北京市中关村中学2023-2024学年高一下学期期中调研数学试题

这是一份北京市中关村中学2023-2024学年高一下学期期中调研数学试题，共19页。
A. B. C. -2D.
【答案】B
【解析】
【详解】按三角函数的定义，有.
2. 已知向量，，若，则（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用向量共线的充要条件的坐标公式计算即得.
【详解】因向量，，，则，解得，.
故选：B.
3. 下列函数的最小正周期为且为奇函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角函数的周期公式和奇偶性，分别判断选项.
【详解】根据函数的性质可知是周期，且是偶函数，故A不正确；
是周期为，且是奇函数，故B不正确；
，，且，所以函数是周期为的偶函数，故C不正确；试卷源自 每日更新，更低价下载，欢迎访问。的周期，且是奇函数，故D正确.
故选：D
4. 要得到函数的图象，只需将函数的图象
A. 向左平移单位B. 向右平移单位
C. 向左平移单位D. 向右平移单位
【答案】D
【解析】
【详解】因为：y=sin(2x+)=sin2(x+).
根据函数图象的平移规律可得：须把函数y=sin2(x+)相右平移个单位得到函数y=sin2x的图象．
故选D.
点睛：图象变换
(1)振幅变换
(2)周期变换
(3)相位变换
(4)复合变换

5. 已知扇形的圆心角为2rad，所对的弦长为4，则扇形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据垂径定理可得，结合扇形的面积公式计算即可求解.
【详解】扇形的圆心角为2rad，所对的弦长为4，如图，
设扇形的半径为，由垂径定理得，即，
故扇形的面积为.
故选：D.
6. 如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，则（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量加法及数乘向量运算求解即可.
【详解】.
故选：A
7. “”是“为第一或第三象限角”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据同角三角函数关系化简，根据三角函数在各象限的符号，结合充分条件、必要条件即可得解.
【详解】因为时，则，
所以为第一或第三象限角，
反之，当为第一或第三象限角时，，所以，
综上，“”是“为第一或第三象限角”的充分必要条件，
故选：C
8. 在中，，是直线上的一点，若，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】依题意可得，根据平面向量三点共线定理计算可得.
【详解】，所以，则有，
又是直线上的一点，所以，解得.
故选：B.
9. 数学与音乐有着紧密的关联，我们平时听到的乐音一般来说并不是纯音，而是由多种波叠加而成的复合音．如图为某段乐音的图像，则该段乐音对应的函数解析式可以为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由图像可知，该函数为奇函数，根据奇偶函数的定义，得出A，B为奇函数，再根据函数图像中，判断出A对，B错；由图像得，判断出C，D错误，即可得出答案．
【详解】对于A，函数，
因为，所以函数为奇函数，
又，故A正确；
对于B，函数，
因为，所以函数为奇函数，
又，故B错误；
对于C，函数，
因为，故C错误；
对于D，函数，
，故D错误，
故选：A．
10. 已知函数，给出下列四个结论：
①对任意，函数的最大值与最小值，之差为2；
②存在，使得对任意，；
③当时，对任意非零实数，；
④当时，存在，存在，使得对任意都有.
其中正确的是（ ）
A. ①②③B. ②③C. ③④D. ②③④
【答案】D
【解析】
【分析】取特殊值判断①②，诱导公式化简判断③，由周期的定义判断④.
【详解】解：当时，的最大值为1，最小值为0，故①错误；
当时，，
则，故②正确；
当时，，，故③正确；
当时，的周期，
取，，即存在，存在，使得对任意都有，故④正确.
故选：D.
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 已知为第三象限角，且，则___________，___________.
【答案】 ①. ## ②.
【解析】
【分析】根据角的范围判断的符号，利用同角的三角函数基本关系式和诱导公式计算即得.
【详解】∵为第三象限角，且，
∴；
.
故答案为：；.
12. 已知为坐标原点，，，，则点坐标为___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据平面向量的线性运算与坐标表示直接得出结果.
【详解】由，可知为线段的中点，
又，，则.
故答案为：.
13. 已知，则______．
【答案】
【解析】
【分析】原式分子分母除以，利用同角三角函数间的基本关系化简，把的值代入计算即可求出值．
【详解】，
．
故答案为：．
14. 已知函数的部分图象如图所示.
①函数的最小正周期为___________；
②将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象.若函数为偶函数，则的最小值是___________.
【答案】 ①. ； ②. .
【解析】
【分析】由函数图象结合五点法，求函数解析式得最小正周期，利用图象平移得函数的解析式，由函数为偶函数，求的最小值.
【详解】①由函数的部分图象可得函数的图象经过点，
故有，结合图象由五点法可得，.
再把点代入，可得，即.
结合图象由五点法可得，∴，
故函数的最小正周期为；
②将函数的图象向左平移个单位长度，
得到函数的图象，
若函数为偶函数，则，即，.
则正数的最小值是，此时，.
故答案为：；.
15. 在区间上有且仅有3个对称中心，给出下列四个结论：
①的取值范围是；
②的最小正周期可能是；
③在区间上单调递减；
④在区间上有且仅有3条对称轴；
其中所有正确结论的序号是___________.
【答案】①②③.
【解析】
【分析】依题意，先求出的范围，结合余弦函数的图象求得范围，即得①；根据范围求得的范围，即可判断②；分别求得在给定区间上的范围，，结合余弦函数的图象即可判断③和④.
【详解】①中，因为，所以，，
又因为在区间上有且仅有3个对称中心，
则在上有且仅有3个对称中心，结合余弦函数图象知，
所以，解得，所以①正确；
②中，由①知，，故最小正周期，因为，所以②正确；
③中，因为，所以，，
又由①知，，所以，
而在区间上单调递减，即在区间上单调递减，故③正确；
④中，当时，，由①知，需使，
而当时，在上有2条对称轴，
而当时,在上有3条对称轴，故④不正确.
故答案为：①②③.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查余弦型函数的性质应用，属于较难题.解题的关键在于一般要将辐角看成整体角，先求得其范围，再结合余弦函数的图象进行一一判断即得.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 已知，，，且，与相交于点P.
（1）求点C和点P的坐标；
（2）求.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）设，根据平面向量的坐标表示建立方程组，求出C的坐标，确定四边形为平行四边形，结合向量线性运算的坐标表示即可求解；
（2）由（1）可得，结合平面向量的几何意义计算即可求解.
【小问1详解】
设，因为，，，
所以，解得；
因为，而交于点，故A、B、C、D不共线，
所以四边形为平行四边形，且为和的中点，
结合已知点坐标有.
【小问2详解】
由（1）得，所以.
17. 设，是不共线的两个向量.
（1）若，，，求证：A，B，D三点共线；
（2）若与共线，求实数的值.
【答案】（1）证明见解析
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据平面向量线性运算可得，即可证明；
（2）易知，根据共线向量可得存在实数使，结合相等向量的概念建立方程组，解之即可.
【小问1详解】
由题意知，，
∴，且有公共点B，
∴A，B，D三点共线；
【小问2详解】
∵，不共线，∴，
又与共线，
∴存在实数，使，
∴，解得.
18. 已知函数.
（1）某同学利用五点法画函数在区间上图象，他列出表格，并填入了部分数据，请你帮他把表格填写完整，并在坐标系中画出图象；
（2）已知函数.
①若函数的最小正周期为，求的单调递增区间；
②若函数在上无零点，求的取值范围（直接写出结论）.
【答案】（1）答案见解析
（2）①；②.
【解析】
【分析】（1）由五点法完成表格，并作图；
（2）①由的最小正周期，求出，整体代入法求的单调递增区间；
②由在上无零点，当，有，则有，解不等式即可.
【小问1详解】
函数，，
由五点法作函数图象，表格和图象如图所示，
【小问2详解】
①因为，
因为函数的最小正周期，可得，
即，
函数的单调递增区间满足：，，
解得，，
所以函数的单调递增区间为：；
②函数在上无零点，
因为，，所以，
则有，解得
即的取值范围为.
19. 已知函数的一个对称中心到其相邻的对称轴的距离为，且图像上一个最低点为.
（1）求的解析式；
（2）若当时方程有唯一实根，求的范围.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由周期求出，由最低点求出，得的解析式；
（2）由，设，当时方程有唯一实根，转化为当时方程有唯一实根，利用正弦函数的图像和性质求解.
【小问1详解】
由题意可得，可得，
而，可得，
再由图像上一个最低点为，可得，
且，，又因为，可得，
所以；
【小问2详解】
当时方程有唯一实根，即，
时有，设，
设，
当时方程有唯一实根，即时方程有唯一实根，
作出的图像如图所示，
当时，单调递减，时满足方程有唯一实根，
所以.
即的取值范围为.
20. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色.位于滨海的“渤海之眼”摩天轮是世界上最大的无轴摩天轮，该摩天轮轮盘直径为124米，设置有36个座舱.游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点距地面145米时大约需要15分钟.当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.
（1）经过分钟后游客甲距离地面的高度为米，已知关于的函数关系式满足（其中，，），求摩天轮转动一周的解析式；
（2）游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到52米？
（3）若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔5个座舱，从游客甲坐上摩天轮后开始计时，多长时间游客乙和游客甲距离地面的高度首次恰好相同？
【答案】（1），；
（2）5分钟 （3）17.5分钟
【解析】
【分析】（1）理解题意依次求得,由公式计算出，代点求出即得；
（2）依题意，解三角方程即可求得；
（3）依题意可得，由此解得，，由（2）知，即得时，.
【小问1详解】
由题意知，，，解得，
又，所以，
时，，解得，
因为，所以，
所以，；
【小问2详解】
令，得，解得，
即，因，依题意，需使，解得，
所以游客甲坐上摩天轮后5分钟，距离地面高度第一次恰好达到52米；
【小问3详解】
由题意知，，
因中间间隔5个座舱，则有，
依题意，，即，
即，所以，解得，；
所以，；时，，不合题意；当时，，
即从游客甲坐上摩天轮后开始计时，17.5分钟游客乙和游客甲距离地面的高度首次恰好相同.
【点睛】思路点睛：正确理解题意，求出正弦型函数解析式中的参数，再根据题设要求，利用三角恒等变换等相关知识点，求解对应的三角方程或三角不等式即可.
21. 对于分别定义在，上的函数，以及实数，若存在，使得，则称函数与具有关系.
（1）若，；，，判断与是否具有关系，并说明理由；
（2）若与具有关系，求的取值范围；
（3）已知，为定义在上的奇函数，且满足：
①在上，当且仅当时，取得最大值1；
②对任意，有.
判断与是否具有关系，并说明理由.
【答案】（1）与具有关系，理由见解析
（2）；
（3）不具有关系，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据三角函数的性质可得，结合新定义即可下结论；
（2）根据三角函数与二次函数的性质可得、，则，结合新定义即可求解；
（3）根据函数对称性和周期性求出、、的值域. 当、时，有；当、时，有，进而，结合新定义即可下结论.
【小问1详解】
与具有关系，理由如下：
当时，，，
当，，当时，，
此时，
则与具有关系；
【小问2详解】
，
，
因为，则当时，，则，
所以，
则；
【小问3详解】
不具有关系，理由如下：
因为在上，当且仅当时，取得最大值1；
又为定义在上的奇函数，
故在上，当且仅当时，取得最小值-1，
由对任意，有，
所以关于点对称，
又，
所以的周期为，故的值域为，，，
当时，，；
时，，，
若，则，，
此时有；
当时，，；
时，，，
若，则，时，
有；
由于，
所以，
故不存在，，使得，
所以与不具有关系.
【点睛】方法点睛：
学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，落脚点仍然是三角函数的图象与性质.
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