2022-2023学年山东省济南市高二下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年山东省济南市高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．小明和妹妹跟着父母一家四口到游乐园游玩，购票后依次入园，为安全起见，首尾一定要排家长，则这4个人的入园顺序的种数是（    ）

A．4 B．6 C．12 D．24

【答案】A

【分析】先排首尾两个位置，再排中间两个位置，即可得解.

【详解】先排首尾两个位置，有种排法，

再排中间两个位置，有种排法，

所以这4个人的入园顺序的种数是种.

故选：A.

2．已知某物体的运动方程为（时间单位：s，位移单位：m），当时，该物体的瞬时速度为，则的值为（    ）

A．2 B．6 C．7 D．8

【答案】D

【分析】对求导，再利用瞬时速度的意义求解即可.

【详解】因为，，

当时，该物体的瞬时速度为，

则，解得：.

故答案为：D.

3．已知函数的导函数为，且满足（e为自然对数的底数），则等于（    ）

A． B．1 C． D．

【答案】C

【分析】根据题意，由函数的解析式对求导可得，将代入计算可得的值．

【详解】根据题意，，

其导数，

令，可得，

变形可得，

故选：C．

4．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现如图，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，若第行中从左至右只有第5个数为该行中的最大值，则的值为（    ）

A．7 B．8 C．9 D．10

【答案】B

【分析】由题意可知，第行的数就是二项式的展开式中各项的二项式系数，再利用二项式的系数的性质可求得结果．

【详解】由题意可知，第行的数就是二项式的展开式中各项的二项式系数．

因为只有第5项的二项式系数最大，

所以为偶数，故，解得，

故选：B．

5．已知函数，若，则（    ）

A． B． C．1 D．2

【答案】D

【分析】利用导数的运算法则和定义求解即可．

【详解】，

，

，

，，

故选：D．

6．某公园设计了如图所示的观赏花坛，现有郁金香、玛格丽特、小月季、小杜鹃四种不同的花可供采购，要求相邻区域种不同种类的花，则不同的种植方案个数为（    ）

A．24 B．36 C．48 D．96

【答案】C

【分析】由分步乘法计数原理求解即可.

【详解】先种区域1有种选择，区域2有种选择，区域3有种选择，区域4有种选择，区域5有2种选择，区域6有1种选择，

则共有：种.

故选：C.

7．已知点，点是抛物线上的动点，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设，利用两点间距离公式可表示出，利用导数可求得最小值.

【详解】设，则，

令，

则；

恒成立，当时，；当时，；

在上单调递减，在上单调递增，

，.

故选：A.

8．已知，，（为自然数对数的底数），则的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用指数与对数互化可得，构造函数，判断的单调性，由此可得大小关系；利用作差法可得大小关系，由此可得结论.

【详解】由，得，；

由，得；由，得；

令，则，

当时，；当时，，

在上单调递增，在上单调递减，

，即，.

，.

综上所述，.

故选：D.

二、多选题

9．在二项式的展开式中，下列说法正确的是（    ）

A．二项式系数和为512 B．不存在常数项

C．含项的系数为45 D．第6项的系数最大

【答案】BC

【分析】求出展开式的通项，根据二项式系数的定义即可判断A；令的指数等于即可判断B；令的指数等于即可判断C；根据系数性质即可判断D.

【详解】的展开式通项为，，1，…，10，

的二项式系数和为，故A不正确；

令，解得，故展开式不存在常数，B正确；

令，解得，故含项的系数为，C正确；

当时，的展开式的第6项的系数为，

当为奇数时系数小于0，当为偶数时，的展开式

第5项与第7项的二项式系数分别为与相等且最大，D不正确；

故选：BC.

10．已知函数，则（    ）

A．在处的切线与直线平行

B．是上的增函数

C．为的极值点

D．最小值为

【答案】ACD

【分析】利用导数的几何意义求出斜率，进而求出切线方程判断项，利用导数求出单调区间、求出极值、最值对进行判断.

【详解】对于项：因为，所以，且，

所以在处的切线方程为，与直线平行.所以项正确.

对于项：时或，在和上，

递增，在上，递减，所以项错误.

对于项：根据对项分析，知项正确.

对于项：根据对项分析，知在处取极小值，，

在上函数递增，且时，，

所以有最小值为，所以项正确.

故选：.

11．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加“山东书城”暑期志愿者服务活动，有翻译、导购员、收银员、仓库管理员四项工作可供选择，每人至多从事一项工作，下列说法正确的是（    ）

A．若5人每人可任选一项工作，则有种不同的选法

B．若安排甲和乙分别从事翻译、收银工作，其余3人中任选2人分别从事导购、仓库管理工作，则有12种不同的方案

C．若仓库管理工作必须安排2人，其余工作各安排1人，则有60种不同的方案

D．若每项工作至少安排1人，每人均需参加一项工作，其中甲、乙不能从事翻译工作，则有126种不同的方案

【答案】CD

【分析】根据排列组合知识分别进行计算可得正确选项

【详解】对于A，安排5人参加4项工作，若每人可任选一项工作，每人有4种安排方式，则有种安排方法，故A不正确；

对于B，安排甲和乙分别从事翻译、收银工作，则有1种方法，

其余3人中任选2人分别从事导购、仓库管理工作，则有种方法，

则共有：种方法，则B错误；

对于C，若仓库管理工作必须安排2人，其余工作各安排1人，则有种不同的方案，故C正确；

对于D，①从剩下的三人选一个人从事翻译工作，则有种方法，

则甲、乙和三人中剩下的2人从事其余的三个工作共有：种方法，

则共有种方法.

②从剩下的三人选2个人从事翻译工作，则有种方法，

则甲、乙和三人中剩下的1人从事其余的三个工作共有：种方法，

则共有种方法，

所以若每项工作至少安排1人，每人均需参加一项工作，其中甲、乙不能从事翻译工作，

则有种不同的方案，故D正确.

故选：CD.

12．已知函数，若直线与曲线和分别相交于点，且，，则(    )

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】利用导数研究f(x)和g(x)的单调性，画出图象，数形结合得出范围，利用和f(x)的单调性即可判断．

【详解】f(x)的定义域为R，，

当时，，单调递减；当时，，单调递增；

时，；；时，；

的定义域为，，

当时，，单调递增；当时，，单调递减；

时，；；时，；

作出f(x)和g(x)图象，

易知，，且，

∵，∴，

∵，f(x)在单调，

∴，同理，

∴，，

又，

∴，故A正确，B错误；

又，故D正确，C错误．

故选：AD．

【点睛】关键点点睛：利用导数研究f(x)和g(x)的性质，并作出其图象，数形结合，利用即可得到答案.

三、填空题

13．已知函数在处取得极值，则实数a的值为_________．

【答案】

【分析】根据函数在处取得极值，可得，即可得解.

【详解】，

因为函数在处取得极值，

所以，解得，

经检验符合题意，所以.

故答案为：.

14．在的展开式中的系数是________．（用数字作答）

【答案】

【详解】试题分析：由题意得，

所以展开式中为，

所以展开式中的系数是．

故答案为：-3.

15．现有五张卡片，分别写有数字0，1，2，3，6（数字6倒放也可当做数字9），则用这些卡片摆成的不同五位数的个数为_________．（用数字作答）

【答案】

【分析】先确定首位，再确定其他位置，再结合数字6倒放也可当做数字9，即可得解.

【详解】先确定首位有张卡牌可选，再确定其他位置，有种选法，

又因数字6倒放也可当做数字9，

所以不同五位数的个数共有个.

故答案为：.

16．已知函数，若对任意两个不相等的正实数，都有，则实数a的取值范围为_________．

【答案】

【分析】设,由题意可得函数在是减函数，原问题转化为恒成立，即恒成立，即求即可.

【详解】若对任意两个不相等的正实数 都有恒成立，

不妨设，所以，即，

令，则，

所以函数在单调递减，

则恒成立，

则令，即即可，

，因为在单调递减，存在零点，使得，

即，两边取对数可得，即，

所以当时，，在上单调递增，

当时，，在上单调递减，

所以

，

令，则，

在上单调递增，且，要求，

解得：，即，则，

因为即，令，

，，所以，在上单调递减，

当时，.

当趋近于0时，趋近于正无穷，所以，故.

故答案为：

【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有两点：一是利用参变分离法，将其转化为；而是解转化为，，即图象与图象的交点问题.

四、解答题

17．（1）求值：；

（2）已知，求x的值．

【答案】（1）35；（2）或x = 6

【分析】（1）由性质直接计算可得，或直接计算；

（2）根据上角标相等或和等于下角标计算可得.

【详解】（1）；

另解：；

（2）因为，则，即且，

所以或，解得或.

18．已知函数．

(1)求函数在点处的切线方程；

(2)求函数在上的最值．

【答案】(1)

(2)最大值为，最小值为

【分析】（1）先求导数得切线斜率，然后求出切点坐标，可得切线方程；

（2）先求极值点，求出极值和区间端点值，比较可得最值.

【详解】（1），，；

所以在点处的切线方程为，即；

（2），

令得或；

由表可知，最大值为，最小值为.

19．为庆祝党的二十大胜利闭幕，某校高二级部组织全体同学进行了主题为“二十大精神进校园，培根铸魂育新人”的二十大知识竞赛，并选出了4名女生和3名男生共7名优胜者．赛后，7名同学站成一排，照相留念．

(1)女生必须站在一起的站队方式有多少种？

(2)男生甲不与其他男生相邻的站队方式有多少种？

(3)现在要求这7名同学分成三个宣讲小组分别去给高一、高二、高三三个年级的同学做二十大学习成果汇报，要求每个小组必须既有男生又有女生，问有多少种安排方案？

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）利用捆绑法，女生看成整体与男生排列，再考虑女生内部排列；

（2）男生甲不与其他男生相邻，则相邻的只能是女生，分甲站在两端和甲不站两端两种情况讨论，选出女生与甲看作整体，与剩下的人排列即可；

（3）分别将男生女生分分给三个年级，由此求解即可.

【详解】（1）女生必须站在一起，利用捆绑法，

先将四个女生看成一个整体，再与其他三个男生排列，

则有种站队方式；

（2）若甲站在两端，则甲有种站法，

再选一名女生与甲相邻，有种选法，

再将把其他人排列，有排法，

则甲站在两端有种，

若甲不站两端，则可先在甲两边分别安排一名女生，有种选法，

再将这三个人看成一个整体与其他人排列，有种排法，

则甲不站两端有种，

所以男生甲不与其他男生相邻的站队方式有种；

（3）先选名女生分到三个年级，有种，

再将个男生分到三个年级，有种，

所以共有种.

20．已知．

(1)求的值；

(2)求的值；

(3)求的值．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）求出展开式的通项，进而可求得答案；

（2）令，求得，再令，求得，即可得解；

（3）根据通项结合组合数的运算性质即可得解.

【详解】（1）展开式的通项为，

则；

（2）令，则，

令，则，

所以；

（3）

.

21．已知函数．

(1)当时，讨论的单调性；

(2)若函数的图象始终在图象的上方，求实数a的取值范围．

【答案】(1)若，在上单调递增；若，在上单调递减，在上单调递增

(2)

【分析】（1）求导函数，讨论当，时，导函数的符号即可得函数的单调性；

（2）将函数的图象始终在图象的上方，转化为在上恒成立，即在上恒成立，构造函数，求导函数，对分类讨论，确定函数的单调性，即可确定的取值情况，从而可得符合的实数a的取值范围．

【详解】（1）因为，所以

若，则，所以，所以

即，所以在上单调递增；

若，令，则.

故当时，，所以在上单调递减；

当时，，所以在单调递增；

综上，若，在上单调递增；若，在上单调递减，在上单调递增；

（2）若函数的图象始终在图象的上方，只需在上恒成立

即在上恒成立，

设，则，

当时，，所以在上单调递增，所以，符合题意；

当时，在上单调递增，所以，符合题意；

当时，因为在上单调递增，而，，

所以存在使得，即，

所以在上单调递减，在上单调递增，所以，

所以在上单调递增，所以，符合题意；

当时，因为在上单调递增，所以，

所以在上单调递增，所以，

所以在上单调递增，所以，符合题意；当时，因为 在上单调递增，所以，所以在上单调递增，

又，所以存在使得，

所以在上单调递减，所以，不合题意；

综上可知，当时，函数的图象始终在图象的上方.

22．帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数，，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，．已知在处的阶帕德近似为．注：

(1)求实数，的值；

(2)求证：；

(3)求不等式的解集，其中．

【答案】(1)，

(2)证明见解析

(3)

【分析】（1）求出，，，，依题意可得，，即可得到方程组，解得即可；

（2）由（1）知，即证，令，即证时，记，，利用导数说明函数的单调性，即可证明；

（3）分析可得，即或，先考虑，该不等式等价于，结合（2）的结论即可，再考虑，该不等式等价于，利用导数证明，，即可得到，，再分类讨论即可判断.

【详解】（1）因为，所以，，

，则，，

由题意知，，，

所以，解得，.

（2）由（1）知，即证，

令，则且，

即证时，

记，，

则，

所以在上单调递增，在上单调递增，

当时，即，即成立，

当时，即，即成立，

综上可得时，

所以成立，即成立.

（3）由题意知，欲使得不等式成立，

则至少有，即或，

首先考虑，该不等式等价于，即，

又由（2）知成立，

所以使得成立的的取值范围是，

再考虑，该不等式等价于，

记，，

则，所以当时，时，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以，即，，

所以，，

当时由，可知成立，

当时由，可知不成立，

所以使得成立的的取值范围是，

综上可得不等式的解集为.

【点睛】关键点点睛：第三问，首先确定或，分别求、对应解集，进一步转化为求、的解集，构造中间函数研究不等式成立的x取值.