山东省济南市2022-2023学年高二下学期7月期末考试数学试题（含答案与解析）

这是一份山东省济南市2022-2023学年高二下学期7月期末考试数学试题（含答案与解析），共9页。试卷主要包含了将三项式展开，得到下列等式等内容，欢迎下载使用。

数 学 试 题
本试卷共6页，22题，全卷满分 150分。考试用时 120 分钟。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数 f(x)=lnx-2x ,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为
A.-2 B.-1 C. 1 D.2
2.为弘扬中华优秀传统文化，济南市公开招募“泉润非遗”志愿者.现从所有报名的志愿者中，随机选取 300人进行调查，其中青年人、中年人、老年人三个年龄段的比例饼状图如图1 所示，各年龄段志愿者的性别百分比等高堆积条形图如图2 所示，则下列关于样本数据的分析正确的是
A.老年男性志愿者人数为90
B.青年女性志愿者人数为72
C.老年女性志愿者人数大于中年女性志愿者人数
D.中年男性志愿者人数大于青年男性志愿者人数
3.一个火车站有8股岔道，如果每股道只能停放1列火车，现要停放4列不同的火车，则不同的停放方法数为
A.70 B.256 C. 1680 D. 4096
4.袋子里有6个大小相同的球，其中2个黑球，4个白球，有放回的取3次，每次随机取1个，设此过程中取到黑球的次数为ξ，则 P(ξ=1)=
A.110 B.13 C.49D. 35
5.已知 x+m5=a0+a1x+1+a2x+12+⋯⋯+a5x+15且 i=05ai=32，则实数 m =
A.-2 B.-1 C.1 D.2
6.已知f(x)是定义在R上的函数,f'(x)是f(x)的导函数,若 f'(x)+f(x)>0,f(1)= 18,则 flnx<1x的解集是
A.(0,1) B.(0,e) C.(1,+∞) D.(e,+∞)
7.将三项式展开，得到下列等式：
(x2+x+1)0=1
(x2+x+1)1=x2+x+1
(x2+x+1)2=x4+2x3+3x2+2x+1
(x2+x+1)3=x6+3x5+6x4+7x3+6x2+3x+1
……
观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如下所示的广义杨辉三角：
第0行 1
第1行 1 1 1
第2行 1 2 3 2 1
第3行 1 3 6 7 6 3 1
第4行 1 4 10 16 19 16 10 4 1
……
若关于x 的多项式 (x2+ax-3)(x2+x+1)5的展开式中，x8的系数为30，则实数a=
A.1 B.-1 C.2 D.-2
8.已知函数 fx=x²-2ax+a²+e2x+2-2a²,若存在x₀，使得 fx0≤95成立，则 x0a=
A.2 B.5 C.-2 D.-5
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共 20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知函数 f(x)=x3-3x-2, 则
A. f(x)在区间(-1,1)上单调递增 B. f(x)有两个极值点
C. f(x)有三个零点 D.直线y=-4是曲线y=f(x)的切线
10.已知离散型随机变量 X 的分布列为
则下列说法正确的是
A. t=1或 -12 B.EX=18 C.DX=5564 D. D(8X+9)=64
11.为调查某地区植被覆盖面积x(单位：公顷)和野生动物数量 y 的关系，某研究小组将该地区等面积划分为200 个区块,从中随机抽取20个区块,得到样本数据(xᵢ,yᵢ)(i=1,2,…,20),经计算得：i=120xi=60,i=120yi=1200,i=120(xi-)2=80,i=120(xi-)(yi-)=640.该小组利用这组数据分别建立了y关于x 的线性回归方程 l1:y=b1x+â1和x关于y的线性回归方程 l2:x=b2y+â2,并把这两条拟合直线画在同一平面直角坐标系xOy下，横坐标 x，纵坐标y的意义与植被覆盖面积x 和野生动物数量y一致.则下列说法正确的是
A.b1=8 B.b1⋅b2>1
C. l₁经过点(3,60) D. l₂经过点(3,60)
附：y关于x的线性回归方程 y=â+bx中 ,b=i=1nxi- EMBED Equatin.KSEE3 \* MERGEFORMAT yi- EMBED Equatin.KSEE3 \* MERGEFORMAT xi-xz,,b= EMBED Equatin.KSEE3 \* MERGEFORMAT -b EMBED Equatin.KSEE3 \* MERGEFORMAT ,
r= i=1nxi- EMBED Equatin.KSEE3 \* MERGEFORMAT yi- EMBED Equatin.KSEE3 \* MERGEFORMAT i=1n(xi- EMBED Equatin.KSEE3 \* MERGEFORMAT )2i=1n(yi-)2.
12.记两个函数 fx=Atanx,x∈-π2π2,gx=xa的图象的公共点个数是φ(A,α),则
A.φ(1,-1)=1 B.φ(1,1)=1 C.φ(1,2)=1 D.φ212=2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知 An2=90,,则Cn+2n的值为 .
14.已知随机变量 X ~ N(μ,σ2),若 P(X < 2)=0.2,P(X<3)=0.5,则 P(X < 4)的值为 .
15.已知函数f(x)=x(lnx+a)在(1,+∞)上单调递增,则a的最小值为 .
16.为研究某新型番茄品种，科学家对大量该品种果实颜色进行了统计，发现果皮为黄色的番茄约占 38.果皮为黄色的番茄中，果肉为红色的约占 815；果肉不是红色的番茄中，果皮为黄色的约占 730.根据上述数据，估计该新型番茄果肉为红色的概率值为 .
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(10分)
2023年5月30 日，神舟十六号载人飞船发射升空，备受关注的“天宫课堂”将继续授课.为了解学生对“天宫课堂”的喜爱程度，某学校从全校学生中随机抽取 200名学生进行问卷调查，以下是调查的部分数据：
已知从这200名学生中随机抽取1人，抽到喜欢“天宫课堂”的学生的概率为 1320.
(1)请将上面的2×2列联表补充完整；
(2)根据以上数据，依据小概率值α=0.010的独立性检验，能否认为该校学生是否喜欢“天宫课堂”与性别有关联?
附:
参考公式： χ2=nad-bc2a+bc+da+cb+d,其中n=a+b+c+d.
18.(12 分)
已知 2Cn1+22Cn2+23Cn3+⋯⋯+2nCnn=728.
(1)求 n的值;
(2)求 x+12xn的二项展开式中的常数项.
19.(12分)
已知函数 fx=12x2-a+1x+alnx.
(1)若f(x)在x=2处取得极值,求实数a的值;
(2)讨论 f(x)的单调性.
20.(12分)
某学校举办知识竞赛，规则是：比赛共三轮，每名选手只有通过上一轮才能进人下一轮，每轮比赛有两次挑战机会，若第一次挑战成功则直接进人下一轮，第一次不成功可以再挑战一次，若成功同样进入下一轮，两次均未成功，选手比赛终止.已知每次挑战是否成功相互独立.
(1)若选手甲第一轮每次挑战成功的概率为 45，第二轮每次挑战成功的概率为 34，求选手甲可以进入第三轮的概率；
(2)已知共有 2000名选手参加竞赛,竞赛采用计分制,选手得分 X ~ N(212,σ2) ,其中270分以上的选手有 46 名，学校决定对得分高的前317名选手进行表彰，若选手乙的得分为231分，问乙能否获得表彰.
附：若随机变量X~N(μ,σ2) ,则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.683;
P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954;P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997.
21.(12分)
为提高科技原创能力，抢占科技创新制高点，某企业锐意创新，开发了一款新产品，并进行大量试产，
(1)现从试产的新产品中取出6件产品，其中恰有2件次品，但不能确定哪2件是次品，需对6件产品依次进行检验，每次检验后不放回，当能确定哪2件是次品时即终止检验，记终止时一共检验了X次，求随机变量 X 的分布列与期望；
(2)设每件新产品为次品的概率都为p(022.(12 分)
已知函数 fx=eˣ-1+ax²,其中a∈R.
(1)若f(x)存在唯一的极值点，求a 的取值范围；
(2)若f(x)存在两个极值点 x₁,x₂,求证: x12+x22>2a+1+e.
2023年7月济南市高二期末学情检测
数学试题参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共 20分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.66; 14. 0.8; 15. -1; 16. 14.
四、解答题：共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. 【解析】
(1)
(2) 零假设为H0：是否喜欢天宫课堂与性别之间无关联.
χ2=20075⋅45-55⋅252100⋅100⋅130⋅70≈8.791>6.635
根据小概率值α=0.0l0的独立性检验，我们推断H₀不成立，即认为该校学生是否喜欢天宫课堂与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.010.
18. 【解析】
(1)因为 2Cn1+22Cn2+23Cn3+⋯⋯+2nCnn
=Cn0+2Cn1+22Cn2+23Cn3+⋯⋯+2nCnn-1=1+2n-1=3n-1=728,所以, n=6.
(2)由 (1)知, n=6
所以 x+12xn的通项公式为 Tk+1=C6kx6-k12xk=12kC6kx6-32k,
令 6-32k=0,得：k=4，所以展开式中的常数项为 T5=124C64=1516.
19. 【解析】
(1)因为 f'x=x-a+1+ax,由题意得： f'2=2-a+1+a2=0,
解得: a=2,经检验， 符合题意.
(2) 函数定义域为(0,+∞),因为 f''x=x-a+1+ax=x-ax-1x,
所以, 当a≤0时, 若0若x>1, f'(x)>0, f(x)在(1,+∞)递增;
当0若01, f'(x)>0, f(x)在(0,a)和(1,+∞)递增;
当a=1时 f'x=x-12x≥0,f(x)在(0,+∞)单调递增;
当a>1时, 若1若0a, f'(x)>0, f(x)在(0,1)和(a,+∞)单调递增;
综上, 当a≤0时, f(x)在(0,l)单调递减,在(l,+∞)单调递增;
当0当a=1时, f(x)在(0,+∞)单调递增.;
当a>1时, f(x)在(1,a)单调递减, 在(0,1)和(a,+∞)单调递增.
20. 【解析】
(1)设A₁：第i次通过第一关，B₁：第i次通过第二关， 甲可以进入第三关的概率为p，
由题意知 P=PA1+PA1A2⋅PB1+PB1B2
=45+1-45×45×34+1-34×34=2425⋅1516=910.
(2)因为选手得分X~N(212,σ2),所以μ= 212,
因为 3172000=0.1585,且 PXμ+σ)=1-Pμ-σ≤X≤μ+σ2=1-0.6832≈0.1585,而 462000=0.023,
且 P(X>μ+2σ)=1-Pμ-2σ≤X≤μ+2σ2=1-0.9542≈0.023,所以μ+2σ=270, 则 σ=270-2122=29;
所以前3l7名参赛者的最低得分高于μ+σ=24l，而乙的得分为231分，所以乙无法获得奖励.
21. 【解析】
(1)随机变量X的取值分别为2, 3, 4, 5
∴PX=2=C22C62=115, PX=3=C21C41C62×14=215,
PX=4=C21C42C63⋅13+C44C64=415, PX=5=C43C21C64=815,
∴随机变量X的分布列为：
∴随机变量X的期望为： EX=2×115+3×215+4×415+5×815=6415.
(2) 因为各个产品的生产互不影响，所以 fp=C502p21-p48(0所以 f'p=Cs022p1-p48-48p21-p47=Cs02p1-p472-50p.
令f'(p)=0, 得 p=125,
所以， 当 00,f(p)为单调增函数；
当 125所以， 当 p=125时, f(p)取得最大值.
22. 【解析】
(1)由题意知, f'x=eˣ+2ax,f"x=eˣ+2a.
当a>0时, f"(x)>0, 故f'(x)在R上单增,又 f'-1a<0,f'0=1>0,
故f'(x)在R上存在唯一变号零点，f(x)存在唯一的极值点，符合题意；
当a=0时, fx=eˣ-1在R上单增，即f(x)无极值点，不合题意；
当a<0时,由 f"x=0得x= ln(-2a), 又f"(x)是增函数, 所以, f'(x)在(-∞, ln(-2a))上单调递减,在(ln(-2a),+∞)上单调递增, 又f′(ln(-2a))=-2a(l-ln(-2a)),
①当 -e2≤a<0时, ln(-2a)≤l, 所以, f'(ln(-2a))≥0, 所以f'(x)≥0, 所以f(x)在R上单增，即f(x)无极值点，不合题意：
②当 a<-e2时, ln(-2a)>1, 所以f'(ln(-2a))<0, 又f'(0)=1>0, f'-2a=e⁻²ᵃ-4a²=e⁻ᵃ-2ae⁻ᵃ+2a>e⁻ᵃ-2ae-a+2a=-ae⁻ᵃ-2ae-2>0,所以f'(x)在R上存在两个变号零点，即f(x)在R上存在两个极值点，不合题意.
综上, a>0.
(2)证明: 因为f(x)存在两个极值点x₁,x₂,由(1) 知, a<-e2,且x₁,x₂均为正数,所以 2a+e<0,x12+x222>x1+x222,即 x12+x22>x1+x222
所以，欲证 x12+x22>2a+1+e,只需证 x1+x222>2,只需证x₁+x₂>2.
又由题意， f'x1=ex1+2ax1=0,f'x2=ex2+2ax2=0,所以 ex1x1=ex2x2,
所以， lnex1x1=lnex2x2,即x₁-lnx₁=x₂-lnx₂, 所以 x1-x2lnx1-lnx2=1.
下面先证明 x1+x22>x1-x2lnx1-lnx2.不妨设x₁1.
x1+x22>x1-x2lnx1-lnx21+t2>1-t-lntlnt>2t-1t+1,
令 gt=lnt-2t-1t+1,t>1,g't=1t-4t+12=t-12tt+12>0所以g(t)在(1,+∞)上单增.
所以, 由 t>1得, g(t)>g(l)=0.
所以 lnt>2t-1t+1,t>1,即 x1+x22>x1-x2lnx1-lnx2得证.
所以， x1+x22>x1-x2lnx1-lnx2=1,即.x₁+x₂>2.
所以 x12+x22>2a+1+e,证毕.X
-1
0
1
P
38
2t2-32t-38
32t
喜欢天宫课堂
不喜欢天宫课堂
合计
男生
75
女生
45
合计
200
α
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
B
C
C
D
B
A
D
题号
9
10
11
12
答案
BD
BC
ACD
BCD
喜欢天宫课堂
不喜欢天宫课堂
合计
男生
75
25
100
女生
55
45
100
合计
130
70
200
X
2
3
4
5
P
115
215
415
815