矩形的面积为_______．
【答案】100
【解析】∵C是线段的黄金分割点，且，
∴，
又∵以为边的正方形的面积为100，矩形的长为，宽为，
∴，
故答案为：100．
12. 已知反比例函数的图象上有两点，若，则m的取值范围为_______．
【答案】
【解析】∵，
∴反比例函数的图象在一、三象限，且在每个象限随的增大而减小，
若点在同一象限，
，
，
若点在不同象限，则不成立，
故实数的取值范围是．
故答案为：．
13. 如图，，，点E、F 分别在边、上，点G为线段上一动点，过点 G作EF 的垂线分别交、于点M、N．若线段恰好平分矩形的面积，且 则的长为_______．
【答案】
【解析】如图， 连接，交于O，
∵线段恰好平分矩形的面积，
∴O是矩形的对称中心，
∴， 过点D作交于点I，过点C作 交于点H，
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
同理可得，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴ ，
∴，
∴，
在中，
，
∴；
故答案为：．
三、解答题(共13小题，计81分．解答应写出过程)
14. 计算： .
解：原式
15. 解不等式组：．
解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：．
16 解分式方程：．
解：方程两边乘，得．
解得．
检验：当时，，
因此是原分式方程的解．
所以原分式方程的解为．
17. 如图，在中，，请用尺规在边上找一点D，使得(保留作图痕迹，不写作法)
解：作，作的角平分线交于点，连接，点即为所求；
理由：，
，
根据作图可得，
，
，，
，
，
，
．
18. 如图，是平行四边形 的对角线，点 、点 是直线 上的两点，且满足 求证：
证明： 四边形为平行四边形，
，．
．
，．
．
，


19. 列方程解应用题．
我国古代数学名著《算法统宗》中有这样一个问题：隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．问：人数多少？银子几何？意思是：有若干客人分银若干两，如果每人分7两，还多4两；如果每人分9两，还差8两（题中斤、两为旧制，1斤两）．问：有多少位客人？多少两银子？
解：设有x位客人，
根据题意，得：，
解得：，
，
答：有6位客人，46两银子．
20. 作为2024年中央春晚首个登场的分会场，西安用一场极具艺术底蕴和历史内涵的文化盛宴，再现了千年长安的盛世气象，吸引了世界各地成千上万的游客．乐乐和父母也开启了心心念念的西安之旅．在做好攻略后，他们准备采用抽签的方式，在4个热门景点(A：兵马俑，B：城墙，C：华清池，D：大唐不夜城)中选择2个景点游玩，抽签规则如下：把四个地点分别写在四张背面相同的卡片的正面，然后背面朝上放在水平桌面上搅匀，随机抽取一张，不放回，再抽取一张．
（1）乐乐随机抽取一张卡片，抽取到的地点恰好是A景点的概率为 ；
（2）请用画树状图或列表的方法，求乐乐选取的景点恰好是兵马俑和华清池这两个地方的概率．
解：（1）由题意得，乐乐随机抽取一张卡片，抽取到的地点恰好是A景点的概率为．
（2）列表如下：
共有12种可能的结果，其中乐乐选取的景点恰好是兵马俑和华清池这两个地方的结果有2种，
∴乐乐选取的景点恰好是兵马俑和华清池这两个地方的概率为．
21. 某中学为了解学生参加家务劳动的情况，从全体学生中随机抽取部分学生在某个休息日做家务的劳动时间t（单位：h）作为样本，将收集的数据整理后按劳动时间分为五组：A组“”，B组“”，C组“”，D组“”，E组“”，绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次抽样调查的样本容量是 ，E组所在扇形的圆心角的大小是 ，将频数直方图补充完整；
（2）这次抽样调查中某个休息日做家务的劳动时间的中位数落在 组；
（3）该校共有1800名学生，请你估计该校学生某个休息日做家务劳动的时间超过的学生人数．
解：（1）（人）,,
B组的人数为：（人），
补全频数直方图如图所示：
故答案为：60；；补全频数直方图见解析．
（2）将这次抽样调查中学生在某个休息日做家务的劳动时间按照从小到大顺序排列，
∵，C组有20人
∴第30人和第31人做家务的劳动时间位于C组
∴这次抽样调查中某个休息日做家务的劳动时间的中位数落在C组．
（3）（人），
答：该校学生某个休息日做家务劳动的时间超过的学生有1290人．
22. 如图1 是位于西安市的具有“西北第一高”称号的摩天轮，它的“成像效果”全球第一．图2是它的简化示意图，点O是摩天轮的圆心，是摩天轮垂直地面的直径，小颖想利用数学知识实地测量该摩天轮的高度，她在A 处测得摩天轮顶端M的仰角为 ，接着沿水平方向向左行走 140 米到达点 B，再沿着坡度的斜坡走了20 米到达点 C，最后再沿水平方向向左行走40米到达摩天轮最低点N处(A，B，C，M，N均在同一平面内)，求摩天轮的高度．(结果精确到1 米)（参考数据：）
解：延长至E，作于D，
由题意得：，，，，，
∵，，
∴，
设，则由勾股定理得，
∴，解得：，
∴，
∴，
∴，
在中，
∴
∴米．
答：摩天轮MN的高度约为131 米．
23. 甲乙两人相约去华山踏青，上午，甲开车从南郊出发，同时乙坐出租车从东郊出发．上午，甲在离南郊处的地方追上乙并继续前行，途中甲在某高速服务区加油休息，然后继续按原速前行，最后甲乙同时到达华山风景区入口处．甲乙离南郊的路程与所用时间的函数关系如图所示．
（1）求乙离南郊的路程与所用时间的函数表达式；
（2）求甲在某高速服务区加油休息所用的时间．
解：（1）设，将，代入得： ，
解得 ：
∴与所用时间的函数表达式为：；
（2）将点代入中，得，
∵甲的速度为，
∴甲不在服务区停留直接到华山风景区的时间为，
，
∴甲在某高速服务区加油休息所用的时间为．
24. 如图，在 中， ，以为直径的交于点D，点E是线段的中点，连接并延长交的延长线于点 F．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若的半径为 ，求的长．
（1）证明：连接，，
为的直径，
，
为直角三角形．
在中，E为的中点，
，
．
，
．
，
即于 D，
为的半径，
是的切线．
（2）解：，，
．
，
的半径为，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
设，则，
在中，，，，
，
解得，（舍去）
．
25. 如图，在一场校园羽毛球比赛中，小华在P 点选择吊球进行击球，当羽毛球飞行的水平距离是1米时，达到最大高度3.2米，建立如图所示的平面直角坐标系．羽毛球在空中的运行轨迹可以近似的看成抛物线的一部分；队友小乐则在点 P 选择扣球进行击球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似的f满足一次函数关系 ．

（1）根据如图所示的平面直角坐标系，求吊球时羽毛球满足的二次函数表达式；
（2）在（1）的条件下，已知球网 与y轴的水平距离( 且点A，C都在x轴上，实践发现击球和吊球这两种方式都能使羽毛球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应该选择哪种击球方式？
解：（1）由题意得，二次函数的顶点为，
∴设该二次函数的表达式为
∵经过点 P，
∴令，得，即，
将代入 中，得
∴二次函数的表达式为：
（2）令 ，则：，解得，
令 ，则：，解得：得 (舍去)．
∵，
∴两种击球方式离点的距离为：，，
∵
∴吊球的落地点离C点的距离更近，应选择吊球击球．
26. 在菱形中，点E是对角线上一点，点F 是边上一点，连接、、．
【初步探究】
（1）如图1，若，，线段、满足的数量关系是 ．
【深入探究】
（2）如图2，若，，探究线段、满足的数量关系，并说明理由．(用含α的式子表示)
【理解应用】
（3）如图3，菱形是某校劳动实践园，经过调研，学校现要在的内部搭建一个三角形的动物养殖区，点E为动物养殖区的入口，满足点E、点F分别在、上，，且，已知菱形的边长为50米，问入口E建在何处，能使的面积最大，最大面积为多少？
解：（1）∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2），理由如下：
如图，过点B作 于点 O，
∵菱形，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
（3）如图，连接交于点O，过点E作于点H，
由（2）得：，，，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∵菱形，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，有最大值．x

0
1
2

y

4
1
1
4
10

第二次
第一次
A
B
C
D
A



B



C



D