2023全国真题分类卷 第一部分 基础知识分点练 第四讲方程(组)及其应用

这是一份2023全国真题分类卷 第一部分 基础知识分点练 第四讲方程(组)及其应用，共10页。试卷主要包含了 方程 3x＝2x＋7的解是， 解方程组等内容，欢迎下载使用。
命题点1 等式的基本性质
1. (2022青海省卷)根据等式的性质，下列各式变形正确的是( )
A. 若 eq \f(a,c) ＝ eq \f(b,c) ，则a＝b
B. 若ac＝bc，则a＝b
C. 若a2＝b2，则a＝b
D. 若－ eq \f(1,3) x＝6，则x＝－2
2. (2021安徽)设a，b，c为互不相等的实数，且b＝ eq \f(4,5) a＋ eq \f(1,5) c，则下列结论正确的是( )
A. a＞b＞c B. c＞b＞a
C. a－b＝4(b－c) D. a－c＝5(a－b)
命题点2 一次方程(组)及其解法
类型一 一次方程的解法及其解的应用
3. (2022百色)方程 3x＝2x＋7的解是 ( )
A. x＝4 B. x＝－4
C. x＝7 D. x＝－7
4. (2021重庆A卷)若关于x的方程 eq \f(4－x,2) ＋a＝4的解是x＝2，则a的值为________．
类型二 一次方程组的解法及其解的应用
5. (2022株洲)对于二元一次方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝x－1，①,x＋2y＝7，②)) 将①式代入②式，消去y可以得到( )
A. x＋2x－1＝7 B. x＋2x－2＝7
C. x＋x－1＝7 D. x＋2x＋2＝7
6. (2022随州)已知二元一次方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋2y＝4,2x＋y＝5)) ，则 x－y的值为______．
7. (2020绍兴)若关于x，y的二元一次方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝2，,A＝0)) 的解为 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1，)) 则多项式A可以是______(写出一个即可).
8. (2022山西)解方程组： eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－y＝3，①,x＋y＝6.②))
9. (2021扬州)已知方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋y＝7,x＝y－1)) 的解也是关于x、y的方程ax＋y＝4的一个解，求a的值．
命题点3 一次方程(组)的实际应用
类型一 购买、销售问题
10. (2022杭州)某体育比赛的门票分A票和B票两种，A票每张x元，B票每张y元．已知10张A票的总价与19张B票的总价相差320元，则( )
A. eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(10x,19y))) ＝320 B. eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(10y,19x))) ＝320
C. |10x－19y|＝320 D. |19x－10y|＝320
11. (2022泰安)泰安某茶叶店经销泰山女儿茶，第一次购进了A种茶30盒，B种茶20盒，共花费6000元；第二次购进时，两种茶每盒的价格都提高了20%，该店又购进了A种茶20盒，B种茶15盒，共花费5100元．求第一次购进的A，B两种茶每盒的价格．
类型二 分配问题
12. (新趋势)·数学文化 (2022宿迁)我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果一间客房住9人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x间，房客y人，则列出关于x、y的二元一次方程组正确的是( )
A. eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(7x－7＝y,9（x－1）＝y)) B. eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(7x＋7＝y,9（x－1）＝y)) C. eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(7x＋7＝y,9x－1＝y)) D. eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(7x－7＝y,9x－1＝y))
类型三 工程问题
13. (2021桂林)为了美化环境，建设生态桂林，某社区需要进行绿化改造．现有甲、乙两个绿化工程队可供选择，已知甲队每天能完成的绿化改造面积比乙队多200平方米，甲队与乙队合作一天能完成 800平方米的绿化改造面积．
(1)甲、乙两工程队每天各能完成多少平方米的绿化改造面积？
(2)该社区需要进行绿化改造的区域共有12000平方米，甲队每天的施工费用为600元，乙队每天的施工费用为400元．比较以下三种方案：
①甲队单独完成；②乙队单独完成；③甲、乙两队全程合作完成．
哪一种方案的施工费用最少？
类型四 行程问题
14. (2022张家界)中国“最美扶贫高铁”之一的“张吉怀高铁”开通后，张家界到怀化的运行时间由原来的3.5小时缩短至1小时，运行里程缩短了40千米．已知高铁的平均速度比普通列车的平均速度每小时快200千米，求高铁的平均速度．
类型五 阶梯费用问题
15. (2021贺州)为了提倡节约用水，某市制定了两种收费方式：当每户每月用水量不超过12 m3时，按一级单价收费；当每户每月用水量超过12 m3时，超过部分按二级单价收费．已知李阿姨家五月份用水量为10 m3，缴纳水费32元．七月份因孩子放假在家，用水量为14 m3，缴纳水费51.4元．
(1)问该市一级水费，二级水费的单价分别是多少？
(2)某户某月缴纳水费为64.4元时，用水量为多少？
类型六 比赛积分问题
16. (2022嘉兴)“市长杯”青少年校园足球联赛的比赛规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某校足球队在第一轮比赛中赛了9场，只负了2场，共得17分．那么该队胜了几场，平了几场？设该队胜了x场，平了y场，根据题意可列方程组为( )
A. eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝7,3x＋y＝17)) B. eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝9,3x＋y＝17)) C. eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝7,x＋3y＝17)) D. eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝9,x＋3y＝17))
其他类型
17. (新趋势)·跨学科背景 (2022河北)“曹冲称象”是流传很广的故事，如图．按照他的方法：先将象牵到大船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出．然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好到达标记位置．如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记位置．已知搬运工体重均为120斤，设每块条形石的重量是x斤，则正确的是( )
第17题图
A. 依题意3×120＝x－120
B. 依题意20x＋3×120＝(20＋1)x＋120
C. 该象的重量是5040斤
D. 每块条形石的重量是260斤
命题点4 分式方程及其解法
类型一 分式方程的解法
18. (2022海南)分式方程 eq \f(2,x－1) －1＝0的解是( )
A. x＝1 B. x＝－2 C. x＝3 D. x＝－3
19. (新考法)·结合新定义考查解分式方程 (2022宁波)定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，a⊗b＝ eq \f(1,a) ＋ eq \f(1,b) .若(x＋1)⊗x＝ eq \f(2x＋1,x) ，则x的值为________．
20. (2022贺州)解方程： eq \f(3－x,x－4) ＝ eq \f(1,4－x) －2.
21. (2022青海省卷)解方程： eq \f(x,x－2) －1＝ eq \f(4,x2－4x＋4) .
类型二 分式方程解的应用
22. (2022遂宁)若关于x的方程 eq \f(2,x) ＝ eq \f(m,2x＋1) 无解，则m的值为( )
A. 0 B. 4或6 C. 6 D. 0或4
23. (2022德阳)如果关于x的方程 eq \f(2x＋m,x－1) ＝1的解是正数，那么m的取值范围是( )
A. m＞－1 B. m＞－1且 m≠0
C. m＜－1 D. m＜－1且 m≠－2
24. (2021贺州)若关于x的分式方程 eq \f(m＋4,x－3) ＝ eq \f(3x,x－3) ＋2有增根，则m的值为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
命题点5 分式方程的实际应用
类型一 工程问题
25. (2022宜宾)某家具厂要在开学前赶制540套桌凳，为了尽快完成任务，厂领导合理调配，加强第一线人力，使每天完成的桌凳比原计划多2套，结果提前3天完成任务．问原计划每天完成多少套桌凳？设原计划每天完成x套桌凳，则所列方程正确的是( )
A. eq \f(540,x－2) － eq \f(540,x) ＝3 B. eq \f(540,x＋2) － eq \f(540,x) ＝3
C. eq \f(540,x) － eq \f(540,x＋2) ＝3 D. eq \f(540,x) － eq \f(540,x－2) ＝3
26. (2022重庆B卷)为保障蔬菜基地种植用水，需要修建灌溉水渠．
(1)计划修建灌溉水渠600米，甲施工队施工5天后，增加施工人员，每天比原来多修建20米，再施工2天完成任务．求甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠多少米？
(2)因基地面积扩大，现还需修建另一条灌溉水渠1800米，为早日完成任务，决定派乙施工队与甲施工队同时开工合作修建这条水渠，直至完工．甲施工队按(1)中增加人员后的修建速度进行施工．乙施工队修建360米后，通过技术更新，每天比原来多修建20%.灌溉水渠完工时，两施工队修建的长度恰好相同．求乙施工队原来每天修建灌溉水渠多少米？
类型二 行程问题
27. (2022常德)小强的爸爸平常开车从家中到小强奶奶家，匀速行驶需要4小时. 某天，他们以平常的速度行驶了 eq \f(1,2) 的路程时遇到了暴雨，立即将车速减少了20千米/小时，到达奶奶家时共用了5小时，问小强家到他奶奶家的距离是多少千米？
类型三 购买、销售问题
28. (2022丽水)某校购买了一批篮球和足球．已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元．根据题意可列方程 eq \f(5000,2x) ＝ eq \f(4000,x) －30，则方程中x表示( )
A. 足球的单价 B. 篮球的单价
C. 足球的数量 D. 篮球的数量
29. (2021江西)甲，乙两人去市场采购相同价格的同一种商品，甲用2400元购买的商品数量比乙用3000元购买的商品数量少10件．
(1)求这种商品的单价；
(2)甲，乙两人第二次再去采购该商品时，单价比上次少了20元/件，甲购买商品的总价与上次相同，乙购买商品的数量与上次相同，则甲两次购买这种商品的平均单价是________元/件，乙两次购买这种商品的平均单价是________元/件；
(3)生活中，无论油价如何变化，有人总按相同金额加油，有人总按相同油量加油，结合(2)的计算结果， 建议按相同________加油更合算(填“金额”或“油量”).
其他类型
30. (2022山西)2022年我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势．经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少0.6元．若充电费和加油费均为200元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费．
命题点6 一元二次方程及其解法
类型一 解一元二次方程
31. (2022甘肃省卷)用配方法解方程x2－2x＝2时，配方后正确的是( )
A. (x＋1)2＝3 B. (x＋1)2＝6
C. (x－1)2＝3 D. (x－1)2＝6
32. (2022云南)方程2x2＋1＝3x的解为________．
33. (新趋势)·条件开放性问题 (2022贵阳)在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法，他们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程．
①x2＋2x－1＝0；②x2－3x＝0；③x2－4x＝4；④x2－4＝0.
类型二 一元二次方程解的应用
34. (2022益阳)若x＝－1是方程x2＋x＋m＝0的一个根，则此方程的另一个根是( )
A. －1 B. 0 C. 1 D. 2
35. (2022连云港)若关于x的一元二次方程mx2＋nx－1＝0(m≠0)的一个解是x＝1，则m＋n的值是__________．
命题点7 一元二次方程根的判别式
36. (2022河南)一元二次方程x2＋x－1＝0的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 只有一个实数根
37. (2022攀枝花)若关于x的方程x2－x－m＝0有实数根，则实数m的取值范围是( )
A. m＜ eq \f(1,4) B. m≤ eq \f(1,4) C. m≥－ eq \f(1,4) D. m＞－ eq \f(1,4)
38. (2022江西)关于x的方程x2＋2x＋k＝0有两个相等的实数根，则k的值为________．
39. (新趋势)·条件开放性问题 (2022扬州)请填写一个常数，使得关于x的方程x2－2x＋________＝0有两个不相等的实数根．
命题点8 一元二次方程根与系数的关系[2022版课标调整为要求内容]
40. (2022成都)若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程x2－6x＋4＝0的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是________.
41. (2022南充)已知关于x的一元二次方程x2＋3x＋k－2＝0有实数根．
(1)求实数k的取值范围；
(2)设方程的两个实数根分别为x1，x2，若(x1＋1)(x2＋1)＝－1，求k的值．
命题点9 一元二次方程的实际应用
类型一 变化率问题
42. (2022新疆)临近春节的三个月，某干果店迎来了销售旺季，第一个月的销售额为8万元，第三个月的销售额为11.52万元，设这两个月销售额的月平均增长率为x，则根据题意，可列方程为( )
A. 8(1＋2x)＝11.52 B. 2×8(1＋x)＝11.52
C. 8(1＋x)2＝11.52 D. 8(1＋x2)＝11.52
43. (2022宜昌)某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大. 该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨．
(1)求4月份再生纸的产量；
(2)若4月份每吨再生纸的利润为 1000元，5月份再生纸产量比上月增加 m%.5月份每吨再生纸的利润比上月增加 eq \f(m,2) %，则5月份再生纸项目月利润达到66万元. 求 m的值；
(3)若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%.求6月份每吨再生纸的利润是多少元？
类型二 图形面积问题
44. (2022青海省卷)如图，小明同学用一张长11 cm，宽7 cm的矩形纸板制作一个底面积为21 cm2的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可(损耗不计).设剪去的正方形边长为x cm，则可列出关于x的方程为________．
第44题图
类型三 每每问题
45. (2021菏泽)列方程(组)解应用题
端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：
小王：该水果的进价是每千克22元；
小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克．
根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？