2024年九年级中考数学模拟试卷临考安心卷（江苏专用）

这是一份2024年九年级中考数学模拟试卷临考安心卷（江苏专用），共27页。试卷主要包含了|﹣2|＝，下列运算正确的是等内容，欢迎下载使用。
1．|﹣2|＝（ ）
A．−12B．﹣2C．12D．2
2．下列运算正确的是（ ）
A．x4+x2＝x6B．（x2）3＝x6
C．x2•x3＝x6D．（x﹣y）2＝x2﹣y2
3．在下列图案中，属于中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知抛掷一枚均匀硬币正面向上的概率是0.5，则下列说法正确的是（ ）
A．通过抛一枚硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的
B．连续抛一枚硬币2次必有1次正面向上
C．大量重复抛一枚硬币，每100次正面向上出现50次
D．连续抛一枚硬币10次不可能都正面向上
5．已知圆锥的底面半径为3，母线长为12，那么圆锥侧面展开图所成扇形的圆心角为（ ）
A．180°B．135°C．120°D．90°
6．如图，将四边形纸片ABCD沿MN折叠，使点A落在四边形CDMN外点A′的位置，点B落在四边形CDMN内点B′的位置，若∠D＝90°，∠2﹣∠1＝36°，则∠C等于（ ）
A．36°B．54°C．60°D．72°
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AB上，以点O为圆心，OA长为半径作半圆O，与边BC相切于点D，与边AB的另一个交点为E，与边AC相交于点F，连接AD．若BE＝AO＝2，则图中阴影部分的面积为（ ）试卷源自 每日更新，更低价下载，欢迎访问。
A．23−2π3B．2π3C．332−2π3D．2π3−3
8．如图，正方形ABCD的顶点C、D在函数y=kx（k≠0）的图象上，已知点A的坐标为（−72，3），点C的横坐标为4，则k的值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．给出一组数据11、8、10、9、12，则这组数组的极差是 ．
10．若实数m，n满足|m﹣7|+|3﹣n|2＝0，且m，n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是 ．
11．若方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解是x=40y=−60，则方程组2a1x+4b1y=5c12a2x+4b2y=5c2的解是 ．
12．如图，点A是反比例函数y=kx(x＞0)的图象上一点，过点A作y轴的垂线交y轴于点B，若点C是x轴上一点，S△ABC＝1，则k的值为 ．
13．如图，在△ABP中，AP=22，BP＝4，分别以AP、AB为边向外作正方形APMN和正方形ABCD，连接DP，当DP取最大值时，AB的长是 ．
14．若函数y＝x2﹣2x+m的图象与坐标轴有三个交点，则m的取值范围是 ．
15．如图，四边形ABCD是⊙O内接四边形，AB=AD，∠BCD＝120°，连接AC，DE⊥AC于点E，连接BE，若∠BED＝150°，AC=37，则DE的长为 ．
16．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，B，C均在格点上，⊙O是△ABC的内切圆．
（Ⅰ）线段AC的长等于 ；（Ⅱ）⊙O的半径的长等于 ；
（Ⅲ）P是⊙O上的动点，当PB+45PC取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） ．
三．解答题（本大题共11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（6分）计算：−12+(π−3.14)0−27−(−12)−2+|−33|．
18．（6分）解不等式组：3(x−1)≥2x−5，①2x＜x+32，②并写出它的所有整数解．
19．（8分）（1）计算：(mm−1−mm+1)⋅m2−12m；
（2）解分式方程：2x+3x−2−2=x−12−x．
20．（8分）新一轮巴以冲突持续六个多月，反对美国政府巴以政策的抗议活动在美国高校校园时有发生，哥伦比亚大学上百名学生18日被逮捕，引发全美更多学生反战抗议活动．众议长约翰逊24日前往哥伦比亚大学，在图书馆台阶上发表讲话．他给抗议学生贴上了“反犹”标签，认为他们是“暴民”、“激进分子”、“煽动者”．小希为了调查美国大学生对美国政府在“巴以冲突”中的政策的满意度，随机抽取了某大学部分大学生作问卷调查：用“A”表示“非常不满意”，“B”表示“不满意”，“C”表示“可以接受”，“D”表示“相当满意”，如图是小希根据问卷调查统计资料绘制的两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息解答以下问题：
（1）本次问卷调查，共调查了 人；图（1）中的“A”所对的圆心角是 °；
（2）将图（2）中“B”部分的图形补充完整．
（3）如果该大学有学生2000人，请你估计该大学学生对政府在“巴以冲突”中的政策感到“不满意”和“非常不满意”的共约有多少人？
21．（8分）已知关于x的分式方程2x−3+mxx2−9=5x+3．
（1）若这个方程的解是负数，求m取值范围；
（2）若这个方程无解，则m＝ .（直接写出答案）
22．（10分）一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点P处测得正前方水平地面上某建筑物AB的顶端A的俯角为30°，面向AB方向继续飞行5米到达点Q，测得该建筑物底端B的俯角为45°，已知建筑物AB的高为3米，求无人机飞行的高度（结果精确到1米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732）．
23．（10分）在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝23，点E在边BC上，将射线AE绕点A逆时针旋转90°交CD延长线于点G，以线段AE，AG为邻边作矩形AEFG．
（1）如图1，连接BD，求∠BDC的度数和DGBE的值；
（2）如图2，当点F在射线BD上时，求线段BE的长．
24．（10分）如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为16m，宽为6m，抛物线的最高点C离地面AA1的距离为8m．
（1）按如图所示的直角坐标系，求表示该抛物线的函数表达式．
（2）一大型汽车装载某大型设备后，高为7m，宽为4m，如果该隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？
25．（10分）某商店决定购进A，B两种纪念品进行销售．已知每件A种纪念品比每件B种纪念品的进价高30元．用1000元购进A种纪念品的数量和用400元购进B种纪念品的数量相同．
（1）求A，B两种纪念品每件的进价分别是多少元？
（2）该商场通过市场调查，整理出A型纪念品的售价与数量的关系如表．
①当x为何值时，售出A纪念品所获利润最大，最大利润为多少？
②该商场购进A，B型纪念品共200件，其中A型纪念品的件数少于B型纪念品的件数，但不少于60件．若B型纪念品的售价为30元/件时，求商场将A，B型纪念品均全部售出后获得的最大利润．
26．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y=−33(x2+bx+c)经过点A（﹣3，0），B（2，0），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P是该抛物线上的一个动点，
①若△PCB中有一个内角是∠OCB的3倍，求点P坐标．
②若抛物线上的点P在第二象限且直线PB与y轴和直线AC分别交于点D和点E，若△BCD，△CDE，△CEP的面积分别为S1，S2，S3，且满足S1+S3S2=2，求点P的横坐标．
27．（14分）如图①，在正方形ABCD中，点N、M分别在边BC、CD上，连结AM、AN、MN．∠MAN＝45°，将△AMD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE．易证：△ANM≌△ANE，从而得DM+BN＝MN．
【实践探究】
（1）在图①条件下，若CN＝6，CM＝8，则正方形ABCD的边长是 ．
（2）如图②，点M、N分别在边CD、AB上，且BN＝DM．点E、F分别在BM、DN上，∠EAF＝45°，连接EF，猜想三条线段EF、BE、DF之间满足的数量关系，并说明理由．
【拓展应用】
（3）如图③，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点M、N分别在边DC、BC上，连结AM，AN，已知∠MAN＝45°，BN＝2，求DM的长．
2024年中考数学模拟试卷临考安心卷（江苏专用）
参考答案与试题解析
一．选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）
1．|﹣2|＝（ ）
A．−12B．﹣2C．12D．2
【解题有方】负数的绝对值是它的相反数，由此即可得到答案．
【解答有法】解：|﹣2|＝2．故选：D．
2．下列运算正确的是（ ）
A．x4+x2＝x6B．（x2）3＝x6
C．x2•x3＝x6D．（x﹣y）2＝x2﹣y2
【解题有方】根据完全平方公式，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方法则进行计算，逐一判断即可解答．
【解答有法】解：A、x4与x2不能合并，故A不符合题意；
B、（x2）3＝x6，故B符合题意；
C、x2•x3＝x5，故C不符合题意；
D、（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，故D不符合题意；故选：B．
3．在下列图案中，属于中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【解题有方】根据中心对称图形的定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心，即可判断．
【解答有法】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；
B、不是中心对称图形，不符合题意；C、是中心对称图形，符合题意；
D、不是中心对称图形，不符合题意；故选：C．
4．已知抛掷一枚均匀硬币正面向上的概率是0.5，则下列说法正确的是（ ）
A．通过抛一枚硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的
B．连续抛一枚硬币2次必有1次正面向上
C．大量重复抛一枚硬币，每100次正面向上出现50次
D．连续抛一枚硬币10次不可能都正面向上
【解题有方】概率是反映事件发生机会的大小，只是表示发生机会的大小，机会大也不一定会发生；联系实际，分析每种事件的可能性即可得解．
【解答有法】解：A、通过抛一枚硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的，因为正反面朝上的概率是相等的，故A选项正确；
B、连续抛一枚硬币2次，可能2次都是正面，可能都是反面，也可能1次正面和1次反面，故B项错误；
C、大量重复抛一枚硬币，每100次正面向上不一定出现50次，故C项错误；
D、连续抛一枚硬币10次可能都正面朝上，故D项错误；故选：A．
5．已知圆锥的底面半径为3，母线长为12，那么圆锥侧面展开图所成扇形的圆心角为（ ）
A．180°B．135°C．120°D．90°
【解题有方】设所给圆锥侧面展开图的圆心角是n°，根据圆锥底面圆周长＝展开图扇形的弧长，构建方程求解即可．
【解答有法】解：设侧面展开图的圆心角是n°，则有n×π×12180=2×π×3，
解得n＝90，∴圆锥侧面展开图的圆心角是90°．故选：D．
6．如图，将四边形纸片ABCD沿MN折叠，使点A落在四边形CDMN外点A′的位置，点B落在四边形CDMN内点B′的位置，若∠D＝90°，∠2﹣∠1＝36°，则∠C等于（ ）
A．36°B．54°C．60°D．72°
【解题有方】延长NB′交AD于点E，利用四边形的内角和定理得到：∠C＝270°﹣（∠A+∠B），利用四边形的内角和定理，折叠的性质，三角形的内角和定理，等量代换的性质求得∠A+∠B的值，则结论可求．
【解答有法】解：延长NB′交AD于点E，设A′B′交AD于点F，如图，
∵四边形的内角和为360°，∴∠C+∠D+∠2+∠B′ED＝360°，
∠A+∠B+∠D+∠C＝360°，∴∠2+∠B′ED＝∠A+∠B．
由折叠的性质可得：∠A+∠B＝∠A′+∠A′B′N．
∵∠D＝90°，∴∠C＝270°﹣（∠A+∠B）＝270°﹣（∠2+∠B′ED）．
在△A′FM和△EFB′中，∵∠A′FM＝∠EFB′，∴∠1+∠A′＝∠FEB′+∠FB′E，
∵∠FEB′＝180°﹣∠B′ED，∠FB′E＝180°﹣∠A′B′N，
∴∠1+∠A′＝360°﹣∠B′ED﹣∠A′B′N．
∴∠A′+∠A′B′N＝360°﹣∠B′ED﹣∠1，∴∠A+∠B＝360°﹣∠B′ED﹣∠1，
∵∠2﹣∠1＝36°，∴∠A+∠B＝360°﹣∠B′ED﹣（∠2﹣36°），
∴∠A+∠B＝360°﹣（∠B′ED+∠2）+36°，
∴2（∠A+∠B）＝396°，∴∠A+∠B＝198°，
∴∠C＝270°﹣198°＝72°．故选：D．
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AB上，以点O为圆心，OA长为半径作半圆O，与边BC相切于点D，与边AB的另一个交点为E，与边AC相交于点F，连接AD．若BE＝AO＝2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．23−2π3B．2π3C．332−2π3D．2π3−3
【解题有方】阴影部分的面积可理解为S阴影＝S△ABC﹣S△OBD﹣S△AOF﹣S扇形DOF，算出各边的长，代入面积公式即可求解．
【解答有法】解：如图，连接OF、OD．
由题意可知：S阴影＝S△ABC﹣S△OBD﹣S△AOF﹣S扇形DOF，∵AO＝BE＝2，
∴DO＝2，BO＝4，∵圆O与边BC相切于点D，∴OD⊥BD，
∴△BOD为直角三角形，∴BD=OB2−OD2=42−22=23，
∴S△BOD=12×2×23=23，根据Rt△BOD的三边关系，可知：∠BOD＝60°，∠B＝30°，
∴∠CAB＝60°，∴AC=12AB＝3，BC＝33，∴△AOF和△DOF均为等边三角形，
∴S△AOF=12×2×3=3，∵S扇形DOF=60π×22360=2π3，
∴S阴影=12×3×33−23−3−2π3=332−2π3．故选C．
8．如图，正方形ABCD的顶点C、D在函数y=kx（k≠0）的图象上，已知点A的坐标为（−72，3），点C的横坐标为4，则k的值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【解题有方】连接AC，BD交于点J．设C（4，m）．利用旋转的性质求出点D的坐标，利用C，D都在y=kx的图象上，构建方程即可解决问题．
【解答有法】解：连接AC，BD交于点J．设C（4，m）．
∵四边形ABCD是正方形，∴AJ＝JC，∵A（−72，3），C（4，m），
∴J（14，3+m2），∵点D是由点A绕点J顺时针旋转90°得到D，可得D（7−2m4，2m+214），
∵C，D都在y=kx的图象上，
∴4m=7−2m4•2m+214，解得m=32或−492，∴C（4，32），∴k＝6，
补充方法：（可以利用构造全等三角形的方法求出C，D坐标，再利用待定系数法解决问题）
故选：B．
二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．给出一组数据11、8、10、9、12，则这组数组的极差是 4 ．
【解题有方】根据极差的定义，用这组数据中的最大值减去最小值即可．
【解答有法】解：由题意可知，极差为12﹣8＝4．故答案为4．
10．若实数m，n满足|m﹣7|+|3﹣n|2＝0，且m，n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是 17 ．
【解题有方】根据偶次方，算术平方根的非负性可得：m﹣7＝0，3﹣n＝0，从而可得：m＝7，n＝3，然后分两种情况：当等腰三角形的腰长为7，底边长为3时；当等腰三角形的腰长为3，底边长为7时；从而进行计算即可解答．
【解答有法】解：∵|m﹣7|+|3﹣n|2＝0，∴m﹣7＝0，3﹣n＝0，
解得：m＝7，n＝3，分两种情况：
当等腰三角形的腰长为7，底边长为3时，∴△ABC的周长＝7+7+3＝17；
当等腰三角形的腰长为3，底边长为7时，
∵3+3＝6＜7，∴不能组成三角形；
综上所述：△ABC的周长是17，故答案为：17．
11．若方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解是x=40y=−60，则方程组2a1x+4b1y=5c12a2x+4b2y=5c2的解是 x=100y=−75 ．
【解题有方】首先将方程组2a1x+4b1y=5c12a2x+4b2y=5c2化为a1(25x)+b1(45y)=c1a2(25x)+b2(45y)=c2，然后根据方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解是x=40y=−60，求出方程组2a1x+4b1y=5c12a2x+4b2y=5c2的解即可．
【解答有法】解：将方程组2a1x+4b1y=5c12a2x+4b2y=5c2每个方程的左右两边同时除以5，
可得a1(25x)+b1(45y)=c1a2(25x)+b2(45y)=c2，∵a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解是x=40y=−60，
∴25x=4045y=−60，解得x=100y=−75，∴方程组2a1x+4b1y=5c12a2x+4b2y=5c2的解是x=100y=−75．
故答案为：x=100y=−75．
12．如图，点A是反比例函数y=kx(x＞0)的图象上一点，过点A作y轴的垂线交y轴于点B，若点C是x轴上一点，S△ABC＝1，则k的值为 2 ．
【解题有方】根据已知条件得到三角形ABO的面积=12AB•OB，由于三角形ABC的面积=12AB•OB＝1，得到|k|＝2，即可得到结论．
【解答有法】解：∵AB⊥y轴，∴AB∥CO，∴三角形AOB的面积=12AB•OB，
∵S三角形ABC=12AB•OB＝1，∴|k|＝2，∵k＞0，∴k＝2．
故答案为：2．
13．如图，在△ABP中，AP=22，BP＝4，分别以AP、AB为边向外作正方形APMN和正方形ABCD，连接DP，当DP取最大值时，AB的长是 210 ．
【解题有方】如图①，连接BN、NP，证明△ADP≌△ABN（SAS），则当BN最大时，DP最大，此时B、P、N三点共线，如图②，过A作AH⊥BN于H，则∠APH＝45°，PH=AH=AP2=2，HB=PH+PB=6，由勾股定理AB=HB2+AH2=210，计算求解即可．
【解答有法】解：如图①，连接BN、NP，
∵四边形APMN和四边形ABCD均是正方形，
∴AD＝AB，AP＝AN，∠DAB＝90°＝∠PAN，∴∠DAP＝∠BAN，
∴△ADP≌△ABN（SAS），当BN最大时，DP最大，此时B、P、N三点共线，
如图②，过A作AH⊥BN于H，
∴∠APH＝45°，
∴PH=AH=AP2=2，HB=PH+PB=6，
由勾股定理得，AB=HB2+AH2=210，故答案为：210．
14．若函数y＝x2﹣2x+m的图象与坐标轴有三个交点，则m的取值范围是 m＜1且m≠0 ．
【解题有方】根据抛物线与坐标轴有三个交点说明抛物线与x轴有两个交点，与y轴有一个交点，即可求解．
【解答有法】解：∵函数y＝x2﹣2x+m的图象与坐标轴有三个交点，
∴抛物线与x轴有两个交点，与y轴有一个交点，
∴Δ＞0，m≠0，即4﹣4m＞0，解得m＜1．故答案为m＜1且m≠0．
15．如图，四边形ABCD是⊙O内接四边形，AB=AD，∠BCD＝120°，连接AC，DE⊥AC于点E，连接BE，若∠BED＝150°，AC=37，则DE的长为 21 ．
【解题有方】连接BD，由AB=AD，得到AB＝AD，求得△ABD是等边三角形，根据等边三角形的性质得到AB＝BD，∠ABD＝∠ADB＝60°，求得∠ACD＝∠ABD＝60°，推出CD＝2CE，根据全等三角形的性质得到AE＝CD，求得AE＝2CE，得到CD＝AE＝27，根据勾股定理即可得到结论．
【解答有法】解：连接BD，∵AB=AD，∴AB＝AD，
∵∠BCD＝120°，∴∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形，
∴AB＝BD，∠ABD＝∠ADB＝60°，∴∠ACD＝∠ABD＝60°，∴∠CDE＝30°，
∴CD＝2CE，∵DE⊥AC，∴∠AED＝∠CED＝90°，
∵∠BED＝150°，∴∠AEB＝120°，
在△ABE与△DBC中，∠BAE=∠BDC∠AEB=∠DCB=120°AB=DB，∴△ABE≌△DBC（AAS），
∴AE＝CD，∴AE＝2CE，∵AC=37，∴AE＝27，CE=7，
∴CD＝AE＝27，∴DE=CD2−CE2=21，
故答案为：21．
16．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，B，C均在格点上，⊙O是△ABC的内切圆．
（Ⅰ）线段AC的长等于 5 ；
（Ⅱ）⊙O的半径的长等于 43 ；
（Ⅲ）P是⊙O上的动点，当PB+45PC取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） 连接OP，OC，延长OC交AB于点H，在OC上取一点K使得OK=1615，连接BK交⊙O于点P ．
【解题有方】（Ⅰ）利用勾股定理求解；
（Ⅱ）利用面积法求解；
（Ⅲ）连接OP，OC，延长OC交AB于点H，在OC上取一点K使得OK=1615，连接BK．构造相似三角形把问题转化为两点之间线段最短．
【解答有法】解：（Ⅰ）线段AC的长等于32+42=5，
故答案为：5；
（Ⅱ）设⊙O的半径的长为x，则12×（5+5+8）x=12×8×3，解得：x=43，
故答案为：43；
（Ⅲ）连接OP，OC，延长OC交AB于点H，在OC上取一点K使得OK=1615，连接BK交⊙O于点P．
由题意AC＝BC＝5，AB＝8，CH＝3，∴OC＝3−43=53，
∴OP2＝OK•OC，
∴OPOK=OCOP，∵∠POK＝∠POC，
∴△POK∽△COP，∴PKPC=OPOC=45，∴PK=45PC，
∴PB+45PC＝PB+PK≥BK，
当当点P在线段B K上时，PB+45PC的值最小．
三．解答题（共11小题）
17．计算：−12+(π−3.14)0−27−(−12)−2+|−33|．
【解题有方】根据负整数指数幂、零次幂、二次根式等化简，再计算加减即可求解．
【解答有法】解：−12+(π−3.14)0−27−(−12)−2+|−33|
=−1+1−33−4+33＝﹣4．
18．解不等式组：3(x−1)≥2x−5，①2x＜x+32，②并写出它的所有整数解．
【解题有方】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答有法】解：解不等式①，得x≥﹣2，
解不等式②，得x＜1，
∴不等式组的解集为﹣2≤x＜1，
∴不等式组的整数解有﹣2、﹣1、0．
19．（1）计算：(mm−1−mm+1)⋅m2−12m；
（2）解分式方程：2x+3x−2−2=x−12−x．
【解题有方】（1）先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的乘法法则进行计算即可；
（2）方程两边都乘x﹣2得出2x+3﹣2（x﹣2）＝﹣（x﹣1），求出方程的解，再进行检验即可．
【解答有法】解：（1）(mm−1−mm+1)⋅m2−12m
=m(m+1)−m(m−1)(m+1)(m−1)•(m+1)(m−1)2m
=2m(m+1)(m−1)•(m+1)(m−1)2m
＝1；
（2）2x+3x−2−2=x−12−x，
方程两边都乘x﹣2，得2x+3﹣2（x﹣2）＝﹣（x﹣1），
2x+3﹣2x+4＝﹣x+1，
2x﹣2x+x＝1﹣3﹣4，x＝﹣6，
检验：当x＝﹣6时，x﹣2≠0，
所以分式方程的解是x＝﹣6．
20．新一轮巴以冲突持续六个多月，反对美国政府巴以政策的抗议活动在美国高校校园时有发生，哥伦比亚大学上百名学生18日被逮捕，引发全美更多学生反战抗议活动．众议长约翰逊24日前往哥伦比亚大学，在图书馆台阶上发表讲话．他给抗议学生贴上了“反犹”标签，认为他们是“暴民”、“激进分子”、“煽动者”．小希为了调查美国大学生对美国政府在“巴以冲突”中的政策的满意度，随机抽取了某大学部分大学生作问卷调查：用“A”表示“非常不满意”，“B”表示“不满意”，“C”表示“可以接受”，“D”表示“相当满意”，如图是小希根据问卷调查统计资料绘制的两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息解答以下问题：
（1）本次问卷调查，共调查了 500 人；图（1）中的“A”所对的圆心角是 144 °；
（2）将图（2）中“B”部分的图形补充完整．
（3）如果该大学有学生2000人，请你估计该大学学生对政府在“巴以冲突”中的政策感到“不满意”和“非常不满意”的共约有多少人？
【解题有方】（1）从两个统计图中可知，样本中“C等级”的有100人，占调查人数的20%，根据频率=频数总数即可求出调查人数；
求出样本中“A等级”所占的百分比，即可求出相应的圆心角的度数；
（2）求出样本中“B等级”的人数，即可补全条形统计图；
（3）求出样本中“不满意”和“非常不满意”的所占的百分比，估计总体中“不满意”和“非常不满意”的所占的百分比，进而求出相应的人数即可．
【解答有法】解：（1）100÷20%＝500（人），
即共调查500人，
360°×200500=144°，
故答案为：500，144；
（2）样本中“B等级”的人数为500﹣200﹣100﹣50＝150（人），补全统计图如下：
（3）2000×200+150500=1400（人），
答：该大学2000名学生中对政府在“巴以冲突”中的政策感到“不满意”和“非常不满意”的共约有1400人．
21．已知关于x的分式方程2x−3+mxx2−9=5x+3．
（1）若这个方程的解是负数，求m取值范围；
（2）若这个方程无解，则m＝ 3或10或﹣4 .（直接写出答案）
【解题有方】（1）先把方程化为整式方程，再根据题意求解；
（2）根据：“分式方程无解，则整式方程无解，或是增根”求解．
【解答有法】解：（1）方程两边同乘以（x+3）（x﹣3）得：2（x+3）+mx＝5（x﹣3），
解得：x=213−m
由题意得：213−m＜0，213−m≠±3，
解得：m＞3且m≠10；
（2）由（1）得：2（x+3）+mx＝5（x﹣3），
由题意得：m﹣3＝0或213−m=±3，
解得：m＝3或m＝10或m＝﹣4，
故答案为：3或10或﹣4．
22．一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点P处测得正前方水平地面上某建筑物AB的顶端A的俯角为30°，面向AB方向继续飞行5米到达点Q，测得该建筑物底端B的俯角为45°，已知建筑物AB的高为3米，求无人机飞行的高度（结果精确到1米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732）．
【解题有方】延长BA交PQ于点C，根据题意可得：BC⊥PC，PQ＝5米，然后设QC＝x米，则PC＝（x+5）米，在Rt△PCA中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，从而求出BC的长，再在Rt△QCB中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解答有法】解：延长BA交PQ于点C，
由题意得：BC⊥PC，PQ＝5米，
设QC＝x米，
∴PC＝PQ+QC＝（x+5）米，
在Rt△PCA中，∠P＝30°，
∴AC＝PC•tan30°=33（x+5）米，
∵AB＝3米，
∴CB＝AC+AB＝[33（x+5）+3]米，
在Rt△QCB中，∠CQB＝45°，
∴CB＝QC•tan45°＝x（米），
∴33（x+5）+3＝x，
解得：x＝7+43，
∴BC＝7+43≈14（米），
∴无人机飞行的高度约为14米．
23．在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝23，点E在边BC上，将射线AE绕点A逆时针旋转90°交CD延长线于点G，以线段AE，AG为邻边作矩形AEFG．
（1）如图1，连接BD，求∠BDC的度数和DGBE的值；
（2）如图2，当点F在射线BD上时，求线段BE的长．
【解题有方】（1）由矩形ABCD中，AB＝2，AD=23得 tan∠BDC=BCDC=3，即可得∠BDC＝60°，由矩形ABCD和矩形AEFG可得，∠ABE＝∠BAD＝∠EAG＝∠ADG＝90°，得△ADG∽△ABE，得DGBE=ADAB=3；
（2）过点F作 FM⊥CG于点M，由矩形ABCD和矩形AEFG可得，∠ABE＝∠AGF＝∠ADG＝90°，得△ABE≌△GMF，设 DM＝x，则 BE=MF=3x，得2+x3x=3解得 x＝1，即可得BE=3．
【解答有法】（1）解：∵矩形ABCD中，AB＝2，AD=23，
∴∠C＝90°，CD＝AB＝2，BC=AD=23，
∴tan∠BDC=BCDC=3，
∴∠BDC＝60°
由矩形ABCD，AEFG得，∠ABE＝∠BAD＝∠EAG＝∠ADG＝90°，
∴∠EAG﹣∠EAD＝∠BAD﹣∠EAD，即∠DAG＝∠BAE，
∴△ADG∽△ABE，
∴DGBE=ADAB=3；
（2）解：过F作 FM⊥CG，
根据矩形ABCD，AEFG得，∠ABE＝∠AGF＝∠ADG＝90°，
∴AE＝GF，
∴∠BAE＝∠DAG＝∠CGF，∠ABE＝∠GMF＝90°，
∴△ABE≌△GMF（AAS），
∴BE＝MF，AB＝GM＝2，
∴∠MDF＝∠BDC＝60°，FM⊥CG，
∴tan∠MDF=tan60°=MFMD=3，
∴MF=3MD，
可以设 DM＝x，BE=MF=3x
∴DG＝GM+MD＝2+x，
∴DGBE=3，
∴2+x3x=3
∴x＝1，
∴BE=3．
24．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为16m，宽为6m，抛物线的最高点C离地面AA1的距离为8m．
（1）按如图所示的直角坐标系，求表示该抛物线的函数表达式．
（2）一大型汽车装载某大型设备后，高为7m，宽为4m，如果该隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？
【解题有方】（1）根据抛物线在坐标系中的特殊位置，可以设抛物线的解析式为y＝ax2+6，再有条件求出a的值即可；
（2）隧道内设双行道后，求出纵坐标与7m作比较即可．
【解答有法】解：（1）根据题意得A（﹣8，0），B（﹣8，6），C（0，8），
设抛物线的解析式为y＝ax2+8（a≠0），把B（﹣8，6）代入
64a+8＝6
解得：a=−132．
抛物线的解析式为y=−132x2+8．
（2）根据题意，把x＝4代入解析式，
得y＝7.5m．
∵7.5m＞7m，
∴货运卡车能通过．
25．某商店决定购进A，B两种纪念品进行销售．已知每件A种纪念品比每件B种纪念品的进价高30元．用1000元购进A种纪念品的数量和用400元购进B种纪念品的数量相同．
（1）求A，B两种纪念品每件的进价分别是多少元？
（2）该商场通过市场调查，整理出A型纪念品的售价与数量的关系如表．
①当x为何值时，售出A纪念品所获利润最大，最大利润为多少？
②该商场购进A，B型纪念品共200件，其中A型纪念品的件数少于B型纪念品的件数，但不少于60件．若B型纪念品的售价为30元/件时，求商场将A，B型纪念品均全部售出后获得的最大利润．
【解题有方】（1）设B纪念品每件的进价是x元，则A纪念品每件的进价是（x+30）元，根据用1000元购进A种纪念品的数量和用400元购进B种纪念品的数量相同，列出分式方程，进行求解即可；
（2）①设利润为w，根据图表，利用总利润等于单件利润乘以销售数量，列出函数关系式，根据函数的性质，求出最值即可；②设该商场购进A型纪念品a件，则购进B型纪念品（200﹣a）件，根据题意列出不等式组，求出a的取值范围，进而得到A型纪念品的最大利润，设总利润为y，求出函数关系式，根据函数的性质，可得答案．
【解答有法】解：（1）设B纪念品每件的进价是x元，则A纪念品每件的进价是（x+30）元，
由题意，得：1000x+30=400x，解得：x＝20，
经检验：x＝20是原方程的解；
当x＝20时：x+30＝50；
∴A，B两种纪念品每件的进价分别是50元和20元；
（2）①设利润为w，由表格，得：
当50≤x≤60时，w＝（x﹣50）×100＝100x﹣5000，
∵k＝100＞0，
∴w随着x的增大而增大，
∴当售价为：60元时，利润最大为：100×60﹣5000＝1000元；
当60＜x≤80，w＝（x﹣50）（400﹣5x）＝﹣5x2+650x﹣20000＝﹣5（x﹣65）2+1125，
∵a＝﹣5＜0，∴当x＝65时，利润最大为：1125元；
综上：当x＝65时，售出A纪念品所获利润最大，最大利润为1125元．
②设该商场购进A型纪念品a件，则购进B型纪念品（200﹣a）件，
由题意，得：60≤a＜200﹣a，解得：60≤a＜100，
∵60≤400﹣5x＜100，∴60＜x≤68，
设A，B型纪念品均全部售出后获得的总利润为：y，
则：y＝（x﹣50）（400﹣5x）+（30﹣20）（200﹣400+5x），
整理，得：y＝﹣5x2+700x﹣22000，
∵﹣5＜0，对称轴为直线x=−7002×(−5)=70，
∵当x＝68时，y有最大值，
最大值为：y＝﹣5×682+700×68﹣22000＝2480，
26．在平面直角坐标系中，抛物线y=−33(x2+bx+c)经过点A（﹣3，0），B（2，0），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P是该抛物线上的一个动点，
①若△PCB中有一个内角是∠OCB的3倍，求点P坐标．
②若抛物线上的点P在第二象限且直线PB与y轴和直线AC分别交于点D和点E，若△BCD，△CDE，△CEP的面积分别为S1，S2，S3，且满足S1+S3S2=2，求点P的横坐标．
【解题有方】（1）由待定系数法即可求解；
（2）①由点B、C的坐标得，∠OCB＝30°，则△PCB中有一个内角是∠OCB的3倍，即为90°，再分类求解即可；
②由△BCD、△CDE、△CEP三个三角形的高相同，则面积比等于底BD、DE、PE的比，BD：DE：PE＝（xD﹣xB）：（xD﹣xE）：（xE﹣xP），当S1+S3S2=2时，则xB−xD+xE−xPxD−xE=2，即可求解．
【解答有法】解：（1）由题意得，抛物线的表达式为：y=−33（x+3）（x﹣2）=−33x2−33x+23；
（2）①由抛物线的表达式知，点C（0，23），
由点B、C的坐标得，∠OCB＝30°，则△PCB中有一个内角是∠OCB的3倍，即为90°，
则存在∠PCB、∠PBC、∠CPB为直角的情况，
由于∠COB＝90°，则△COB的外接圆除了和抛物线交于点B、C外，不可能再出现点P，故该情况不存在，当∠PBC为直角时，
由于直线BC和x轴负半轴的夹角为60°，则PB和x轴的夹角为30°，
则PB的表达式为：y=33（x﹣2），
联立PB和抛物线的表达式得：−33x2−33x+23=33（x﹣2），
解得：x＝2（舍去）或﹣2，即点P（﹣2，−433）；
当∠P′CB为直角时，同理可得，直线P′C的表达式为：y=33x+23，
同理可得，点P′（﹣1，23）；
综上，点P的坐标为：（﹣2，−433）或（﹣1，23）；
②由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y=233x﹣23，
设点P（m，33（m2+m﹣6）），
由点P、B的坐标得，直线PB的表达式为：y=−33（m+3）（x﹣2），
联立抛物线和直线AC的表达式得：233x+23=−33（m+3）（x﹣2），解得：xE=2mm+5，
∵△BCD、△CDE、△CEP三个三角形的高相同，
则面积比等于底BD、DE、PE的比，而三个底共线，
则BD：DE：PE＝（xD﹣xB）：（xD﹣xE）：（xE﹣xP），
当S1+S3S2=2时，
则xB−xD+xE−xPxD−xE=2，整理得：3xE﹣xP+2＝0，即3×2mm+5−m+2＝0，
解得：m＝5（舍去）或﹣2，则点P的横坐标为：﹣2．
27．如图①，在正方形ABCD中，点N、M分别在边BC、CD上，连结AM、AN、MN．∠MAN＝45°，将△AMD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE．易证：△ANM≌△ANE，从而得DM+BN＝MN．
【实践探究】
（1）在图①条件下，若CN＝6，CM＝8，则正方形ABCD的边长是 12 ．
（2）如图②，点M、N分别在边CD、AB上，且BN＝DM．点E、F分别在BM、DN上，∠EAF＝45°，连接EF，猜想三条线段EF、BE、DF之间满足的数量关系，并说明理由．
【拓展应用】
（3）如图③，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点M、N分别在边DC、BC上，连结AM，AN，已知∠MAN＝45°，BN＝2，求DM的长．
【解题有方】（1）由旋转的性质可得BE＝DM，∠ABE＝∠D＝90°，AE＝AM，∠BAE＝∠DAM，证出∠EAM＝90°，得出∠MAN＝∠EAN，可证△AMN≌△EAN，得出MN＝EN．证出MN＝BN+DM．在Rt△CMN中，由勾股定理得出MN＝10，则BN+DM＝10，设正方形ABCD的边长为x，则BN＝BC﹣CN＝x﹣6，DM＝CD﹣CM＝x﹣8，得出方程x﹣6+x﹣8＝10，解方程即可；
（2）将△AFD绕点A顺时针旋转90°，得到△ABH，连接EH，由旋转的性质可得∠ADF＝∠ABH，DF＝BH，∠DAF＝∠BAH，AH＝AF，由“SAS”可证△EAH≌△EAF，可得HE＝EF，由直角三角形的性质和平行四边形的性质可求∠ABH+∠ABM＝90°＝∠HBM，由勾股定理可求解；
（3）延长AB至P，使BP＝BN＝2，过P作BC的平行线交DC的延长线于Q，延长AN交PQ于E，连接EM，则四边形APQD是正方形，得出PQ＝DQ＝AP＝AB+BP＝8，设DM＝x，则MQ＝8﹣x，由平行线得出△ABN∽△APE，求出PE=43BN=83，得出EQ＝PQ﹣PE=163，由（1）得：EM＝PE+DM=83+x，在Rt△QEM中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答有法】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD＝AD，∠BAD＝∠C＝∠D＝90°，
由旋转得：△ABE≌△ADM，
∴BE＝DM，∠ABE＝∠D＝90°，AE＝AM，∠BAE＝∠DAM，
∴∠BAE+∠BAM＝∠DAM+∠BAM＝∠BAD＝90°，
即∠EAM＝90°，∵∠MAN＝45°，
∴∠EAN＝90°﹣45°＝45°，∴∠MAN＝∠EAN，
在△AMN和△EAN中，AM=AE∠MAN=∠EANAN=AN，
∴△AMN≌△EAN（SAS），∴MN＝EN．
∵EN＝BE+BN＝DM+BN，∴MN＝BN+DM．
在Rt△CMN中，MN=CN2+CM2=62+82=10，则BN+DM＝10，
设正方形ABCD的边长为x，则BN＝BC﹣CN＝x﹣6，DM＝CD﹣CM＝x﹣8，
∴x﹣6+x﹣8＝10，解得：x＝12，即正方形ABCD的边长是12；
故答案为：12；
（2）EF2＝BE2+DF2，
理由如下：如图②，将△AFD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABH，连接EH，
∴∠ADF＝∠ABH，DF＝BH，∠DAF＝∠BAH，AH＝AF，∵∠EAF＝45°，
∴∠DAF+∠BAE＝45°＝∠BAH+∠BAE，
∴∠HAE＝45°＝∠EAF，又∵AH＝AF，AE＝AE，∴△EAH≌△EAF（SAS），
∴HE＝EF，∵BN＝DM，BN∥DM，∴四边形BMDN是平行四边形，
∴DN∥BM，∴∠AND＝∠ABM，∵∠ADN+∠AND＝90°，
∴∠ABH+∠ABM＝90°＝∠HBM，∴BE2+BH2＝HE2，∴EF2＝BE2+DF2；
（3）如图③，延长AB至P，使BP＝BN＝2，过P作BC的平行线交DC的延长线于Q，延长AN交PQ于E，连接EM，则四边形APQD是正方形，
∴PQ＝DQ＝AP＝AB+BP＝4，设DM＝x，则MQ＝8﹣x，
∵PQ∥BC，∴△ABN∽△APE，
∴ABAP=BNPE=34，∴PE=43BN=83，∴EQ＝PQ﹣PE＝8−83=163，
由（1）得：EM＝PE+DM=83+x，
在Rt△QEM中，由勾股定理得：（163）2+（8﹣x）2＝（83+x）2，
解得：x＝4，即DM的长是4．售价x（元/件）
50≤x≤60
60＜x≤80
销售量（件）
100
400﹣5x
售价x（元/件）
50≤x≤60
60＜x≤80
销售量（件）
100
400﹣5x