数学：河南省郑州市十校2023-2024学年高二下学期期中联考试卷（解析版）

这是一份数学：河南省郑州市十校2023-2024学年高二下学期期中联考试卷（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1. 已知函数，则自变量x由1变到1.1时，的平均变化率为（ ）
A. 0.21B. C. 2.1D.
【答案】C
【解析】平均变化率.
故选：C.
2. 《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生2》、《熊出没·逆转时空》引爆了贺岁电影市场，三名同学从四部影片中各自任选一部观看，则不同选择方法的总数为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由分步乘法原理可得共有种，
故选：B.
3. 下列求导运算正确的是（ ）
A. ，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】D
【解析】对于A，，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确；
故选：D．
4. 函数在区间上的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，令解得或，
当时，，在单调递增，
当时，，在单调递减，
当时，，在单调递增，
所以在得极大值为，又，
所以函数在区间上最大值为，
故选：D．
5. 若的展开式中的系数为30，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由二项式的展开式的通项为，
则的展开式中为
可得，解得.
故选：A.
6. 2024年元旦假期三天，哈尔滨接待游客300多万人次，神秘的鄂伦春族再次走进世人的眼帘，这些英雄的后代讲述着英雄的故事，让哈尔滨大放异彩．现安排5名鄂伦春小伙去三个不同的景点宣传鄂伦春族的民俗文化，每个景点至少安排1人，每人只能去一个景点，则不同的安排方法共有（ ）
A. 60种B. 90种C. 150种D. 300种
【答案】C
【解析】分两类完成这件事情：
第一类：将5名鄂伦春小伙分为三组，其中两组每组2人，另一组1人，再分配到三个不同的景点，共有种；
第二类：将5名鄂伦春小伙分为三组，其中两组每组1人，另一组3人，再分配到三个不同的景点，共有种，
利用分步加法计数原理得，共有种，
故选：C.
7. 已知，则（ ）
A. 31B. 32C. 15D. 16
【答案】A
【解析】逆用二项式定理得，
即，所以n=5，所以．
故选:A
8. 已知定义在R上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】设，则，
因为，所以，即，
所以在R上单调递减.
不等式等价于不等式，
即.因为，
所以，
所以.因为在R上单调递减，
所以，解得.
故选:B
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，选对但不全得2分，选错或不选得0分．
9. 对于事件A和事件B，，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若A与B互斥，则
B. 若A与B互斥，则
C. 若，则
D. 若A与B相互独立，则
【答案】BD
【解析】对于A，A与B互斥，则，A错误；
对于B，A与B互斥，则，B正确；
对于C，，则，C错误；
对于D，A与B相互独立，则，D正确.
故选：BD
10. 甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ）
A. 如果甲、乙必须相邻，那么不同的排法有24种
B. 最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种
C. 甲、乙不相邻的排法种数为72种
D. 甲在乙左边的排列的排法有30种
【答案】BC
【解析】对于A，如果甲、乙必须相邻，那么将甲乙捆绑，
不同的排法有种，所以选项A错误；
对于B，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，
则不同的排法分为两类：甲排最左端：种；
乙排最左端：种，
即不同排法共有种，所以选项B正确；
对于C，甲、乙不相邻的排法种数为种，所以选项C正确；
对于D，甲在乙左边的排列的排法有种，所以选项D错误.
故选：BC
11. 为响应校团委发起的“青年大学习”号召，某班组织了有奖知识竞答活动．决赛准备了3道选择题和2道填空题，每位参赛者从5道题中不放回地随机抽取两次，每次抽取1题作答．设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第2次抽到选择题”，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】A选项，决赛准备了3道选择题和2道填空题，每位参赛者从5道题中不放回地随机抽取两次，每次抽取1题作答，故，A正确；
B选项，从5道题中不放回地随机抽取两次，故，B正确；
C选项，，C正确；
D选项，因为，所以，
又，故，D错误
故选：ABC
12. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数存在两个不同的零点
B. 函数既存在极大值又存在极小值
C. 当时，
D 当时，方程由三个实数根
【答案】AB
【解析】对于A，由，得，即，
解得，
因此函数存在两个不同的零点，A正确；
对于B，求导得，
当或时，，
当时，，即函数在上递减，在上递增，
当时，取得极小值，当时，取得极大值，B正确；
对于C，显然，C错误；
对于D，结合A分析可知，当时，方程只有两个实数根，D错误.
故选：AB
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分·
13. ______
【答案】
【解析】，
故答案为：
14. 随机变量X满足，则随机变量X的期望______．
【答案】
【解析】因为，
所以，，；
所以，
所以的分布列为：
所以
故答案为：.
15. “以直代曲”是微积分中的重要思想方法，牛顿曾用这种思想方法求高次方程的根．如图，r是函数的零点，牛顿用“作切线”的方法找到了一串逐步逼近r的实数，，，…，，其中是在处的切线与x轴交点的横坐标，是在处的切线与x轴交点的横坐标，…，依次类推．当足够小时，就可以把的值作为方程的近似解．若，，则方程的近似解______．

【答案】
【解析】由题可得，，则，
所以在处的切线方程为：，
令，解得，即方程的近似解，
故答案为：．
16. 若不等式在时恒成立，则正实数的最大值为______．
【答案】1
【解析】由可得，
所以，
设，
则，
即为，
因为，所以函数在上单调递减，
因为，，所以，，
从而等价于，即，
由于曲线在处的切线方程为：，
所以当且仅当时，在上恒成立，
所以正实数的最大值为1；
故答案为：1
四、解答题：本大题6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 随机变量的分布列如下表，随机变量．
（1）求；
（2）求．
解：（1），
．
（2），
．
18. 某芯片制造企业采用流水线的方式生产芯片．原有生产线生产某型号的芯片需要经过三道工序，这三道工序互不影响．已知三道工序产生不合格产品的概率分别为、、，三道工序均合格的产品成为正品，否则成为次品．
（1）求该企业原有生产线的次品率；
（2）为了提高产量，该企业又引进一条新生产线加工同一型号的芯片，两条生产线生产出的芯片随机混放在一起．已知新生产线的次品率为，且新生产线的产量是原生产线产量的两倍．从混放的芯片中任取一个，计算它是次品的概率．
解：（1）该企业原有生产线的正品率为，
所以该企业原有生产线的次品率为
.
（2）记“任取一个芯片来自原生产线”为事件，“任取一个芯片来自新生产线”为事件，
记“任取一个芯片是次品”为事件，
则，，且，，
所以，
即从混放的芯片中任取一个，它是次品的概率为．
19. 已知曲线．
（1）若在处有极大值，求的值；
（2）若，求过点（2，8）且与曲线相切的直线方程．
解：（1）函数在处有极大值，
令，
解得或，
若，解得，则，
时，时，
可得函数在上单调递增；在上单调递减；在上单调递增．
函数在处有极大值，满足题意．
若，，
时，时，
可得函数在上单调递增；在上单调递减；在上单调递增．
可得处有极小值，舍去，
．
（2）当时，，，
设切点为，则切线斜率为，
则切线方程为，
将点代入，化为，
因式分解为，
解得或，
故切线方程为或．
20. （1）已知函数，若在区间上存在减区间，求a的取值范围；
（2）已知函数，讨论函数的单调性．
解：（1），若函数在区间上存在减区间，
则在上存在有解区间，
即，使得成立，
记，，，
易得，故，
解得，则a的取值范围为；
（2）因为，
，，
当时，令，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减；
当时，令，得或，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
当时，恒成立，
所以在上单调递增；
当时，令，得或，
令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增
综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
21. 新高考的数学试卷第1至第8题为单选题，第9至第12题为多选题.多选题A、B、C、D四个选项中至少有两个选项符合题意，其评分标准如下：全部选对得5分，部分选对得2分，选错或不选得0分.在某次考试中，第11、12两题的难度较大，第11题正确选项为AD，第12题正确选项为ABD.甲､乙两位同学由于考前准备不足，只能对这两道题的选项进行随机选取，每个选项是否被选到是等可能的.
（1）若甲同学每题均随机选取一项，求甲同学两题得分合计为4分的概率；
（2）若甲同学计划每题均随机选取一项，乙同学计划每题均随机选取两项，记甲同学的两题得分为，乙同学的两题得分为，求的期望并判断谁的方案更优.
解：（1）因为甲同学两题得分合计为4分，所以这两道题每道题得2分，
所以甲同学两题得分合计为4分的概率为：；
（2）甲同学的两题得分的可能取值为
所以，
，
，
所以的分布列为：
因此（分），
乙同学第11题可能得分为：，，
，
乙同学第12题可能得分为：，，
，
乙同学的两题得分的可能取值为，
所以，
，
，
，
所以的分布列为：
因此(分)，
因为，所以甲同学的方案更优.
22. 已知函数．
（1）当，时，求证恒成立；
（2）当时，，求整数的最大值．
解：（1）当，时，记，则，
因为在上单调递增，且，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，所以恒成立.
（2）当时，，即，
因为，所以只需，
令，，
令，，
在上是增函数，
，，
根据零点存在定理，，使得，
即，
即，
当时，，即，单调递减，
当时，，即，单调递增，
所以，
故；
又在上单调递增，，
所以，
又，所以．所以整数的最大值是.
0
1