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四川省成都外国语学校2023-2024学年高三下学期第一次诊断性考试理科数学试题
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这是一份四川省成都外国语学校2023-2024学年高三下学期第一次诊断性考试理科数学试题，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）设集合A＝{x||x|＜1}，B＝{y|y＝eˣ}，则A∩B＝（ ）
A．∅B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（﹣1，1）
2．（5分）已知双曲线C：经过点（2，0），则C的渐近线方程为（ ）
A．y＝±2xB．C．D．
3．（5分）已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则•（﹣）＝（ ）
A．﹣1B．1C．﹣7D．7
4．（5分）已知ab≠1，lgam＝2，lgbm＝3，则lgabm＝（ ）
A．B．C．D．
5．（5分）已知数列是公比为的等比数列，Sn是数列{an}的前n项和，则＝（ ）
A．1B．C．D．3
6．（5分）设a＝（sinx+csx）dx，则二项式（a﹣）6展开式中含x2项的系数是（ ）
A．﹣192B．192C．﹣6D．6
7．（5分）已知，则sin2α＝（ ）
A．﹣B．﹣C．D．
8．（5分）下列说法中，正确的是（ ）
A．已知一系列样本点（xi，yi）（i＝1，2，3…）一个经验回归方程，若样本点（m，3）与（2，n）的残差相等，则3m+n＝11
B．已知随机变量ζ～N（0，σ2），若P（ζ＞2）＝0.2，则P（﹣2≤ζ≤2）＝0.4
C．将5名同学分到三个组开展活动，每个组至少1名，则不同分配方法数是240
D．若随机事件A，B满足：，，，则事件A与B相互独立
9．（5分）如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点O出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为，若该质点每次移动一个单位长度，记经过5次移动后，该质点位于X的位置，则P（X＞0）＝（ ）
A．B．C．D．
10．（5分）已知O是△ABC所在平面内一点，且，则∠ABC的最大值为（ ）
A．B．C．D．
11．（5分）椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且斜率为的直线与椭圆交于A，B两点（A在B左侧），若，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
12．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，棱AB，BC的中点分别为E，F，点G在底面A1B1C1D1上，且平面EFG∥平面ACD1，则下列说法正确有（ ）个．
①若存在λ使得，则
②若G∈C1D1，则EG∥平面ADD1A1
③三棱锥G﹣BC1D体积的最大值为2
④二面角D﹣EF﹣G的余弦值为
A．0B．2C．3D．4
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知样本x1，x2，x3的平均数为2，方差为1，则，，的平均数为 ．
14．（5分）若复数z满足（1﹣i）z＝2i，则＝ ．
15．（5分）已知圆台O1O2的高为6，AB，CD分别为上、下底面的一条直径，且AB＝4，CD＝8，则圆台O1O2的体积为 ；若A，B，C，D四点不共面，且它们都在同一个球面上，则该球的表面积为 ．
16．（5分）设函数f（x）＝x+ex，g（x）＝x+lnx，若存在x1，x2，使得f（x1）＝g（x2），则|x1﹣x2|的最小值为 ．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17∼21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
17．（12分）已知数列{an}是公差不为0的等差数列，a4＝5，且a1，a3，a7成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn＝ancs，求数列{bn}的前2024项和．
18．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA＝PC＝AB＝AC＝2，BC＝2，E为PC的中点，点F在PA上，且EF⊥平面PAB，（λ∈R）．
（1）若MF∥平面ABC，求λ；
（2）若λ＝，求平面PAB与平面MAC夹角的正弦值．
19．（12分）某省2023年开始将全面实施新高考方案．在6门选择性考试科目中，物理、历史这两门科目采用原始分计分：思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为A、B，C，D，E共5个等级，各等级人数所占比例分别为15%、35%、35%、13%和2%，并按给定的公式进行转换赋分．该省部分学校联合组织了一次高二年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分．
（1）其中一所学校某班生物学科获得A等级的共有10名学生，其原始分及转换赋分如表：
现从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中生物的赋分不低于95分的人数为X，求X的分布列和数学期望：
（2）假设此次高二学生生物学科原始分Y近似服从正态分布N（66.7，13.32）．现随机抽取了100名高二学生的此次生物学科的原始分，后经调查发现其中有一名学生舞弊，剔除掉这名学生成绩后，记ξ为其他被抽到的原始分不低于80分的学生人数，预测当P（ξ＝k）取得最大值时k的值．（k∈N+）
附，若η～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ≤η≤μ+σ）≈0.68，P（μ﹣2σ≤η≤μ+2σ）≈0.95．
20．（12分）在平面直角坐标系中，F1，F2分别为双曲线C：3x2﹣y2＝a2（a＞0）的左右焦点，过F2的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点．当l与x轴垂直时，△ABF1面积为12．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）当l与x轴不垂直时，作线段AB的中垂线，交x轴于点D．试判断是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
21．（12分）已知曲线C：f（x）＝ex﹣xex在点A（1，f（1））处的切线为l．
（1）求直线l的方程；
（2）证明：除点A外，曲线C在直线l的下方；
（3）设f（x1）＝f（x2）＝t，x1≠x2，求证：．
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（α为参数），直线l的参数方程为，（为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求圆C的极坐标方程；
（2）设直线l与圆C的两个交点分别为M，N，求的最大值．
[选修4-5：不等式选讲]↩
23．已知关于x的不等式|x+1|﹣|x﹣2|≥|t﹣1|+t有解．
（1）求实数t的取值范围；
（2）若a，b，c均为正数，m为t的最大值，且2a+b+c＝m．求证：．
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）设集合A＝{x||x|＜1}，B＝{y|y＝eˣ}，则A∩B＝（ ）
A．∅B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（﹣1，1）
【分析】根据已知条件，解出集合A，B，再结合交集的定义，即可求解．
【解答】解：集合A＝{x||x|＜1}＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{y|y＝eˣ}＝{y|y＞0}，
则A∩B＝（0，1）．
故选：C．
【点评】本题主要考查集合的运算，属于基础题．
2．（5分）已知双曲线C：经过点（2，0），则C的渐近线方程为（ ）
A．y＝±2xB．C．D．
【分析】求出双曲线方程再根据双曲线渐近线的求法得解．
【解答】解：因为双曲线经过点（2，0），
所以a＝2，b＝1，渐近线方程为．
故选：B．
【点评】本题考查了双曲线的性质，属于基础题．
3．（5分）已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则•（﹣）＝（ ）
A．﹣1B．1C．﹣7D．7
【分析】由图形不妨设＝（2，1），则﹣＝（1，﹣3），再由平面向量数量积的坐标运算求解．
【解答】解：不妨设＝（2，1），则﹣＝（1，﹣3），
∴•（﹣）＝（2，1）•（1，﹣3）＝2×1+1×（﹣3）＝﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查平面向量的减法及数量积运算，是基础题．
4．（5分）已知ab≠1，lgam＝2，lgbm＝3，则lgabm＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用换底公式及对数运算法则即可求解．
【解答】解：因为lgam＝2，lgbm＝3
所以，，
所以，
即，
所以．
故选：D．
【点评】本题考查对数的运算，属于中档题．
5．（5分）已知数列是公比为的等比数列，Sn是数列{an}的前n项和，则＝（ ）
A．1B．C．D．3
【分析】利用已知可得an﹣an﹣1＝a1，进而可得数列{an}为公差为a1的等差数列，计算可求的值．
【解答】解：根据题意，可得an﹣an﹣1＝a1（n≥2），
则数列{an}为公差为a1的等差数列，
所以．
故选：D．
【点评】本题主要考查了等比数列的的定义及等差数列的求和公式的应用，属于基础题．
6．（5分）设a＝（sinx+csx）dx，则二项式（a﹣）6展开式中含x2项的系数是（ ）
A．﹣192B．192C．﹣6D．6
【分析】先由题中条件：“，”求得a值，再利用二项式定理的通项公式结合待定系数法即可求得含x2项的系数．
【解答】解：a＝（sinx+csx）dx＝（﹣csx+sinx）＝2．
二项式的通项公式为
，
令3﹣r＝2，得r＝1，故展开式中含x2项的系数是（﹣1）126﹣1＝﹣192．
故选：A．
【点评】本小题设计巧妙，综合考查定积分和二项式定理，是一道以小见大的中档题，不可小视．
7．（5分）已知，则sin2α＝（ ）
A．﹣B．﹣C．D．
【分析】依题意，可求得cs（α+）＝，再利用二倍角的余弦公式计算可得答案．
【解答】解：∵tan（α+）cs（α﹣）＝tan（α+）sin（α+）＝1，
∴sin2（α+）＝cs（α+），
即×[1﹣cs2（α+）]＝cs（α+），
解得cs（α+）＝或cs（α+）＝﹣（舍去），
∴sin2α＝﹣cs（2α+）＝1﹣2cs2（α+）＝1﹣2×＝﹣．
故选：B．
【点评】本题考查两角和与差的三角函数，考查二倍角的余弦公式的应用，属于中档题．
8．（5分）下列说法中，正确的是（ ）
A．已知一系列样本点（xi，yi）（i＝1，2，3…）一个经验回归方程，若样本点（m，3）与（2，n）的残差相等，则3m+n＝11
B．已知随机变量ζ～N（0，σ2），若P（ζ＞2）＝0.2，则P（﹣2≤ζ≤2）＝0.4
C．将5名同学分到三个组开展活动，每个组至少1名，则不同分配方法数是240
D．若随机事件A，B满足：，，，则事件A与B相互独立
【分析】对于A，利用残差的定义即可判断；
对于B，根据正态分布的对称性即可判断；
对于C，先分组再分配即可；
对于D，利用独立事件的定义即可判断．
【解答】解：对于A：由题意可得（m，3）的残差＝3﹣（3m+a），（2，n）的残差＝n﹣（2×3+a），
由＝得，3﹣（3m+a）＝n﹣（6+a），∴3m+n＝9，故A错误；
对于B：根据正态分布的对称性可知P（ξ＜﹣2）＝P（ξ＞2）＝0.2，∴P（﹣2≤ξ≤2）＝1﹣0.2×2＝0.6，故B错误；
对于C：5名同学分到三个组开展活动，每个组至少1名，则每组可以分3，1，1，或者2，2，1，因此不同的分配方法数共有（C+）A＝（10+15）×6＝150种，故C错误；
对于D：P（A∪B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB），即+﹣P（AB）＝，解得P（AB）＝，
∴P（AB）＝P（A）P（B），∴事件A与事件B独立，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查残差，正态分布，排列组合以及独立事件，属于中档题．
9．（5分）如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点O出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为，若该质点每次移动一个单位长度，记经过5次移动后，该质点位于X的位置，则P（X＞0）＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据已知条件，结合二项分布的概率公式，即可求解．
【解答】解：．
故选：D．
【点评】本题考查互斥事件的概率、二项分布，属于基础题．
10．（5分）已知O是△ABC所在平面内一点，且，则∠ABC的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】由平面向量数量积的运算，结合正弦定理及三角形的性质求解．
【解答】解：已知O是△ABC所在平面内一点，且，
则，
即，
由正弦定理可得：，
由三角形的性质可得∠ABC为锐角，
则，
则∠ABC的最大值为．
故选：B．
【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了正弦定理及三角形的性质，属中档题．
11．（5分）椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且斜率为的直线与椭圆交于A，B两点（A在B左侧），若，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据题意易得|AF1|＝|F1F2|，再根据椭圆的倾斜角的焦半径公式建立方程，即可求解．
【解答】解：先证明椭圆的倾斜角的焦半径公式：|AF1|＝，|BF1|＝，
设A到椭圆的左准线x＝的距离为d，过左焦点的直线的倾斜角为θ，
则根据椭圆的第二定义可得：，
∴|AF1|＝ed＝e（），
∴|AF1|＝+e|AF1|csθ，
解得|AF1|＝，同理可得|BF1|＝．
由，可得AF2的垂直平分线过F1，
∴|AF1|＝|F1F2|，
又tanθ＝﹣3，∴csθ＝﹣，
∴|AF1|＝＝＝＝|F1F2|＝2c，
∴4b2＝8ac+c2，∴4（a2﹣c2）＝8ac+c2，
∴5c2+8ac﹣4a2＝0，
∴5e2+8e﹣4＝0，又e∈（0，1），
∴解得e＝．
故选：A．
【点评】本题考查椭圆的离心率的求解，椭圆的倾斜角的焦半径公式的应用，属中档题．
12．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，棱AB，BC的中点分别为E，F，点G在底面A1B1C1D1上，且平面EFG∥平面ACD1，则下列说法正确有（ ）个．
①若存在λ使得，则
②若G∈C1D1，则EG∥平面ADD1A1
③三棱锥G﹣BC1D体积的最大值为2
④二面角D﹣EF﹣G的余弦值为
A．0B．2C．3D．4
【分析】对于①，先证G在平面PQNFEM与底面A1B1C1D1的交线段PQ上，若存在λ使得，则A1，G，D1三点共线，G与P重合，G为A1D1的中点，即可得解；
对于②，先证EG∥AD1，利用线面平行判定定理即可得证；
对于③，建立空间直角坐标系，得出平面BC1D的一个法向量，再求出点G到平面BC1D的距离d，利用锥体体积公式即可求解；
对于④，分别求出平面DEF与平面EFG的一个法向量，利用向量夹角公式即可求解．
【解答】解：如图，取A1D1，C1D1的中点分别为P，Q，取A1A，C1C的中点分别为M，N，
依次连接F，N，Q，P，M，E，得正六边形PQNFEM，
且EF∥AC，FN∥BC1∥AD1，又EF⊄平面ACD1，AC⊂平面ACD1，
所以EF∥平面ACD1，
同理可证：FN∥平面ACD1，
又EF∩FN＝F，EF，FN⊂平面PQNFEM，
所以平面PQNFEM∥平面ACD1，
所以点G在平面PQNFEM与底面A1B1C1D1的交线段PQ上，
对于①，若存在λ使得，则A1，G，D1三点共线，G与P重合，G为A1D1的中点，
所以λ＝1，故①错误；
对于②，若G∈C1D1，则G与Q重合，连接EQ，易证EG∥AD1，
又EQ⊄平面ADD1A1，AD1⊂平面ADD1A1，
所以EQ∥平面ADD1A1，即EG∥平面ADD1A1，故②正确；
对于③，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则D（0，0，0），P（1，0，2），Q（0，1，2），A1（2，0，2），B（2，2，0），C（0，2，0），C1（0，2，2），
设，λ∈[0，1]，
，1，0）＝（﹣λ，λ，0），
所以G（1﹣λ，λ，2），，，，2），，
所以，，
所以DB⊥A1C，A1C⊥DC1，又DB∩DC1＝D，
所以A1C⊥平面BC1D，
所以平面BC1D的一个法向量，
则点G到平面BC1D的距离＝，
因为λ∈[0，1]，所以，又△BC1D是边长为的等边三角形，
所以＝，
所以三棱锥G﹣BC1D的体积，故③正确；
对于④，平面DEF的一个法向量，E（2，1，0），F（1，2，0），M（2，0，1），，，
设平面EFG（即平面PQNFEM）的法向量为，
则，
令x＝1，得＝（1，1，1），
设二面角D﹣EF﹣G的平面角为θ，
则，故④正确，
故选：C．
【点评】本题考查线面平行的判定以及空间向量的应用，属于中档题．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知样本x1，x2，x3的平均数为2，方差为1，则，，的平均数为 5 ．
【分析】利用平均数和方差的计算公式求解．
【解答】解：由题意可知，x1+x2+x3＝6，＝3，
所以﹣4（x1+x2+x3）+12＝3，
所以＝15，
所以，，的平均数为（）＝5．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查了平均数和方差的定义，属于基础题．
14．（5分）若复数z满足（1﹣i）z＝2i，则＝ 2 ．
【分析】结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，即可求解．
【解答】解：（1﹣i）z＝2i，
则z＝，
故．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．
15．（5分）已知圆台O1O2的高为6，AB，CD分别为上、下底面的一条直径，且AB＝4，CD＝8，则圆台O1O2的体积为 56π ；若A，B，C，D四点不共面，且它们都在同一个球面上，则该球的表面积为 80π ．
【分析】利用圆台的体积公式求圆台的体积，根据球O的球心在圆台O1O2的轴O1O2上，得到，求得R2＝20，利用球的表面积公式即可求解．
【解答】解：由题意，该圆台AB＝2r＝4，r＝2，CD＝2R＝8，R＝4，h＝O1O2＝6，
则该圆台的体积；
设球心O到圆台上底面的距离为a，球O的半径为R，
因为球O的球心在圆台O1O2的轴O1O2上，
所以有，
解得：a＝4，R2＝20，
则该球的表面积为4πR2＝80π．
故答案为：56π；80π．
【点评】本题考查了圆台的体积公式和球的表面积公式，属于中档题．
16．（5分）设函数f（x）＝x+ex，g（x）＝x+lnx，若存在x1，x2，使得f（x1）＝g（x2），则|x1﹣x2|的最小值为 1 ．
【分析】求导判断f（x）的单调性，由g（x）＝x+lnx＝f（lnx），得x1＝lnx2，则|x1﹣x2|的最小值转化为|lnx2﹣x2|的最小值，令h（x）＝lnx﹣x+1，求导判断其单调性，取绝对值符号即可求出|x1﹣x2|的最小值．
【解答】解：因为f（x）＝x+ex，所以f'（x）＝1+ex＞0恒成立，
所以f（x）在R上单调递增，
又因为g（x）＝x+lnx＝f（lnx），且f（x1）＝g（x2）＝f（lnx2），
所以x1＝lnx2，所以|x1﹣x2|＝|lnx2﹣x2|，
令h（x）＝lnx﹣x+1，定义域为（0，+∞），
则，
当0＜x＜1时，h'（x）＞0，h（x）单调递增；当x＞1时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，所
以h（x）≤h（1）＝0，
所以lnx≤x﹣1，
所以|x1﹣x2|＝|lnx2﹣x2|＝x2﹣lnx2≥x2﹣（x2﹣1）＝1，
即|x1﹣x2|的最小值为1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了导数的综合应用，考查了构造函数求解综合问题的能力，考查了函数思想及转化思想，属于中档题．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17∼21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
17．（12分）已知数列{an}是公差不为0的等差数列，a4＝5，且a1，a3，a7成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn＝ancs，求数列{bn}的前2024项和．
【分析】（1）由等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，进而得到所求；
（2）求得b4n﹣3+b4n﹣2+b4n﹣1+b4n＝2，由数列的并项求和，可得所求和．
【解答】解：（1）数列{an}是公差d不为0的等差数列，a4＝5，且a1，a3，a7成等比数列，
可得a1+3d＝5，＝a1a7，即（a1+2d）2＝a1（a1+6d），即有a1＝2d，
解得a1＝2，d＝1，
则an＝2+（n﹣1）＝n+1；
（2）bn＝ancs＝（n+1）cs，
可得b4n﹣3+b4n﹣2+b4n﹣1+b4n＝﹣（4n﹣2）+0+4n+0＝2，
数列{bn}的前2024项和为2×＝1012．
【点评】本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，以及数列的并项求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
18．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA＝PC＝AB＝AC＝2，BC＝2，E为PC的中点，点F在PA上，且EF⊥平面PAB，（λ∈R）．
（1）若MF∥平面ABC，求λ；
（2）若λ＝，求平面PAB与平面MAC夹角的正弦值．
【分析】（1）由MF∥平面ABC，可得，再由题设求得，即可求得λ的值；
（2）建立空间直角坐标系，求得平面PAB与平面MAC的法向量，利用向量夹角公式求得夹角的余弦值，进而求得正弦值．
【解答】解：（1）若MF∥平面ABC，
则∠PFM＝∠PAB，∠PMF＝∠PBA，
则△PFM∽△PAB，所以，
在△PAC中，PA＝PC＝AC，
所以，又E为PC中点，
所以PE＝PC＝1，所以PF＝PEcs＝，
所以，即，故；
（2）当时，M为PB的中点，取PA中点H，连接CH，
在△ABC中，AB2+AC2＝BC2，所以AB⊥AC，
又因为H为PA中点，在正△PAC中，
CH⊥PA，故CH∥EF，即CH⊥面PAB，
所以CH⊥AB，又CH∩AC＝C，CH，AC⊂平面PAC，
所以AB⊥面PAC，取AC中点Q，BC中点T，
则TQ∥AB，故TQ⊥面PAC，又PQ⊥AC，
故以Q为坐标原点，QT，QC，QP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，
建立空间直角坐标系，如图所示：
则Q（0，0，0），C（0，1，0），A（0，﹣1，0），M（1，﹣，），H（0，，），
则，，，
因为CH⊥平面PAB，所以平面PAB的一个法向量为，
设平面AMC的一个法向量为，
则有，令a＝，可得b＝0，c＝﹣2，
则平面AMC的一个法向量为，
故＝，
则平面PAB与平面MAC夹角的余弦值为，
故平面PAB与平面MAC夹角的正弦值为．
【点评】本题主要考查了向量之间的比例关系，空间直角坐标系的建立，以及利用平面法向量求解二面角．
19．（12分）某省2023年开始将全面实施新高考方案．在6门选择性考试科目中，物理、历史这两门科目采用原始分计分：思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为A、B，C，D，E共5个等级，各等级人数所占比例分别为15%、35%、35%、13%和2%，并按给定的公式进行转换赋分．该省部分学校联合组织了一次高二年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分．
（1）其中一所学校某班生物学科获得A等级的共有10名学生，其原始分及转换赋分如表：
现从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中生物的赋分不低于95分的人数为X，求X的分布列和数学期望：
（2）假设此次高二学生生物学科原始分Y近似服从正态分布N（66.7，13.32）．现随机抽取了100名高二学生的此次生物学科的原始分，后经调查发现其中有一名学生舞弊，剔除掉这名学生成绩后，记ξ为其他被抽到的原始分不低于80分的学生人数，预测当P（ξ＝k）取得最大值时k的值．（k∈N+）
附，若η～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ≤η≤μ+σ）≈0.68，P（μ﹣2σ≤η≤μ+2σ）≈0.95．
【分析】（1）X服从超几何分布，由超几何分布的概率公式即可求得分布列以及数学期望；
（2）由正态分布性质得P（Y≥80）＝0.16，再由二项分布结合已知列出不等式组即可得解．
【解答】解：（1）据题意可知，10名学生中生物的赋分不低于95分的人数为4人，
故X的所有可能取值为0，1，2，3，
则，，
，，
所以X的分布列为：
故；
（2）据题意可知，
那么ξ～B（99，0.16）有，
要使P（ξ＝K）取最大值，只需，
得：且k∈N+，
故：当k＝15或16时，P（ξ＝k）取得最大值．
【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列和期望，考查了二项分布概率的最值问题，属于中档题．
20．（12分）在平面直角坐标系中，F1，F2分别为双曲线C：3x2﹣y2＝a2（a＞0）的左右焦点，过F2的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点．当l与x轴垂直时，△ABF1面积为12．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）当l与x轴不垂直时，作线段AB的中垂线，交x轴于点D．试判断是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【分析】（1）由题意，先得到双曲线的标准方程，利用三角形面积公式列出等式，进而可得双曲线C的标准方程；
（2）设出直线l的方程和A，B两点的坐标，将直线l的方程与双曲线方程联立，利用韦达定理求出AB中点M的坐标，进而推出线段AB的中垂线方程，令y＝0求出点D的坐标，代入弦长公式中再求解即可．
【解答】解：（1）易知双曲线C的标准方程为，
因为当l与x轴垂直时，△ABF1面积为12，
所以＝＝4a2＝12，
解得a2＝3，
则双曲线C的标准方程为；
（2）由（1）知F2（2，0），
不妨设直线l的方程为x＝ty+2（t≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M为AB中点，
联立，消去x并整理得（3t2﹣1）y2+12ty+9＝0，
由韦达定理得，，
所以x1+x2＝t（y1+y2）+4＝，
则AB中点M的坐标为，
所以线段AB的中垂线为，
令y＝0，
解得x＝，
即，
所以，
又，
则＝＝1．
故为定值，定值为1．
【点评】本题考查双曲线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
21．（12分）已知曲线C：f（x）＝ex﹣xex在点A（1，f（1））处的切线为l．
（1）求直线l的方程；
（2）证明：除点A外，曲线C在直线l的下方；
（3）设f（x1）＝f（x2）＝t，x1≠x2，求证：．
【分析】（1）由导数的几何意义即可求解直线l的方程；
（2）令 g（x）＝﹣ex+e﹣ex+xex，利用导数证明g（x）≥g（1）＝0，即可得证；
（3）利用导数判断函数的单调性，从而可得t的取值范围，将不等式进行转化，构造新函数，利用导数即可得证．
【解答】解：（1）∵f（x）＝ex﹣xex，∴f（1）＝0，
f'（x）＝﹣xex，则f′（1）＝﹣e，
∴直线l的方程为：y﹣0＝﹣e（x﹣1），即y＝﹣ex+e．
（2）证明：令g（x）＝﹣ex+e﹣ex+xex，
则g'（x）＝﹣e﹣ex+ex+xex＝﹣e+xex，令h（x）＝g′（x），
则h'（x）＝（x+1）ex，由h′（x）＞0，解得x＞﹣1，由h′（x）＜0，解得x＜﹣1，
∴h（x）在 （﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，+∞） 上单调递增，
当 x→→∞时，h（x）→﹣e，h（1）＝0，
∴g（x）在 （﹣∞，1）上单调递减，在（1，+∞） 上单调递增，
∴g（x）≥g（1）＝0，当且仅当x＝1 等号成立，
∴除切点A之外，曲线C在直线l的下方．
（3）证明：由 f'（x）＝﹣xex＞0，解得x＜0，f'（x）＝﹣xex＜0，解得x＞0，
∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，f（x）max＝f（0）＝1，f（1）＝0，
当x→→∞时，f（x）→0．
∵f（x1）＝f（x2）＝t，x1≠x2，则0＜t＜1，不妨令x1＜0，0＜x2＜1．
∵曲线C在（1，0）点的切线方程为φ（x）＝﹣ex+e，
设点（x3，t） 在切线上，有t＝﹣e（x3﹣1），
由（1）知x∈（0，1）时，φ（x）＞f（x），
则φ（x2）＞f（x2）＝t＝φ（x3），即，
要证：，
只要证：，
只要证：x1＜2t﹣2，
又，
只要证：，
令F（x）＝2ex﹣2xex﹣x﹣2，x＜0，则F'（x）＝﹣2xex﹣1，
易证F′（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递增，在（﹣1，0）上单调递减，
∴，
∴F（x）在 （﹣∞，0）上单调递减，∴F（x）＞F（0）＝0成立，
∴原命题成立．
【点评】本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，利用导数研究函数的最值，不等式的证明，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于难题．
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（α为参数），直线l的参数方程为，（为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求圆C的极坐标方程；
（2）设直线l与圆C的两个交点分别为M，N，求的最大值．
【分析】（1）消去参数α可得普通方程，再将x＝ρcsθ，y＝ρsinθ代入方程即可求解；
（2）将直线l的参数方程代入圆C的普通方程，再由t的几何含义表达出|OM|，|ON|，代入化简计算即可求出最大值．
【解答】解：（1）消去参数α，可得圆C的普通方程为，
即．
将x＝ρcsθ，y＝ρsinθ代入可得圆C的极坐标方程为．
（2）将直线l的参数方程代入圆C的普通方程可得，
所以．
易知直线l过定点O，设M，N对应的参数分别为t1，t2．
如图，可知t1+t2＞0，t1t2＞0，所以t1＞0，t2＞0，
所以，
因为，所以，
所以当，即时，取得最大值，且最大值为4．
【点评】本题主要考查极坐标公式，以及参数方程的应用，属于中档题．
[选修4-5：不等式选讲]↩
23．已知关于x的不等式|x+1|﹣|x﹣2|≥|t﹣1|+t有解．
（1）求实数t的取值范围；
（2）若a，b，c均为正数，m为t的最大值，且2a+b+c＝m．求证：．
【分析】（1）令f（x）＝|x+1|﹣|x﹣2|，求出f（x）的最大值，由不等式|x+1|﹣|x﹣2|≥|t﹣1|+t有解可知f（x）max≥|t﹣1|+t，从而得到关于t的不等式3≥|t﹣1|+t，即可解出t的取值范围；
（2）由柯西不等式得（a2+b2+c2）（22+12+12）≥（2a+b+c）2即可证明结论．
【解答】解：（1）令，
所以当x≥2时，f（x）取得最大值为3，
关于x的不等式|x+1|﹣|x﹣2|≥|t﹣1|+t有解等价于f（x）max≥|t﹣1|+t，即3≥|t﹣1|+t，
当t≥1时，上述不等式转化为3≥t﹣1+t，解得1≤t≤2，
当t＜1时，上述不等式转化为3≥﹣t+1+t，解得t＜1，
综上所述t的取值范围为t≤2，
故实数t的取值范（﹣∞，2]．
（2）证明：根据（1）可得a，b，c均为正实数，且满足2a+b+c＝2，
所以由柯西不等式可得（a2+b2+c2）（22+12+12）≥（2a+b+c）2＝4，
当且仅当，，时取等号，
所以．
【点评】本题主要考查不等式的证明，考查转化能力，属于中档题．
原始分
97
95
91
90
89
87
85
84
84
83
赋分
99
97
95
95
94
92
91
90
90
90
原始分
97
95
91
90
89
87
85
84
84
83
赋分
99
97
95
95
94
92
91
90
90
90
X
0
1
2
3
P
1．（5分）设集合A＝{x||x|＜1}，B＝{y|y＝eˣ}，则A∩B＝（ ）
A．∅B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（﹣1，1）
2．（5分）已知双曲线C：经过点（2，0），则C的渐近线方程为（ ）
A．y＝±2xB．C．D．
3．（5分）已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则•（﹣）＝（ ）
A．﹣1B．1C．﹣7D．7
4．（5分）已知ab≠1，lgam＝2，lgbm＝3，则lgabm＝（ ）
A．B．C．D．
5．（5分）已知数列是公比为的等比数列，Sn是数列{an}的前n项和，则＝（ ）
A．1B．C．D．3
6．（5分）设a＝（sinx+csx）dx，则二项式（a﹣）6展开式中含x2项的系数是（ ）
A．﹣192B．192C．﹣6D．6
7．（5分）已知，则sin2α＝（ ）
A．﹣B．﹣C．D．
8．（5分）下列说法中，正确的是（ ）
A．已知一系列样本点（xi，yi）（i＝1，2，3…）一个经验回归方程，若样本点（m，3）与（2，n）的残差相等，则3m+n＝11
B．已知随机变量ζ～N（0，σ2），若P（ζ＞2）＝0.2，则P（﹣2≤ζ≤2）＝0.4
C．将5名同学分到三个组开展活动，每个组至少1名，则不同分配方法数是240
D．若随机事件A，B满足：，，，则事件A与B相互独立
9．（5分）如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点O出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为，若该质点每次移动一个单位长度，记经过5次移动后，该质点位于X的位置，则P（X＞0）＝（ ）
A．B．C．D．
10．（5分）已知O是△ABC所在平面内一点，且，则∠ABC的最大值为（ ）
A．B．C．D．
11．（5分）椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且斜率为的直线与椭圆交于A，B两点（A在B左侧），若，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
12．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，棱AB，BC的中点分别为E，F，点G在底面A1B1C1D1上，且平面EFG∥平面ACD1，则下列说法正确有（ ）个．
①若存在λ使得，则
②若G∈C1D1，则EG∥平面ADD1A1
③三棱锥G﹣BC1D体积的最大值为2
④二面角D﹣EF﹣G的余弦值为
A．0B．2C．3D．4
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知样本x1，x2，x3的平均数为2，方差为1，则，，的平均数为 ．
14．（5分）若复数z满足（1﹣i）z＝2i，则＝ ．
15．（5分）已知圆台O1O2的高为6，AB，CD分别为上、下底面的一条直径，且AB＝4，CD＝8，则圆台O1O2的体积为 ；若A，B，C，D四点不共面，且它们都在同一个球面上，则该球的表面积为 ．
16．（5分）设函数f（x）＝x+ex，g（x）＝x+lnx，若存在x1，x2，使得f（x1）＝g（x2），则|x1﹣x2|的最小值为 ．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17∼21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
17．（12分）已知数列{an}是公差不为0的等差数列，a4＝5，且a1，a3，a7成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn＝ancs，求数列{bn}的前2024项和．
18．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA＝PC＝AB＝AC＝2，BC＝2，E为PC的中点，点F在PA上，且EF⊥平面PAB，（λ∈R）．
（1）若MF∥平面ABC，求λ；
（2）若λ＝，求平面PAB与平面MAC夹角的正弦值．
19．（12分）某省2023年开始将全面实施新高考方案．在6门选择性考试科目中，物理、历史这两门科目采用原始分计分：思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为A、B，C，D，E共5个等级，各等级人数所占比例分别为15%、35%、35%、13%和2%，并按给定的公式进行转换赋分．该省部分学校联合组织了一次高二年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分．
（1）其中一所学校某班生物学科获得A等级的共有10名学生，其原始分及转换赋分如表：
现从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中生物的赋分不低于95分的人数为X，求X的分布列和数学期望：
（2）假设此次高二学生生物学科原始分Y近似服从正态分布N（66.7，13.32）．现随机抽取了100名高二学生的此次生物学科的原始分，后经调查发现其中有一名学生舞弊，剔除掉这名学生成绩后，记ξ为其他被抽到的原始分不低于80分的学生人数，预测当P（ξ＝k）取得最大值时k的值．（k∈N+）
附，若η～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ≤η≤μ+σ）≈0.68，P（μ﹣2σ≤η≤μ+2σ）≈0.95．
20．（12分）在平面直角坐标系中，F1，F2分别为双曲线C：3x2﹣y2＝a2（a＞0）的左右焦点，过F2的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点．当l与x轴垂直时，△ABF1面积为12．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）当l与x轴不垂直时，作线段AB的中垂线，交x轴于点D．试判断是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
21．（12分）已知曲线C：f（x）＝ex﹣xex在点A（1，f（1））处的切线为l．
（1）求直线l的方程；
（2）证明：除点A外，曲线C在直线l的下方；
（3）设f（x1）＝f（x2）＝t，x1≠x2，求证：．
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（α为参数），直线l的参数方程为，（为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求圆C的极坐标方程；
（2）设直线l与圆C的两个交点分别为M，N，求的最大值．
[选修4-5：不等式选讲]↩
23．已知关于x的不等式|x+1|﹣|x﹣2|≥|t﹣1|+t有解．
（1）求实数t的取值范围；
（2）若a，b，c均为正数，m为t的最大值，且2a+b+c＝m．求证：．
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）设集合A＝{x||x|＜1}，B＝{y|y＝eˣ}，则A∩B＝（ ）
A．∅B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（﹣1，1）
【分析】根据已知条件，解出集合A，B，再结合交集的定义，即可求解．
【解答】解：集合A＝{x||x|＜1}＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{y|y＝eˣ}＝{y|y＞0}，
则A∩B＝（0，1）．
故选：C．
【点评】本题主要考查集合的运算，属于基础题．
2．（5分）已知双曲线C：经过点（2，0），则C的渐近线方程为（ ）
A．y＝±2xB．C．D．
【分析】求出双曲线方程再根据双曲线渐近线的求法得解．
【解答】解：因为双曲线经过点（2，0），
所以a＝2，b＝1，渐近线方程为．
故选：B．
【点评】本题考查了双曲线的性质，属于基础题．
3．（5分）已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则•（﹣）＝（ ）
A．﹣1B．1C．﹣7D．7
【分析】由图形不妨设＝（2，1），则﹣＝（1，﹣3），再由平面向量数量积的坐标运算求解．
【解答】解：不妨设＝（2，1），则﹣＝（1，﹣3），
∴•（﹣）＝（2，1）•（1，﹣3）＝2×1+1×（﹣3）＝﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查平面向量的减法及数量积运算，是基础题．
4．（5分）已知ab≠1，lgam＝2，lgbm＝3，则lgabm＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用换底公式及对数运算法则即可求解．
【解答】解：因为lgam＝2，lgbm＝3
所以，，
所以，
即，
所以．
故选：D．
【点评】本题考查对数的运算，属于中档题．
5．（5分）已知数列是公比为的等比数列，Sn是数列{an}的前n项和，则＝（ ）
A．1B．C．D．3
【分析】利用已知可得an﹣an﹣1＝a1，进而可得数列{an}为公差为a1的等差数列，计算可求的值．
【解答】解：根据题意，可得an﹣an﹣1＝a1（n≥2），
则数列{an}为公差为a1的等差数列，
所以．
故选：D．
【点评】本题主要考查了等比数列的的定义及等差数列的求和公式的应用，属于基础题．
6．（5分）设a＝（sinx+csx）dx，则二项式（a﹣）6展开式中含x2项的系数是（ ）
A．﹣192B．192C．﹣6D．6
【分析】先由题中条件：“，”求得a值，再利用二项式定理的通项公式结合待定系数法即可求得含x2项的系数．
【解答】解：a＝（sinx+csx）dx＝（﹣csx+sinx）＝2．
二项式的通项公式为
，
令3﹣r＝2，得r＝1，故展开式中含x2项的系数是（﹣1）126﹣1＝﹣192．
故选：A．
【点评】本小题设计巧妙，综合考查定积分和二项式定理，是一道以小见大的中档题，不可小视．
7．（5分）已知，则sin2α＝（ ）
A．﹣B．﹣C．D．
【分析】依题意，可求得cs（α+）＝，再利用二倍角的余弦公式计算可得答案．
【解答】解：∵tan（α+）cs（α﹣）＝tan（α+）sin（α+）＝1，
∴sin2（α+）＝cs（α+），
即×[1﹣cs2（α+）]＝cs（α+），
解得cs（α+）＝或cs（α+）＝﹣（舍去），
∴sin2α＝﹣cs（2α+）＝1﹣2cs2（α+）＝1﹣2×＝﹣．
故选：B．
【点评】本题考查两角和与差的三角函数，考查二倍角的余弦公式的应用，属于中档题．
8．（5分）下列说法中，正确的是（ ）
A．已知一系列样本点（xi，yi）（i＝1，2，3…）一个经验回归方程，若样本点（m，3）与（2，n）的残差相等，则3m+n＝11
B．已知随机变量ζ～N（0，σ2），若P（ζ＞2）＝0.2，则P（﹣2≤ζ≤2）＝0.4
C．将5名同学分到三个组开展活动，每个组至少1名，则不同分配方法数是240
D．若随机事件A，B满足：，，，则事件A与B相互独立
【分析】对于A，利用残差的定义即可判断；
对于B，根据正态分布的对称性即可判断；
对于C，先分组再分配即可；
对于D，利用独立事件的定义即可判断．
【解答】解：对于A：由题意可得（m，3）的残差＝3﹣（3m+a），（2，n）的残差＝n﹣（2×3+a），
由＝得，3﹣（3m+a）＝n﹣（6+a），∴3m+n＝9，故A错误；
对于B：根据正态分布的对称性可知P（ξ＜﹣2）＝P（ξ＞2）＝0.2，∴P（﹣2≤ξ≤2）＝1﹣0.2×2＝0.6，故B错误；
对于C：5名同学分到三个组开展活动，每个组至少1名，则每组可以分3，1，1，或者2，2，1，因此不同的分配方法数共有（C+）A＝（10+15）×6＝150种，故C错误；
对于D：P（A∪B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB），即+﹣P（AB）＝，解得P（AB）＝，
∴P（AB）＝P（A）P（B），∴事件A与事件B独立，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查残差，正态分布，排列组合以及独立事件，属于中档题．
9．（5分）如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点O出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为，若该质点每次移动一个单位长度，记经过5次移动后，该质点位于X的位置，则P（X＞0）＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据已知条件，结合二项分布的概率公式，即可求解．
【解答】解：．
故选：D．
【点评】本题考查互斥事件的概率、二项分布，属于基础题．
10．（5分）已知O是△ABC所在平面内一点，且，则∠ABC的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】由平面向量数量积的运算，结合正弦定理及三角形的性质求解．
【解答】解：已知O是△ABC所在平面内一点，且，
则，
即，
由正弦定理可得：，
由三角形的性质可得∠ABC为锐角，
则，
则∠ABC的最大值为．
故选：B．
【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了正弦定理及三角形的性质，属中档题．
11．（5分）椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且斜率为的直线与椭圆交于A，B两点（A在B左侧），若，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据题意易得|AF1|＝|F1F2|，再根据椭圆的倾斜角的焦半径公式建立方程，即可求解．
【解答】解：先证明椭圆的倾斜角的焦半径公式：|AF1|＝，|BF1|＝，
设A到椭圆的左准线x＝的距离为d，过左焦点的直线的倾斜角为θ，
则根据椭圆的第二定义可得：，
∴|AF1|＝ed＝e（），
∴|AF1|＝+e|AF1|csθ，
解得|AF1|＝，同理可得|BF1|＝．
由，可得AF2的垂直平分线过F1，
∴|AF1|＝|F1F2|，
又tanθ＝﹣3，∴csθ＝﹣，
∴|AF1|＝＝＝＝|F1F2|＝2c，
∴4b2＝8ac+c2，∴4（a2﹣c2）＝8ac+c2，
∴5c2+8ac﹣4a2＝0，
∴5e2+8e﹣4＝0，又e∈（0，1），
∴解得e＝．
故选：A．
【点评】本题考查椭圆的离心率的求解，椭圆的倾斜角的焦半径公式的应用，属中档题．
12．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，棱AB，BC的中点分别为E，F，点G在底面A1B1C1D1上，且平面EFG∥平面ACD1，则下列说法正确有（ ）个．
①若存在λ使得，则
②若G∈C1D1，则EG∥平面ADD1A1
③三棱锥G﹣BC1D体积的最大值为2
④二面角D﹣EF﹣G的余弦值为
A．0B．2C．3D．4
【分析】对于①，先证G在平面PQNFEM与底面A1B1C1D1的交线段PQ上，若存在λ使得，则A1，G，D1三点共线，G与P重合，G为A1D1的中点，即可得解；
对于②，先证EG∥AD1，利用线面平行判定定理即可得证；
对于③，建立空间直角坐标系，得出平面BC1D的一个法向量，再求出点G到平面BC1D的距离d，利用锥体体积公式即可求解；
对于④，分别求出平面DEF与平面EFG的一个法向量，利用向量夹角公式即可求解．
【解答】解：如图，取A1D1，C1D1的中点分别为P，Q，取A1A，C1C的中点分别为M，N，
依次连接F，N，Q，P，M，E，得正六边形PQNFEM，
且EF∥AC，FN∥BC1∥AD1，又EF⊄平面ACD1，AC⊂平面ACD1，
所以EF∥平面ACD1，
同理可证：FN∥平面ACD1，
又EF∩FN＝F，EF，FN⊂平面PQNFEM，
所以平面PQNFEM∥平面ACD1，
所以点G在平面PQNFEM与底面A1B1C1D1的交线段PQ上，
对于①，若存在λ使得，则A1，G，D1三点共线，G与P重合，G为A1D1的中点，
所以λ＝1，故①错误；
对于②，若G∈C1D1，则G与Q重合，连接EQ，易证EG∥AD1，
又EQ⊄平面ADD1A1，AD1⊂平面ADD1A1，
所以EQ∥平面ADD1A1，即EG∥平面ADD1A1，故②正确；
对于③，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则D（0，0，0），P（1，0，2），Q（0，1，2），A1（2，0，2），B（2，2，0），C（0，2，0），C1（0，2，2），
设，λ∈[0，1]，
，1，0）＝（﹣λ，λ，0），
所以G（1﹣λ，λ，2），，，，2），，
所以，，
所以DB⊥A1C，A1C⊥DC1，又DB∩DC1＝D，
所以A1C⊥平面BC1D，
所以平面BC1D的一个法向量，
则点G到平面BC1D的距离＝，
因为λ∈[0，1]，所以，又△BC1D是边长为的等边三角形，
所以＝，
所以三棱锥G﹣BC1D的体积，故③正确；
对于④，平面DEF的一个法向量，E（2，1，0），F（1，2，0），M（2，0，1），，，
设平面EFG（即平面PQNFEM）的法向量为，
则，
令x＝1，得＝（1，1，1），
设二面角D﹣EF﹣G的平面角为θ，
则，故④正确，
故选：C．
【点评】本题考查线面平行的判定以及空间向量的应用，属于中档题．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知样本x1，x2，x3的平均数为2，方差为1，则，，的平均数为 5 ．
【分析】利用平均数和方差的计算公式求解．
【解答】解：由题意可知，x1+x2+x3＝6，＝3，
所以﹣4（x1+x2+x3）+12＝3，
所以＝15，
所以，，的平均数为（）＝5．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查了平均数和方差的定义，属于基础题．
14．（5分）若复数z满足（1﹣i）z＝2i，则＝ 2 ．
【分析】结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，即可求解．
【解答】解：（1﹣i）z＝2i，
则z＝，
故．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．
15．（5分）已知圆台O1O2的高为6，AB，CD分别为上、下底面的一条直径，且AB＝4，CD＝8，则圆台O1O2的体积为 56π ；若A，B，C，D四点不共面，且它们都在同一个球面上，则该球的表面积为 80π ．
【分析】利用圆台的体积公式求圆台的体积，根据球O的球心在圆台O1O2的轴O1O2上，得到，求得R2＝20，利用球的表面积公式即可求解．
【解答】解：由题意，该圆台AB＝2r＝4，r＝2，CD＝2R＝8，R＝4，h＝O1O2＝6，
则该圆台的体积；
设球心O到圆台上底面的距离为a，球O的半径为R，
因为球O的球心在圆台O1O2的轴O1O2上，
所以有，
解得：a＝4，R2＝20，
则该球的表面积为4πR2＝80π．
故答案为：56π；80π．
【点评】本题考查了圆台的体积公式和球的表面积公式，属于中档题．
16．（5分）设函数f（x）＝x+ex，g（x）＝x+lnx，若存在x1，x2，使得f（x1）＝g（x2），则|x1﹣x2|的最小值为 1 ．
【分析】求导判断f（x）的单调性，由g（x）＝x+lnx＝f（lnx），得x1＝lnx2，则|x1﹣x2|的最小值转化为|lnx2﹣x2|的最小值，令h（x）＝lnx﹣x+1，求导判断其单调性，取绝对值符号即可求出|x1﹣x2|的最小值．
【解答】解：因为f（x）＝x+ex，所以f'（x）＝1+ex＞0恒成立，
所以f（x）在R上单调递增，
又因为g（x）＝x+lnx＝f（lnx），且f（x1）＝g（x2）＝f（lnx2），
所以x1＝lnx2，所以|x1﹣x2|＝|lnx2﹣x2|，
令h（x）＝lnx﹣x+1，定义域为（0，+∞），
则，
当0＜x＜1时，h'（x）＞0，h（x）单调递增；当x＞1时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，所
以h（x）≤h（1）＝0，
所以lnx≤x﹣1，
所以|x1﹣x2|＝|lnx2﹣x2|＝x2﹣lnx2≥x2﹣（x2﹣1）＝1，
即|x1﹣x2|的最小值为1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了导数的综合应用，考查了构造函数求解综合问题的能力，考查了函数思想及转化思想，属于中档题．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17∼21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
17．（12分）已知数列{an}是公差不为0的等差数列，a4＝5，且a1，a3，a7成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn＝ancs，求数列{bn}的前2024项和．
【分析】（1）由等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，进而得到所求；
（2）求得b4n﹣3+b4n﹣2+b4n﹣1+b4n＝2，由数列的并项求和，可得所求和．
【解答】解：（1）数列{an}是公差d不为0的等差数列，a4＝5，且a1，a3，a7成等比数列，
可得a1+3d＝5，＝a1a7，即（a1+2d）2＝a1（a1+6d），即有a1＝2d，
解得a1＝2，d＝1，
则an＝2+（n﹣1）＝n+1；
（2）bn＝ancs＝（n+1）cs，
可得b4n﹣3+b4n﹣2+b4n﹣1+b4n＝﹣（4n﹣2）+0+4n+0＝2，
数列{bn}的前2024项和为2×＝1012．
【点评】本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，以及数列的并项求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
18．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA＝PC＝AB＝AC＝2，BC＝2，E为PC的中点，点F在PA上，且EF⊥平面PAB，（λ∈R）．
（1）若MF∥平面ABC，求λ；
（2）若λ＝，求平面PAB与平面MAC夹角的正弦值．
【分析】（1）由MF∥平面ABC，可得，再由题设求得，即可求得λ的值；
（2）建立空间直角坐标系，求得平面PAB与平面MAC的法向量，利用向量夹角公式求得夹角的余弦值，进而求得正弦值．
【解答】解：（1）若MF∥平面ABC，
则∠PFM＝∠PAB，∠PMF＝∠PBA，
则△PFM∽△PAB，所以，
在△PAC中，PA＝PC＝AC，
所以，又E为PC中点，
所以PE＝PC＝1，所以PF＝PEcs＝，
所以，即，故；
（2）当时，M为PB的中点，取PA中点H，连接CH，
在△ABC中，AB2+AC2＝BC2，所以AB⊥AC，
又因为H为PA中点，在正△PAC中，
CH⊥PA，故CH∥EF，即CH⊥面PAB，
所以CH⊥AB，又CH∩AC＝C，CH，AC⊂平面PAC，
所以AB⊥面PAC，取AC中点Q，BC中点T，
则TQ∥AB，故TQ⊥面PAC，又PQ⊥AC，
故以Q为坐标原点，QT，QC，QP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，
建立空间直角坐标系，如图所示：
则Q（0，0，0），C（0，1，0），A（0，﹣1，0），M（1，﹣，），H（0，，），
则，，，
因为CH⊥平面PAB，所以平面PAB的一个法向量为，
设平面AMC的一个法向量为，
则有，令a＝，可得b＝0，c＝﹣2，
则平面AMC的一个法向量为，
故＝，
则平面PAB与平面MAC夹角的余弦值为，
故平面PAB与平面MAC夹角的正弦值为．
【点评】本题主要考查了向量之间的比例关系，空间直角坐标系的建立，以及利用平面法向量求解二面角．
19．（12分）某省2023年开始将全面实施新高考方案．在6门选择性考试科目中，物理、历史这两门科目采用原始分计分：思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为A、B，C，D，E共5个等级，各等级人数所占比例分别为15%、35%、35%、13%和2%，并按给定的公式进行转换赋分．该省部分学校联合组织了一次高二年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分．
（1）其中一所学校某班生物学科获得A等级的共有10名学生，其原始分及转换赋分如表：
现从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中生物的赋分不低于95分的人数为X，求X的分布列和数学期望：
（2）假设此次高二学生生物学科原始分Y近似服从正态分布N（66.7，13.32）．现随机抽取了100名高二学生的此次生物学科的原始分，后经调查发现其中有一名学生舞弊，剔除掉这名学生成绩后，记ξ为其他被抽到的原始分不低于80分的学生人数，预测当P（ξ＝k）取得最大值时k的值．（k∈N+）
附，若η～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ≤η≤μ+σ）≈0.68，P（μ﹣2σ≤η≤μ+2σ）≈0.95．
【分析】（1）X服从超几何分布，由超几何分布的概率公式即可求得分布列以及数学期望；
（2）由正态分布性质得P（Y≥80）＝0.16，再由二项分布结合已知列出不等式组即可得解．
【解答】解：（1）据题意可知，10名学生中生物的赋分不低于95分的人数为4人，
故X的所有可能取值为0，1，2，3，
则，，
，，
所以X的分布列为：
故；
（2）据题意可知，
那么ξ～B（99，0.16）有，
要使P（ξ＝K）取最大值，只需，
得：且k∈N+，
故：当k＝15或16时，P（ξ＝k）取得最大值．
【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列和期望，考查了二项分布概率的最值问题，属于中档题．
20．（12分）在平面直角坐标系中，F1，F2分别为双曲线C：3x2﹣y2＝a2（a＞0）的左右焦点，过F2的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点．当l与x轴垂直时，△ABF1面积为12．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）当l与x轴不垂直时，作线段AB的中垂线，交x轴于点D．试判断是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【分析】（1）由题意，先得到双曲线的标准方程，利用三角形面积公式列出等式，进而可得双曲线C的标准方程；
（2）设出直线l的方程和A，B两点的坐标，将直线l的方程与双曲线方程联立，利用韦达定理求出AB中点M的坐标，进而推出线段AB的中垂线方程，令y＝0求出点D的坐标，代入弦长公式中再求解即可．
【解答】解：（1）易知双曲线C的标准方程为，
因为当l与x轴垂直时，△ABF1面积为12，
所以＝＝4a2＝12，
解得a2＝3，
则双曲线C的标准方程为；
（2）由（1）知F2（2，0），
不妨设直线l的方程为x＝ty+2（t≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M为AB中点，
联立，消去x并整理得（3t2﹣1）y2+12ty+9＝0，
由韦达定理得，，
所以x1+x2＝t（y1+y2）+4＝，
则AB中点M的坐标为，
所以线段AB的中垂线为，
令y＝0，
解得x＝，
即，
所以，
又，
则＝＝1．
故为定值，定值为1．
【点评】本题考查双曲线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
21．（12分）已知曲线C：f（x）＝ex﹣xex在点A（1，f（1））处的切线为l．
（1）求直线l的方程；
（2）证明：除点A外，曲线C在直线l的下方；
（3）设f（x1）＝f（x2）＝t，x1≠x2，求证：．
【分析】（1）由导数的几何意义即可求解直线l的方程；
（2）令 g（x）＝﹣ex+e﹣ex+xex，利用导数证明g（x）≥g（1）＝0，即可得证；
（3）利用导数判断函数的单调性，从而可得t的取值范围，将不等式进行转化，构造新函数，利用导数即可得证．
【解答】解：（1）∵f（x）＝ex﹣xex，∴f（1）＝0，
f'（x）＝﹣xex，则f′（1）＝﹣e，
∴直线l的方程为：y﹣0＝﹣e（x﹣1），即y＝﹣ex+e．
（2）证明：令g（x）＝﹣ex+e﹣ex+xex，
则g'（x）＝﹣e﹣ex+ex+xex＝﹣e+xex，令h（x）＝g′（x），
则h'（x）＝（x+1）ex，由h′（x）＞0，解得x＞﹣1，由h′（x）＜0，解得x＜﹣1，
∴h（x）在 （﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，+∞） 上单调递增，
当 x→→∞时，h（x）→﹣e，h（1）＝0，
∴g（x）在 （﹣∞，1）上单调递减，在（1，+∞） 上单调递增，
∴g（x）≥g（1）＝0，当且仅当x＝1 等号成立，
∴除切点A之外，曲线C在直线l的下方．
（3）证明：由 f'（x）＝﹣xex＞0，解得x＜0，f'（x）＝﹣xex＜0，解得x＞0，
∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，f（x）max＝f（0）＝1，f（1）＝0，
当x→→∞时，f（x）→0．
∵f（x1）＝f（x2）＝t，x1≠x2，则0＜t＜1，不妨令x1＜0，0＜x2＜1．
∵曲线C在（1，0）点的切线方程为φ（x）＝﹣ex+e，
设点（x3，t） 在切线上，有t＝﹣e（x3﹣1），
由（1）知x∈（0，1）时，φ（x）＞f（x），
则φ（x2）＞f（x2）＝t＝φ（x3），即，
要证：，
只要证：，
只要证：x1＜2t﹣2，
又，
只要证：，
令F（x）＝2ex﹣2xex﹣x﹣2，x＜0，则F'（x）＝﹣2xex﹣1，
易证F′（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递增，在（﹣1，0）上单调递减，
∴，
∴F（x）在 （﹣∞，0）上单调递减，∴F（x）＞F（0）＝0成立，
∴原命题成立．
【点评】本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，利用导数研究函数的最值，不等式的证明，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于难题．
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（α为参数），直线l的参数方程为，（为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求圆C的极坐标方程；
（2）设直线l与圆C的两个交点分别为M，N，求的最大值．
【分析】（1）消去参数α可得普通方程，再将x＝ρcsθ，y＝ρsinθ代入方程即可求解；
（2）将直线l的参数方程代入圆C的普通方程，再由t的几何含义表达出|OM|，|ON|，代入化简计算即可求出最大值．
【解答】解：（1）消去参数α，可得圆C的普通方程为，
即．
将x＝ρcsθ，y＝ρsinθ代入可得圆C的极坐标方程为．
（2）将直线l的参数方程代入圆C的普通方程可得，
所以．
易知直线l过定点O，设M，N对应的参数分别为t1，t2．
如图，可知t1+t2＞0，t1t2＞0，所以t1＞0，t2＞0，
所以，
因为，所以，
所以当，即时，取得最大值，且最大值为4．
【点评】本题主要考查极坐标公式，以及参数方程的应用，属于中档题．
[选修4-5：不等式选讲]↩
23．已知关于x的不等式|x+1|﹣|x﹣2|≥|t﹣1|+t有解．
（1）求实数t的取值范围；
（2）若a，b，c均为正数，m为t的最大值，且2a+b+c＝m．求证：．
【分析】（1）令f（x）＝|x+1|﹣|x﹣2|，求出f（x）的最大值，由不等式|x+1|﹣|x﹣2|≥|t﹣1|+t有解可知f（x）max≥|t﹣1|+t，从而得到关于t的不等式3≥|t﹣1|+t，即可解出t的取值范围；
（2）由柯西不等式得（a2+b2+c2）（22+12+12）≥（2a+b+c）2即可证明结论．
【解答】解：（1）令，
所以当x≥2时，f（x）取得最大值为3，
关于x的不等式|x+1|﹣|x﹣2|≥|t﹣1|+t有解等价于f（x）max≥|t﹣1|+t，即3≥|t﹣1|+t，
当t≥1时，上述不等式转化为3≥t﹣1+t，解得1≤t≤2，
当t＜1时，上述不等式转化为3≥﹣t+1+t，解得t＜1，
综上所述t的取值范围为t≤2，
故实数t的取值范（﹣∞，2]．
（2）证明：根据（1）可得a，b，c均为正实数，且满足2a+b+c＝2，
所以由柯西不等式可得（a2+b2+c2）（22+12+12）≥（2a+b+c）2＝4，
当且仅当，，时取等号，
所以．
【点评】本题主要考查不等式的证明，考查转化能力，属于中档题．
原始分
97
95
91
90
89
87
85
84
84
83
赋分
99
97
95
95
94
92
91
90
90
90
原始分
97
95
91
90
89
87
85
84
84
83
赋分
99
97
95
95
94
92
91
90
90
90
X
0
1
2
3
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