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2024辽宁省实验中学高一下学期期中考试数学含答案
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这是一份2024辽宁省实验中学高一下学期期中考试数学含答案，共8页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟试题满分：150分
命题人：高二数学组校对人：高二数学组
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的不选，多选，错选均不得分.
1.给出下列各函数值：①；②；③；④.其中符号为负的有（ ）
A．①B．②C．③D．④
2.已知角的终边上有一点，则角的值为
A．（）B．（）
C．（）D．（）
3.已知有如下命题：
①锐角一定小于；
②若扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为6cm；
③若是第二象限角，那么和都不是第二象限角；
④若与终边共线，则必有（）
其中正确命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
4.如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O，P为圆O上任一点，若，则的最大值为（ ）
A．B．2C．D．1
5.化简的值为（ ）
A．1B．C．D．
6.已知函数，若关于x的方程在区间上有且只有四个不相等的实数根，则正数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7.已知向量，，，满足（），且，若为，的夹角，则的值是（ ）
A．B．C．D．
8.已知函数，则下列说法错误的是（ ）
A．是的周期B．，在上具有单调性
C．当时，D．的图象只有对称轴，没有对称中心
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知函数（），则下列结论正确的是（ ）
A．对于任意的，总为奇函数
B．对于任意的，总为周期函数
C．当时，图像关于点中心对称
D．当时，的值域为
10.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，O为平面内一点，下列说法正确的有（ ）
A．若O为△ABC的外心，且，则
B．若O为△ABC的内心，，，（m，），则
C．若O为△ABC的重心，，则
D．若O为△ABC的外心，且O到a，b，c三边距离分别为k，m，n，则
11.下列等式成立的有（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知在△ABC中，，；则 。
13.如果方程在区间上恰有两个解，，则 。
14.定义两个向量组，的运算，设，，为单位向量，向量组，分别为，，的一个排列，则的最小值为 。
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本题13分）
已知向量，
（1）若，求的值；
（2）若，与垂直，求实数t的值；
（3）若，求向量在向量上的投影向量的坐标.
16.（本题15分）
已知，，其中，
（1）求角；
（2）求.
17.（本题15分）
已知，是平面内任意两个非零不共线向量，过平面内任一点0作，，以O为原点，分别以射线、为x、y轴的正半轴，建立平面坐标系，如左图.我们把这个由基底，确定的坐标系xOy称为基底坐标系xOy。当向量，不垂直时，坐标系xOy就是平面斜坐标系，简记为.对平面内任一点P，连结OP，由平面向量基本定理可知，存在唯一实数对，使得，则称实数对为点P在斜坐标系中的坐标.
今有斜坐标系（长度单位为米，如上图），且，，设
（1）计算的大小；
（2）质点甲在Ox上距O点4米的点A处，质点乙在Oy上距O点1米的点B处，现在甲沿的方向，乙沿的方向同时以3米/小时的速度移动.
①若过2小时后质点甲到达C点，质点乙到达D点，请用，，表示；
②若t时刻，质点甲到达M点，质点乙到达N点，求两质点何时相距最短，并求出最短距离.
18.（本题17分）
已知函数
（1）求函数的最小正周期和单调增区间；
（2）若对于任意均有恒成立，求a的取值范围；
19.（本题17分）
矩形ABCD中，P，Q为边AB的两个三等分点，满足，R是折线段BC-CD-DA（不包括A，B两点）上的动点，设，
（1）当△APR是等腰三角形，求；
（2）当R在线段BC（不包括B，C两点）上运动时，证明：；
（3）当R在线段CD（包括C，D两点）上运动时，求的最大值.
高一数学期中参考答案
一、单选题
1-5CBDCC6-8DAD
二、多选题
9.ABD10.ABC11.BCD
三、填空题
12.13.14.
四、解答题
15.
（1）因为向量，，，
所以，即，则.
（2）因为，
所以，
则，，
因为与垂直，
所以，
所以.
（3）因为，所以，投影向量.
16.
（1）由题意得：∵，，
∴，
∵
又∵
∴
（2）∵，
∴
17.
（1）因为，，
所以，，
又，所以．
所以，
即的大小为；
（2）①如图所示：
依题意，过2小时后质点甲到达C点（在点O左边），且有，
质点乙到达D点，且有，故
②t时刻时，质点甲到达M点，质点乙到达N点，如图所示：
，，
则，
所以两质点间的距离
，
因为，所以当时．取得最小值为，
所以小时后，两质点相距最短，最短距离为米．
18.解：
（1）
最小正周期
解得
单调递增区间为，
（2）由题意
对于任意，，单调递增且大于0，
所以在上单调递减，
19.
（1）当R和D重合时，，当时，，此时为等腰直角三角形。
。
当R在AP中垂线上时，。
所以或
（2）证明：设，则有
所以，即，
因为
所以，即
（3）做于M，
设，，，，
（1）M在PQ上时，
（2）M在BQ，AP上时，两个角的正切值不变。
所以，，
所以
考试时间：120分钟试题满分：150分
命题人：高二数学组校对人：高二数学组
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的不选，多选，错选均不得分.
1.给出下列各函数值：①；②；③；④.其中符号为负的有（ ）
A．①B．②C．③D．④
2.已知角的终边上有一点，则角的值为
A．（）B．（）
C．（）D．（）
3.已知有如下命题：
①锐角一定小于；
②若扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为6cm；
③若是第二象限角，那么和都不是第二象限角；
④若与终边共线，则必有（）
其中正确命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
4.如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O，P为圆O上任一点，若，则的最大值为（ ）
A．B．2C．D．1
5.化简的值为（ ）
A．1B．C．D．
6.已知函数，若关于x的方程在区间上有且只有四个不相等的实数根，则正数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7.已知向量，，，满足（），且，若为，的夹角，则的值是（ ）
A．B．C．D．
8.已知函数，则下列说法错误的是（ ）
A．是的周期B．，在上具有单调性
C．当时，D．的图象只有对称轴，没有对称中心
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知函数（），则下列结论正确的是（ ）
A．对于任意的，总为奇函数
B．对于任意的，总为周期函数
C．当时，图像关于点中心对称
D．当时，的值域为
10.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，O为平面内一点，下列说法正确的有（ ）
A．若O为△ABC的外心，且，则
B．若O为△ABC的内心，，，（m，），则
C．若O为△ABC的重心，，则
D．若O为△ABC的外心，且O到a，b，c三边距离分别为k，m，n，则
11.下列等式成立的有（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知在△ABC中，，；则 。
13.如果方程在区间上恰有两个解，，则 。
14.定义两个向量组，的运算，设，，为单位向量，向量组，分别为，，的一个排列，则的最小值为 。
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本题13分）
已知向量，
（1）若，求的值；
（2）若，与垂直，求实数t的值；
（3）若，求向量在向量上的投影向量的坐标.
16.（本题15分）
已知，，其中，
（1）求角；
（2）求.
17.（本题15分）
已知，是平面内任意两个非零不共线向量，过平面内任一点0作，，以O为原点，分别以射线、为x、y轴的正半轴，建立平面坐标系，如左图.我们把这个由基底，确定的坐标系xOy称为基底坐标系xOy。当向量，不垂直时，坐标系xOy就是平面斜坐标系，简记为.对平面内任一点P，连结OP，由平面向量基本定理可知，存在唯一实数对，使得，则称实数对为点P在斜坐标系中的坐标.
今有斜坐标系（长度单位为米，如上图），且，，设
（1）计算的大小；
（2）质点甲在Ox上距O点4米的点A处，质点乙在Oy上距O点1米的点B处，现在甲沿的方向，乙沿的方向同时以3米/小时的速度移动.
①若过2小时后质点甲到达C点，质点乙到达D点，请用，，表示；
②若t时刻，质点甲到达M点，质点乙到达N点，求两质点何时相距最短，并求出最短距离.
18.（本题17分）
已知函数
（1）求函数的最小正周期和单调增区间；
（2）若对于任意均有恒成立，求a的取值范围；
19.（本题17分）
矩形ABCD中，P，Q为边AB的两个三等分点，满足，R是折线段BC-CD-DA（不包括A，B两点）上的动点，设，
（1）当△APR是等腰三角形，求；
（2）当R在线段BC（不包括B，C两点）上运动时，证明：；
（3）当R在线段CD（包括C，D两点）上运动时，求的最大值.
高一数学期中参考答案
一、单选题
1-5CBDCC6-8DAD
二、多选题
9.ABD10.ABC11.BCD
三、填空题
12.13.14.
四、解答题
15.
（1）因为向量，，，
所以，即，则.
（2）因为，
所以，
则，，
因为与垂直，
所以，
所以.
（3）因为，所以，投影向量.
16.
（1）由题意得：∵，，
∴，
∵
又∵
∴
（2）∵，
∴
17.
（1）因为，，
所以，，
又，所以．
所以，
即的大小为；
（2）①如图所示：
依题意，过2小时后质点甲到达C点（在点O左边），且有，
质点乙到达D点，且有，故
②t时刻时，质点甲到达M点，质点乙到达N点，如图所示：
，，
则，
所以两质点间的距离
，
因为，所以当时．取得最小值为，
所以小时后，两质点相距最短，最短距离为米．
18.解：
（1）
最小正周期
解得
单调递增区间为，
（2）由题意
对于任意，，单调递增且大于0，
所以在上单调递减，
19.
（1）当R和D重合时，，当时，，此时为等腰直角三角形。
。
当R在AP中垂线上时，。
所以或
（2）证明：设，则有
所以，即，
因为
所以，即
（3）做于M，
设，，，，
（1）M在PQ上时，
（2）M在BQ，AP上时，两个角的正切值不变。
所以，，
所以
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