第5章《生活中的轴对称》【易错题拔高卷】-2023-2024学年北师大版数学七年级下册章节复习检测卷

这是一份第5章《生活中的轴对称》【易错题拔高卷】-2023-2024学年北师大版数学七年级下册章节复习检测卷，文件包含第5章《生活中的轴对称》教师版docx、第5章《生活中的轴对称》学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共39页， 欢迎下载使用。
考试时间：100分钟 试卷满分：100分 难度系数：0.53
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合
题目要求的，请将正确选项前的字母代号填写在括号内）
1．（2分）（2023秋•江岸区期末）如图，在△ABC中，∠B＝76°，边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，连接AD，若AB+BD＝BC，则∠C的度数为（ ）
A．28°B．38°C．36°D．30°
解：∵AB+BD＝BC，CD+BD＝BC，
∴AB＝CD，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∴AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB＝76°，
∵∠ADB是△ACD的一个外角，
∴∠ADB＝∠C+∠CAD，
∵DA＝DC，
∴∠C＝∠CAD＝∠ADB＝38°，
故选：B．
2．（2分）（2022秋•浉河区期末）如图2是从图1的时钟抽象出来的图形，已知三角形ABC是等边三角形，∠A＝60°，当时针OP正对点A时恰好是12：00．若时针OP与三角形ABC一边平行时，时针所指的时间不可能是（ ）
A．1：00B．3：00C．5：00D．8：00
解：根据题意可知，需要分三种情况，如图所示：
当OP∥AB时，如图2（1），此时对应的时间为1：00或7：00；
当OP∥AC时，如图2（2），此时对应的时间为5：00或11：00；
当OP∥BC时，如图2（3），此时对应的时间为3：00或9：00；
故选：D．
3．（2分）（2023春•新城区校级期末）等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰△ABC的周长为20，其中一边长为8，则它的“优美比”为（ ）
A．B．C．或2D．或
解：分两种情况：
当等腰三角形的腰长为8时，
∵等腰△ABC的周长为20，
∴它的底边长＝20﹣8﹣8＝4，
∴它的“优美比”＝＝；
当等腰三角形的底边长为8时，
∵等腰△ABC的周长为20，
∴它的腰长＝×（20﹣8）＝6，
∴它的“优美比”＝＝；
综上所述：它的“优美比”为或，
故选：D．
4．（2分）（2023春•虹口区期末）下列说法正确的是（ ）
A．如果两条直线被第三条直线所截，那么截得的同旁内角互补
B．等腰三角形中，底边上的高是它的对称轴
C．联结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
D．在两个三角形中，如果有两个内角及一条边相等，那么这两个三角形全等
解：∵两条平行直线被第三条直线所截，那么截得的同旁内角互补，
∴A不合题意．
∵等腰三角形的高是线段，对称轴是直线，
∴底边上的高不是对称轴．
∴B不合题意．
∵垂线段最短，
∴C符合题意．
∵边的位置未确定，两个内角和边不一定对应，所以两个三角形不一定全等，
∴D不合题意．
故选：C．
5．（2分）（2023春•埇桥区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，∠C＝70°，则∠BAD的度数是（ ）
A．20°B．45°C．60°D．70°
解：∵AB＝AC，D为BC中点，
∴∠BAD＝∠CAD，AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∵∠C＝70°，
∴∠CAD＝90°﹣∠C＝20°，
∴∠BAD＝∠CAD＝20°，
故选：A．
6．（2分）（2023•蒙城县三模）如图，AB∥CD，BE垂直平分AD，DC＝BC，若∠A＝70°，则∠C＝（ ）
A．100°B．110°C．115°D．120°
解：∵BE垂直平分AD，
∴AB＝DB，
∴∠ABE＝∠DBE，
又∵∠A＝70°，
∴∠ABE＝20°，
∴∠ABD＝40°，
又∵AB∥CD，
∴∠CDB＝∠ABD＝40°，
又∵DC＝BC，
∴∠C＝180°﹣2×40°＝100°，
故选：A．
7．（2分）（2023秋•庐阳区期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC 的角平分线，MF垂直平分AE，垂足为点H，分别交AB、AD、AC于点N、G、F，交CB的延长线于点M，连接EF，下列结论中错误的是（ ）
A．∠M＝∠DAEB．
C．EF∥ABD．∠EFC＝2∠M+∠C
解：∵AD⊥BC，FM⊥AE，
∴∠ADB＝∠AHG＝90°，
∴∠M+∠MGD＝90°，∠DAE+∠AGH＝90°，
∵∠MGD＝∠AGH，
∴∠M＝∠DAE；
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE＝∠BAC，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD
＝∠BAC﹣∠BAD
＝（180°﹣∠ABC﹣∠C）﹣（90°﹣∠ABC）
＝90°﹣∠ABC﹣∠C﹣90°+∠ABC
＝（∠ABC﹣∠C）；
∵FM是AE的垂直平分线，
∴FA＝FE，
∴∠CAE＝∠FEA，
∴∠BAE＝∠FEA，
∴AB∥FE；
∴∠ABC＝∠FEC，
∵∠DAE＝∠M，∠DAE＝（∠ABC﹣∠C），
∴∠M＝（∠ABC﹣∠C），
∴2∠M＝∠ABC﹣∠C，
∴2∠M+∠C＝∠ABC，
∴2∠M+∠C＝∠FEC，
故A、B、C都正确，D不正确，
故选：D．
8．（2分）（2022秋•集贤县期末）如图，在等边△ABC中，D为AC中点，点P，Q分别为AB，AD上的点，BP＝AQ＝3，QD＝2，在BD上有一动点E，则PE+QE的最小值为（ ）
A．7B．8C．9D．10
解：∵△ABC是等边三角形，
∴BA＝BC，
∵BD⊥AC，AQ＝3，QD＝2，
∴AD＝DC＝AQ+QD＝5，
如图，作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，
此时PE+EQ的值最小．最小值PE+QE＝PE+EQ′＝PQ′，
∵AQ＝3，AD＝DC＝5，
∴QD＝DQ′＝2，
∴CQ′＝BP＝3，
∴AP＝AQ′＝7，
∵∠A＝60°，
∴△APQ′是等边三角形，
∴PQ′＝PA＝7，
∴PE+QE的最小值为7．
故选：A．
9．（2分）（2023春•大渡口区期末）如图，在△ABC中，AB边的中垂线DE，分别与AB、AC边交于点D、E两点，BC边的中垂线FG，分别与BC、AC边交于点F、G两点，连接BE、BG．若△BEG的周长为16，GE＝1．则AC的长为（ ）
A．13B．14C．15D．16
解：∵DE是线段AB的中垂线，GF是线段BC的中垂线，
∴EB＝EA，GB＝GC，
∵△BEG周长为16，
∴EB+GB+EG＝16，
∴EA+GC+EG＝16，
∴GA+EG+EG+EG+EC＝16，
∴AC+2EG＝16，
∵EG＝1，
∴AC＝14，
故选：B．
10．（2分）（2023春•碑林区校级期末）如图，∠MON＝α，α＜30°，点A为ON上一定点，点C为ON上一动点，B，D为OM上两动点，当AB+BC+CD最小时，∠BCD+∠ABC＝（ ）
A．5αB．6αC．90°﹣αD．180°﹣α
解：作点C关于OM的对称点C′，过点C′作射线OP，则∠MOP＝α，连接C′B，C′D，则C′B＝CB，C′D＝CD，作点D关于OP的对称点D′，过点D′作射线OQ，则∠POQ＝α，连接C′D′，则C′D′＝C′D＝CD，
∴AB+BC+CD＝AB+BC′+C′D′，
要使AB+BC+CD最小，需点A，B，C′，D′在一条直线上，且AD′⊥OQ，
∵α＜30°，
∴∠NOQ＝3α＜90°，
∴可以过点A作AD′⊥OQ，
此时∠BCD＝BCD′＝∠MOQ＝2α，
∠ABC＝∠BCD+∠BC′D＝4α，
∴当AB+BC+CD最小时，∠BCD+∠ABC＝2α+4α＝6α，
故选：B．
二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分．不需写出解答过程，请将正确答案填写在横线上）
11．（2分）（2023春•青冈县期末）如图△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，给出下列结论：①DC＝DE；②DA平分∠CDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC＝AB；⑤∠BAC＝∠BDE．其中正确的是 ①②④⑤ （写序号）
解：∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴DC＝DE，故①正确；
在Rt△ACD和Rt△AED中，，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴∠ADC＝∠ADE，AC＝AE，
∴DA平分∠CDE，故②正确；
BE+AC＝BE+AE＝AB，故④正确；
∵∠BAC+∠B＝90°，
∠BDE+∠B＝90°，
∴∠BAC＝∠BDE，故⑤正确；
∵∠ADE+∠BAD＝90°，而∠BAD≠∠B，
∴∠BDE≠∠ADE，
∴DE平分∠ADB错误，故③错误；
综上所述，正确的有①②④⑤．
故答案为：①②④⑤．
12．（2分）（2023春•榆林期末）如图，在△ABC中．∠A＝40°，∠C＝70°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，连接BE，则∠EBC的度数为 30 °．
解：∵∠A＝40°，∠C＝70°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝70°，
∵ED是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴∠A＝∠EBA＝40°，
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠EBA＝30°，
故答案为：30．
13．（2分）（2023春•浉河区期末）如图，点E，F分别为长方形纸片ABCD的边AB，CD上的点，将纸片沿EF翻折，点B，C分别落在点B′，C′处，下列结论：
①∠AEF＝∠EFC′；
②若∠BEF的度数比∠DFC′大72°，则∠BEF的度数为118°；
③∠BEF﹣∠AEF＝∠DFC′；
④∠DFC′＝∠AEB′．
其中一定正确的有 ①③④ （填序号即可）．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠AEF＝∠CFE，
由折叠得：
∠CFE＝∠EFC′，
∴∠AEF＝∠EFC′，
故①正确；
∵∠BEF的度数比∠DFC′大72°，
∴设∠DFC′＝x，则∠BEF＝x+72°，
由折叠得：
∠CFE＝∠EFC′＝∠CFC′＝（180°﹣x）＝90°﹣x，
∵AB∥CD，
∴∠CFE+∠BEF＝180°，
∴90°﹣x+x+72°＝180°，
∴x＝36°，
∴∠BEF＝x+72°＝108°，
故②不正确；
设∠DFC′＝y，
由折叠得：
∠CFE＝∠EFC′＝∠CFC′＝（180°﹣y）＝90°﹣y，
∵AB∥CD，
∴∠AEF＝∠CFE＝90°﹣y，
∠BEF＝180°﹣∠CFE＝180°﹣（90°﹣y）＝90°+y，
∴∠BEF﹣∠AEF＝90°+y﹣（90°﹣y）＝y，
∴∠BEF﹣∠AEF＝∠DFC′，
故③正确；
由折叠得：
∠BEF＝∠B′EF，
由③可得：∠BEF﹣∠AEF＝∠DFC′，
∴∠BEF﹣（∠B′EF﹣∠AEB′）＝∠DFC′，
∴∠BEF﹣∠B′EF+∠AEB′＝∠DFC′，
∴∠DFC′＝∠AEB′，
故④正确；
所以，上列结论，其中一定正确的有：①③④，
故答案为：①③④．
14．（2分）（2023春•坪山区期末）如图，直线a∥b，点A在直线a上，点B在直线b上，AC＝BC，∠C＝110°，∠1＝25°，则∠2的度数为 60° ．
解：如图：
∵AC＝BC，∠C＝110°，
∴∠CBA＝∠CAB＝（180°﹣∠C）＝35°，
∵∠1＝25°，
∴∠ABD＝∠1+∠CBA＝60°，
∵a∥b，
∴∠ABD＝∠2＝60°，
故答案为：60°．
15．（2分）（2022春•方城县期末）在“妙折生平﹣﹣折纸与平行”的拓展课上，小潘老师布置了一个任务：如图，有一张三角形纸片ABC，∠B＝30°，∠C＝50°，点D是AB边上的固定点（BD＜AB），请在BC上找一点E，将纸片沿DE折叠（DE为折痕），点B落在点F处，使EF与三角形ABC的一边平行，则∠BDE为 35或75或125 度．
解：①当BD∥EF时，
由折叠可知，∠B＝∠F＝30°，∠BED＝∠DEF，
∵BD∥EF，
∴∠B＝∠CEF＝30°，
∴∠BEF＝180°﹣30°＝150°，
∴∠BED＝∠DEF＝∠BEF＝×150°＝75°，
∴∠BDE＝180°﹣30°﹣75°＝75°．
②当AC∥EF时，∠C＝∠BEF＝50°，
∴∠BED＝∠FED＝∠BEF＝，
∴∠BDE＝180°﹣∠B﹣∠BED＝180°﹣30°﹣25°＝125°，
∴∠BDE＝125°，
③当AC∥EF时，∠C＝∠CEF＝50°，
∴∠BGD＝50°+30°＝80°，
∴∠BDG＝180°﹣80°﹣30°＝70°，
∴∠BDE＝∠BDG＝＝35°，
综上所述，∠BDE＝35°或75°或125°．
故答案为：35或75或125．
16．（2分）（2023秋•锡山区期末）如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点A、B分别落在A'、B'的位置，再沿AD边将∠A'折叠到∠H处，已知∠FEH＝15°，则∠AEF的度数是 115° ．
解：设∠A′EG＝x°，
由折叠得：∠A′EG＝∠HEG＝x°，
∵∠FEH＝15°，
∴∠A′EF＝∠A′EG+∠HEG+∠FEH＝（2x+15）°，
由折叠得：∠AEF＝∠A′EF＝（2x+15）°，
∵∠AEF+∠HEG+∠FEH＝180°，
∴2x+15+x+15＝180，
解得：x＝50，
∴∠AEF＝（2x+15）°＝115°，
故答案为：115°．
17．（2分）（2023秋•惠州期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积是 15 ．
解：如图，作DE⊥AB于E，
由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线，
∵∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝DC＝3，
∴△ABD的面积＝×AB×DE＝×10×3＝15，
故答案为：15．
18．（2分）（2023秋•双辽市期末）如图，△AOB与△COB关于边OB所在的直线成轴对称，AO的延长线交BC于点D．若∠BOD＝46°，∠C＝20°，则∠ADC＝ 72 °．
解：∵△AOB与△COB关于边OB所在的直线成轴对称，
∴△AOB≌△COB，
∴∠A＝∠C＝20°，∠ABO＝∠CBO，
∵∠BOD＝∠A+∠ABO，
∴∠ABO＝∠BOD﹣∠ABO＝46°﹣20°＝26°，
∴∠ABD＝2∠ABO＝52°，
∴∠ADC＝∠A+∠ABD＝20°+52°＝72°，
故答案为：72．
19．（2分）（2023秋•佳木斯期末）已知△ABC为等边三角形，AB＝10，M在AB边所在直线上，点N在AC边所在直线上，且MN＝MC，若AM＝16，则CN的长为 4或36 ．
解：由题意可知，BM＝AN＝6，
①如图，当点M在AB的延长线上时，作MD⊥AC于D．
在Rt△AMD中，
∵∠ADM＝90°，∠A＝60°，AM＝16，
∴AD＝AM＝8，
∴CD＝AC﹣AD＝2，
∵MN＝MC，MD⊥CN，
∴DN＝CD，
∴CN＝2CD＝4．
②如图，当点M在BA的延长线上时，作MD⊥CN于D，
在Rt△AMD中，
∵∠ADM＝90°，∠DAM＝60°，AM＝16，
∴AD＝AM＝8，
∴CD＝AD+AC＝18，
∵MN＝MC，MD⊥CN，
∴DN＝CD，
∴CN＝2CD＝36，
故答案为：4或36．
20．（2分）（2023春•丹东期末）在锐角△ABC中，AB＝AC，将△ABC沿AC翻折得到△AB′C，直线AB与直线B′C相交于点E，若△AEB′是等腰三角形，则∠A的度数为 或36°或． ．
解：分两种情况：
（1）射线BA与射线CB′交于点E，
此时又分三种情况：
①当B'E＝B'A时，如图，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠BCA，
由折叠得∠B＝∠B'，∠BCA＝∠B'CA，
设∠B＝x，则∠B′＝∠BCA＝∠B′CA＝x，
∴∠B′AE＝∠B′EA＝3x，
在△AEB′中，由三角形内角和定理得：3x+3x+x＝180°，
∴x＝，
即∠B＝，
∴∠A＝180°﹣2×＝＞90°，舍去；
②当EB'＝AE时，如图，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠BCA，
由折叠得：∠B＝∠B'，∠BCA＝∠B'CA，
设∠B＝x，则∠B'＝∠BCA＝∠B'CA＝x，∠AEB'＝3x，
在△AEB′中，由三角形内角和定理得：x+x+3x＝180°，
∴x＝36°，即∠B＝36°，
∴∠A＝180°﹣2×36°＝108°＞90°，舍去；
③当B'A＝B'E时，如图，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠BCA，
由折叠得：∠B＝∠AB′C，∠BCA＝∠B'CA，
设∠B＝x，则∠AB'C＝∠BCA＝∠B′CA＝x，∠AEB′＝，∠EAC＝2x，
在△AEC中，由三角形内角和定理得：x+2x+＝180°，
∴x＝，
即∠B＝，
∴∠A＝180°﹣2×＝，
综上，∠A＝．
（2）射线AB与射线B′C交于点E，
由于AE＞AB＝AB′，所以此时又分两种情况：
①当EA＝EB′时，如图，
则∠BAB′＝∠B′，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠BCA，
由折叠得：∠ABC＝∠B′，∠BAC＝∠B'AC，
设∠BAC＝x，
则∠BAB′＝∠BAC+∠B′AC＝2x＝∠B′，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠B′＝2x，
在△ABC中，由三角形内角和定理得：x+2x+2x＝180°，
∴x＝36°，
即∠BAC＝36°；
②当AB′＝EB′时，如图，
则∠BAB′＝∠E，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠BCA，
由折叠得：∠ABC＝∠B′，∠BAC＝∠B'AC，
设∠BAC＝x，
则∠BAB′＝∠BAC+∠B′AC＝2x＝∠E，
∠ABC＝＝∠B′，
在△AB′E中，由三角形内角和定理得：2x+2x+＝180°，
∴x＝，
即∠BAC＝，
综上，∠A＝36°或，
综上所述，∠A＝或36°或．
故答案为：或36°或．
三、解答题（本大题共8小题，共60分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．（6分）（2023秋•平阴县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于点E．已知∠A＝40°，
（1）求∠CBE的度数；
（2）已知△BCE的周长为8cm，AC﹣BC＝2cm，则AB＝ 5 cm．
解：（1）∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠C＝＝70°，
∵点E在AB的垂直平分线上，
∴EA＝EB，
∴∠A＝∠ABE＝40°，
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝30°，
∴∠CBE的度数为30°；
（2）∵△BCE的周长为8cm，
∴BE+CE+BC＝8cm，
∵AE＝BE，
∴AE+EC+BC＝8cm，
∴AC+BC＝8cm，
∵AC﹣BC＝2cm，
∴AC＝5cm，BC＝3cm，
∴AB＝AC＝5cm，
故答案为：5．
22．（6分）（2023春•高新区校级期末）两个城镇A、B与两条公路ME，MF位置如图所示，其中ME是东西方向公路．现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路ME，MF的距离也必须相等，且在∠FME的内部，请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）
解：如图：
点C即为所求作的点．
23．（8分）（2021春•渠县期末）已知如图，在△ABC中，AB＝AC，
（1）如图（1），若∠α＝35°，AD是BC上的高，AD＝AE，则∠β＝ ；
（2）如图（2），若∠α＝46°，AD是BC上的高，AD＝AE，则∠β＝ 23° ；
（3）如图（3），D为BC上任意一点．请你思考：在△ABC中，若AB＝AC，AD＝AE，则∠α和∠β之间有什么关系？如果有，请你写出来，并说明你的理由．
解：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC上的高，
∴∠α＝∠CAD，
∵∠α＝35°，
∴∠α＝∠CAD＝35°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝，
∴∠β＝90°﹣＝；
故答案为：；
（2）∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC上的高，
∴∠α＝∠CAD，
∵∠α＝46°，
∴∠BAD＝∠CAD＝46°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝67°，
∴∠β＝23°；
故答案为：23°；
（3）∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED，
∴∠α+∠B＝∠ADC＝∠ADE+∠β＝∠AED+∠β＝（∠β+∠C）+∠β＝2∠EDC+∠C
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠α＝2∠β．
24．（8分）（2021秋•合阳县期末）数学理解
（1）如图1，在等边△ABC内，作DB＝DC，且∠BDC＝80°，E是△DBC内一点，且∠CBE＝10°，BE＝BD，求∠BCE的度数；
联系拓广（联系图1特点，解决下列问题）
（2）如图2，在△DBC中，DB＝DC，∠BDC＝80°，E是△DBC内一点，且∠CBE＝10°，∠BCE＝30°，连接DE，求∠CDE的度数．
解：（1）如图1，连接AD，
∵AB＝AC，DB＝DC，
∴直线AD是线段BC的垂直平分线，
∴AD平分∠BAC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ABC＝60°，
∴∠BAD＝30°，
∵∠BDC＝80°，
∴∠DBC＝50°，
∴∠ABD＝60°﹣50°＝10°＝∠CBE，
又∵AB＝BC，BE＝BD，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴∠BCE＝∠BAD＝30°；
（2）如图2，作等边三角形ABC，连接AD，
由（1）解答知，∠BAD＝∠BCE＝30°，∠ABD＝∠CBE＝10°，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴BD＝BE，
∵∠DBE＝60°﹣10°﹣10°＝40°，
∴∠BDE＝70°，
∴∠CDE＝∠BDC﹣∠BDE＝80°﹣70°＝10°．
25．（8分）（2023秋•龙山区期末）已知：在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．
（1）如图1，若∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，求∠BDC的度数．
（2）如图2，连接AD，作DE⊥AB，DE＝1，AC＝4，求△ADC的面积．
解：（1）∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABC＝×60°＝30°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠DCB＝∠ACB＝×40°＝20°，
∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB
＝180°﹣30°﹣20°
＝130°；
（2）作DF⊥AC于F，DH⊥BC于H，如图2，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DH⊥BC，
∴DH＝DE＝1，
∵CD平分∠ACB，DF⊥AC，DH⊥BC，
∴DF＝DH＝1，
∴△ADC的面积＝DF•AC＝×1×4＝2．
26．（8分）（2023秋•宁安市期末）作图题：（不写作法，但必须保留作图痕迹）
如图：某地有两所大学和两条相交叉的公路，（点M，N表示大学，AO，BO表示公路）．现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等．你能确定仓库P应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案．
解：如图所示：
（1）连接MN，分别以M、N为圆心，以大于MN为半径画圆，两圆相交于DE，连接DE，则DE即为线段MN的垂直平分线；
（2）以O为圆心，以任意长为半径画圆，分别交OA、OB于G、H，再分别以G、H为圆心，以大于GH为半径画圆，两圆相交于F，连接OF，则OF即为∠AOB的平分线（或∠AOB的外角平分线）；
（3）DE与OF相交于点P，则点P即为所求．
27．（8分）（2023秋•咸宁期末）已知：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°．
（1）如图，点D在AB边上，点E在AC边上，BD＝CE，BE与CD交于点F．求证：BF＝CF；
（2）若点D是AB边上的一个动点，点E是AC边上的一个动点，且BD＝CE，BE与CD交于点F．当△BFD是等腰三角形时，求∠FBD的度数．
（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
在△BCD与△CBE中
，
∴△BCD≌△CBE（SAS），
∴∠FBC＝∠FCB，
∴BF＝CF；
（2）解：∵AB＝AC，∠BAC＝45°，
∴，
由（1）知，∠FBC＝∠FCB，
∴∠DBF＝∠ECF，
设∠FBD＝∠ECF＝x，
则∠FBC＝∠FCB＝（67.5°﹣x），∠BDF＝∠ECF+∠BAC＝x+45°，
∠DFB＝2∠FBC＝2（67.5°﹣x）＝135°﹣2x，
∵△BFD是等腰三角形，故分三种情况讨论：
①．当BD＝BF时，此时∠BDF＝∠DFB，
∴x+45°＝135°﹣2x，得x＝30°，
即∠FBD＝30°；
②当BD＝DF时，此时∠FBD＝∠DFB，
∴x＝135°﹣2x，得x＝45°，
即∠FBD＝45°；
③当BF＝DF时，此时∠FBD＝∠FDB，
∴x＝x+45°，不符题意，舍去；
综上所述，∠FBD＝30°或45°．
28．（8分）（2023春•渠县期末）探究与发现：如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在底边BC上，AE＝AD，连接DE．
（1）当∠BAD＝60°时，求∠CDE的度数；
（2）当点D在BC（点B、C除外）上运动时，试猜想并探究∠BAD与∠CDE的数量关系；
（3）深入探究：若∠BAC≠90°，试就图②探究∠BAD与∠CDE的数量关系．
解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠C＝45°，
∵∠BAD＝60°，
∴∠DAE＝30°，
∵AD＝AE，
∴∠AED＝75°，
∴∠CDE＝∠AED﹣∠C＝30°；
（2）设∠BAD＝x，
∴∠CAD＝90°﹣x，
∵AE＝AD，
∴∠AED＝45°+，
∴∠CDE＝x，
∴∠BAD＝2∠CDE；
（3）设∠CDE＝x，∠C＝y，
∵AB＝AC，∠C＝y，
∴∠B＝∠C＝y，
∵∠CDE＝x，
∴∠AED＝y+x，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝y+x，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，
∴y+∠BAD＝y+x+x，
∴∠BAD＝2∠CDE