专题09 特殊的平行四边形中的最值模型之将军饮马模型-2023-2024学年八年级数学下册常见几何模型（人教版）

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将军饮马问题从本质上来看是由轴对称衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，本专题就特殊的平行四边形背景下的将军饮马问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。在解决将军饮马问题主要依据是：两点之间，线段最短；垂线段最短；涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。
模型1.求两条线段和的最小值（将军饮马模型）
【模型解读】在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；
（1）点A、B在直线m两侧： （2）点A、B在直线同侧：

【最值原理】两点之间线段最短。 上图中A’是A关于直线m的对称点。
例1．（2023·山西运城·九年级统考期中）如图，正方形的对角线交于点O，点E是直线上一动点．若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
例2．（2023·广东广州·八年级校考期中）如图，正方形中，，连接，的平分线交于点E，在上截取，连接，分别交于点G，H，点P是线段上的动点，于点Q，连接，以下结论：①；②；③；④的最小值是，其中正确的结论有（ ）．
A．1B．2C．3D．4
例3．（2022·湖南娄底·中考真题）菱形的边长为2，，点、分别是、上的动点，的最小值为______．
例4．（2023下·江苏·八年级专题练习）如图，已知菱形的面积为20，边长为5，点、分别是边、上的动点，且，连接、，、和点不重合，则的最小值为（ ）

A．B．C．10D．
例5．（2023上·福建漳州·九年级校考期中）如图，矩形中，点为的中点．点为对角线上的一动点．则的最小值等于（）

A．B．6C．D．8
例6．（2022上·重庆大渡口·九年级校考期末）如图，在矩形中，，点E在上，点F在上，且，连结，则的最小值为 ．

例7．（2023上·福建龙岩·九年级校考期中）如图，在平行四边形中，，，，点E是边上且．F是边上的一个动点，将线段绕点E逆时针旋转，得到，连接、，则的最小值 ．
模型2. 求多条线段和（周长）最小值
【模型解读】在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。
（1）两个点都在直线外侧： （2）一个点在内侧，一个点在外侧：

（3）两个点都在内侧：

（4）台球两次碰壁模型
1）已知点A、B位于直线m,n 的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短.
2）已知点A位于直线m,n 的内侧, 在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.

【最值原理】两点之间线段最短。
例1．（2023·四川广元·一模）如图，已知正方形边长为3，点E在边上且，点P，Q分别是边，的动点（均不与顶点重合），当四边形的周长取最小值时，四边形的面积是（ ）
A．B．C．D．
例2．（2023.无锡市初三数学期中试卷）方法感悟：如图①，在矩形中，，是否在边上分别存在点G、H，使得四边形的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由．
问题解决：
例3．（2023春·湖北黄石·八年级统考期中）如图，在矩形中，，，、分别是和上的两个动点，为的中点，则的最小值是________；
例4．（2022上·山东临沂·八年级校考阶段练习）如图，在四边形中，是边的中点，，，，若，则线段长度的最大值是 ．
模型3.求两条线段差最大值
【模型解读】在一条直线m上，求一点P，使PA与PB的差最大；
（1）点A、B在直线m同侧：

延长AB交直线m于点P，根据三角形两边之差小于第三边，P’A-P’B＜AB，而PA-PB=AB此时最大，
因此点P为所求的点。
（2）点A、B在直线m异侧：

过B作关于直线m的对称点B’,连接AB’交点直线m于P,此时PB=PB’，PA-PB最大值为AB’
【最值原理】三角形两边之差小于第三边。
例1．（2023·四川成都·七年级统考期末）四边形ABCD是轴对称图形，对称轴为直线BD，AB＝AD＝4，∠ABD＝30°，点M、N分别为BD、BC的中点，点P、Q分别是线段AB、MN上的动点，则AP﹣PQ的最大值为 ．
例2．（2023春·湖南永州·八年级统考期中）如图，在矩形中，，O为对角线的中点，点P在边上，且，点Q在边上，连接与，则的最大值为____________，的最小值为__________．
例3．（2023·福建福州·八年级校考期中）如图，四边形中，，，点为直线左侧平面上一点，的面积为则的最大值为 ．
课后专项训练
1．（2022·四川广安·统考中考真题）如图，菱形ABCD的边长为2，点P是对角线AC上的一个动点，点E、F分别为边AD、DC的中点，则PE + PF的最小值是（ ）
A．2B．C．1.5D．
2．（2022下·广东广州·八年级校考期末）如图，菱形中，P为对角线上一动点，E，F分别为中点，若，，则的最小值为（ ）

A．3B．C．5D．
3．（2023上·广东佛山·九年级校考阶段练习）如图，已知正方形的边长为4，点E是边的中点，点P是对角线上的动点，则的最小值是（ ）

A．B．C．D．
4．（2023春·福建厦门·八年级校联考期中）如图，在▱ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠D＝60°，点P、Q分别是AC和BC上的动点，在点P和点Q运动的过程中，PB+PQ的最小值为（ ）
A．4B．3C．2D．4
5．（2023·山东烟台·统考一模）如图，在矩形中，，，点在上，点在上，且，连结，，则的最小值为（ ）
A．26B．25C．24D．22
6．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在菱形中，，，点E为的中点，点F在上，且，点G为直线上一动点，的最大值是 ．

7．（2023春·成都市九年级期中）如图，在矩形ABCD中，，，E、F分别是边AB、BC上的动点，且，M为EF中点，P是边AD上的一个动点，则的最小值是______．
8．（2023下·四川达州·八年级校考期末）如图，，在的同侧，，，，点为的中点，若，则的最大值是 ．

9．（2023·湖北孝感·九年级校考开学考试）如图，四边形是矩形纸片，，对折矩形纸片，使与重合，折痕为．展平后再过点B折叠矩形纸片，使点A落在上的点N，折痕与相交于点Q，再次展平，延长交与点G，P为线段上一动点，有如下结论①；②；③是等边三角形；④若H是的中点，则的最小值是．其中正确结论是 （填序号）
10．（2023·江苏无锡·统考二模）如图，矩形中，，点E、F分别边上的点，且，点G为的中点，点P为上一动点，则的最小值为 ．

12．（2023上·江苏泰州·八年级校联考阶段练习）长方形中，，E为边上的动点，F为的中点，连接，则的最小值为 ．

13．（2023·广西梧州·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，点P是对角线上的一个动点，已知，则的最小值是_________________
14．（2022·黑龙江·统考中考真题）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，，，AH是的平分线，于点E，点P是直线AB上的一个动点，则的最小值是________．
15．（辽宁省铁岭市2022-2023学年八年级下学期期中数学试题）如图，在矩形中，，，点E，F，G，H分别在矩形的各边上，且，，则四边形周长的最小值为 ．
16．（2023·广东惠州·校考三模）如图，正方形的边长为，点，分别是对角线的三等分点，点是边上一动点，则的最小值是________.

17．（2023·陕西铜川·统考三模）如图，正方形的对角线相交于点，，点在上，且，点是上一动点，则的最小值为 ______ ．
18．（2023·山东德州·校考一模）如图，在菱形中，，，，分别是边和对角线上的动点，且，则的最小值为______．
19．（2023·北京海淀·九年级人大附中校考开学考试）如图，中，，过A点作的平行线与的平分线交于点，连接．

(1)求证：四边形是菱形；(2)过点作的平行线交直线于点，连接，，点是线段上的动点，若，请直接写出的最小值．
20．（2023上·广东深圳·九年级校考阶段练习）【问题情境】
（1）我们曾经研究过这样的问题：已知正方形，点在的延长线上，以为一边构造正方形，连接和，如图1所示，则和的数量关系为______，位置关系为______
【继续探究】（2）如图2所示，若正方形的边长为4，点是边上的一个动点，以为一边在的右侧作正方形，连接、，连接，若，求线段的长度．
【拓展提升】（3）在（2）的条件下，如图3，当点在射线上运动时，求的最小值为______
21．（2023·安徽宿州·八年级校联考期中）小明同学在做作业时，遇到如下问题：如图1，已知：等边，点在上，以为边作等边，连接，求证：．

(1)请你解答小明的这道题；(2)在这个问题中，当在上运动时，点是否在一条线段上运动？（直接答“是”或“不是”）;(3)如图2，正方形的边长为2，是直线上的一个动点，以为边作正方形按逆时针排列）．当在直线上运动时，点是否在一条直线上运动？如果是，请你画出这条直线并证明；如果不是，也请说明理由；(4)连接，．①求证：是定值；②求的最小值（直接写出答案即可）．