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高考数学复习第六章 第三节 平面向量的数量积及应用（导学案）
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这是一份高考数学复习第六章 第三节 平面向量的数量积及应用（导学案），共27页。学案主要包含了课程标准，必备知识，常用结论，基础小题，方法提炼，对点训练，加练备选，一题多变等内容，欢迎下载使用。
第三节 平面向量的数量积及应用
【课程标准】
1．通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积．
2．通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义．
3．会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．
4．会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学和实际问题中的作用．
【必备知识】精归纳
1．向量的夹角
点睛 确定两个非零向量a和b的夹角，必须将两个向量平移至同一起点．
2．向量的数量积
3.投影向量
4.向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb).
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c．
点睛 注意数量积运算与实数运算的区别，例如：
a·b＝a·c(a≠0)b＝c；a·b＝0 a＝0或b＝0；(a·b)·c≠a·(b·c).
5．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
【常用结论】
1．有关向量夹角的两个结论：
(1)两向量a与b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a与b不共线；
(2)两向量a与b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a与b不共线；
2．a在b上的投影向量为 eq \f(a·b,|b|) · eq \f(b,|b|) ，a在b上的投影向量的模为 eq \f(|a·b|,|b|) .
【基础小题】固根基
1.(多选题)(数量积运算与实数运算混淆)设a，b是任意的非零向量，则下列结论正确的是( )
A．0·a＝0
B．|a·b|＝|a||b|
C．(a－b)2＝a2－2a·b＋b2
D．(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2
解析：选CD.A错误，0·a＝0；B错误，例如若a＝(1，0)，b＝(0，1)，则|a·b|＝0，|a||b|＝1；C，D正确．
2．(结论1)已知a，b为非零向量，则“a·b＞0”是“a与b的夹角为锐角”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B.根据向量数量积的定义可知，若a·b＞0，则a与b的夹角为锐角或零角，若a与b的夹角为锐角，则一定有a·b＞0，所以“a·b＞0”是“a与b的夹角为锐角”的必要不充分条件．
3．(教材提升)设向量a，b满足|a|＝|b|＝1且|3a－2b|＝ eq \r(7) ，则a，b的夹角为( )
A． eq \f(π,3) B． eq \f(π,6) C． eq \f(π,4) D． eq \f(2π,3)
解析：选A.设a与b的夹角为θ，
由题意得(3a－2b)2＝7，
所以9|a|2＋4|b|2－12a·b＝7，
又|a|＝|b|＝1，
所以a·b＝ eq \f(1,2) ，所以|a||b|cs θ＝ eq \f(1,2) ，
即cs θ＝ eq \f(1,2) .又θ∈[0，π]，所以a，b的夹角为 eq \f(π,3) .
4．(结论2)已知向量a＝(1，2)，点A(6，4)，点B(4，3)，b为向量 eq \(AB,\s\up6(→)) 在向量a上的投影向量，则|b|＝( )
A． eq \f(4\r(5),5) B．1 C． eq \r(5) D．4
解析：选A. eq \(AB,\s\up6(→)) ＝(－2，－1)，可知|b|＝ eq \f(|\(AB,\s\up6(→))·a|,|a|) ＝| eq \f(－2×1＋（－1）×2,\r(5)) |＝ eq \f(4\r(5),5) .
5．(向量夹角的概念不清致误)在△ABC中，∠B＝60°，AB＝6，BC＝5，则 eq \(AB,\s\up6(→)) · eq \(BC,\s\up6(→)) ＝________．
解析：在△ABC中，∠B＝60°，AB＝6，BC＝5，
则 eq \(AB,\s\up6(→)) · eq \(BC,\s\up6(→)) ＝| eq \(AB,\s\up6(→)) || eq \(BC,\s\up6(→)) |cs (180°－60°)
＝6×5×(－ eq \f(1,2) )＝－15.
答案：－15
6．(教材变式)已知向量a＝(2，t)，a－b＝(1，t－3)，若a⊥b，则t＝________．
解析：因为a＝(2，t)，a－b＝(1，t－3)，
所以b＝a－(a－b)＝(1，3)，
因为a⊥b，所以a·b＝(2，t)·(1，3)＝2＋3t＝0，
解得t＝－ eq \f(2,3) .
答案：－ eq \f(2,3)
题型一 平面向量数量积的运算
[典例1](1)非零向量a，b，c满足a·b＝a·c，a与b的夹角为 eq \f(π,6) ，|b|＝4，则c在a上的投影向量的模为( )
A．2 B．2 eq \r(3) C．3 D．4
解析：选B.由a·b＝a·c，
可得|a||b|cs 〈a，b〉＝|a||c|cs 〈a，c〉，
因为|a|≠0，所以|c|cs 〈a，c〉＝|b|cs 〈a，b〉
＝4×cs eq \f(π,6) ＝2 eq \r(3) ，所以c在a上的投影向量的模为||c|cs 〈a，c〉|＝2 eq \r(3) .
(2)(2023·揭阳模拟)已知点P是边长为2的菱形ABCD内的一点(包含边界)，且∠BAD＝120°，则 eq \(AP,\s\up6(→)) · eq \(AB,\s\up6(→)) 的取值范围是( )
A．[－2，4] B．(－2，4)
C．[－2，2] D．(－2，2)
解析：选A. eq \(AP,\s\up6(→)) · eq \(AB,\s\up6(→)) ＝| eq \(AP,\s\up6(→)) || eq \(AB,\s\up6(→)) |cs 〈 eq \(AB,\s\up6(→)) ， eq \(AP,\s\up6(→)) 〉＝2| eq \(AP,\s\up6(→)) |cs 〈 eq \(AB,\s\up6(→)) ， eq \(AP,\s\up6(→)) 〉，
结合图形可知，
当点P与点B重合时，| eq \(AP,\s\up6(→)) |cs 〈 eq \(AB,\s\up6(→)) ， eq \(AP,\s\up6(→)) 〉最大，此时 eq \(AP,\s\up6(→)) · eq \(AB,\s\up6(→)) ＝ eq \(AB,\s\up6(→)) 2＝4，
当点P与点D重合时，| eq \(AP,\s\up6(→)) |cs 〈 eq \(AB,\s\up6(→)) ， eq \(AP,\s\up6(→)) 〉最小，此时 eq \(AP,\s\up6(→)) · eq \(AB,\s\up6(→)) ＝2×2×cs 120°＝－2，所以 eq \(AP,\s\up6(→)) · eq \(AB,\s\up6(→)) 的取值范围是[－2，4].
(3)(2022·全国甲卷)设向量a，b的夹角的余弦值为 eq \f(1,3) ，且|a|＝1，|b|＝3，则(2a＋b)·b＝________．
解析：由题意可得a·b＝1×3× eq \f(1,3) ＝1，b2＝9，
则(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2＋9＝11.
答案：11
(4)正方形ABCD中，AB＝2，P为BC的中点，Q为DC的中点，则 eq \(PQ,\s\up6(→)) · eq \(PC,\s\up6(→)) ＝________；若M为CD上的动点，则 eq \(PQ,\s\up6(→)) · eq \(PM,\s\up6(→)) 的最大值为________．
解析：以点D为原点，以直线DC为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
AB＝2，P为BC的中点，Q为DC的中点，则：
P(2，1)，Q(1，0)，C(2，0)，
所以 eq \(PQ,\s\up6(→)) ＝(－1，－1)， eq \(PC,\s\up6(→)) ＝(0，－1)，
所以 eq \(PQ,\s\up6(→)) · eq \(PC,\s\up6(→)) ＝1；设M(x，0)(0≤x≤2)，
则 eq \(PM,\s\up6(→)) ＝(x－2，－1)，所以 eq \(PQ,\s\up6(→)) · eq \(PM,\s\up6(→))
＝2－x＋1＝3－x，
所以x＝0时， eq \(PQ,\s\up6(→)) · eq \(PM,\s\up6(→)) 的最大值为3.
答案：1 3
【方法提炼】——自主完善，老师指导
计算平面向量数量积的主要方法
(1)利用定义：a·b＝|a||b|cs〈a，b〉．
(2)利用坐标运算：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2．
(3)灵活运用平面向量数量积的几何意义．
【对点训练】
1．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为边DC的中点，F为BE的中点，则 eq \(AF,\s\up6(→)) · eq \(AE,\s\up6(→)) ＝( )
A．3 B．2 C． eq \f(3,2) D． eq \f(1,2)
解析：选B.以A为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，
则A(0，0)，E(1，1)，F( eq \f(3,2) ， eq \f(1,2) )，
所以 eq \(AF,\s\up6(→)) ＝( eq \f(3,2) ， eq \f(1,2) )， eq \(AE,\s\up6(→)) ＝(1，1)，
所以 eq \(AF,\s\up6(→)) · eq \(AE,\s\up6(→)) ＝ eq \f(3,2) ＋ eq \f(1,2) ＝2.
2．(2023·淄博模拟)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，F为AB的中点，CE＝3，CB＝8，AB＝12，则 eq \(EA,\s\up6(→)) · eq \(EB,\s\up6(→)) ＝( )
A．－15 B．－13 C．13 D．15
解析：选C.因为∠ABC＝90°，F为AB的中点，
CB＝8，AB＝12，
所以FA＝FB＝6，
所以CF＝ eq \r(FB2＋CB2) ＝ eq \r(62＋82) ＝10，
又CE＝3，所以FE＝CF－CE＝10－3＝7，
所以 eq \(EA,\s\up6(→)) · eq \(EB,\s\up6(→)) ＝( eq \(FA,\s\up6(→)) － eq \(FE,\s\up6(→)) )·( eq \(FB,\s\up6(→)) － eq \(FE,\s\up6(→)) )＝ eq \(FA,\s\up6(→)) · eq \(FB,\s\up6(→)) － eq \(FE,\s\up6(→)) ·( eq \(FA,\s\up6(→)) ＋ eq \(FB,\s\up6(→)) )＋ eq \(FE,\s\up6(→)) 2
＝6×6×(－1)＋7×7＝13.
3．(多选题)如图，点A，B在圆C上，则 eq \(AB,\s\up6(→)) · eq \(AC,\s\up6(→)) 的值( )
A．与圆C的半径有关
B．与圆C的半径无关
C．与弦AB的长度有关
D．与点A，B的位置有关
解析：选BC.如图，连接AB，过C作CD⊥AB交AB于D，则D是AB的中点，
故 eq \(AB,\s\up6(→)) · eq \(AC,\s\up6(→)) ＝| eq \(AB,\s\up6(→)) || eq \(AC,\s\up6(→)) |cs ∠CAD＝| eq \(AB,\s\up6(→)) || eq \(AC,\s\up6(→)) | eq \f(\f(1,2)|\(AB,\s\up6(→))|,|\(AC,\s\up6(→))|) ＝ eq \f(1,2) | eq \(AB,\s\up6(→)) |2，
故 eq \(AB,\s\up6(→)) · eq \(AC,\s\up6(→)) 的值与圆C的半径无关，只与弦AB的长度有关．
【加练备选】
1．(2021·新高考Ⅱ卷)已知向量a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝|c|＝2，则a·b＋b·c＋c·a＝__________.
解析：由已知可得 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋b＋c)) eq \s\up12(2)
＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2(a·b＋b·c＋c·a)
＝9＋2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a·b＋b·c＋c·a)) ＝0，
因此，a·b＋b·c＋c·a＝－ eq \f(9,2) .
答案：－ eq \f(9,2)
2．如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且 eq \(AD,\s\up6(→)) ＝λ eq \(BC,\s\up6(→)) ， eq \(AD,\s\up6(→)) · eq \(AB,\s\up6(→)) ＝－ eq \f(3,2) ，则实数λ的值为________；若M，N是线段BC上的动点，且| eq \(MN,\s\up6(→)) |＝1，则 eq \(DM,\s\up6(→)) · eq \(DN,\s\up6(→)) 的最小值为________．
解析：因为 eq \(AD,\s\up6(→)) ＝λ eq \(BC,\s\up6(→)) ，
所以AD∥BC，则∠BAD＝120°，
所以 eq \(AD,\s\up6(→)) · eq \(AB,\s\up6(→)) ＝| eq \(AD,\s\up6(→)) || eq \(AB,\s\up6(→)) |cs 120°＝－ eq \f(3,2) ，
解得| eq \(AD,\s\up6(→)) |＝1.因为 eq \(AD,\s\up6(→)) ， eq \(BC,\s\up6(→)) 同向，且BC＝6，
所以 eq \(AD,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,6) eq \(BC,\s\up6(→)) ，即λ＝ eq \f(1,6) .
在四边形ABCD中，作AO⊥BC于点O，则
BO＝AB cs 60°＝ eq \f(3,2) ，AO＝AB sin 60°＝ eq \f(3\r(3),2) .
以O为坐标原点，以BC和AO所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系xOy.
如图，设M(a，0)，不妨设点N在点M右侧，
则N(a＋1，0)，且－ eq \f(3,2) ≤a≤ eq \f(7,2) .
又D(1， eq \f(3\r(3),2) )，所以 eq \(DM,\s\up6(→)) ＝(a－1，－ eq \f(3\r(3),2) )， eq \(DN,\s\up6(→)) ＝(a，－ eq \f(3\r(3),2) )，
所以 eq \(DM,\s\up6(→)) · eq \(DN,\s\up6(→)) ＝a2－a＋ eq \f(27,4) ＝(a－ eq \f(1,2) )2＋ eq \f(13,2) ≥ eq \f(13,2) .
所以当a＝ eq \f(1,2) 时， eq \(DM,\s\up6(→)) · eq \(DN,\s\up6(→)) 取得最小值 eq \f(13,2) .
答案： eq \f(1,6) eq \f(13,2)
题型二 平面向量数量积的应用
角度1 求平面向量的模
[典例2](1)(2022·全国乙卷) 已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝ eq \r(3) ，|a－2b|＝3，则a·b＝( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
解析：选C.因为|a－2b|2＝|a|2－4a·b＋4 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b)) 2，
又因为|a|＝1，|b|＝ eq \r(3) ，|a－2b|＝3，
所以9＝1－4a·b＋4×3＝13－4a·b，
所以a·b＝1.
(2)已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的最大值是________．
解析：方法一：由a·b＝0，得a⊥b.
如图所示，分别作 eq \(OA,\s\up6(→)) ＝a， eq \(OB,\s\up6(→)) ＝b，作 eq \(OC,\s\up6(→)) ＝a＋b，则四边形OACB是边长为1的正方形，
所以| eq \(OC,\s\up6(→)) |＝ eq \r(2) .
作 eq \(OP,\s\up6(→)) ＝c，则|c－a－b|＝| eq \(OP,\s\up6(→)) － eq \(OC,\s\up6(→)) |＝| eq \(CP,\s\up6(→)) |＝1.
所以点P在以C为圆心，1为半径的圆上．
由图可知，当O，C，P三点共线且点P在点P1处时，| eq \(OP,\s\up6(→)) |取得最大值 eq \r(2) ＋1.
故|c|的最大值是 eq \r(2) ＋1.
方法二：由a·b＝0，得a⊥b.
建立如图所示的平面直角坐标系，
则 eq \(OA,\s\up6(→)) ＝a＝(1，0)， eq \(OB,\s\up6(→)) ＝b＝(0，1).
设c＝ eq \(OC,\s\up6(→)) ＝(x，y)，由|c－a－b|＝1，
得(x－1)2＋(y－1)2＝1，
所以点C在以(1，1)为圆心，1为半径的圆上．
所以|c|max＝ eq \r(2) ＋1.
方法三：易知|a＋b|＝ eq \r(2) ，|c－a－b|
＝|c－(a＋b)|≥||c|－|a＋b||＝||c|－ eq \r(2) |，
由已知得||c|－ eq \r(2) |≤1，
所以|c|≤1＋ eq \r(2) ，故|c|max＝ eq \r(2) ＋1.
答案： eq \r(2) ＋1
【方法提炼】——自主完善，老师指导
求向量的模或其范围的方法
(1)定义法：|a|＝ eq \r(a2) ；
(2)坐标法：设a＝(x，y)，则|a|＝ eq \r(x2＋y2) ．
角度2 求平面向量的夹角
[典例3] eq \a\vs4\al(金榜原创·易错对对碰)
(1)已知向量a＝(5，5)，b＝(λ，1)，若a＋b与a－b的夹角是锐角，则实数λ的取值范围为________．
解析：由题意得(a＋b)·(a－b)>0，
即a2－b2>0，52＋52>λ2＋12，所以－7<λ<7；
若a＋b＝k(a－b)，则
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(5＋λ＝k（5－λ），,5＋1＝k（5－1），)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝\f(3,2)，,λ＝1，))
综上可知λ的取值范围是(－7，1)∪(1，7).
答案：(－7，1)∪(1，7)
(2)若向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则实数k的取值范围是________．
解析：因为2a－3b与c的夹角为钝角，
所以(2a－3b)·c<0，
即(2k－3，－6)·(2，1)<0，
所以4k－6－6<0，所以k<3.
若2a－3b与c反向共线，则 eq \f(2k－3,2) ＝－6，
解得k＝－ eq \f(9,2) ，此时夹角不是钝角，
综上所述，实数k的取值范围是(－∞，－ eq \f(9,2) )∪(－ eq \f(9,2) ，3).
答案：(－∞，－ eq \f(9,2) )∪(－ eq \f(9,2) ，3)
【方法提炼】
求平面向量的夹角的方法
(1)定义法：cs θ＝ eq \f(a·b,|a||b|) ，θ的取值范围为[0，π].
(2)坐标法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cs θ＝ eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) )\r(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＋y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) )) .
角度3 平面向量的垂直问题
[典例4](1)(2022·青岛模拟)已知在△ABC中，∠A＝120°，且AB＝3，AC＝4，若 eq \(AP,\s\up6(→)) ＝λ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(AC,\s\up6(→)) ，且 eq \(AP,\s\up6(→)) ⊥ eq \(BC,\s\up6(→)) ，则实数λ的值为( )
A． eq \f(22,15) B． eq \f(10,3) C．6 D． eq \f(12,7)
解析：选A.因为 eq \(AP,\s\up6(→)) ＝λ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(AC,\s\up6(→)) ，且 eq \(AP,\s\up6(→)) ⊥ eq \(BC,\s\up6(→)) ，
所以有 eq \(AP,\s\up6(→)) · eq \(BC,\s\up6(→)) ＝(λ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(AC,\s\up6(→)) )·( eq \(AC,\s\up6(→)) － eq \(AB,\s\up6(→)) )＝λ eq \(AB,\s\up6(→)) · eq \(AC,\s\up6(→)) －λ eq \(AB,\s\up6(→)) 2＋ eq \(AC,\s\up6(→)) 2－ eq \(AB,\s\up6(→)) · eq \(AC,\s\up6(→)) ＝(λ－1) eq \(AB,\s\up6(→)) · eq \(AC,\s\up6(→)) －λ· eq \(AB,\s\up6(→)) 2＋ eq \(AC,\s\up6(→)) 2＝0，
整理可得(λ－1)×3×4×cs 120°－9λ＋16＝0，
解得λ＝ eq \f(22,15) .
(2)(2021·全国乙卷)已知向量a＝(1，3)，b＝(3，4)，若(a－λb)⊥b，则λ＝________．
解析：方法一：a－λb＝(1－3λ，3－4λ)，
因为(a－λb)⊥b，所以(a－λb)·b＝0，
即(1－3λ，3－4λ)·(3，4)＝0，
所以3－9λ＋12－16λ＝0，解得λ＝ eq \f(3,5) .
方法二：由(a－λb)⊥b可知，(a－λb)·b＝0，
即a·b－λb2＝0，
从而λ＝ eq \f(a·b,b2) ＝ eq \f(（1，3）·（3，4）,32＋42) ＝ eq \f(15,25) ＝ eq \f(3,5) .
答案： eq \f(3,5)
【方法提炼】
解平面向量垂直问题的方法
(1)依据：
非零向量垂直的充要条件是：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|.
(2)方法：根据两个向量垂直的充要条件判断或列出相应的关系式，求解参数．
【对点训练】
1．(2023·南京模拟)已知a，b为单位向量．若|a－2b|＝ eq \r(5) ，则|a＋2b|＝( )
A． eq \r(3) B． eq \r(5) C． eq \r(7) D．5
解析：选B.因为|a－2b|＝ eq \r(5) ，
所以a2－4a·b＋4b2＝5，解得a·b＝0，
所以|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝1＋4＝5，
所以|a＋2b|＝ eq \r(5) .
2．(2022·新高考Ⅱ卷) 已知a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t＝( )
A．－6 B．－5 C．5 D．6
解析：选C.c＝(3＋t，4)，cs 〈a，c〉＝cs 〈b，c〉，
即 eq \f(9＋3t＋16,5|c|) ＝ eq \f(3＋t,|c|) ，解得t＝5.
3．(2022·邢台模拟)已知向量a＝(－1，1)，b＝(－2，4)，若a∥c，a⊥(b＋c)，则|c|＝________．
解析：根据题意，设c＝(x，y)，向量a＝(－1，1)，
b＝(－2，4)，若a∥c，a⊥(b＋c)，
则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－y，,－（x－2）＋（y＋4）＝0，))
解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝－3，)) 则|c|＝ eq \r(9＋9) ＝3 eq \r(2) .
答案：3 eq \r(2)
【加练备选】
1．(多选题)已知向量a＝(－2，1)，b＝(1，t)，则下列说法正确的是( )
A．若a∥b，则t的值为－2
B． eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a＋b)) 的最小值为1
C．若 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a＋b)) ＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a－b)) ，则t的值为2
D．若a与b的夹角为钝角，则t的取值范围是(－∞，－ eq \f(1,2) )∪(－ eq \f(1,2) ，2)
解析：选BCD.选项A，a∥b⇔－2·t＝1·1⇔t＝－ eq \f(1,2) ，A选项错误；
选项B， eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a＋b)) ＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(（－1，t＋1）)) ＝ eq \r(（t＋1）2＋1) ≥1，当t＝－1时取等号，B选项正确；
选项C， eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a－b)) ＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(（－3，1－t）)) ＝ eq \r(（－t＋1）2＋9) ，
根据 eq \r(（－t＋1）2＋9) ＝ eq \r(（t＋1）2＋1) ，解得t＝2，C选项正确；
选项D，a与b的夹角为钝角，则a·b＝t－2＜0，
且两个向量不能反向共线，注意到A选项，t＝－ eq \f(1,2) 时，a＝－2b，于是t＜2且t≠－ eq \f(1,2) .
2．已知单位向量a，b满足|a＋b|＞1，则a与b夹角的取值范围是( )
A． eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3))) B． eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2π,3)))
C． eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(2π,3))) D．( eq \f(2π,3) ，π]
解析：选B.方法一：设单位向量a，b的夹角为θ，则θ∈[0，π]，|a＋b|＞1两边平方得a2＋2a·b＋b2＞1，化简得2＋2cs θ＞1，
即cs θ＞－ eq \f(1,2) ，又θ∈[0，π]，所以0≤θ＜ eq \f(2π,3) .
方法二：设单位向量a，b的夹角为θ，显然当θ＝0时成立；当θ≠0时，如图所示，
令 eq \(OA,\s\up6(→)) ＝a， eq \(OB,\s\up6(→)) ＝b，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则 eq \(OC,\s\up6(→)) ＝a＋b，∠AOB＝θ，因为a，b均为单位向量，所以平行四边形OACB是边长为1的菱形，则∠AOC＝ eq \f(θ,2) ，取OC的中点为D，连接AD，则AD⊥OC，
所以cs ∠AOC＝cs eq \f(θ,2) ＝ eq \f(OD,OA) ＝ eq \f(\f(|a＋b|,2),|a|) ＝ eq \f(|a＋b|,2) .
因为|a＋b|＞1，所以cs eq \f(θ,2) ＞ eq \f(1,2) ，
又θ∈(0，π]，所以 eq \f(θ,2) ∈ eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))) ，所以0＜ eq \f(θ,2) ＜ eq \f(π,3) ，即0＜θ＜ eq \f(2π,3) .
综上可知，0≤θ＜ eq \f(2π,3) .
题型三 平面向量的综合应用
角度1 平面几何中的向量方法
[典例5]如图，在正方形ABCD中，E，F分别是CD，AD的中点，BE，CF交于点P.求证：AP＝AB.
【证明】如图，建立平面直角坐标系xOy，不妨设AB＝2，
则A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，E(1，2)，F(0，1).
设P(x，y)，则 eq \(FP,\s\up6(→)) ＝(x，y－1)，
因为 eq \(FP,\s\up6(→)) ∥ eq \(CF,\s\up6(→)) ， eq \(CF,\s\up6(→)) ＝(－2，－1)，
所以－x＝－2(y－1)，即x＝2y－2.
同理，由 eq \(BP,\s\up6(→)) ∥ eq \(BE,\s\up6(→)) ，得y＝－2x＋4，
代入x＝2y－2，解得x＝ eq \f(6,5) ，
所以y＝ eq \f(8,5) ，即P( eq \f(6,5) ， eq \f(8,5) )，
所以 eq \(AP,\s\up6(→)) 2＝( eq \f(6,5) )2＋( eq \f(8,5) )2＝4＝ eq \(AB,\s\up6(→)) 2，
所以| eq \(AP,\s\up6(→)) |＝| eq \(AB,\s\up6(→)) |，即AP＝AB.
【一题多变】
[变式1]本例条件下，证明CF⊥BE.
【证明】如图，建立平面直角坐标系xOy，设AB＝2，
则B(2，0)，C(2，2)，E(1，2)，F(0，1)， eq \(CF,\s\up6(→)) ＝(－2，－1)， eq \(BE,\s\up6(→)) ＝(－1，2).
所以 eq \(CF,\s\up6(→)) · eq \(BE,\s\up6(→)) ＝(－2，－1)·(－1，2)＝2－2＝0，
所以 eq \(CF,\s\up6(→)) ⊥ eq \(BE,\s\up6(→)) ，即CF⊥BE.
[变式2]本例中，将条件“F是AD的中点”改为“F是AB的中点”，其他条件不变，求直线BE与CF相交所成钝角的余弦值．
解析：如图，建立平面直角坐标系xAy，设AB＝2，则B(2，0)，C(2，2)，E(1，2)，F(1，0)， eq \(CF,\s\up6(→)) ＝(－1，－2)， eq \(BE,\s\up6(→)) ＝(－1，2).
所以 eq \(CF,\s\up6(→)) · eq \(BE,\s\up6(→)) ＝(－1，－2)·(－1，2)＝1－4＝－3，| eq \(CF,\s\up6(→)) |＝ eq \r(5) ， eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(BE,\s\up6(→)))) ＝ eq \r(5) ，设 eq \(CF,\s\up6(→)) ， eq \(BE,\s\up6(→)) 的夹角为θ，
则cs θ＝ eq \f(\(CF,\s\up6(→))·\(BE,\s\up6(→)),|\(CF,\s\up6(→))||\(BE,\s\up6(→))|) ＝ eq \f(－3,\r(5)×\r(5)) ＝－ eq \f(3,5) .
即直线BE与CF相交所成钝角的余弦值为－ eq \f(3,5) .
角度2 平面向量与三角函数
[典例6]在△ABC中， eq \(AB,\s\up6(→)) ＝( eq \r(3) sin x，sin x)， eq \(AC,\s\up6(→)) ＝(－sin x，cs x).
(1)设f(x)＝ eq \(AB,\s\up6(→)) · eq \(AC,\s\up6(→)) ，若f(A)＝0，求角A的值；
(2)若对任意的实数t，恒有| eq \(AB,\s\up6(→)) －t eq \(AC,\s\up6(→)) |≥| eq \(BC,\s\up6(→)) |，求△ABC面积的最大值．
解析：(1)f(x)＝ eq \(AB,\s\up6(→)) · eq \(AC,\s\up6(→)) ＝－ eq \r(3) sin 2x＋sin x cs x＝－ eq \r(3) × eq \f(1－cs 2x,2) ＋ eq \f(sin 2x,2) ＝sin (2x＋ eq \f(π,3) )－ eq \f(\r(3),2) .
因为f(A)＝0，所以sin (2A＋ eq \f(π,3) )＝ eq \f(\r(3),2) .
又因为A∈(0，π)，所以2A＋ eq \f(π,3) ∈( eq \f(π,3) ，2π＋ eq \f(π,3) )，
所以2A＋ eq \f(π,3) ＝ eq \f(2π,3) ，所以A＝ eq \f(π,6) ；
(2)如图，设 eq \(AD,\s\up6(→)) ＝t eq \(AC,\s\up6(→)) ，
则 eq \(AB,\s\up6(→)) －t eq \(AC,\s\up6(→)) ＝ eq \(DB,\s\up6(→)) ，
即| eq \(DB,\s\up6(→)) |≥| eq \(BC,\s\up6(→)) |恒成立，所以AC⊥BC.
因为| eq \(AB,\s\up6(→)) |＝ eq \r(4sin2x) ＝ eq \r(2－2cs2x) ≤2，| eq \(AC,\s\up6(→)) |＝1，
所以| eq \(BC,\s\up6(→)) |＝ eq \r(|\(AB,\s\up6(→))|2－|\(AC,\s\up6(→))|2) ≤ eq \r(3) ，
所以△ABC的面积为S＝ eq \f(1,2) BC·AC≤ eq \f(\r(3),2) ，
当且仅当cs 2x＝0，
即x＝ eq \f(π,4) ＋kπ，k∈Z时等号成立，
所以△ABC面积的最大值为 eq \f(\r(3),2) .
【方法提炼】
1．用向量法解决平面几何问题的策略
(1)把几何图形放在适当的坐标系中，则有关的点与向量就可以用坐标表示出来，这样就能进行相应的代数运算，从而使问题得到解决；
(2)选取一组合适的基底，将未知向量用基底表示出来，然后根据向量的运算法则、运算律和性质求解．
2．向量与三角函数结合时，通常以向量为表现形式，解决三角函数问题，要注意向量夹角与三角形内角的区别与联系．
【对点训练】
1．(多选题)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，点P1(cs α，sin α)，P2(cs β，－sin β)，P3(cs (α＋β)，sin (α＋β))，A(1，0)，则( )
A．|OP1|＝|OP2|
B．|AP1|＝|AP2|
C． eq \(OA,\s\up6(→)) ·OP3＝OP1·OP2
D． eq \(OA,\s\up6(→)) ·OP1＝OP2·OP3
解析：选AC.对于A：|OP1|＝ eq \r(cs 2α＋sin 2α) ＝1，
|OP2|＝ eq \r(cs 2β＋sin 2β) ＝1，所以A对；
因为|AP1|＝ eq \r(（cs α－1）2＋sin 2α) ＝ eq \r(2－2cs α) ，
|AP2|＝ eq \r(（cs β－1）2＋sin 2β) ＝ eq \r(2－2cs β) ，
当α＝ eq \f(π,3) ，β＝ eq \f(π,6) 时|AP1|≠|AP2|，所以B错；
因为 eq \(OA,\s\up6(→)) ·OP3＝(1，0)·(cs (α＋β)，sin (α＋β))＝cs (α＋β)，
OP1·OP2＝(cs α，sin α)·(cs β，－sin β)＝cs αcs β－sin αsin β＝cs (α＋β)，
eq \(OA,\s\up6(→)) ·OP3＝OP1·OP2，所以C对；
而 eq \(OA,\s\up6(→)) ·OP1＝(1，0)·(cs α，sin α)＝cs α，
OP2·OP3＝(cs β，－sin β)·(cs (α＋β)，
sin (α＋β))＝cs βcs (α＋β)－sin βsin (α＋β)＝cs (2β＋α)，所以D错．
2．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝ eq \r(3) ，BC＝3，BE⊥AC，垂足为E，求ED的长．
解析：以A为坐标原点，AD，AB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系xAy，则A(0，0)，B(0， eq \r(3) )，C(3， eq \r(3) )，D(3，0)， eq \(AC,\s\up6(→)) ＝(3， eq \r(3) )，
设 eq \(AE,\s\up6(→)) ＝λ eq \(AC,\s\up6(→)) ，则E的坐标为(3λ， eq \r(3) λ)，
故 eq \(BE,\s\up6(→)) ＝(3λ， eq \r(3) λ－ eq \r(3) ).
因为BE⊥AC，所以 eq \(BE,\s\up6(→)) · eq \(AC,\s\up6(→)) ＝0，
即9λ＋3λ－3＝0，
解得λ＝ eq \f(1,4) ，所以E( eq \f(3,4) ， eq \f(\r(3),4) )，
故 eq \(ED,\s\up6(→)) ＝( eq \f(9,4) ，－ eq \f(\r(3),4) )，| eq \(ED,\s\up6(→)) |＝ eq \f(\r(21),2) ，
即ED＝ eq \f(\r(21),2) .
【加练备选】
设P是△ABC所在平面内一点，若 eq \(AB,\s\up6(→)) ·( eq \(CB,\s\up6(→)) ＋ eq \(CA,\s\up6(→)) )＝2 eq \(AB,\s\up6(→)) · eq \(CP,\s\up6(→)) ，且 eq \(AB,\s\up6(→)) 2＝ eq \(AC,\s\up6(→)) 2－2 eq \(BC,\s\up6(→)) · eq \(AP,\s\up6(→)) ，则点P是△ABC的( )
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
解析：选A.由 eq \(AB,\s\up6(→)) ·( eq \(CB,\s\up6(→)) ＋ eq \(CA,\s\up6(→)) )＝2 eq \(AB,\s\up6(→)) · eq \(CP,\s\up6(→)) ，得 eq \(AB,\s\up6(→)) ·( eq \(CB,\s\up6(→)) ＋ eq \(CA,\s\up6(→)) －2 eq \(CP,\s\up6(→)) )＝0，
即 eq \(AB,\s\up6(→)) ·[( eq \(CB,\s\up6(→)) － eq \(CP,\s\up6(→)) )＋( eq \(CA,\s\up6(→)) － eq \(CP,\s\up6(→)) )]＝0，
所以 eq \(AB,\s\up6(→)) ·( eq \(PB,\s\up6(→)) ＋ eq \(PA,\s\up6(→)) )＝0.
设D为AB的中点，则 eq \(AB,\s\up6(→)) ·2 eq \(PD,\s\up6(→)) ＝0，
故 eq \(AB,\s\up6(→)) · eq \(PD,\s\up6(→)) ＝0.
由 eq \(AB,\s\up6(→)) 2＝ eq \(AC,\s\up6(→)) 2－2 eq \(BC,\s\up6(→)) · eq \(AP,\s\up6(→)) ，得
( eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(AC,\s\up6(→)) )·( eq \(AB,\s\up6(→)) － eq \(AC,\s\up6(→)) )＝－2 eq \(BC,\s\up6(→)) · eq \(AP,\s\up6(→)) ，
即( eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(AC,\s\up6(→)) －2 eq \(AP,\s\up6(→)) )· eq \(CB,\s\up6(→)) ＝0.
设E为BC的中点，则(2 eq \(AE,\s\up6(→)) －2 eq \(AP,\s\up6(→)) )· eq \(CB,\s\up6(→)) ＝0，
则2 eq \(PE,\s\up6(→)) · eq \(CB,\s\up6(→)) ＝0，故 eq \(CB,\s\up6(→)) · eq \(PE,\s\up6(→)) ＝0.
所以P为AB与BC的垂直平分线的交点，
所以P是△ABC的外心．
【思维导图·构网络】
解题方法拓广角度7 平面图形与数量积最值、范围的综合
【考情分析】
以平面图形为载体的有关数量积的最值问题和范围问题是高考的热点之一，常以选择题、填空题的形式呈现．要深刻理解数量积的意义，从不同角度对数量积进行转化．
[解题思路]建立目标函数的解析式，转化为求函数(二次函数、三角函数等)的最值或应用基本不等式．同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以还有一种思路是数形结合，应用图形的几何性质.
一、几何投影法
侧重于从投影入手体现几何意义，如平面向量数量积a·b＝|a||b|cs θ，其几何意义为其中一个向量长度乘以另一个向量在其方向上的投影，解题时可结合向量的投影来探寻联系，从而转化为数量积问题．
[典例1](2020·新高考卷Ⅰ)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内一点，则 eq \(AP,\s\up6(→)) · eq \(AB,\s\up6(→)) 的取值范围为( )
A. (－2，6) B. (－6，2)C. (－2，4) D. (－4，6)
解析：选A.根据定义可知 eq \(AP,\s\up6(→)) · eq \(AB,\s\up6(→)) ＝| eq \(AP,\s\up6(→)) || eq \(AB,\s\up6(→)) |cs ∠PAB，其中
| eq \(AP,\s\up6(→)) |cs ∠PAB表示 eq \(AP,\s\up6(→)) 在 eq \(AB,\s\up6(→)) 方向上的投影．
如图所示，
当点P与点C相重合时投影最大，而当点P与点F相重合时投影最小．已知| eq \(AB,\s\up6(→)) |＝2，则 eq \(AP,\s\up6(→)) 在 eq \(AB,\s\up6(→)) 方向上投影的数量取值范围为(－1，3).结合向量数量积的定义可知，当点P在正六边形ABCDEF内部运动时， eq \(AP,\s\up6(→)) · eq \(AB,\s\up6(→)) 的取值范围为(－2，6).
二、基向量法
解题时有时无法获取对应向量数量积的要素，如模和夹角，此时就可以考虑采用基底法．先设定两个不平行的向量作为基底，然后将所需向量表示出来，最后根据条件进行最值分析．
[典例2](2022·保定模拟)已知△ABC的三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为AB边上任意一点，则 eq \(CP,\s\up6(→)) ·( eq \(BA,\s\up6(→)) － eq \(BC,\s\up6(→)) )的最大值为________．
解析：因为 eq \(CP,\s\up6(→)) ＝ eq \(CA,\s\up6(→)) ＋ eq \(AP,\s\up6(→)) ， eq \(BA,\s\up6(→)) － eq \(BC,\s\up6(→)) ＝ eq \(CA,\s\up6(→)) ，
所以 eq \(CP,\s\up6(→)) ·( eq \(BA,\s\up6(→)) － eq \(BC,\s\up6(→)) )＝( eq \(CA,\s\up6(→)) ＋ eq \(AP,\s\up6(→)) )· eq \(CA,\s\up6(→)) ＝ eq \(CA,\s\up6(→)) 2＋ eq \(AP,\s\up6(→)) · eq \(CA,\s\up6(→)) ＝9－ eq \(AP,\s\up6(→)) · eq \(AC,\s\up6(→))
＝9－| eq \(AP,\s\up6(→)) || eq \(AC,\s\up6(→)) |cs ∠BAC＝9－3| eq \(AP,\s\up6(→)) |cs ∠BAC.
因为cs ∠BAC为正且为定值，
所以当| eq \(AP,\s\up6(→)) |最小，即| eq \(AP,\s\up6(→)) |＝0时，
eq \(CP,\s\up6(→)) ·( eq \(BA,\s\up6(→)) － eq \(BC,\s\up6(→)) )取得最大值9.
答案：9
三、坐标法(数形结合法)
把几何图形放在适当的坐标系中，将向量坐标化，利用向量之间的坐标运算来解答．坐标法是高考中常用的解题技巧，其核心知识点为向量数量积的运算法则，即a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
[典例3](1)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1.若点E为边CD上的动点，则 eq \(AE,\s\up6(→)) · eq \(BE,\s\up6(→)) 的最小值为( )
A． eq \f(21,16) B． eq \f(3,2) C． eq \f(25,16) D．3
解析：选A.解法一：(坐标法)如图，以D点为坐标原点，
DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．
所以A(1，0)，B( eq \f(3,2) ， eq \f(\r(3),2) )，在平面四边形ABCD中知CD＝ eq \r(3) .
所以设DE＝t(t∈[0， eq \r(3) ])，所以E(0，t).
所以 eq \(AE,\s\up6(→)) · eq \(BE,\s\up6(→)) ＝(－1，t)·(－ eq \f(3,2) ，t－ eq \f(\r(3),2) )＝ eq \f(3,2) ＋t2－ eq \f(\r(3),2) t＝(t－ eq \f(\r(3),4) )2＋ eq \f(21,16) .
所以当t＝ eq \f(\r(3),4) 时，( eq \(AE,\s\up6(→)) · eq \(BE,\s\up6(→)) )min＝ eq \f(21,16) .
解法二：(基向量法)连接AC(图略)，易知DC＝ eq \r(3) ，∠CAD＝60°，设DE＝x(0≤x≤ eq \r(3) )，
则 eq \(AE,\s\up6(→)) · eq \(BE,\s\up6(→)) ＝( eq \(AD,\s\up6(→)) ＋ eq \(DE,\s\up6(→)) )·( eq \(BA,\s\up6(→)) ＋ eq \(AD,\s\up6(→)) ＋ eq \(DE,\s\up6(→)) )
＝1×1×cs 60°＋12＋0＋x×1×cs 150°＋0＋x2＝(x－ eq \f(\r(3),4) )2＋ eq \f(21,16) ≥ eq \f(21,16) .
解法三：(基向量法)如图，取AB的中点F，连接EF，
则 eq \(AE,\s\up6(→)) · eq \(BE,\s\up6(→)) ＝ eq \(EA,\s\up6(→)) · eq \(EB,\s\up6(→)) ＝( eq \(EF,\s\up6(→)) ＋ eq \(FA,\s\up6(→)) )·( eq \(EF,\s\up6(→)) － eq \(FA,\s\up6(→)) )＝ eq \(EF,\s\up6(→)) 2－ eq \(FA,\s\up6(→)) 2＝ eq \(EF,\s\up6(→)) 2－ eq \f(1,4) .可知当且仅当| eq \(EF,\s\up6(→)) |最小时， eq \(AE,\s\up6(→)) · eq \(BE,\s\up6(→)) 取最小值．分别过点F，B作CD的垂线，垂足分别为H，G，当点E与H重合时，EF取到最小值，易知HF为梯形DABG的中位线，
由已知得|BG|＝ eq \f(3,2) ，|AD|＝1，
则|HF|＝ eq \f(1,2) (|BG|＋|AD|)＝ eq \f(5,4) ，故|EF|的最小值为 eq \f(5,4) .
故 eq \(AE,\s\up6(→)) · eq \(BE,\s\up6(→)) 的最小值为 eq \f(21,16) .
(2)(2020·天津高考)如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且 eq \(AD,\s\up6(→)) ＝λ eq \(BC,\s\up6(→)) ， eq \(AD,\s\up6(→)) · eq \(AB,\s\up6(→)) ＝－ eq \f(3,2) ，则实数λ的值为________，若M，N是线段BC上的动点，且| eq \(MN,\s\up6(→)) |＝1，则 eq \(DM,\s\up6(→)) · eq \(DN,\s\up6(→)) 的最小值为__________．
解析：因为 eq \(AD,\s\up6(→)) ＝λ eq \(BC,\s\up6(→)) ，所以AD∥BC，所以∠BAD＝180°－∠B＝120°，
所以 eq \(AD,\s\up6(→)) · eq \(AB,\s\up6(→)) ＝λ eq \(BC,\s\up6(→)) · eq \(AB,\s\up6(→)) ＝λ| eq \(BC,\s\up6(→)) |·| eq \(AB,\s\up6(→)) |cs 120°＝λ×6×3×(－ eq \f(1,2) )＝－9λ＝－ eq \f(3,2) ，解得λ＝ eq \f(1,6) .
以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系xBy，
因为BC＝6，所以C(6，0)，
因为AB＝3，∠ABC＝60°，
所以点A的坐标为( eq \f(3,2) ， eq \f(3\r(3),2) )，
因为 eq \(AD,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,6) eq \(BC,\s\up6(→)) ，则D( eq \f(5,2) ， eq \f(3\r(3),2) )，设M(x，0)，
则N(x＋1，0)(其中0≤x≤5)，
所以 eq \(DM,\s\up6(→)) ＝(x－ eq \f(5,2) ，－ eq \f(3\r(3),2) )， eq \(DN,\s\up6(→)) ＝(x－ eq \f(3,2) ，－ eq \f(3\r(3),2) )，
eq \(DM,\s\up6(→)) · eq \(DN,\s\up6(→)) ＝(x－ eq \f(5,2) )(x－ eq \f(3,2) )＋( eq \f(3\r(3),2) )2＝x2－4x＋ eq \f(21,2) ＝(x－2)2＋ eq \f(13,2) ，所以当x＝2时， eq \(DM,\s\up6(→)) · eq \(DN,\s\up6(→)) 取得最小值，最小值为 eq \f(13,2) .
答案： eq \f(1,6) eq \f(13,2)
【加练备选】
(2023·广州模拟)如图1，已知AC＝2，B为AC的中点，分别以AB，AC为直径在AC同侧作半圆，M，N分别为两半圆上的动点(不含端点A，B，C)，且BM⊥BN，则 eq \(AM,\s\up6(→)) · eq \(CN,\s\up6(→)) 的最大值为__________．
解析：方法一：由题设可知AB＝BC＝BN＝1.
因为点M在以AB为直径的半圆上，
所以AM⊥BM，又BM⊥BN，所以AM∥BN，
设∠MAB＝θ，则∠NBC＝θ.
如题图2，建立平面直角坐标系xBy，
则点A(－1，0)，M(－sin2θ，sinθcs θ)，C(1，0)，N(cs θ，sin θ)，
所以 eq \(AM,\s\up6(→)) ＝(－sin2θ＋1，sin θcs θ)＝(cs2θ，sinθcs θ)， eq \(CN,\s\up6(→)) ＝(cs θ－1，sin θ).
于是， eq \(AM,\s\up6(→)) · eq \(CN,\s\up6(→)) ＝cs2θ·(csθ－1)＋sin2θcsθ＝cs3θ－cs2θ＋(1－cs2θ)csθ
＝－cs2θ＋csθ＝ eq \f(1,4) －(cs θ－ eq \f(1,2) )2.
又易知0<θ< eq \f(π,2) ，所以，
当θ＝ eq \f(π,3) 时，可得 eq \(AM,\s\up6(→)) · eq \(CN,\s\up6(→)) 的最大值为 eq \f(1,4) .
答案： eq \f(1,4)
方法二：如题图2，建立平面直角坐标系xBy，设直线BN的方程为y＝kx(k>0)，因为BM⊥BN，所以直线BM的方程为y＝－ eq \f(1,k) x.
注意到点N是直线BN与以AC为直径的半圆的交点，所以将y＝kx与x2＋y2＝1联立，
可求得点N的坐标为( eq \f(1,\r(1＋k2)) ， eq \f(k,\r(1＋k2)) ).
注意到点M是直线BM与以AB为直径的半圆的交点，
所以将y＝－ eq \f(1,k) x与(x＋ eq \f(1,2) )2＋y2＝ eq \f(1,4) 联立，
可求得点M的坐标为( eq \f(－k2,k2＋1) ， eq \f(k,k2＋1) ).
又点A(－1，0)，C(1，0)，所以向量 eq \(AM,\s\up6(→)) ＝( eq \f(1,k2＋1) ， eq \f(k,k2＋1) )，
eq \(CN,\s\up6(→)) ＝( eq \f(1,\r(1＋k2)) －1， eq \f(k,\r(1＋k2)) )，
所以 eq \(AM,\s\up6(→)) · eq \(CN,\s\up6(→))
＝ eq \f(1,k2＋1) ( eq \f(1,\r(1＋k2)) －1)＋ eq \f(k,k2＋1) · eq \f(k,\r(1＋k2))
＝ eq \f(1,k2＋1) ( eq \f(k2＋1,\r(1＋k2)) －1)＝ eq \f(1,\r(1＋k2)) － eq \f(1,k2＋1)
＝ eq \f(1,4) －( eq \f(1,\r(1＋k2)) － eq \f(1,2) )2，
故当 eq \f(1,\r(1＋k2)) ＝ eq \f(1,2) ，即k＝ eq \r(3) 时，可得 eq \(AM,\s\up6(→)) · eq \(CN,\s\up6(→)) 的最大值为 eq \f(1,4) .
答案： eq \f(1,4)
方法三：由题设可知AB＝BC＝BN＝1，
因为点M在以AB为直径的半圆上，
所以AM⊥BM，又BM⊥BN，所以AM∥BN，
所以 eq \(AM,\s\up6(→)) · eq \(BN,\s\up6(→)) ＝| eq \(AM,\s\up6(→)) |×1×cs 0°＝| eq \(AM,\s\up6(→)) |.
因为AM⊥BM，AB＝1，
所以| eq \(AM,\s\up6(→)) |＝1×cs ∠MAB＝cs ∠MAB，
所以 eq \(AM,\s\up6(→)) · eq \(BC,\s\up6(→)) ＝ eq \(AM,\s\up6(→)) · eq \(AB,\s\up6(→)) ＝| eq \(AM,\s\up6(→)) |×1×cs ∠MAB＝| eq \(AM,\s\up6(→)) |2.
于是， eq \(AM,\s\up6(→)) · eq \(CN,\s\up6(→)) ＝ eq \(AM,\s\up6(→)) ·( eq \(BN,\s\up6(→)) － eq \(BC,\s\up6(→)) )＝ eq \(AM,\s\up6(→)) · eq \(BN,\s\up6(→)) － eq \(AM,\s\up6(→)) · eq \(BC,\s\up6(→)) ＝| eq \(AM,\s\up6(→)) |－| eq \(AM,\s\up6(→)) |2＝ eq \f(1,4) －(| eq \(AM,\s\up6(→)) |－ eq \f(1,2) )2.
又0<| eq \(AM,\s\up6(→)) |<1，所以，当| eq \(AM,\s\up6(→)) |＝ eq \f(1,2) 时，
可得 eq \(AM,\s\up6(→)) · eq \(CN,\s\up6(→)) 的最大值为 eq \f(1,4) .
答案： eq \f(1,4)
方法四：如图3，分别延长AM，CN，设其交点为E，并设ME与大半圆的交点为D，连接CD，则易知AM⊥MB，AD⊥DC，
所以BM∥CD，又B为AC的中点，
所以M为AD的中点，所以 eq \(AM,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) eq \(AD,\s\up6(→)) .
又易知 eq \(AE,\s\up6(→)) ∥ eq \(BN,\s\up6(→)) ，且B为AC的中点，
所以N为CE的中点，所以 eq \(CN,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) eq \(CE,\s\up6(→)) .
于是， eq \(AM,\s\up6(→)) · eq \(CN,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,4) eq \(AD,\s\up6(→)) · eq \(CE,\s\up6(→))
＝ eq \f(1,4) eq \(AD,\s\up6(→)) ·( eq \(CD,\s\up6(→)) ＋ eq \(DE,\s\up6(→)) )
＝ eq \f(1,4) eq \(AD,\s\up6(→)) · eq \(CD,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,4) eq \(AD,\s\up6(→)) · eq \(DE,\s\up6(→))
＝0＋ eq \f(1,4) | eq \(AD,\s\up6(→)) |·| eq \(DE,\s\up6(→)) |cs 0°
＝ eq \f(1,4) | eq \(AD,\s\up6(→)) |·| eq \(DE,\s\up6(→)) |.
因为BN为△ACE的中位线，
所以| eq \(AD,\s\up6(→)) |＋| eq \(DE,\s\up6(→)) |＝| eq \(AE,\s\up6(→)) |＝2| eq \(BN,\s\up6(→)) |＝2.
从而， eq \(AM,\s\up6(→)) · eq \(CN,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,4) | eq \(AD,\s\up6(→)) |·| eq \(DE,\s\up6(→)) |≤ eq \f(1,4) ( eq \f(|\(AD,\s\up6(→))|＋|\(DE,\s\up6(→))|,2) )2＝ eq \f(1,4) ×( eq \f(2,2) )2＝ eq \f(1,4) ，
当且仅当| eq \(AD,\s\up6(→)) |＝| eq \(DE,\s\up6(→)) |，即D为AE的中点时不等式取等号．
故所求 eq \(AM,\s\up6(→)) · eq \(CN,\s\up6(→)) 的最大值为 eq \f(1,4) .
答案： eq \f(1,4)
方法五：如图4，以BC为直径画半圆，交BN于点D，连接CD，则BD⊥CD.又易知AM∥BD，且AM＝BD，
所以 eq \(AM,\s\up6(→)) · eq \(CN,\s\up6(→)) ＝ eq \(BD,\s\up6(→)) ·( eq \(CD,\s\up6(→)) ＋ eq \(DN,\s\up6(→)) )＝ eq \(BD,\s\up6(→)) · eq \(CD,\s\up6(→)) ＋ eq \(BD,\s\up6(→)) · eq \(DN,\s\up6(→))
＝0＋| eq \(BD,\s\up6(→)) |·| eq \(DN,\s\up6(→)) |cs 0°＝| eq \(BD,\s\up6(→)) |·| eq \(DN,\s\up6(→)) |≤( eq \f(|\(BD,\s\up6(→))|＋|\(DN,\s\up6(→))|,2) )2＝( eq \f(1,2) )2＝ eq \f(1,4) ，
当且仅当| eq \(BD,\s\up6(→)) |＝| eq \(DN,\s\up6(→)) |，即D为BN中点时不等式取等号．
故所求 eq \(AM,\s\up6(→)) · eq \(CN,\s\up6(→)) 的最大值为 eq \f(1,4) .
答案： eq \f(1,4)
定义
已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作 eq \(OA,\s\up6(→)) ＝a， eq \(OB,\s\up6(→)) ＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角
范围
向量夹角θ的范围是0≤θ≤π
特例
当a与b同向时，θ＝0；
当a与b反向时，θ＝π；
当a与b垂直时，θ＝ eq \f(π,2)
条件
两个非零向量a与b的夹角为θ
结论
数量|a||b|cs__θ叫做向量a与b的数量积(或内积)
记法
记作a·b，即a·b＝|a||b|cs__θ
规定
零向量与任一向量的数量积为0
条件
设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量， eq \(AB,\s\up6(→)) ＝a， eq \(CD,\s\up6(→)) ＝b
作
图
过 eq \(AB,\s\up6(→)) 的起点A和终点B，分别作 eq \(CD,\s\up6(→)) 所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到
结
论
我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量．记为|a|cs__θ__e
结论
符号表示
坐标表示
模
|a|＝ eq \r(a·a)
|a|＝ eq \r(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) )
夹角
cs θ＝ eq \f(a·b,|a||b|)
cs θ＝ eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) )\r(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＋y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ))
垂直
a⊥b⇔a·b＝0
a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0
不等关系
|a·b|≤|a||b|
|x1x2＋y1y2|≤ eq \r(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ) eq \r(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＋y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) )
教材改编
结论应用
易错易混
3，6
2，4
1，5
第三节 平面向量的数量积及应用
【课程标准】
1．通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积．
2．通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义．
3．会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．
4．会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学和实际问题中的作用．
【必备知识】精归纳
1．向量的夹角
点睛 确定两个非零向量a和b的夹角，必须将两个向量平移至同一起点．
2．向量的数量积
3.投影向量
4.向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb).
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c．
点睛 注意数量积运算与实数运算的区别，例如：
a·b＝a·c(a≠0)b＝c；a·b＝0 a＝0或b＝0；(a·b)·c≠a·(b·c).
5．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
【常用结论】
1．有关向量夹角的两个结论：
(1)两向量a与b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a与b不共线；
(2)两向量a与b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a与b不共线；
2．a在b上的投影向量为 eq \f(a·b,|b|) · eq \f(b,|b|) ，a在b上的投影向量的模为 eq \f(|a·b|,|b|) .
【基础小题】固根基
1.(多选题)(数量积运算与实数运算混淆)设a，b是任意的非零向量，则下列结论正确的是( )
A．0·a＝0
B．|a·b|＝|a||b|
C．(a－b)2＝a2－2a·b＋b2
D．(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2
解析：选CD.A错误，0·a＝0；B错误，例如若a＝(1，0)，b＝(0，1)，则|a·b|＝0，|a||b|＝1；C，D正确．
2．(结论1)已知a，b为非零向量，则“a·b＞0”是“a与b的夹角为锐角”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B.根据向量数量积的定义可知，若a·b＞0，则a与b的夹角为锐角或零角，若a与b的夹角为锐角，则一定有a·b＞0，所以“a·b＞0”是“a与b的夹角为锐角”的必要不充分条件．
3．(教材提升)设向量a，b满足|a|＝|b|＝1且|3a－2b|＝ eq \r(7) ，则a，b的夹角为( )
A． eq \f(π,3) B． eq \f(π,6) C． eq \f(π,4) D． eq \f(2π,3)
解析：选A.设a与b的夹角为θ，
由题意得(3a－2b)2＝7，
所以9|a|2＋4|b|2－12a·b＝7，
又|a|＝|b|＝1，
所以a·b＝ eq \f(1,2) ，所以|a||b|cs θ＝ eq \f(1,2) ，
即cs θ＝ eq \f(1,2) .又θ∈[0，π]，所以a，b的夹角为 eq \f(π,3) .
4．(结论2)已知向量a＝(1，2)，点A(6，4)，点B(4，3)，b为向量 eq \(AB,\s\up6(→)) 在向量a上的投影向量，则|b|＝( )
A． eq \f(4\r(5),5) B．1 C． eq \r(5) D．4
解析：选A. eq \(AB,\s\up6(→)) ＝(－2，－1)，可知|b|＝ eq \f(|\(AB,\s\up6(→))·a|,|a|) ＝| eq \f(－2×1＋（－1）×2,\r(5)) |＝ eq \f(4\r(5),5) .
5．(向量夹角的概念不清致误)在△ABC中，∠B＝60°，AB＝6，BC＝5，则 eq \(AB,\s\up6(→)) · eq \(BC,\s\up6(→)) ＝________．
解析：在△ABC中，∠B＝60°，AB＝6，BC＝5，
则 eq \(AB,\s\up6(→)) · eq \(BC,\s\up6(→)) ＝| eq \(AB,\s\up6(→)) || eq \(BC,\s\up6(→)) |cs (180°－60°)
＝6×5×(－ eq \f(1,2) )＝－15.
答案：－15
6．(教材变式)已知向量a＝(2，t)，a－b＝(1，t－3)，若a⊥b，则t＝________．
解析：因为a＝(2，t)，a－b＝(1，t－3)，
所以b＝a－(a－b)＝(1，3)，
因为a⊥b，所以a·b＝(2，t)·(1，3)＝2＋3t＝0，
解得t＝－ eq \f(2,3) .
答案：－ eq \f(2,3)
题型一 平面向量数量积的运算
[典例1](1)非零向量a，b，c满足a·b＝a·c，a与b的夹角为 eq \f(π,6) ，|b|＝4，则c在a上的投影向量的模为( )
A．2 B．2 eq \r(3) C．3 D．4
解析：选B.由a·b＝a·c，
可得|a||b|cs 〈a，b〉＝|a||c|cs 〈a，c〉，
因为|a|≠0，所以|c|cs 〈a，c〉＝|b|cs 〈a，b〉
＝4×cs eq \f(π,6) ＝2 eq \r(3) ，所以c在a上的投影向量的模为||c|cs 〈a，c〉|＝2 eq \r(3) .
(2)(2023·揭阳模拟)已知点P是边长为2的菱形ABCD内的一点(包含边界)，且∠BAD＝120°，则 eq \(AP,\s\up6(→)) · eq \(AB,\s\up6(→)) 的取值范围是( )
A．[－2，4] B．(－2，4)
C．[－2，2] D．(－2，2)
解析：选A. eq \(AP,\s\up6(→)) · eq \(AB,\s\up6(→)) ＝| eq \(AP,\s\up6(→)) || eq \(AB,\s\up6(→)) |cs 〈 eq \(AB,\s\up6(→)) ， eq \(AP,\s\up6(→)) 〉＝2| eq \(AP,\s\up6(→)) |cs 〈 eq \(AB,\s\up6(→)) ， eq \(AP,\s\up6(→)) 〉，
结合图形可知，
当点P与点B重合时，| eq \(AP,\s\up6(→)) |cs 〈 eq \(AB,\s\up6(→)) ， eq \(AP,\s\up6(→)) 〉最大，此时 eq \(AP,\s\up6(→)) · eq \(AB,\s\up6(→)) ＝ eq \(AB,\s\up6(→)) 2＝4，
当点P与点D重合时，| eq \(AP,\s\up6(→)) |cs 〈 eq \(AB,\s\up6(→)) ， eq \(AP,\s\up6(→)) 〉最小，此时 eq \(AP,\s\up6(→)) · eq \(AB,\s\up6(→)) ＝2×2×cs 120°＝－2，所以 eq \(AP,\s\up6(→)) · eq \(AB,\s\up6(→)) 的取值范围是[－2，4].
(3)(2022·全国甲卷)设向量a，b的夹角的余弦值为 eq \f(1,3) ，且|a|＝1，|b|＝3，则(2a＋b)·b＝________．
解析：由题意可得a·b＝1×3× eq \f(1,3) ＝1，b2＝9，
则(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2＋9＝11.
答案：11
(4)正方形ABCD中，AB＝2，P为BC的中点，Q为DC的中点，则 eq \(PQ,\s\up6(→)) · eq \(PC,\s\up6(→)) ＝________；若M为CD上的动点，则 eq \(PQ,\s\up6(→)) · eq \(PM,\s\up6(→)) 的最大值为________．
解析：以点D为原点，以直线DC为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
AB＝2，P为BC的中点，Q为DC的中点，则：
P(2，1)，Q(1，0)，C(2，0)，
所以 eq \(PQ,\s\up6(→)) ＝(－1，－1)， eq \(PC,\s\up6(→)) ＝(0，－1)，
所以 eq \(PQ,\s\up6(→)) · eq \(PC,\s\up6(→)) ＝1；设M(x，0)(0≤x≤2)，
则 eq \(PM,\s\up6(→)) ＝(x－2，－1)，所以 eq \(PQ,\s\up6(→)) · eq \(PM,\s\up6(→))
＝2－x＋1＝3－x，
所以x＝0时， eq \(PQ,\s\up6(→)) · eq \(PM,\s\up6(→)) 的最大值为3.
答案：1 3
【方法提炼】——自主完善，老师指导
计算平面向量数量积的主要方法
(1)利用定义：a·b＝|a||b|cs〈a，b〉．
(2)利用坐标运算：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2．
(3)灵活运用平面向量数量积的几何意义．
【对点训练】
1．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为边DC的中点，F为BE的中点，则 eq \(AF,\s\up6(→)) · eq \(AE,\s\up6(→)) ＝( )
A．3 B．2 C． eq \f(3,2) D． eq \f(1,2)
解析：选B.以A为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，
则A(0，0)，E(1，1)，F( eq \f(3,2) ， eq \f(1,2) )，
所以 eq \(AF,\s\up6(→)) ＝( eq \f(3,2) ， eq \f(1,2) )， eq \(AE,\s\up6(→)) ＝(1，1)，
所以 eq \(AF,\s\up6(→)) · eq \(AE,\s\up6(→)) ＝ eq \f(3,2) ＋ eq \f(1,2) ＝2.
2．(2023·淄博模拟)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，F为AB的中点，CE＝3，CB＝8，AB＝12，则 eq \(EA,\s\up6(→)) · eq \(EB,\s\up6(→)) ＝( )
A．－15 B．－13 C．13 D．15
解析：选C.因为∠ABC＝90°，F为AB的中点，
CB＝8，AB＝12，
所以FA＝FB＝6，
所以CF＝ eq \r(FB2＋CB2) ＝ eq \r(62＋82) ＝10，
又CE＝3，所以FE＝CF－CE＝10－3＝7，
所以 eq \(EA,\s\up6(→)) · eq \(EB,\s\up6(→)) ＝( eq \(FA,\s\up6(→)) － eq \(FE,\s\up6(→)) )·( eq \(FB,\s\up6(→)) － eq \(FE,\s\up6(→)) )＝ eq \(FA,\s\up6(→)) · eq \(FB,\s\up6(→)) － eq \(FE,\s\up6(→)) ·( eq \(FA,\s\up6(→)) ＋ eq \(FB,\s\up6(→)) )＋ eq \(FE,\s\up6(→)) 2
＝6×6×(－1)＋7×7＝13.
3．(多选题)如图，点A，B在圆C上，则 eq \(AB,\s\up6(→)) · eq \(AC,\s\up6(→)) 的值( )
A．与圆C的半径有关
B．与圆C的半径无关
C．与弦AB的长度有关
D．与点A，B的位置有关
解析：选BC.如图，连接AB，过C作CD⊥AB交AB于D，则D是AB的中点，
故 eq \(AB,\s\up6(→)) · eq \(AC,\s\up6(→)) ＝| eq \(AB,\s\up6(→)) || eq \(AC,\s\up6(→)) |cs ∠CAD＝| eq \(AB,\s\up6(→)) || eq \(AC,\s\up6(→)) | eq \f(\f(1,2)|\(AB,\s\up6(→))|,|\(AC,\s\up6(→))|) ＝ eq \f(1,2) | eq \(AB,\s\up6(→)) |2，
故 eq \(AB,\s\up6(→)) · eq \(AC,\s\up6(→)) 的值与圆C的半径无关，只与弦AB的长度有关．
【加练备选】
1．(2021·新高考Ⅱ卷)已知向量a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝|c|＝2，则a·b＋b·c＋c·a＝__________.
解析：由已知可得 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋b＋c)) eq \s\up12(2)
＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2(a·b＋b·c＋c·a)
＝9＋2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a·b＋b·c＋c·a)) ＝0，
因此，a·b＋b·c＋c·a＝－ eq \f(9,2) .
答案：－ eq \f(9,2)
2．如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且 eq \(AD,\s\up6(→)) ＝λ eq \(BC,\s\up6(→)) ， eq \(AD,\s\up6(→)) · eq \(AB,\s\up6(→)) ＝－ eq \f(3,2) ，则实数λ的值为________；若M，N是线段BC上的动点，且| eq \(MN,\s\up6(→)) |＝1，则 eq \(DM,\s\up6(→)) · eq \(DN,\s\up6(→)) 的最小值为________．
解析：因为 eq \(AD,\s\up6(→)) ＝λ eq \(BC,\s\up6(→)) ，
所以AD∥BC，则∠BAD＝120°，
所以 eq \(AD,\s\up6(→)) · eq \(AB,\s\up6(→)) ＝| eq \(AD,\s\up6(→)) || eq \(AB,\s\up6(→)) |cs 120°＝－ eq \f(3,2) ，
解得| eq \(AD,\s\up6(→)) |＝1.因为 eq \(AD,\s\up6(→)) ， eq \(BC,\s\up6(→)) 同向，且BC＝6，
所以 eq \(AD,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,6) eq \(BC,\s\up6(→)) ，即λ＝ eq \f(1,6) .
在四边形ABCD中，作AO⊥BC于点O，则
BO＝AB cs 60°＝ eq \f(3,2) ，AO＝AB sin 60°＝ eq \f(3\r(3),2) .
以O为坐标原点，以BC和AO所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系xOy.
如图，设M(a，0)，不妨设点N在点M右侧，
则N(a＋1，0)，且－ eq \f(3,2) ≤a≤ eq \f(7,2) .
又D(1， eq \f(3\r(3),2) )，所以 eq \(DM,\s\up6(→)) ＝(a－1，－ eq \f(3\r(3),2) )， eq \(DN,\s\up6(→)) ＝(a，－ eq \f(3\r(3),2) )，
所以 eq \(DM,\s\up6(→)) · eq \(DN,\s\up6(→)) ＝a2－a＋ eq \f(27,4) ＝(a－ eq \f(1,2) )2＋ eq \f(13,2) ≥ eq \f(13,2) .
所以当a＝ eq \f(1,2) 时， eq \(DM,\s\up6(→)) · eq \(DN,\s\up6(→)) 取得最小值 eq \f(13,2) .
答案： eq \f(1,6) eq \f(13,2)
题型二 平面向量数量积的应用
角度1 求平面向量的模
[典例2](1)(2022·全国乙卷) 已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝ eq \r(3) ，|a－2b|＝3，则a·b＝( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
解析：选C.因为|a－2b|2＝|a|2－4a·b＋4 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b)) 2，
又因为|a|＝1，|b|＝ eq \r(3) ，|a－2b|＝3，
所以9＝1－4a·b＋4×3＝13－4a·b，
所以a·b＝1.
(2)已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的最大值是________．
解析：方法一：由a·b＝0，得a⊥b.
如图所示，分别作 eq \(OA,\s\up6(→)) ＝a， eq \(OB,\s\up6(→)) ＝b，作 eq \(OC,\s\up6(→)) ＝a＋b，则四边形OACB是边长为1的正方形，
所以| eq \(OC,\s\up6(→)) |＝ eq \r(2) .
作 eq \(OP,\s\up6(→)) ＝c，则|c－a－b|＝| eq \(OP,\s\up6(→)) － eq \(OC,\s\up6(→)) |＝| eq \(CP,\s\up6(→)) |＝1.
所以点P在以C为圆心，1为半径的圆上．
由图可知，当O，C，P三点共线且点P在点P1处时，| eq \(OP,\s\up6(→)) |取得最大值 eq \r(2) ＋1.
故|c|的最大值是 eq \r(2) ＋1.
方法二：由a·b＝0，得a⊥b.
建立如图所示的平面直角坐标系，
则 eq \(OA,\s\up6(→)) ＝a＝(1，0)， eq \(OB,\s\up6(→)) ＝b＝(0，1).
设c＝ eq \(OC,\s\up6(→)) ＝(x，y)，由|c－a－b|＝1，
得(x－1)2＋(y－1)2＝1，
所以点C在以(1，1)为圆心，1为半径的圆上．
所以|c|max＝ eq \r(2) ＋1.
方法三：易知|a＋b|＝ eq \r(2) ，|c－a－b|
＝|c－(a＋b)|≥||c|－|a＋b||＝||c|－ eq \r(2) |，
由已知得||c|－ eq \r(2) |≤1，
所以|c|≤1＋ eq \r(2) ，故|c|max＝ eq \r(2) ＋1.
答案： eq \r(2) ＋1
【方法提炼】——自主完善，老师指导
求向量的模或其范围的方法
(1)定义法：|a|＝ eq \r(a2) ；
(2)坐标法：设a＝(x，y)，则|a|＝ eq \r(x2＋y2) ．
角度2 求平面向量的夹角
[典例3] eq \a\vs4\al(金榜原创·易错对对碰)
(1)已知向量a＝(5，5)，b＝(λ，1)，若a＋b与a－b的夹角是锐角，则实数λ的取值范围为________．
解析：由题意得(a＋b)·(a－b)>0，
即a2－b2>0，52＋52>λ2＋12，所以－7<λ<7；
若a＋b＝k(a－b)，则
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(5＋λ＝k（5－λ），,5＋1＝k（5－1），)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝\f(3,2)，,λ＝1，))
综上可知λ的取值范围是(－7，1)∪(1，7).
答案：(－7，1)∪(1，7)
(2)若向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则实数k的取值范围是________．
解析：因为2a－3b与c的夹角为钝角，
所以(2a－3b)·c<0，
即(2k－3，－6)·(2，1)<0，
所以4k－6－6<0，所以k<3.
若2a－3b与c反向共线，则 eq \f(2k－3,2) ＝－6，
解得k＝－ eq \f(9,2) ，此时夹角不是钝角，
综上所述，实数k的取值范围是(－∞，－ eq \f(9,2) )∪(－ eq \f(9,2) ，3).
答案：(－∞，－ eq \f(9,2) )∪(－ eq \f(9,2) ，3)
【方法提炼】
求平面向量的夹角的方法
(1)定义法：cs θ＝ eq \f(a·b,|a||b|) ，θ的取值范围为[0，π].
(2)坐标法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cs θ＝ eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) )\r(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＋y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) )) .
角度3 平面向量的垂直问题
[典例4](1)(2022·青岛模拟)已知在△ABC中，∠A＝120°，且AB＝3，AC＝4，若 eq \(AP,\s\up6(→)) ＝λ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(AC,\s\up6(→)) ，且 eq \(AP,\s\up6(→)) ⊥ eq \(BC,\s\up6(→)) ，则实数λ的值为( )
A． eq \f(22,15) B． eq \f(10,3) C．6 D． eq \f(12,7)
解析：选A.因为 eq \(AP,\s\up6(→)) ＝λ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(AC,\s\up6(→)) ，且 eq \(AP,\s\up6(→)) ⊥ eq \(BC,\s\up6(→)) ，
所以有 eq \(AP,\s\up6(→)) · eq \(BC,\s\up6(→)) ＝(λ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(AC,\s\up6(→)) )·( eq \(AC,\s\up6(→)) － eq \(AB,\s\up6(→)) )＝λ eq \(AB,\s\up6(→)) · eq \(AC,\s\up6(→)) －λ eq \(AB,\s\up6(→)) 2＋ eq \(AC,\s\up6(→)) 2－ eq \(AB,\s\up6(→)) · eq \(AC,\s\up6(→)) ＝(λ－1) eq \(AB,\s\up6(→)) · eq \(AC,\s\up6(→)) －λ· eq \(AB,\s\up6(→)) 2＋ eq \(AC,\s\up6(→)) 2＝0，
整理可得(λ－1)×3×4×cs 120°－9λ＋16＝0，
解得λ＝ eq \f(22,15) .
(2)(2021·全国乙卷)已知向量a＝(1，3)，b＝(3，4)，若(a－λb)⊥b，则λ＝________．
解析：方法一：a－λb＝(1－3λ，3－4λ)，
因为(a－λb)⊥b，所以(a－λb)·b＝0，
即(1－3λ，3－4λ)·(3，4)＝0，
所以3－9λ＋12－16λ＝0，解得λ＝ eq \f(3,5) .
方法二：由(a－λb)⊥b可知，(a－λb)·b＝0，
即a·b－λb2＝0，
从而λ＝ eq \f(a·b,b2) ＝ eq \f(（1，3）·（3，4）,32＋42) ＝ eq \f(15,25) ＝ eq \f(3,5) .
答案： eq \f(3,5)
【方法提炼】
解平面向量垂直问题的方法
(1)依据：
非零向量垂直的充要条件是：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|.
(2)方法：根据两个向量垂直的充要条件判断或列出相应的关系式，求解参数．
【对点训练】
1．(2023·南京模拟)已知a，b为单位向量．若|a－2b|＝ eq \r(5) ，则|a＋2b|＝( )
A． eq \r(3) B． eq \r(5) C． eq \r(7) D．5
解析：选B.因为|a－2b|＝ eq \r(5) ，
所以a2－4a·b＋4b2＝5，解得a·b＝0，
所以|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝1＋4＝5，
所以|a＋2b|＝ eq \r(5) .
2．(2022·新高考Ⅱ卷) 已知a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t＝( )
A．－6 B．－5 C．5 D．6
解析：选C.c＝(3＋t，4)，cs 〈a，c〉＝cs 〈b，c〉，
即 eq \f(9＋3t＋16,5|c|) ＝ eq \f(3＋t,|c|) ，解得t＝5.
3．(2022·邢台模拟)已知向量a＝(－1，1)，b＝(－2，4)，若a∥c，a⊥(b＋c)，则|c|＝________．
解析：根据题意，设c＝(x，y)，向量a＝(－1，1)，
b＝(－2，4)，若a∥c，a⊥(b＋c)，
则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－y，,－（x－2）＋（y＋4）＝0，))
解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝－3，)) 则|c|＝ eq \r(9＋9) ＝3 eq \r(2) .
答案：3 eq \r(2)
【加练备选】
1．(多选题)已知向量a＝(－2，1)，b＝(1，t)，则下列说法正确的是( )
A．若a∥b，则t的值为－2
B． eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a＋b)) 的最小值为1
C．若 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a＋b)) ＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a－b)) ，则t的值为2
D．若a与b的夹角为钝角，则t的取值范围是(－∞，－ eq \f(1,2) )∪(－ eq \f(1,2) ，2)
解析：选BCD.选项A，a∥b⇔－2·t＝1·1⇔t＝－ eq \f(1,2) ，A选项错误；
选项B， eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a＋b)) ＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(（－1，t＋1）)) ＝ eq \r(（t＋1）2＋1) ≥1，当t＝－1时取等号，B选项正确；
选项C， eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a－b)) ＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(（－3，1－t）)) ＝ eq \r(（－t＋1）2＋9) ，
根据 eq \r(（－t＋1）2＋9) ＝ eq \r(（t＋1）2＋1) ，解得t＝2，C选项正确；
选项D，a与b的夹角为钝角，则a·b＝t－2＜0，
且两个向量不能反向共线，注意到A选项，t＝－ eq \f(1,2) 时，a＝－2b，于是t＜2且t≠－ eq \f(1,2) .
2．已知单位向量a，b满足|a＋b|＞1，则a与b夹角的取值范围是( )
A． eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3))) B． eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2π,3)))
C． eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(2π,3))) D．( eq \f(2π,3) ，π]
解析：选B.方法一：设单位向量a，b的夹角为θ，则θ∈[0，π]，|a＋b|＞1两边平方得a2＋2a·b＋b2＞1，化简得2＋2cs θ＞1，
即cs θ＞－ eq \f(1,2) ，又θ∈[0，π]，所以0≤θ＜ eq \f(2π,3) .
方法二：设单位向量a，b的夹角为θ，显然当θ＝0时成立；当θ≠0时，如图所示，
令 eq \(OA,\s\up6(→)) ＝a， eq \(OB,\s\up6(→)) ＝b，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则 eq \(OC,\s\up6(→)) ＝a＋b，∠AOB＝θ，因为a，b均为单位向量，所以平行四边形OACB是边长为1的菱形，则∠AOC＝ eq \f(θ,2) ，取OC的中点为D，连接AD，则AD⊥OC，
所以cs ∠AOC＝cs eq \f(θ,2) ＝ eq \f(OD,OA) ＝ eq \f(\f(|a＋b|,2),|a|) ＝ eq \f(|a＋b|,2) .
因为|a＋b|＞1，所以cs eq \f(θ,2) ＞ eq \f(1,2) ，
又θ∈(0，π]，所以 eq \f(θ,2) ∈ eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))) ，所以0＜ eq \f(θ,2) ＜ eq \f(π,3) ，即0＜θ＜ eq \f(2π,3) .
综上可知，0≤θ＜ eq \f(2π,3) .
题型三 平面向量的综合应用
角度1 平面几何中的向量方法
[典例5]如图，在正方形ABCD中，E，F分别是CD，AD的中点，BE，CF交于点P.求证：AP＝AB.
【证明】如图，建立平面直角坐标系xOy，不妨设AB＝2，
则A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，E(1，2)，F(0，1).
设P(x，y)，则 eq \(FP,\s\up6(→)) ＝(x，y－1)，
因为 eq \(FP,\s\up6(→)) ∥ eq \(CF,\s\up6(→)) ， eq \(CF,\s\up6(→)) ＝(－2，－1)，
所以－x＝－2(y－1)，即x＝2y－2.
同理，由 eq \(BP,\s\up6(→)) ∥ eq \(BE,\s\up6(→)) ，得y＝－2x＋4，
代入x＝2y－2，解得x＝ eq \f(6,5) ，
所以y＝ eq \f(8,5) ，即P( eq \f(6,5) ， eq \f(8,5) )，
所以 eq \(AP,\s\up6(→)) 2＝( eq \f(6,5) )2＋( eq \f(8,5) )2＝4＝ eq \(AB,\s\up6(→)) 2，
所以| eq \(AP,\s\up6(→)) |＝| eq \(AB,\s\up6(→)) |，即AP＝AB.
【一题多变】
[变式1]本例条件下，证明CF⊥BE.
【证明】如图，建立平面直角坐标系xOy，设AB＝2，
则B(2，0)，C(2，2)，E(1，2)，F(0，1)， eq \(CF,\s\up6(→)) ＝(－2，－1)， eq \(BE,\s\up6(→)) ＝(－1，2).
所以 eq \(CF,\s\up6(→)) · eq \(BE,\s\up6(→)) ＝(－2，－1)·(－1，2)＝2－2＝0，
所以 eq \(CF,\s\up6(→)) ⊥ eq \(BE,\s\up6(→)) ，即CF⊥BE.
[变式2]本例中，将条件“F是AD的中点”改为“F是AB的中点”，其他条件不变，求直线BE与CF相交所成钝角的余弦值．
解析：如图，建立平面直角坐标系xAy，设AB＝2，则B(2，0)，C(2，2)，E(1，2)，F(1，0)， eq \(CF,\s\up6(→)) ＝(－1，－2)， eq \(BE,\s\up6(→)) ＝(－1，2).
所以 eq \(CF,\s\up6(→)) · eq \(BE,\s\up6(→)) ＝(－1，－2)·(－1，2)＝1－4＝－3，| eq \(CF,\s\up6(→)) |＝ eq \r(5) ， eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(BE,\s\up6(→)))) ＝ eq \r(5) ，设 eq \(CF,\s\up6(→)) ， eq \(BE,\s\up6(→)) 的夹角为θ，
则cs θ＝ eq \f(\(CF,\s\up6(→))·\(BE,\s\up6(→)),|\(CF,\s\up6(→))||\(BE,\s\up6(→))|) ＝ eq \f(－3,\r(5)×\r(5)) ＝－ eq \f(3,5) .
即直线BE与CF相交所成钝角的余弦值为－ eq \f(3,5) .
角度2 平面向量与三角函数
[典例6]在△ABC中， eq \(AB,\s\up6(→)) ＝( eq \r(3) sin x，sin x)， eq \(AC,\s\up6(→)) ＝(－sin x，cs x).
(1)设f(x)＝ eq \(AB,\s\up6(→)) · eq \(AC,\s\up6(→)) ，若f(A)＝0，求角A的值；
(2)若对任意的实数t，恒有| eq \(AB,\s\up6(→)) －t eq \(AC,\s\up6(→)) |≥| eq \(BC,\s\up6(→)) |，求△ABC面积的最大值．
解析：(1)f(x)＝ eq \(AB,\s\up6(→)) · eq \(AC,\s\up6(→)) ＝－ eq \r(3) sin 2x＋sin x cs x＝－ eq \r(3) × eq \f(1－cs 2x,2) ＋ eq \f(sin 2x,2) ＝sin (2x＋ eq \f(π,3) )－ eq \f(\r(3),2) .
因为f(A)＝0，所以sin (2A＋ eq \f(π,3) )＝ eq \f(\r(3),2) .
又因为A∈(0，π)，所以2A＋ eq \f(π,3) ∈( eq \f(π,3) ，2π＋ eq \f(π,3) )，
所以2A＋ eq \f(π,3) ＝ eq \f(2π,3) ，所以A＝ eq \f(π,6) ；
(2)如图，设 eq \(AD,\s\up6(→)) ＝t eq \(AC,\s\up6(→)) ，
则 eq \(AB,\s\up6(→)) －t eq \(AC,\s\up6(→)) ＝ eq \(DB,\s\up6(→)) ，
即| eq \(DB,\s\up6(→)) |≥| eq \(BC,\s\up6(→)) |恒成立，所以AC⊥BC.
因为| eq \(AB,\s\up6(→)) |＝ eq \r(4sin2x) ＝ eq \r(2－2cs2x) ≤2，| eq \(AC,\s\up6(→)) |＝1，
所以| eq \(BC,\s\up6(→)) |＝ eq \r(|\(AB,\s\up6(→))|2－|\(AC,\s\up6(→))|2) ≤ eq \r(3) ，
所以△ABC的面积为S＝ eq \f(1,2) BC·AC≤ eq \f(\r(3),2) ，
当且仅当cs 2x＝0，
即x＝ eq \f(π,4) ＋kπ，k∈Z时等号成立，
所以△ABC面积的最大值为 eq \f(\r(3),2) .
【方法提炼】
1．用向量法解决平面几何问题的策略
(1)把几何图形放在适当的坐标系中，则有关的点与向量就可以用坐标表示出来，这样就能进行相应的代数运算，从而使问题得到解决；
(2)选取一组合适的基底，将未知向量用基底表示出来，然后根据向量的运算法则、运算律和性质求解．
2．向量与三角函数结合时，通常以向量为表现形式，解决三角函数问题，要注意向量夹角与三角形内角的区别与联系．
【对点训练】
1．(多选题)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，点P1(cs α，sin α)，P2(cs β，－sin β)，P3(cs (α＋β)，sin (α＋β))，A(1，0)，则( )
A．|OP1|＝|OP2|
B．|AP1|＝|AP2|
C． eq \(OA,\s\up6(→)) ·OP3＝OP1·OP2
D． eq \(OA,\s\up6(→)) ·OP1＝OP2·OP3
解析：选AC.对于A：|OP1|＝ eq \r(cs 2α＋sin 2α) ＝1，
|OP2|＝ eq \r(cs 2β＋sin 2β) ＝1，所以A对；
因为|AP1|＝ eq \r(（cs α－1）2＋sin 2α) ＝ eq \r(2－2cs α) ，
|AP2|＝ eq \r(（cs β－1）2＋sin 2β) ＝ eq \r(2－2cs β) ，
当α＝ eq \f(π,3) ，β＝ eq \f(π,6) 时|AP1|≠|AP2|，所以B错；
因为 eq \(OA,\s\up6(→)) ·OP3＝(1，0)·(cs (α＋β)，sin (α＋β))＝cs (α＋β)，
OP1·OP2＝(cs α，sin α)·(cs β，－sin β)＝cs αcs β－sin αsin β＝cs (α＋β)，
eq \(OA,\s\up6(→)) ·OP3＝OP1·OP2，所以C对；
而 eq \(OA,\s\up6(→)) ·OP1＝(1，0)·(cs α，sin α)＝cs α，
OP2·OP3＝(cs β，－sin β)·(cs (α＋β)，
sin (α＋β))＝cs βcs (α＋β)－sin βsin (α＋β)＝cs (2β＋α)，所以D错．
2．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝ eq \r(3) ，BC＝3，BE⊥AC，垂足为E，求ED的长．
解析：以A为坐标原点，AD，AB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系xAy，则A(0，0)，B(0， eq \r(3) )，C(3， eq \r(3) )，D(3，0)， eq \(AC,\s\up6(→)) ＝(3， eq \r(3) )，
设 eq \(AE,\s\up6(→)) ＝λ eq \(AC,\s\up6(→)) ，则E的坐标为(3λ， eq \r(3) λ)，
故 eq \(BE,\s\up6(→)) ＝(3λ， eq \r(3) λ－ eq \r(3) ).
因为BE⊥AC，所以 eq \(BE,\s\up6(→)) · eq \(AC,\s\up6(→)) ＝0，
即9λ＋3λ－3＝0，
解得λ＝ eq \f(1,4) ，所以E( eq \f(3,4) ， eq \f(\r(3),4) )，
故 eq \(ED,\s\up6(→)) ＝( eq \f(9,4) ，－ eq \f(\r(3),4) )，| eq \(ED,\s\up6(→)) |＝ eq \f(\r(21),2) ，
即ED＝ eq \f(\r(21),2) .
【加练备选】
设P是△ABC所在平面内一点，若 eq \(AB,\s\up6(→)) ·( eq \(CB,\s\up6(→)) ＋ eq \(CA,\s\up6(→)) )＝2 eq \(AB,\s\up6(→)) · eq \(CP,\s\up6(→)) ，且 eq \(AB,\s\up6(→)) 2＝ eq \(AC,\s\up6(→)) 2－2 eq \(BC,\s\up6(→)) · eq \(AP,\s\up6(→)) ，则点P是△ABC的( )
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
解析：选A.由 eq \(AB,\s\up6(→)) ·( eq \(CB,\s\up6(→)) ＋ eq \(CA,\s\up6(→)) )＝2 eq \(AB,\s\up6(→)) · eq \(CP,\s\up6(→)) ，得 eq \(AB,\s\up6(→)) ·( eq \(CB,\s\up6(→)) ＋ eq \(CA,\s\up6(→)) －2 eq \(CP,\s\up6(→)) )＝0，
即 eq \(AB,\s\up6(→)) ·[( eq \(CB,\s\up6(→)) － eq \(CP,\s\up6(→)) )＋( eq \(CA,\s\up6(→)) － eq \(CP,\s\up6(→)) )]＝0，
所以 eq \(AB,\s\up6(→)) ·( eq \(PB,\s\up6(→)) ＋ eq \(PA,\s\up6(→)) )＝0.
设D为AB的中点，则 eq \(AB,\s\up6(→)) ·2 eq \(PD,\s\up6(→)) ＝0，
故 eq \(AB,\s\up6(→)) · eq \(PD,\s\up6(→)) ＝0.
由 eq \(AB,\s\up6(→)) 2＝ eq \(AC,\s\up6(→)) 2－2 eq \(BC,\s\up6(→)) · eq \(AP,\s\up6(→)) ，得
( eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(AC,\s\up6(→)) )·( eq \(AB,\s\up6(→)) － eq \(AC,\s\up6(→)) )＝－2 eq \(BC,\s\up6(→)) · eq \(AP,\s\up6(→)) ，
即( eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(AC,\s\up6(→)) －2 eq \(AP,\s\up6(→)) )· eq \(CB,\s\up6(→)) ＝0.
设E为BC的中点，则(2 eq \(AE,\s\up6(→)) －2 eq \(AP,\s\up6(→)) )· eq \(CB,\s\up6(→)) ＝0，
则2 eq \(PE,\s\up6(→)) · eq \(CB,\s\up6(→)) ＝0，故 eq \(CB,\s\up6(→)) · eq \(PE,\s\up6(→)) ＝0.
所以P为AB与BC的垂直平分线的交点，
所以P是△ABC的外心．
【思维导图·构网络】
解题方法拓广角度7 平面图形与数量积最值、范围的综合
【考情分析】
以平面图形为载体的有关数量积的最值问题和范围问题是高考的热点之一，常以选择题、填空题的形式呈现．要深刻理解数量积的意义，从不同角度对数量积进行转化．
[解题思路]建立目标函数的解析式，转化为求函数(二次函数、三角函数等)的最值或应用基本不等式．同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以还有一种思路是数形结合，应用图形的几何性质.
一、几何投影法
侧重于从投影入手体现几何意义，如平面向量数量积a·b＝|a||b|cs θ，其几何意义为其中一个向量长度乘以另一个向量在其方向上的投影，解题时可结合向量的投影来探寻联系，从而转化为数量积问题．
[典例1](2020·新高考卷Ⅰ)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内一点，则 eq \(AP,\s\up6(→)) · eq \(AB,\s\up6(→)) 的取值范围为( )
A. (－2，6) B. (－6，2)C. (－2，4) D. (－4，6)
解析：选A.根据定义可知 eq \(AP,\s\up6(→)) · eq \(AB,\s\up6(→)) ＝| eq \(AP,\s\up6(→)) || eq \(AB,\s\up6(→)) |cs ∠PAB，其中
| eq \(AP,\s\up6(→)) |cs ∠PAB表示 eq \(AP,\s\up6(→)) 在 eq \(AB,\s\up6(→)) 方向上的投影．
如图所示，
当点P与点C相重合时投影最大，而当点P与点F相重合时投影最小．已知| eq \(AB,\s\up6(→)) |＝2，则 eq \(AP,\s\up6(→)) 在 eq \(AB,\s\up6(→)) 方向上投影的数量取值范围为(－1，3).结合向量数量积的定义可知，当点P在正六边形ABCDEF内部运动时， eq \(AP,\s\up6(→)) · eq \(AB,\s\up6(→)) 的取值范围为(－2，6).
二、基向量法
解题时有时无法获取对应向量数量积的要素，如模和夹角，此时就可以考虑采用基底法．先设定两个不平行的向量作为基底，然后将所需向量表示出来，最后根据条件进行最值分析．
[典例2](2022·保定模拟)已知△ABC的三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为AB边上任意一点，则 eq \(CP,\s\up6(→)) ·( eq \(BA,\s\up6(→)) － eq \(BC,\s\up6(→)) )的最大值为________．
解析：因为 eq \(CP,\s\up6(→)) ＝ eq \(CA,\s\up6(→)) ＋ eq \(AP,\s\up6(→)) ， eq \(BA,\s\up6(→)) － eq \(BC,\s\up6(→)) ＝ eq \(CA,\s\up6(→)) ，
所以 eq \(CP,\s\up6(→)) ·( eq \(BA,\s\up6(→)) － eq \(BC,\s\up6(→)) )＝( eq \(CA,\s\up6(→)) ＋ eq \(AP,\s\up6(→)) )· eq \(CA,\s\up6(→)) ＝ eq \(CA,\s\up6(→)) 2＋ eq \(AP,\s\up6(→)) · eq \(CA,\s\up6(→)) ＝9－ eq \(AP,\s\up6(→)) · eq \(AC,\s\up6(→))
＝9－| eq \(AP,\s\up6(→)) || eq \(AC,\s\up6(→)) |cs ∠BAC＝9－3| eq \(AP,\s\up6(→)) |cs ∠BAC.
因为cs ∠BAC为正且为定值，
所以当| eq \(AP,\s\up6(→)) |最小，即| eq \(AP,\s\up6(→)) |＝0时，
eq \(CP,\s\up6(→)) ·( eq \(BA,\s\up6(→)) － eq \(BC,\s\up6(→)) )取得最大值9.
答案：9
三、坐标法(数形结合法)
把几何图形放在适当的坐标系中，将向量坐标化，利用向量之间的坐标运算来解答．坐标法是高考中常用的解题技巧，其核心知识点为向量数量积的运算法则，即a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
[典例3](1)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1.若点E为边CD上的动点，则 eq \(AE,\s\up6(→)) · eq \(BE,\s\up6(→)) 的最小值为( )
A． eq \f(21,16) B． eq \f(3,2) C． eq \f(25,16) D．3
解析：选A.解法一：(坐标法)如图，以D点为坐标原点，
DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．
所以A(1，0)，B( eq \f(3,2) ， eq \f(\r(3),2) )，在平面四边形ABCD中知CD＝ eq \r(3) .
所以设DE＝t(t∈[0， eq \r(3) ])，所以E(0，t).
所以 eq \(AE,\s\up6(→)) · eq \(BE,\s\up6(→)) ＝(－1，t)·(－ eq \f(3,2) ，t－ eq \f(\r(3),2) )＝ eq \f(3,2) ＋t2－ eq \f(\r(3),2) t＝(t－ eq \f(\r(3),4) )2＋ eq \f(21,16) .
所以当t＝ eq \f(\r(3),4) 时，( eq \(AE,\s\up6(→)) · eq \(BE,\s\up6(→)) )min＝ eq \f(21,16) .
解法二：(基向量法)连接AC(图略)，易知DC＝ eq \r(3) ，∠CAD＝60°，设DE＝x(0≤x≤ eq \r(3) )，
则 eq \(AE,\s\up6(→)) · eq \(BE,\s\up6(→)) ＝( eq \(AD,\s\up6(→)) ＋ eq \(DE,\s\up6(→)) )·( eq \(BA,\s\up6(→)) ＋ eq \(AD,\s\up6(→)) ＋ eq \(DE,\s\up6(→)) )
＝1×1×cs 60°＋12＋0＋x×1×cs 150°＋0＋x2＝(x－ eq \f(\r(3),4) )2＋ eq \f(21,16) ≥ eq \f(21,16) .
解法三：(基向量法)如图，取AB的中点F，连接EF，
则 eq \(AE,\s\up6(→)) · eq \(BE,\s\up6(→)) ＝ eq \(EA,\s\up6(→)) · eq \(EB,\s\up6(→)) ＝( eq \(EF,\s\up6(→)) ＋ eq \(FA,\s\up6(→)) )·( eq \(EF,\s\up6(→)) － eq \(FA,\s\up6(→)) )＝ eq \(EF,\s\up6(→)) 2－ eq \(FA,\s\up6(→)) 2＝ eq \(EF,\s\up6(→)) 2－ eq \f(1,4) .可知当且仅当| eq \(EF,\s\up6(→)) |最小时， eq \(AE,\s\up6(→)) · eq \(BE,\s\up6(→)) 取最小值．分别过点F，B作CD的垂线，垂足分别为H，G，当点E与H重合时，EF取到最小值，易知HF为梯形DABG的中位线，
由已知得|BG|＝ eq \f(3,2) ，|AD|＝1，
则|HF|＝ eq \f(1,2) (|BG|＋|AD|)＝ eq \f(5,4) ，故|EF|的最小值为 eq \f(5,4) .
故 eq \(AE,\s\up6(→)) · eq \(BE,\s\up6(→)) 的最小值为 eq \f(21,16) .
(2)(2020·天津高考)如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且 eq \(AD,\s\up6(→)) ＝λ eq \(BC,\s\up6(→)) ， eq \(AD,\s\up6(→)) · eq \(AB,\s\up6(→)) ＝－ eq \f(3,2) ，则实数λ的值为________，若M，N是线段BC上的动点，且| eq \(MN,\s\up6(→)) |＝1，则 eq \(DM,\s\up6(→)) · eq \(DN,\s\up6(→)) 的最小值为__________．
解析：因为 eq \(AD,\s\up6(→)) ＝λ eq \(BC,\s\up6(→)) ，所以AD∥BC，所以∠BAD＝180°－∠B＝120°，
所以 eq \(AD,\s\up6(→)) · eq \(AB,\s\up6(→)) ＝λ eq \(BC,\s\up6(→)) · eq \(AB,\s\up6(→)) ＝λ| eq \(BC,\s\up6(→)) |·| eq \(AB,\s\up6(→)) |cs 120°＝λ×6×3×(－ eq \f(1,2) )＝－9λ＝－ eq \f(3,2) ，解得λ＝ eq \f(1,6) .
以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系xBy，
因为BC＝6，所以C(6，0)，
因为AB＝3，∠ABC＝60°，
所以点A的坐标为( eq \f(3,2) ， eq \f(3\r(3),2) )，
因为 eq \(AD,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,6) eq \(BC,\s\up6(→)) ，则D( eq \f(5,2) ， eq \f(3\r(3),2) )，设M(x，0)，
则N(x＋1，0)(其中0≤x≤5)，
所以 eq \(DM,\s\up6(→)) ＝(x－ eq \f(5,2) ，－ eq \f(3\r(3),2) )， eq \(DN,\s\up6(→)) ＝(x－ eq \f(3,2) ，－ eq \f(3\r(3),2) )，
eq \(DM,\s\up6(→)) · eq \(DN,\s\up6(→)) ＝(x－ eq \f(5,2) )(x－ eq \f(3,2) )＋( eq \f(3\r(3),2) )2＝x2－4x＋ eq \f(21,2) ＝(x－2)2＋ eq \f(13,2) ，所以当x＝2时， eq \(DM,\s\up6(→)) · eq \(DN,\s\up6(→)) 取得最小值，最小值为 eq \f(13,2) .
答案： eq \f(1,6) eq \f(13,2)
【加练备选】
(2023·广州模拟)如图1，已知AC＝2，B为AC的中点，分别以AB，AC为直径在AC同侧作半圆，M，N分别为两半圆上的动点(不含端点A，B，C)，且BM⊥BN，则 eq \(AM,\s\up6(→)) · eq \(CN,\s\up6(→)) 的最大值为__________．
解析：方法一：由题设可知AB＝BC＝BN＝1.
因为点M在以AB为直径的半圆上，
所以AM⊥BM，又BM⊥BN，所以AM∥BN，
设∠MAB＝θ，则∠NBC＝θ.
如题图2，建立平面直角坐标系xBy，
则点A(－1，0)，M(－sin2θ，sinθcs θ)，C(1，0)，N(cs θ，sin θ)，
所以 eq \(AM,\s\up6(→)) ＝(－sin2θ＋1，sin θcs θ)＝(cs2θ，sinθcs θ)， eq \(CN,\s\up6(→)) ＝(cs θ－1，sin θ).
于是， eq \(AM,\s\up6(→)) · eq \(CN,\s\up6(→)) ＝cs2θ·(csθ－1)＋sin2θcsθ＝cs3θ－cs2θ＋(1－cs2θ)csθ
＝－cs2θ＋csθ＝ eq \f(1,4) －(cs θ－ eq \f(1,2) )2.
又易知0<θ< eq \f(π,2) ，所以，
当θ＝ eq \f(π,3) 时，可得 eq \(AM,\s\up6(→)) · eq \(CN,\s\up6(→)) 的最大值为 eq \f(1,4) .
答案： eq \f(1,4)
方法二：如题图2，建立平面直角坐标系xBy，设直线BN的方程为y＝kx(k>0)，因为BM⊥BN，所以直线BM的方程为y＝－ eq \f(1,k) x.
注意到点N是直线BN与以AC为直径的半圆的交点，所以将y＝kx与x2＋y2＝1联立，
可求得点N的坐标为( eq \f(1,\r(1＋k2)) ， eq \f(k,\r(1＋k2)) ).
注意到点M是直线BM与以AB为直径的半圆的交点，
所以将y＝－ eq \f(1,k) x与(x＋ eq \f(1,2) )2＋y2＝ eq \f(1,4) 联立，
可求得点M的坐标为( eq \f(－k2,k2＋1) ， eq \f(k,k2＋1) ).
又点A(－1，0)，C(1，0)，所以向量 eq \(AM,\s\up6(→)) ＝( eq \f(1,k2＋1) ， eq \f(k,k2＋1) )，
eq \(CN,\s\up6(→)) ＝( eq \f(1,\r(1＋k2)) －1， eq \f(k,\r(1＋k2)) )，
所以 eq \(AM,\s\up6(→)) · eq \(CN,\s\up6(→))
＝ eq \f(1,k2＋1) ( eq \f(1,\r(1＋k2)) －1)＋ eq \f(k,k2＋1) · eq \f(k,\r(1＋k2))
＝ eq \f(1,k2＋1) ( eq \f(k2＋1,\r(1＋k2)) －1)＝ eq \f(1,\r(1＋k2)) － eq \f(1,k2＋1)
＝ eq \f(1,4) －( eq \f(1,\r(1＋k2)) － eq \f(1,2) )2，
故当 eq \f(1,\r(1＋k2)) ＝ eq \f(1,2) ，即k＝ eq \r(3) 时，可得 eq \(AM,\s\up6(→)) · eq \(CN,\s\up6(→)) 的最大值为 eq \f(1,4) .
答案： eq \f(1,4)
方法三：由题设可知AB＝BC＝BN＝1，
因为点M在以AB为直径的半圆上，
所以AM⊥BM，又BM⊥BN，所以AM∥BN，
所以 eq \(AM,\s\up6(→)) · eq \(BN,\s\up6(→)) ＝| eq \(AM,\s\up6(→)) |×1×cs 0°＝| eq \(AM,\s\up6(→)) |.
因为AM⊥BM，AB＝1，
所以| eq \(AM,\s\up6(→)) |＝1×cs ∠MAB＝cs ∠MAB，
所以 eq \(AM,\s\up6(→)) · eq \(BC,\s\up6(→)) ＝ eq \(AM,\s\up6(→)) · eq \(AB,\s\up6(→)) ＝| eq \(AM,\s\up6(→)) |×1×cs ∠MAB＝| eq \(AM,\s\up6(→)) |2.
于是， eq \(AM,\s\up6(→)) · eq \(CN,\s\up6(→)) ＝ eq \(AM,\s\up6(→)) ·( eq \(BN,\s\up6(→)) － eq \(BC,\s\up6(→)) )＝ eq \(AM,\s\up6(→)) · eq \(BN,\s\up6(→)) － eq \(AM,\s\up6(→)) · eq \(BC,\s\up6(→)) ＝| eq \(AM,\s\up6(→)) |－| eq \(AM,\s\up6(→)) |2＝ eq \f(1,4) －(| eq \(AM,\s\up6(→)) |－ eq \f(1,2) )2.
又0<| eq \(AM,\s\up6(→)) |<1，所以，当| eq \(AM,\s\up6(→)) |＝ eq \f(1,2) 时，
可得 eq \(AM,\s\up6(→)) · eq \(CN,\s\up6(→)) 的最大值为 eq \f(1,4) .
答案： eq \f(1,4)
方法四：如图3，分别延长AM，CN，设其交点为E，并设ME与大半圆的交点为D，连接CD，则易知AM⊥MB，AD⊥DC，
所以BM∥CD，又B为AC的中点，
所以M为AD的中点，所以 eq \(AM,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) eq \(AD,\s\up6(→)) .
又易知 eq \(AE,\s\up6(→)) ∥ eq \(BN,\s\up6(→)) ，且B为AC的中点，
所以N为CE的中点，所以 eq \(CN,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) eq \(CE,\s\up6(→)) .
于是， eq \(AM,\s\up6(→)) · eq \(CN,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,4) eq \(AD,\s\up6(→)) · eq \(CE,\s\up6(→))
＝ eq \f(1,4) eq \(AD,\s\up6(→)) ·( eq \(CD,\s\up6(→)) ＋ eq \(DE,\s\up6(→)) )
＝ eq \f(1,4) eq \(AD,\s\up6(→)) · eq \(CD,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,4) eq \(AD,\s\up6(→)) · eq \(DE,\s\up6(→))
＝0＋ eq \f(1,4) | eq \(AD,\s\up6(→)) |·| eq \(DE,\s\up6(→)) |cs 0°
＝ eq \f(1,4) | eq \(AD,\s\up6(→)) |·| eq \(DE,\s\up6(→)) |.
因为BN为△ACE的中位线，
所以| eq \(AD,\s\up6(→)) |＋| eq \(DE,\s\up6(→)) |＝| eq \(AE,\s\up6(→)) |＝2| eq \(BN,\s\up6(→)) |＝2.
从而， eq \(AM,\s\up6(→)) · eq \(CN,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,4) | eq \(AD,\s\up6(→)) |·| eq \(DE,\s\up6(→)) |≤ eq \f(1,4) ( eq \f(|\(AD,\s\up6(→))|＋|\(DE,\s\up6(→))|,2) )2＝ eq \f(1,4) ×( eq \f(2,2) )2＝ eq \f(1,4) ，
当且仅当| eq \(AD,\s\up6(→)) |＝| eq \(DE,\s\up6(→)) |，即D为AE的中点时不等式取等号．
故所求 eq \(AM,\s\up6(→)) · eq \(CN,\s\up6(→)) 的最大值为 eq \f(1,4) .
答案： eq \f(1,4)
方法五：如图4，以BC为直径画半圆，交BN于点D，连接CD，则BD⊥CD.又易知AM∥BD，且AM＝BD，
所以 eq \(AM,\s\up6(→)) · eq \(CN,\s\up6(→)) ＝ eq \(BD,\s\up6(→)) ·( eq \(CD,\s\up6(→)) ＋ eq \(DN,\s\up6(→)) )＝ eq \(BD,\s\up6(→)) · eq \(CD,\s\up6(→)) ＋ eq \(BD,\s\up6(→)) · eq \(DN,\s\up6(→))
＝0＋| eq \(BD,\s\up6(→)) |·| eq \(DN,\s\up6(→)) |cs 0°＝| eq \(BD,\s\up6(→)) |·| eq \(DN,\s\up6(→)) |≤( eq \f(|\(BD,\s\up6(→))|＋|\(DN,\s\up6(→))|,2) )2＝( eq \f(1,2) )2＝ eq \f(1,4) ，
当且仅当| eq \(BD,\s\up6(→)) |＝| eq \(DN,\s\up6(→)) |，即D为BN中点时不等式取等号．
故所求 eq \(AM,\s\up6(→)) · eq \(CN,\s\up6(→)) 的最大值为 eq \f(1,4) .
答案： eq \f(1,4)
定义
已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作 eq \(OA,\s\up6(→)) ＝a， eq \(OB,\s\up6(→)) ＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角
范围
向量夹角θ的范围是0≤θ≤π
特例
当a与b同向时，θ＝0；
当a与b反向时，θ＝π；
当a与b垂直时，θ＝ eq \f(π,2)
条件
两个非零向量a与b的夹角为θ
结论
数量|a||b|cs__θ叫做向量a与b的数量积(或内积)
记法
记作a·b，即a·b＝|a||b|cs__θ
规定
零向量与任一向量的数量积为0
条件
设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量， eq \(AB,\s\up6(→)) ＝a， eq \(CD,\s\up6(→)) ＝b
作
图
过 eq \(AB,\s\up6(→)) 的起点A和终点B，分别作 eq \(CD,\s\up6(→)) 所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到
结
论
我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量．记为|a|cs__θ__e
结论
符号表示
坐标表示
模
|a|＝ eq \r(a·a)
|a|＝ eq \r(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) )
夹角
cs θ＝ eq \f(a·b,|a||b|)
cs θ＝ eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) )\r(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＋y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ))
垂直
a⊥b⇔a·b＝0
a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0
不等关系
|a·b|≤|a||b|
|x1x2＋y1y2|≤ eq \r(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ) eq \r(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＋y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) )
教材改编
结论应用
易错易混
3，6
2，4
1，5
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