2023-2024学年辽宁省协作校高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年辽宁省协作校高一（下）期中数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.sin735°cs45°+sin105°sin135°=( )
A. 12B. 22C. 32D. 1
2.下列函数中，周期为1的奇函数是( )
A. y=1−2sin2πxB. y=sin (2πx+π3)
C. y=tgπ2xD. y=sinπxcsπx
3.已知a=(2,1)，|b|=2，且a⊥b，则a−b与a的夹角的余弦值为( )
A. 2 55B. 53C. 54D. 56
4.在△ABC中，csB=2 23，AC=2，AB=m，则“△ABC恰有一解”是“0A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
5.英国数学家布鲁克⋅泰勒以发现泰勒公式和泰勒级数而闻名于世.根据泰勒公式我们可知：如果函数f(x)在包含x0的某个开区间(a,b)上具有(n+1)阶导数，那么对于∀x∈(a,b)，有f(x)=f(x0)0!+f′(x0)1!(x−x0)+f″(x0)2!(x−x0)2+…fn(x0)n!(x−x0)n+…，若取x0=0，则f(x)=f(0)0!+f′(0)1!x+f″(0)2!x2+…+fn(0)n!xn+…，此时称该式为函数f(x)在x=0处的n阶泰勒公式(其中0!=1，n!=1×2×3×…×n).计算器正是利用这一公式将sinx，csx，ex，lnx， x等函数转化为多项式函数，通过计算多项式函数值近似求出原函数的值，如sinx=x−x33!+x55!−x77!+⋯，csx=1−x22!+x44!−x66!+⋯，则运用上面的想法求2sin(π2+12)cs12的近似值为( )
A. 0.83B. 0.46C. 1.54D. 2.54
6.扇形AOB的半径为1，∠AOB=120°，点C在弧AB上运动，则CA⋅CB的最小值为( )
A. −12B. 0C. −32D. −1
7.2023年下半年开始，某市加快了推进“5G+光网”双千兆城市建设，如图，某市区域地面有四个5G基站A，B，C，D.已知C，D两个基站建在江的南岸，距离为20 3km，基站A，B在江的北岸，测得∠ACB=75°，∠ACD=120°，∠ADC=30°，∠ADB=45°，则A，B两个基站的距离为( )
A. 15 6kmB. 20 3kmC. 40kmD. 20 5km
8.已知函数f(x)=csx−|sinx2|，则下列结论错误的是( )
A. 函数f(x)为偶函数B. 函数f(x)关于x=π对称
C. 函数f(x)的最大值为98D. 函数f(x)在(0,π6)上单调递减
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c.下面四个结论正确的是( )
A. a=2，A=30°，则△ABC的外接圆半径是4
B. 若A>B，则sinA>sinB
C. 若a2+b2D. 若acsA=bsinB，则A=45°
10.在物理学中，把物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”.在适当的直角坐标系下，某个简谐运动可以用函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A. A=2，频率为1π，初相为π6
B. 函数f(x)的图象关于直线x=−π6对称
C. 函数f(x)在[π12,5π12]上的值域为[0, 3]
D. 若f(x)在[0,m]上恰有4个零点，则m的取值范围是[19π12,25π12)
11.已知O为坐标原点，△ABC的三个顶点都在单位圆上，且3OA+4OB+5OC=0，则( )
A. cs=35B. OA⊥OB
C. △ABC为锐角三角形D. AB在OC上投影的数量−15
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，p=α+b+c2，则△ABC的面积S= p(p−a)(p−b)(p−c)，该公式称作海伦公式.最早由古希腊数学家阿基米德得出.若△ABC的周长为18，(sinA+sinB)：(sinB+sinC)：(sinC+sinA)=5：7：6，则△ABC的面积为______．
13.已知向量OP=(4,3)，将OP绕原点O沿逆时针方向旋转45°到OP1的位置，则点P1的坐标______．
14.如图，在四边形ABCD中，E，F分别在边AD，BC上，且AE=13AD，BF=13BC.AB=3，DC=2，AB与DC的夹角为60°.则AB⋅EF= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知平面向量a=(1,2)，b=(−3,−2)．
(1)若c⊥(2a+b)，日|c|=2 5，求c的坐标；
(2)若a与a+λb的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=cs4x+2sinxcsx−sin4x.
(1)求f(x)的最小正周期和单调减区间；
(2)若f(θ2+π8)= 23，求cs3θ的值．
17.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B1C所对的边分别是a，b，c，且_____，在①2S= 3⋅AC⋅AB；②ac=csA+1 3sinc；③sinBsinC+sinCsinB=sin2AsinBsinC+1.这三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并解答下列问题：
(1)求角A的大小：
(2)若AD是△ABC的角平分线，且b=2，c=3，求线段AD的长；
(3)若b−c= 33a，判断△ABC的形状．
18.(本小题17分)
古希腊数学家托勒密对凸四边形(凸四边形是指没有角度大于180°的四边形)进行研究，终于有重大发现：任意一凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四点共圆时等号成立.且若给定凸四边形的四条边长，四点共圆时四边形的面积最大.根据上述材料，解决以下问题：
如图，在凸四边形ABCD中．
(1)若AB= 2，BC=1，∠ACD=π2，AC=CD(图1)，求线段BD长度的最大值；
(2)若AB=2，BC=6，AD=CD=4(图2)，求四边形ABCD面积取得最大值时角A的大小，并求出四边形ABCD面积的最大值．
(3)在满足(2)条件下，若点P是△ABD外接圆上异于B，D的点，求PB+PD的最大值．
19.(本小题17分)
某公园为了美化环境和方便顾客，计划建造一座“三线桥”连接三块陆地，如图1所示，点A、B是固定的，点C在右边河岸上把右边河岸近似地看成直线l，如图2所示，经测量直线AB与直线l平行，A、B两点距离及点A、B到直线l的距离均为100米.为了节省成本和兼顾美观，某同学给出了以下设计方案，MA、MB、MC三条线在点M处相交.MA⊥MB，MC⊥l，设∠MAB=θ．
(1)若θ=π3时，求MC的长；
(2)①若θ变化时，求桥面长(MA+MB+MC的值)的最小值；
②你能给出更优的方案，使桥面长更小吗？如果能.给出你的设计方案，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：sin735°cs45°+sin105°sin135°
=sin15°cs45°+cs15°sin45°
=sin60°= 32．
故选：C．
由已知结合诱导公式及两角和的正弦公式进行化简即可求解．
本题主要考查了诱导公式及两角和的正弦公式，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：∵y=1−2sin2πx=cs2πx，为偶函数，排除A．
∵对于函数y=sin (2πx+π3)，f(−x)=sin(−2πx+π3)≠−sin(2πx+π3)，不是奇函数，排除B．
对于y=tgπ2x，T=ππ2=2≠1，排除C．
对于y=sinπxcsπx=12sin2πx，为奇函数，且T=2π2π=1，满足条件．
故选D．
对A先根据二倍角公式化简为y=cs2πx为偶函数，排除；对于B验证不是奇函数可排除；对于C求周期不等于1排除；故可得答案．
本题主要考查三角函数的奇偶性和最小正周期的求法，一般先将函数化简为y=Asin(wx+ρ)的形式，再由最小正周期的求法T=2πw、奇偶性的性质、单调性的判断解题．
3.【答案】B
【解析】解：∵a⊥b，
∴a⋅b=0，且|a|= 5,|b|=2，
∴|a−b|= (a−b)2= a2+b2−2a⋅b= 5+4=3，(a−b)⋅a=a2−a⋅b=5，
∴cs=(a−b)⋅a|a−b||a|=53× 5= 53．
故选：B．
根据条件可得出|a|= 5,a⋅b=0，然后进行数量积的运算可求出|a−b|和(a−b)⋅a的值，然后根据向量夹角的余弦公式即可求出答案．
本题考查了向量垂直的充要条件，向量长度的求法，向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式，是基础题．
4.【答案】B
【解析】解：在△ABC中，csB=2 23，AC=2，AB=m，
可得sinB= 1−cs2B=13，
则“△ABC恰有一解“的充要条件为AC=msinB或AC≥AB>0，
即2=m⋅13或0可得m的范围为m=6或0因为“0即“△ABC恰有一解“是“0故选：B．
由题意写出“△ABC恰有一解“的充要条件，求出m的范围，进而判断出“△ABC恰有一解“是“0本题考查充要条件的求法，属于中档题．
5.【答案】C
【解析】解：2sin(π2+12)cs12=2cs212=1+cs1≈1+1−12+14×3×2≈1.54．
故选：C．
根据诱导公式和二倍角的余弦公式可得出2sin(π2+12)cs12=1+cs1，然后根据泰勒公式即可得出答案．
本题考查了诱导公式和二倍角的余弦公式，余弦函数的泰勒公式展开式，是基础题．
6.【答案】A
【解析】解：以OA所在直线为x轴，过O且垂直于OA的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(1,0)，B(−12, 32)，设C(csθ,sinθ)，其中0°≤θ≤120°，
所以CA=(1−csθ,−sinθ)，CB=(−12−csθ, 32−sinθ)，
所以CA⋅CB=(1−csθ)(−12−csθ)+(−sinθ)( 32−sinθ)=−12−csθ+12csθ+cs2θ− 32sinθ+sin2θ=12−sin(θ+30°)，
因为0°≤θ≤120°，所以30°≤θ+30°≤150°，
所以12≤sin(θ+30°)≤1，所以−12≤12−sin(θ+π6)≤0，
所以CA⋅CB的最小值为−12．
故选：A．
建立平面直角坐标系，利用三角函数的定义可得C(csθ,sinθ)，求出相应向量的坐标，再由向量数量积的坐标运算和三角函数的最值求法计算即可．
本题考查平面向量的坐标运算与数量积求法，属于中档题．
7.【答案】D
【解析】解：在△ACD中，∠ACD=120°，∠ADC=30°，∠ACB=75°，∠ADB=45°，
CD=20 3km，
所以∠CAD=30°，
所以AC=CD=20 3，
因为∠ACB=75°，∠ACD=120°，∠ADC=30°，∠ADB=45°，可得∠BCD=120°−75°=45°，
∠CDB=75°，∠CBD=60°，
sin75°=sin(30°+45°)=sin30°cs45°+cs30°sin45°=12× 22+ 32× 22= 2+ 64，
cs75°= 1−sin2∠ACB= 6− 24，
在△BCD中，由正弦定理可得CDsin∠CBD=BCsin∠CDB，
即20 3 32=BC 6+ 24，解得BC=10( 6+ 2).
在△ABC中，由余弦定理可得AB= AC2+BC2−2AC⋅BCcs∠ACB
= 400×3+100(8+4 3)−2×20 3×10( 6+ 2)× 6− 24=20 5．
故选：D．
由题意分别在△ACD中，△BCD中求出AC，BC的值，再在△ABC中，由余弦定理可得AB的值．
本题考查正弦定理及余弦定理的应用，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】解：A，因为f(x)=csx−|sinx2|，
则f(−x)=cs(−x)−|sin(−x2)|=csx−|sinx2|=f(x)，
所以f(x)为偶函数，A正确；
B，f(π−x)=csx(π−x)−|sinπ−x2|=−csx−|csx2|，
f(π+x)=csx(π+x)−|sinπ+x2|=−csx−|csx2|，
所以f(π+x)=f(π−x)，即f(x)的图象关于x=π对称，B正确；
C，f(x)=csx−|sinx2|=−2sin2x2−|sinx2|+1=−2|sinx2|2−|sinx2|+1，
因为|sinx2|≥0，
根据二次函数的性质可知，当|sinx2|=0时，函数取得最大值1，C错误；
D，x∈(0,π6)时，f(x)=csx−sinx2f′(x)=−sinx−12csx2<0，
所以f(x)在(0,π6)上单调递减， D正确．
故选：C．
由已知结合二倍角公式进行化简，然后结合正弦及余弦函数的性质检验各选项即可判断．
本题主要考查了二倍角公式及正弦函数，余弦函数性质的应用，属于中档题．
9.【答案】BCD
【解析】解：对于A，因为a=2，A=30°，
设△ABC的外接圆半径是R，
则2R=asinA=2sin30∘=4，
解得R=2，因此不正确；
对于B，由A>B，得a>b，
所以2RsinA>2RsinB(R为△ABC外接圆半径)，
得sinA>sinB，故B正确；
对于C，因为a2+b2则csC=a2+b2−c22ab<0，
所以C为钝角，△ABC一定是钝角三角形，因此C正确；
对于D，因为acsA=bsinB，由正弦定理可得sinAcsA=sinBsinB=1，
所以tanA=1，
又因为A为三角形内角，
所以A=45°，因此D正确．
故选：BCD．
对于A，设△ABC的外接圆半径是R，利用正弦定理可得2R=asinA，解得R，即可判断出正误；
对于B，由大边对大角以及正弦定理即可判断出正误；
对于C，由a2+b2对于D，由正弦定理，同角三角函数基本关系式可求得tanA=1，求出A，即可判断出正误．
本题考查了正弦定理及余弦定理的应用、三角函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
10.【答案】BD
【解析】解：由题意得，A=2，3T4=13π12−π3=3π4，即T=π，
所以ω=2，f(x)=2sin(2x+φ)，
因为2×π3+φ=π2+2kπ，k∈Z，|φ|<π，
所以φ=−π6，A错误；
f(x)=2sin(2x−π6)，
令2x−π6=π2+kπ，k∈Z，
则x=π3+kπ2，k∈Z，
当k=−1时，可得一条对称轴为x=−π6，B正确；
当π12≤x≤5π12时，0≤2x−π6≤2π3，
所以0≤sin(2x−π6)≤1，
所以0≤f(x)≤2，C错误；
令f(x)=0，可得2x−π6=kπ，k∈Z，
则x=π12+kπ2，k∈Z，
若f(x)在[0,m]上恰有4个零点，则19π12≤m<25π12，D正确．
故选：BD．
由最值求A，由周期求ω，由特殊点求φ，进而可求函数解析式，然后结合正弦函数的性质检验各选项即可判断．
本题主要考查了部分函数性质求解函数y=Asin(ωx+φ)的解析式，还考查了正弦函数性质的综合应用，属于中档题．
11.【答案】BCD
【解析】解：由题意知，|OA|=|OB|=|OC|=1，且3OA+4OB+5OC=0，
所以3OA+5OC=−4OB，两边平方，得9+30OA⋅OC+25=16，
所以OA⋅OC=−35，即cs=−35，选项A错误；
由3OA+4OB=−5OC，两边平方，得9+24OA⋅OC+16=25，
所以OA⋅OB=0，即OA⊥OB，选项B正确；
由4OB+5OC=−3OA，两边平方，得16+40OB⋅OC+25=9，所以OB⋅OC=−45；
所以AB⋅AC=(OB−OA)⋅(OC−OA)=OB⋅OC−OB⋅OA−OA⋅OC+OA2=−45−0+35+1=45>0，
所以∠A是锐角，同理，BA⋅BC=(OA−OB)⋅(OC−OB)=−35−0+45+1>0，∠B是锐角；
CA⋅CB=(OA−OC)⋅(OB−OC)=0+35+45+1>0，∠C是锐角，△ABC是锐角三角形，选项C正确；
AB在OC上投影的数量为|AB|cs=AB⋅OC|OC|
=(OB−OA)⋅OC|OC|=OB⋅OC−OA⋅OC=−45+35=−15，选项D正确．
故选：BCD．
由|OA|=|OB|=|OC|=1，且3OA+4OB+5OC=0，得3OA+5OC=−4OB，两边平方得出cs，即可判断选项A；
由3OA+4OB=−5OC，两边平方得出OA⋅OB=0，即可判断选项B；
由4OB+5OC=−3OA，两边平方得出OB⋅OC，再计算AB⋅AC，判断∠A是锐角，同理计算BA⋅BC、CA⋅CB，判断∠B、∠C是锐角，得出选项C；
利用定义计算AB在OC上投影的数量，判断选项D．
本题考查了平面向量的数量积应用问题，也考查了推理与运算能力，是中档题．
12.【答案】3 15
【解析】解：由题意得a+b+c=18，
又由正弦定理可得(sinA+sinB)：(sinB+sinC)：(sinC+sinA)=(a+b)：(b+c)：(c+a)=5：7：6，
所以a：b：c=2：3：4，
则a=4，b=6，c=8，
所以由题意可得p=a+b+c2=9，
可得△ABC的面积S= p(p−a)(p−b)(p−c)= 9×5×3×1=3 15．
故答案为：3 15．
由已知结合正弦定理可求a，b，c，代入已知面积公式可求．
本题主要考查了正弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题．
13.【答案】(7 22, 22)
【解析】解：设∠POx=α，
向量OP=(4,3)，
则csα=45，sinα=35，
故cs(α+45°)= 22(csα−sinα)= 210，
sin(α+45°)= 22(sinα+csα)=7 210，
|OP|= 42+32=5，
故xP1=5×7 210=7 22，yP1=5× 210= 22，
所以点P1的坐标为(7 22, 22).
故答案为：(7 22, 22).
结合三角函数的两角和公式，即可求解．
本题主要考查向量的坐标运算，属于基础题．
14.【答案】7
【解析】解：因为AE=13AD，BF=13BC，AB=3，DC=2，AB与DC的夹角为60°，
所以EF=EA+AB+BF=−13AD+AB+13BC=23AB+13(DA+AB+BC)=23AB+13DC，
所以AB⋅EF=AB⋅(23AB+13DC)=23AB2+13AB⋅DC=23×32+13×3×2×cs60°=7．
故答案为：7．
根据题意，用向量AB与DC表示EF，再求AB⋅EF．
本题考查了平面向量的线性表示与数量积运算问题，是基础题．
15.【答案】解：(1)设c=(x,y)，2a+b=(−1,2)，且c⊥(2a+b)，
∴c⋅(2a+b)=2y−x=0，∴x=2y，
又|c|=2 5，∴x2+y2=4y2+y2=5y2=20，
解得y=±2，∴x=−4y=−2或x=4y=2，
∴c=(−4,−2)或(4,2)；
(2)a+λb=(1−3λ,2−2λ)，
∵a与a+λb的夹角为锐角，
∴a⋅(a+λb)>0，且a与a+λb不共线，
∴1−3λ+4−4λ>02−2λ−2(1−3λ)≠0，解得λ<57且λ≠0，
∴λ的取值范围为{λ|λ<57且λ≠0}．
【解析】(1)可设c=(x,y)，求出2a+b=(−1,2)，根据条件可得出2y−x=0x2+y2=20，解出x，y，即可得出向量c的坐标；
(2)可求出a+λb=(1−3λ,2−2λ)，根据题意可得出：a⋅(a+λb)>0且a与a+λb不共线，根据向量数量积的坐标运算及共线向量的坐标关系即可得出λ的取值范围．
本题考查向量坐标的数乘和数量积的运算，考查共线向量的坐标关系，属中档题．
16.【答案】解：(1)f(x)=cs4x+2sinxcsx−sin4x
=(cs2x−sin2x)(cs2x+sin2x)+2sinxcsx
=cs2x+sin2x
= 2sin(2x+π4)，
则f(x)的最小正周期为π，
令π2+2kπ≤2x+π4≤3π2+2kπ，k∈Z，
则π8+kπ≤x≤5π8+kπ，k∈Z，
故f(x)的单调减区间为[π8+kπ,5π8+kπ]，k∈Z；
(2)若f(θ2+π8)= 23= 2sin(θ+π2)= 2csθ，
则csθ=13，
cs3θ=cs(2θ+θ)=cs2θcsθ−sin2θsinθ
=(2cs2θ−1)csθ−2sin2θcsθ
=(2cs2θ−1)csθ−2(1−cs2θ)csθ
=4cs3θ−3csθ=4×127−1=−2327．
【解析】(1)结合同角基本关系，二倍角公式，辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的周期公式及单调性即可求解；
(2)由已知先求出csθ，然后结合和差角公式及二倍角公式进行化简即可求解．
本题主要考查了和差角公式，二倍角公式，辅助角公式的应用，还考查了正弦函数单调性及周期公式的应用，属于中档题．
17.【答案】解：(1)若选①：S=12cbsinA，2S= 3⋅AC⋅AB，∴bcsinA= 3bccsA且ab>0，tanA= 3且A∈(0,π)，∴A=π3；
若选②：ac=csA+1 3sinC，由正弦定理得sinAsinC=csA+1 3sinC且sinC>0，
∴ 3sinA=csA+1，∴2sin(A−π6)=1，sin(A−π6)=12且(A−π6)∈(−π6,5π6)，A−π6=π6，A=π3；
若选③，依题意，得sin2B+sin2C=sin2A+sinBsinC，由正弦定理得b2+c2=a2+bc，
由余弦定理得csA=b2+c2−a22bc=12，而A∈(0,π)，则A=π3；
(2)在△ABC中，利用余弦定理：BC2=AB2+AC2−2⋅AB⋅AC⋅cs60°，解得：BC= 7，
csB=AB2+BC2−AC22AB⋅BC=9+7−42×3× 7=2 7=2 77，AD是△ABC的角平分线，
利用角平分线定理得：ABAC=BDDC=32，且BD+DC= 7，解得：BD=3 75DC=2 75，
AD2=AB2+BD2−2⋅AB⋅BD⋅csB=9+6325−18 75×2 77=10825，解得AD=6 35．
另解(1)：由S△ABC=S△ABD+S△ACD得12AB⋅ACsin60°=12AB⋅ADsin30°+12AC⋅ADsin30°，
解得AD=6 35.另解(2)∵AD=25AB+35AC，∴|AD|= 425AB2+925AC2+1225AB⋅AC=65 3；
(3)由正弦定理及已知条件可得sinB−sinC= 33sinA.由(1)知B+C=2π3，
所以sinB−sin(2π3−B)= 33sinπ3，即12sinB− 32csB=12，sin(B−π3)=12，
由于0另解：由余弦定理及已知条件可得：b2−2bc+c2=13a2a2=b2+c2−bc，
可得2b2−5bc+2c2=0，b=2c或c=2b(舍)，可得a= 3c，∴b2=c2+a2，
从而△ABC是直角三角形．
【解析】(1)选①代入面积公式，数量积公式即可；选②，代入正弦定理，利用辅助角公式即可；选③，代入正弦定理，余弦定理即可；(2)利用余弦定理，角平分线定理即可；(3)利用正弦定理，两角和差公式即可．
本题考查正弦定理，余弦定理，属于中档题．
18.【答案】解：(1)AB= 2，BC=1，∠ACD=π2，AC=CD，
可得AD= 2CD，
由题意可得AB×CD+BC×AD≥AC×BD，
即AB×CD+BC× 2CD≥CD×BD，
即 2+ 2≥BD，
即BD的最大值为2 2；
(2)如图2，连接BD，因为四点共圆时四边形的面积最大，AB=2，BC=6，AD=CD=4，
所以A+C=π，即csC=−csA，sinA=sinC，
在△ABD中，BD2=AB2+AD2−2AB⋅ADcsA=4+16−2×2×4csA=20−16csA，①
在△BCD中，由余弦定理可得BD2=BC2+CD2−2BC⋅CDcsC=36+16+2×6×4csA=52+48csA，②
由①②可得20−16csA=52+48csA，
解得csA=−12，而A∈(0,π)，
可得A=2π3，
所以sinA=sinC= 32，
此时SABCD=S△ABD+S△BCD=12×AB×AD×sinA+12BC×CD×sinC=12×2×4× 32+12×6×4× 32=8 3．
所以A=2π3时，四边形ABCD面积取得最大值，且最大值为8 3；
(3)由题意可知∠A+∠P=π，即csP=−csA=12，
在△BPD中，由余弦定理可得BD2=PB2+PD2−2PB⋅PDcsP=PB2+PD2−PB⋅PD=52+48cs∠A，
故PB2+PD2−PB⋅PD=28⇒(PB+PD)2−3PB⋅PD=28，
故(PB+PD)2=28+3PB⋅PD≤28+3(PB+PD2)2，
故PB+PD≤ 4×28=4 7，当且仅当PB=PD=2 7时等号成立，
故PB+PD最大值为4 7．
【解析】(1)由题意可得AB×CD+BC×AD≥AC×BD，进而求出BD的最大值；
(2)由题意可得A+C=π，分别在△ABD，△BCD中，由余弦定理可得BD2的表达式，两式联立可得csA的值，进而求出角A的大小，进而求出此时的四边形ABCD的面积．
(3)由已知结合(2)及余弦定理即可求解．
本题考查托勒密定理及余弦定理的应用，三角形面积公式的应用，圆内接四边形的性质的应用，属于中档题．
19.【答案】解：(1)延长CM交AB于C′，
则CC′⊥AB，
由题意可知，MA=AB⋅csθ，MB=AB⋅sinθ．
MC=AM⋅BMAB=AB⋅sinθ⋅csθ=100⋅ 32⋅12=25 3，
MC=100−MC=100−25 3；

(2)①由题意可知，在△AMB中，MA=AB⋅csθ，MB=AB⋅sinθ，
MC′=AM⋅BMAB=100sinθcsθ，
MC=100−MC′=100−100sinθcsθ，
设f(θ)=MA+MB+MC
=100csθ+100sinθ+100−100sinθcsθ
=100(sinθ+csθ+1−sinθcsθ)，
设t=sinθ+csθ，则sinθcsθ=t2−12且t∈(1, 2],
f(t)=100(t+1−r2−12)=50(−t2+2t+3)．
当t= 2，即θ=π4时，f(θ)取最小值100 2+50．
②点M在AB中垂线上，且∠AMB=120°时，桥面长更小．
证明：记∠AMC′=α，
则MA=MB=50sinα，MC=100−50tanα，
记g(α)=MA+MB+MC=100sinα+100−50tanα=100+50×2−csαsinα，
因为2−csαsinα=cs2α2+3sin2α22sina2csα2=12⋅1tanα2+32tanα2≥ 3，
当且仅当tanα2= 33时等号成立，
此时g(α)有最小值100+50 3<100 2+50．
【解析】(1)延长MC交AB于C′，由题意可得MA=AB⋅csθ，MB=AB⋅sinθ，MC=AM⋅BMAB，再根据MC=100−MC求解即可；
(2)①由题意可得MA+MB+MC=100(sinθ+csθ+1−sinθcsθ)，设t=sinθ+csθ，则有f(t)=100(t+1−r2−12)=50(−t2+2t+3)，根据二次函数的性质求解即可；
②记∠AMC′=α，可得则MA=MB=50sinα，MC=100−50tanα，从而得g(α)=100+50×2−csαsinα，再根据三角恒等变换及基本不等式求解即可．
本题考查了三角函数在生活中的实际运用，考查了三角恒等变换及基本不等式的应用，属于中档题．