2025高考数学一轮课时作业第九章概率与统计9.6事件的相互独立性条件概率与全概率公式（附解析）

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1. 在某次考试中，甲、乙通过的概率分别为，，若两人考试相互独立，则甲未通过而乙通过的概率为（ B ）
A. 0.28B. 0.12C. 0.42D. 0.16
解：甲未通过的概率为，则甲未通过而乙通过的概率为．故选.
2. 若事件与相互独立,,,则（ C ）
A. B. C. D.
解：因为事件 与 相互独立，所以.所以.故选.
3. 某工厂有A，B两条生产线，需要维护的概率分别为，，且A，B两条生产线是否需要进行维护是相互独立的，则至多有一条生产线需要维护的概率为（ A ）
A. 0.95B. 0.45C. 0.55D. 0.05
解：（方法一）由题意，得至多有一条生产线需要维护的概率为.
（方法二）由题意，得至多有一条生产线需要维护的概率为.故选.
4. 长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约的人近视，而该校大约有的学生每天玩手机超过，这些人的近视率约为.现从该校近视的学生中任意调查一名学生，则他每天玩手机超过的概率为（ A ）
A. B. C. D.
解：从“该校学生中任意调查一名学生他是近视”记为事件，且，“从该校学生中任意调查一名学生他每天玩手机超过”记为事件.由题，可知.则所求概率为.故选.
5. 甲、乙两人进行羽毛球比赛，连续比赛三局，各局比赛结果相互独立．设甲在第一、第二、第三局比赛中获胜的概率分别为，，，则甲恰好连胜两局的概率为（ B ）
A. B. C. D.
解：甲恰好连胜两局有前两局获胜、第三局失利和第一局失利、后两局获胜两种情况.故所求概率.故选.
6. 【多选题】已知甲箱中冰墩墩和雪容融分别有36个、9个，乙箱中冰墩墩和雪容融分别有20个、10个.现从两箱中随机取出1个吉祥物，用，分别表示取出的吉祥物来自甲箱和乙箱，用，分别表示取出的是冰墩墩和雪容融，则（ ABC ）
A. 和互为对立事件B.
C. D. 和相互独立
解：由题,可知甲箱中的吉祥物数量占两箱总数的，乙箱中的吉祥物数量占两箱总数的.事件 和 显然互为对立事件，故 正确.
，故 正确.
，故 正确.
因为，，所以，故 错误故选.
7. 甲、乙二人进行射击游戏，甲、乙射击命中目标与否是相互独立事件．规则如下：若射击一次命中，则原射击人继续射击；若射击一次不中，就由对方接替射击．已知甲、乙二人射击一次命中的概率均为，且第一次由甲开始射击，则第4次由甲射击的概率为 .
解：根据题意，第4次由甲射击共有4种情况：
（甲，甲，甲，甲），（甲，甲，乙，甲），（甲，乙，甲，甲），（甲，乙，乙，甲）.故所求概率为.故填.
8. 有3台车床加工同一型号的零件.第1台加工的次品率为，第2，3台加工的次品率均为，加工出来的零件混合放在一起，已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的，，.
（1） 求任取一个零件是第1台车床生产出来的次品的概率;
解：由题意，得任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为.
（2） 求任取一个零件是次品的概率;
[答案]由题设，得任取一个零件是次品的概率为.
（3） 若取到的零件是次品，求零件是第2台车床加工的概率.
[答案]由条件概率，得取到的零件是次品，则是第2台车床加工的概率为.
【综合运用】
9. 某知识问答竞赛需要三人组队参加，比赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段，每个阶段比赛中，若一支队伍中至少有一人通过，则这支队伍通过此阶段.已知甲、乙、丙三人组队参加，若甲通过每个阶段比赛的概率均为，乙通过每个阶段比赛的概率均为，丙通过每个阶段比赛的概率均为，且三人每次通过与否互不影响，则这支队伍进入决赛的概率为 （ B ）
A. B. C. D.
解：“至少有一人通过”的对立事件为“三人全部未通过”，则这支队伍通过每个阶段比赛的概率为.所以他们连续通过初赛和复赛的概率为，即进入决赛的概率为.故选.
10. 北方的冬天室外温度极低，若轻薄保暖的石墨烯发热膜能用在衣服上，将会大大地方便人们的出行.某科研人员制作石墨烯发热膜的过程分为三步，且第一步成功的概率为，若第一步成功，第二步失败的概率为，若前两步成功，第三步失败的概率为，则这位科研人员在一次工作中成功制作出石墨烯发热膜的概率为（ B ）
A. B. C. D.
解：记事件 表示“制作石墨烯发热膜第 步时失败”，
记事件 表示“成功制作出石墨烯发热膜”.因为，所以.故选.
11. 【多选题】在国家宪法日来临之际，某中学开展“学宪法、讲宪法”知识竞赛，一共设置了7道题目，其中5道是选择题，2道是简答题.现要求从中不放回地抽取2道题，则 （ BD ）
A. 恰好抽到一道选择题、一道简答题的概率是
B. 记抽到选择题的个数为，则
C. 在第一次抽到选择题的条件下，第二次抽到简答题的概率是
D. 第二次抽到简答题的概率是
解：从7道题中不放回地抽取2道题共有（种）方法.
对于，恰好抽到一道选择题、一道简答题有（种）方法，所以恰好抽到一道选择题、一道简答题的概率是，故 错误.
对于，易得,1,2.
，，
.所以，故 正确.
对于，“第一次抽到选择题”为事件，“第二次抽到简答题”为事件，则，，则，故 错误.
对于，“第一次抽到简答题”为事件，“第二次抽到简答题”为事件，所以第二次抽到简答题的概率是，故 正确.
故选.
12. [2022年新课标Ⅱ卷]在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图.
（1） 估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.
解：平均年龄（岁）.
（2） 估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间的概率.
[答案]设 一人患这种疾病的年龄在区间，所以.
（3） 已知该地区这种疾病的患病率为，该地区年龄位于区间的人口占该地区总人口的.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，求此人患这种疾病的概率（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到）.
[答案]
设 任选一人年龄位于区间，任选一人患这种疾病}.
由条件概率公式，得
.
【拓广探索】
13. [2022年全国乙卷]某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，，，且.记该棋手连胜两盘的概率为，则（ D ）
A. 与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关
B. 该棋手在第二盘与甲比赛，最大
C. 该棋手在第二盘与乙比赛，最大
D. 该棋手在第二盘与丙比赛，最大
解：设棋手在第二盘分别与甲、乙、丙比赛连胜两盘的概率分别为，，，则

，

，

，
，
，
所以 最大，即棋手在第二盘与丙比赛连胜两盘的概率最大，故 正确，，错误.与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序有关，故 错误.
故选.