专题09 特殊的平行四边形中的图形变换模型之旋转模型-2023-2024学年八年级数学下册常见几何模型全归纳（苏科版）

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模型1.平行四边形中的旋转模型
1）常规计算型
例1．（2023·江苏泰州·八年级校考阶段练习）如图，将▱ABCD绕点A逆时针旋转到的位置，使点落在BC上，与CD交于点E．若，则旋转角的度数为 ．
例2．（2022下·福建泉州·八年级校考期中）如图，在平行四边形 中，， ，绕A逆时针旋转，点B的对应点为E，连接，设旋转角度为（）．
（1）当时，与直线相交于点F，此时，的长为 ；
（2）当是以为斜边的直角三角形时，则的长为 ．
2）最值（范围）型
例1．（2023·山东临沂·二模）如图，在平行四边形中，，，点为射线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的最小值是______．
例2．（2023下·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，在平行四边形中，，，，对角线与交于点，将直线绕点按顺时针方向旋转，分别交、于点、，则四边形周长的最小值是 ．
4）综合证明型
例1．（2023下·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形为平行四边形，为坐标原点，，，，将平行四边形绕点逆时针旋转得到平行四边形，点在的延长线上，点F落在x轴正半轴上．(1)证明：是等边三角形；(2)平行四边形绕点逆时针旋转度．的对应线段为，点的对应点为．①直线与轴交于点，若为等腰三角形，求点的坐标：②对角线在旋转过程中设点坐标为，当点到轴的距离大于或等于时，求的范围．

模型2.菱形中的旋转模型
1）常规计算型
例1．（2023春·江苏南京·八年级校联考期中）如图，在菱形中，，将菱形绕点A逆时针旋转，得到四边形，连接，若，则的度数为 ．

例2．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为，点在轴的正半轴上，且，将菱形绕原点逆时针方向旋转，得到四边形点与点重合，则点的坐标是( )

A．B．C．D．
例3．（2023秋·广东·九年级专题练习）如图，菱形的对角线、交于点O，将绕着点C旋转得到，若，，则的长是（ ）
A．4B．C．D．
2）最值（范围）型
例1．（2023·江苏·二模）如图，菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，E是边AB的中点，F是边AD上的一个动点，将线段EF绕着点E顺时针旋转60°得到EG，连接DG、CG，则DG+CG的最小值为 _____．
例2．（2023·江苏苏州·校联考一模）如图，菱形ABCD的边长为，∠ABC＝60°，对角线AC、BD交于点O．点E为直线AD上的一个动点，连接CE，将线段EC绕点C顺时针旋转∠BCD的角度后得到对应的线段CF（即∠ECF＝∠BCD），DF长度的最小值为_________．
例3．（2023·贵州遵义·统考一模）如图，已知菱形和菱形，，，，连接，．将菱形绕点旋转，当最大时，等于（ ）
A．2B．C．1D．
3）分类讨论型
例1．（2023上·辽宁沈阳·九年级统考期中）如图，四边形是菱形，，点为平面内一点，连接，将线段绕点A逆时针方向旋转得到线段，连接，连接． 点在直线上，，则线段的长为 ．
4）综合证明型
例1．（2023·重庆·九年级专题练习）如图，菱形ABCD的形状和大小保持不变，将菱形ABCD绕点B旋转适当角度得到菱形A'BC'D'，边A'D'与AD，DC交于E，F（D，E，F不重合），连接EB，FB．在旋转过程中，下列判断错误的是（ ）
A．EB平分∠AED' B．FB平分∠A'FC C．△DEF的周长是一个定值 D．S△DEF+2S△BEF＝S菱形ABCD
例2．（2023·福建泉州·九年级统考期末）如图1，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，以点A为旋转中心，将菱形ABCD逆时针旋转α（0°＜α＜30°）得到菱形，交对角线AC于点M，边AB的延长线交于点N．（1）当时，求α的度数；（2）如图2，对角线B'D'交AC于点H，交AN于点G，延长交AD于点E，连接EH，若菱形ABCD的周长为正数a，试探索：在菱形ABCD绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜30°）的过程中，的周长是否为定值，若是，试求出此定值；若不是，请说明理由．
模型3.矩形中的旋转模型
1）常规计算型
例1．（2023下·山西大同·九年级校联考期中）如图，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，已知，则旋转角的度数为（ ）

A．B．C．D．
例2．（2020·广西梧州·统考一模）如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形位置，此时的中点恰好与D点重合，AB'交CD于点E，若AD=3，则AEC的面积为（ ）
A．12B．4C．3D．6
例3．（2023·江苏无锡·校考一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝4，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AB′C′D′，AB′交CD于点E，且DE＝B′E，则AE的长为 _____．
2）最值（范围）型
例1．（2022·广东广州·中考真题）如图，在矩形ABCD中，BC=2AB，点P为边AD上的一个动点，线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BP'，连接PP' ，CP'．当点P' 落在边BC上时，∠PP'C的度数为________； 当线段CP' 的长度最小时，∠PP'C的度数为________
例2．（2023·江苏·一模）如图，在矩形ABCD中，，，点P为边AD上一个动点，连接CP，点P绕点C顺时针旋转得到点，连接并延长到点E，使，以CP、CE为邻边作矩形PCEF，连接DE、DF，则和面积之和的最小值为______．
例3．（2023下·江苏常州·八年级校考期中）阅读：如果两个动点到一个定点的距离的比为定值，且这两个动点与定点连线所成角的度数也为定值，那么这两动点的运动路径相同．
应用：如图，点O是矩形的对角线AC的中点，，以O为直角顶点的的顶点P在边上，，当P在上运动时，的最大值为（ ）

A．1B．C．2D．
3）分类讨论型
例1．（2023·河南信阳·二模）如图，为矩形的对角线，，，把绕点旋转，点的对应为点，当时，的长为 ．

例2．（2023·江苏·一模）如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转θ（0°≤θ≤360°），得到矩形AEFG．
（1）当点E在BD上时，求证：AF∥BD；（2）当GC＝GB时，求θ；
（3）当AB＝10，BG＝BC＝13时，求点G到直线CD的距离．
4）综合证明型
例1．（2023·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）如图，在矩形中，把矩形绕点旋转，得到矩形，且点落在上，连接，，交于点，连接，若平分，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
例2．（2023上·福建南平·九年级校考期中）已知：在矩形中，把矩形绕点旋转，得到矩形，且点落在边上，连接交于点．(1)如图，连接．求证：平分；求证：是的中点；(2)如图，连接，若平分，，求的长．

模型4.正方形中的旋转模型
1）常规计算型
例1．（2023·河南·九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，边长为的正方形ABCD的顶点A在x轴正半辅上，C在第一象限，将正方形ABCD绕点A旋转，当D的坐标为(3，2)时，则C点的坐标是（ ）
A．(5，1)B．(5，2)C．(5，3)D．(5，4)
例2．（2022·辽宁辽宁·中考真题）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是OD的中点，连接CE并延长交AD于点G，将线段CE绕点C逆时针旋转90°得到CF，连接EF，点H为EF的中点．连接OH，则的值为_______．
2）最值（范围）型
例1．（2023·江苏扬州·三模）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E是AB边上一动点，连接ED，将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，连接DF，CF，则DF＋CF的最小值是（ ）
A．4B．4C．5D．2
例2．（2023.湖北九年级期中）如图，正方形ABCD的边长为4，，点E是直线CM上一个动点，连接BE，线段BE绕点B顺时针旋转45°得到BF，连接DF，则线段DF长度的最小值等于（ ）
A．B．C．D．
3）路径（轨迹）型
例1．（2023下·江苏宿迁·八年级统考期中）如图，在正方形中，是对角线上一动点，点P从点C出发，连接，过点P作交边于点Q，连接，取的中点H，若P点移动的路径长为2，则H点移动路径长为（ ）
A．2B．C．D．
例2．（2023·广东三模）如图，是等腰直角三角形，正方形绕点A逆时针旋转，再延长交于G，以下结论中：①；②；③当，时，，正确的有（ ）
A．3个B．2个C．1个D．都不对
4）分类讨论型
例1．（2023·云南昆明·统考二模）如图，大正方形中，，小正方形中，，在小正方形绕点旋转的过程中，当，，三点共线时，线段的长为_______．
例2．（2023·辽宁辽阳·一模）如图，正方形ABCD和正方形CEFG（其中BD>2CE），直线BG与DE交于点H．(1)如图1，当点G在CD上时，请直接写出线段BG与DE的数量关系和位置关系；
(2)将正方形CEFG绕点C旋转一周．①如图2，当点E在直线CD右侧时，求证：；
②当∠DEC＝45°时，若AB＝3，CE＝1，请直接写出线段DH的长．
5）综合证明型
例1．（2022·四川南充·中考真题）如图，正方形边长为1，点E在边上（不与A，B重合），将沿直线折叠，点A落在点处，连接，将绕点B顺时针旋转得到，连接．给出下列四个结论：①；②；③点P是直线上动点，则的最小值为；④当时，的面积．其中正确的结论是_________．（填写序号）
例2．（2022·辽宁盘锦·中考真题）如图，四边形ABCD是正方形，△ECF为等腰直角三角形，∠ECF＝90°，点E在BC上，点F在CD上，P为EF中点，连接AF，G为AF中点，连接PG，DG，将Rt△ECF绕点C顺时针旋转，旋转角为α（0°≤α≤360°）．(1)如图1，当α＝0°时，DG与PG的关系为 ；(2)如图2，当α＝90°时①求证：△AGD≌△FGM；②（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
课后专项训练
1．（2023·云南昭通·九年级统考期中）如图，将矩形绕点A旋转一个角度得到，使得点恰好落在边上，若，则的长为（ ）
A．1B．2C．D．
2．（2024上·广西柳州·九年级统考期末）如图，正方形，边长，对角线、相交于点O，将直角三角板的直角顶点放在点O处，三角板两边足够长，与、交于、两点，当三角板绕点O旋转时，线段的最小值为（ ）
A．1B．2C．D．
3．（2023·湖南株洲·统考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，，，将菱形绕点O旋转任意角度得到菱形，则点的纵坐标的最小值为（ ）

A．B．C．D．1
4．（2023·江苏泰州·统考中考真题）菱形的边长为2，，将该菱形绕顶点A在平面内旋转，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023秋·重庆·九年级专题练习）如图，菱形的对角线交于点O，，将绕着点C旋转得到，则点A与点之间的距离为（ ）
A．6B．8C．10D．12
6．（2023春·天津西青·九年级校考阶段练习）如图，将菱形绕点顺时针旋转得到菱形，使点落在对角线上，连接，，则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．C．是等边三角形D．
7．（2023下·河南南阳·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，将平行四边形OABC绕点O旋转90°后，点B的对应点坐标是 ．
8．（2023·江苏南京·校联考三模）如图，将矩形绕点旋转，使点落在对角线上的处，延长交于点．若，，则的长为 ．

9．（2023·江苏九年级课时练习）把边长分别为4和6的矩形ABCO如图放在平面直角坐标系中，将它绕点C顺时针旋转α角，旋转后的矩形记为矩形EDCF．在旋转过程中，
（1）如图①，当点E在射线CB上时，E点坐标为 ；
（2）当△CBD是等边三角形时，旋转角α的度数是 （α为锐角）．
10．（2023·浙江宁波·校考一模）如图，正方形ABCD和Rt△CEF，AB＝10，CE＝CF＝6，连接BF，DE，在△CEF绕点C旋转过程中，当∠CDE最大时，S△BCF＝___．
11．（2023·浙江温州·八年级期中）如图，一副三角板如图放置，，顶点重合，将绕其顶点旋转，如图，在旋转过程中，当，连接、，这时的面积是______．
12．（2023·河南·九年级专题练习）如图，平行四边形ABCD中，，．将平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到平行四边形，此时点恰好在BC边上，点C的运动路径为，则图中阴影部分的面积为______．
13．（2023春·广东惠州·九年级校考开学考试）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，将菱形ABCD绕点A逆时针方向旋转，得到菱形AEFG．当点E恰好落在AC上时，设EF与CD交于点H，则HE＝ ．
14．（2023春·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，四边形是菱形，，且，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，连接、，则的最小值为 .
15．（2023下·河南驻马店·八年级统考期中）如图，的对角线、相交于点，直线过点且与、分别相交于点、．(1)求证：；(2)直线绕点旋转一定的角度与直线、相交于点、．请探索与的数量关系．

16．（2023·海南位·九年级统考阶段练习）正方形和正方形的边长分别为6和2，将正方形绕点A逆时针旋转．(1)当旋转至图1位置时，连结、，线段和有何关系？请说明理由；
(2)如图2，在旋转过程中，当点G、E、D在同一直线上时，求线段的长．
17．（2023上·河南洛阳·九年级统考期中）综合与实践：在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为的正方形与边长为的正方形按下图位置放置，与在同一直线上，与在同一直线上．连接，，易得且（不需要说明理由）．

(1)如下图，小明将正方形绕点逆时针旋转，旋转角为．
①连接，，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由；
②在旋转过程中，如下图，连接，，．，求四边形面积的最大值．
(2)如下图，分别取，，，的中点，，，，连接，，，，则四边形的形状为______，四边形面积的最大值是______．
18．（2023上·江西宜春·九年级统考期中）【课本再现】（1）如图1，E是正方形中边上任意一点，以点A为中心，把顺时针旋转，请你按课本的解答：“设点E的对应点为，在的延长线上取点，使，连接，则为旋转后的图形”，画出旋转后的，易知线段与的关系为______________________；
【深入探究】（2）如图2，在正方形中，E，F分别是边上的点，且，请你探究图中线段之间的数量关系并说明理由；
【拓展延伸】（3）在（2）图2的条件下，若正方形的边长为6，且F为边的中点时，的长为____．

19．（2023下·山东东营·八年级校考阶段练习）如图正方形的对角线相交于点，又是另一个正方形的一个顶点，若正方形绕点旋转，在旋转的过程中，
探究一：两个正方形重叠部分的面积是否会发生变化？并说明理由．
探究二：若正方形与正方形两边分别相交于、，试判断线段和之间的关系，并说明理由．探究三：若正方形继续旋转时，与之间的关系是否还成立？ 直接写出答案，不用说明理由

20．（2023春·浙江台州·八年级校联考期中）菱形中，，为等边三角形，将绕点顺时针旋转，为线段的中点，连接．

(1)如图1，为边上一点（点、不重合），则、的关系是___，请说明理由．
(2)将旋转至如图2所示位置，（1）中的结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
21．（2023·贵州黔东南·九年级统考期中）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，将菱形ABCD绕点A逆时针方向旋转，对应得到菱形AEFG，点E在AC上，EF与CD交于点P．
（1）求线段AC的长；（2）求线段DP的长．
22．（2023·山东济南·八年级校考期中）如图1，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=1，BC=．对角线AC和BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC和AD于点E和F．
(1)试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；(2)如图2，证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；(3)如图3，在旋转过程中，四边形BEDF可能有BF=FD吗？如果不能，请说明理由；如果能，请先说明理由，再求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．
23．（2023春·湖北·八年级校考阶段练习）如图，在四边形中，点E是直线上一点，将射线绕点A逆时针旋转交直线于点F．(1)如图①，若四边形为菱形，，，求证：；
(2)如图②，若四边形为正方形，，连接，试猜想线段，与之间的数量关系，并加以证明；(3)在（2）的条件下，若，，直接写出的长为__________．