2023-2024学年河南省郑州市十所省级示范性高中高二上学期期中联考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年河南省郑州市十所省级示范性高中高二上学期期中联考数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用空间向量共面的结论，对各选项逐一判断即可得解.
【详解】对于A，，所以共面，故A错误；
对于B，，所以共面，故B错误；
对于C，假设共面，
则存在，使得，
则共面，这与可构成空间的一个基底矛盾，
所以不共面，故C正确；
对于D，，所以共面，故D错误.
故选：C.
2．直线的一个方向向量是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根据直线的斜率先得到直线的一个方向向量，然后根据方向向量均共线，求解出结果.
【详解】因为直线的斜率为，所以直线的一个方向向量为，
又因为与共线，所以的一个方向向量可以是，
故选：A.
3．如图，三棱锥中，，，，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据空间向量的线性运算，可求得答案.
【详解】由题意，，
得，
故选：C．
4．已知方程表示的曲线是椭圆,则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为方程表示的曲线是椭圆，所以，解得且，即实数的取值范围是，故选B.
5．直线，，若，则的值为（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】A
【分析】由直线与直线平行的判断条件求解即可
【详解】因为直线，，且，
所以，解得a＝3，
故选：A．
6．已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）
A．13B．12C．9D．6
【答案】C
【分析】本题通过利用椭圆定义得到，借助基本不等式即可得到答案．
【详解】由题，，则，
所以（当且仅当时，等号成立）．
故选：C．
【点睛】7．若直线l的方程为x-ysinθ+2=0，则直线l的倾角的范围是（ ）
A．[0，]B．[，]C．[，]D．[，）∪（，）
【答案】C
【分析】分，讨论即可
【详解】当时，方程为，倾斜角为
当时，直线的斜率，
所以
即
综上
故选：．
8．在直三棱柱中，分别是的中点，，则与所成角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】建立空间直角坐标系，求直线与的方向向量，利用向量夹角公式求夹角；
【详解】以点为原点，以为轴的正方向建立空间直角坐标系，
设，则，，，，，
，，所以，，
所以，
故选：A.
二、多选题
9．已知空间向量、、，下列命题中不正确的是（ ）
A．若向量、共线，则向量、所在的直线平行
B．若向量、所在的直线为异面直线，则向量、一定不共面
C．若存在不全为的实数、、使得，则、、共面
D．对于空间的任意一个向量，总存在实数、、使得
【答案】ABD
【分析】利用共线向量的定义可判断A选项；利用空间任意两个向量共面可判断B选项；利用共面向量的定义可判断C选项；利用空间向量的基本定理可判断D选项.
【详解】对于A选项，与共线，与所在的直线也可能重合，故A不正确；
对于B选项，根据空间向量的意义知，空间任意两向量、都共面，故B不正确；
对于C选项，实数、不全为，不妨设，由可得，由共面向量定理知、、一定共面，故C正确；
对于D选项，只有当、、不共面时，空间任意一向量才能表示为，故D不正确；
故选：ABD．
10．已知直线：在轴上的截距是轴上截距的2倍，则的值可能是（ ）
A．B．0C．D．
【答案】AC
【分析】依题意可得，分和两种情况讨论即可．
【详解】依题意可得，
当时，直线为，此时横纵截距都等于0，满足题意；
当时，直线在轴上的截距为，在轴上截距，
则，得或（舍去）
综上所述，的值为或．
故选：AC．
11．已知直线与曲线有且仅有1个公共点，则m的取值可能是（ ）
A．B．C．1D．
【答案】ABD
【分析】直线过定点，作出曲线的图象，利用数形结合的思想即可求解.
【详解】曲线的图象如图所示，
直线过定点.
圆心到直线的距离等于半径，即，
解得或，
由图可知时，此时直线与曲线有且仅有1个交点，
故当时，
直线与曲线有且仅有1个公共点.

故选：ABD
12．如图，棱长为的正方体中，，分别为，的中点，则（ ）
A．直线与底面所成的角为B．平面与底面夹角的余弦值为
C．直线与直线的距离为D．直线与平面的距离为
【答案】BCD
【分析】以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法分别求出线面角，面面角，平行线间距离及线面距离.
【详解】
如图所示，以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴，
则，，，，，，
A选项：，平面的法向量，
设直线与底面所成的角为，
则，
直线与底面所成的角不为，故A错误；
B选项：，，
设平面的法向量，则，令，则
设平面与底面的夹角为，
则，
平面与底面夹角的余弦值为，故B正确；
C选项，，
直线与直线的距离为：，故C正确；
D选项，，平面，平面，
又，平面的法向量，
直线与平面的距离为：，故D正确；
故选：BCD.
三、填空题
13．已知点B是点在坐标平面内的射影，则 .
【答案】
【解析】根据空间中点的对称关系得到B点的坐标，利用两点之间的距离公式得到结果．
【详解】∵点B是点在坐标平面内的正射影，
∴B在坐标平面上，横标和纵标与A相同，而竖标为0，
∴B的坐标是，
∴，
故答案为：.
14．已知两条平行直线，则与间的距离为
【答案】/
【分析】将变形为，再根据两平行间的距离公式求解即可.
【详解】解：因为即为，
所以与间的距离
故答案为：
15．圆与圆的公共弦的长为 ．
【答案】
【分析】将两圆方程作差可得出相交弦所在直线的方程，求出圆的圆心到相交弦所在直线的距离，利用勾股定理可求得相交弦长.
【详解】将圆与圆的方程作差可得，
所以，两圆相交弦所在直线的方程为，
圆的圆心为原点，半径为，
原点到直线的距离为，
所以，两圆的公共弦长为.
故答案为：.
四、双空题
16．已知椭圆的左、右焦点分别为，，其离心率.若P是椭圆上任意一点，A是椭圆的右顶点，则的周长为 ，的最大值为 .
【答案】
【分析】由椭圆的离心率公式可求得椭圆a，b，c，再根据椭圆的定义可求得的周长，由向量的数量积的坐标运算表示，由二次函数的性质和椭圆的几何性质可求得的最大值.
【详解】解：因为椭圆的离心率，所以，又，即，所以，.
所以，，，，
设椭圆上的一点，则，
所以当时，取得最大值，
故答案为：8；.
五、解答题
17．求适合下列条件的椭圆标准方程：
（1）与椭圆有相同的焦点，且经过点；
（2）经过两点.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）利用已知椭圆可得焦点的坐标，结合椭圆的定义可求，从而可得椭圆标准方程：
（2）利用待定系数法，设出方程，代入两点的坐标，解方程可求.
【详解】（1）椭圆的焦点坐标为，
∵椭圆过点，
∴，
∴，
∴椭圆的标准方程为.
（2）设所求的椭圆方程为．
把两点代入，
得：，解得，
∴椭圆方程为．
【点睛】本题主要考查椭圆方程的求解，待定系数法和定义法是常用的求解方法，侧重考查数学运算的核心素养.
18．经过椭圆的左焦点F1作倾斜角为60°的直线l，直线l与椭圆相交于A，B两点，求AB的长.
【答案】
【解析】求出椭圆的左焦点，根据点斜式设出方程，联立直线方程与椭圆方程消去，利用根与系数的关系和弦长公式即可算出弦的长．
【详解】椭圆方程为，
焦点分别为，，
直线过左焦点倾斜角为，
直线的方程为，
将方程与椭圆方程消去，得
设，，，，可得
，
因此，．
故答案为：
【点睛】本题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查弦长的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.
19．一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线?
【答案】；椭圆.
【分析】利用动圆分别与两圆的相外切和内切的位置关系，可得动圆圆心与已知两圆圆心间的关系，再根据它们的数量关系结合圆锥曲线的定义，即可判断轨迹为椭圆，并求出轨迹方程．
【详解】设动圆圆心为，半径为，
设圆和圆的圆心分别为、，
将圆的方程分别配方得：圆，圆
当动圆与圆相外切时，有 …①
当动圆与圆相内切时，有…②
将①②两式相加，得，
∴动圆圆心到点和的距离和是常数，
所以点的轨迹是焦点为点、，长轴长等于的椭圆．
设该椭圆的长轴为，短轴为，焦距为；
∴，
∴
∴
∴动圆圆心轨迹方程为，轨迹为椭圆．
【点睛】本题以两圆的位置关系为载体，考查椭圆的定义，考查轨迹方程，熟练掌握椭圆的定义是解题关键．
20．已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为．求：
(1)顶点的坐标；
(2)直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由上的高所在直线的斜率求出直线边所在的直线的斜率，得到直线边所在的直线方程，联立所在直线方程，求出交点；
（2）设出，表达出，把的坐标代入，把的坐标代入，得到方程组，求出，从而求出的方程.
【详解】（1）由题意可得边上的高所在直线的斜率，
所以直线边所在的直线的斜率为，
则设它的方程为，代入，可得，
即，
点在中线所在直线方程为上，
所以联立方程组，解得，
故点坐标为
（2）设，则，
把的坐标代入直线方程为，把点的坐标代入，
可得，解得，故点，
故直线斜率为设直线的方程为，
代入，可得，整理得
21．已知圆，直线.
(1)求证：直线恒过定点；
(2)直线被圆截得的弦何时最长？何时最短？并求截得的弦长最短时的值以及最短弦长.
【答案】(1)证明见解析
(2)当过圆心时弦长最长；当的方程为时最短；；最短弦长为
【分析】（1）将直线的方程可化为，若过定点，则与m无关，理解可得，求解可得定点坐标；（2）根据圆的性质可得：当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长，当直线时，直线被圆截得的弦长最短，据此运算求解.
【详解】（1）直线的方程可化为
联立，解得
故直线恒过定点
（2）当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长
设，当直线时，直线被圆截得的弦长最短
则直线的斜率为
由得直线的斜率为，解得
此时的方程为，即
圆心到直线的距离为
∴最短弦长
故当过圆心时弦长最长；当的方程为时最短；；最短弦长为
22．如图，在三棱柱中，，，，在底面的射影为的中点，是的中点．
(1)证明：平面；
(2)求二面角的平面角的正切值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取的中点，连接，，根据几何体的性质及线面垂直的性质得出，，利用线面垂直的判定定理即可得证；
（2）以中点为坐标原点，以、、所在直线分别为、、轴建系，利用向量法即可求出答案．
【详解】（1）证明：取的中点，连接，，
，是的中点．
，
，，
因为在底面的射影为的中点，
所以面，
又面面，所以面，
又面，所以，
因为，
所以平面；
（2）解：如图，以为坐标原点，以、、所在直线分别为、、轴建系，
则，
则，，
，，
设平面的法向量为，
则，得，
取，得，
因为面，
所以即为平面的一个法向量，
则，
所以二面角的平面角的余弦值为，正弦值为，
故二面角的平面角的正切值．