北京市第一七一中学2023—2024学年七年级下学期期中数学试题（含答案）

这是一份北京市第一七一中学2023—2024学年七年级下学期期中数学试题（含答案），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（ ）．
A．2，4，5B．6，8，11C．5，12，12D．1，1，
2．下列图案中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）．
A．B．C．D．
3．下列不等式一定成立的是（ ）．
A．B．C．D．
4．等腰三角形的一边为4，另一边为9，则这个三角形的周长为（ ）．
A．17B．22C．13D．17或22
5．如图，数轴上表示的是两个不等式的解集，由它们组成的不等式组的解集为（ ）．
A．B．C．D．
6．等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（ ）．
A．80°B．80°或20°C．80°或50°D．20°
7．下列从左到右的变形，是分解因式的为（ ）．
A．B．
C．D．
8．不等式组的解集是，那么m的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
9．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到，连接，若，则∠B的度数是（ ）．
A．70°B．65°C．60°D．55°
10．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为，M为坐标轴上一点，且使得△MOA为等腰三角形，则满足条件的点M的个数为（ ）．
A．4B．5C．6D．8
二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）
11．（任选一题作答）
A．用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”第一步应假设______．
B．若关于x的不等式的解集为，则a的取值范围是______．
12．某景点拟在如图的矩形荷塘上架设小桥，若荷塘中小桥的总长为100米，则荷塘周长为______米．
13．一次函数和的图象如图所示，其交点为，则不等式的解集是______．
14．如图所示，在平面直角坐标系中，，是边长为2的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，如此作下去，则（n是正整数）的顶点的坐标是______．
三、解答题（共10小题，计78分，应写出相应的解答过程）
15．（每题4分，共8分）解下列不等式或不等式组，并将解集在数轴上表示出来．
（1）．
（2）．
16．（6分）分解因式（1）．
（2）．
17．（6分）如图，在10×10正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位．将△ABC向下平移4个单位，得到的：将绕点顺时针旋转90°，得到的﹔请你画出和．（不要求写画法）
18．（8分）已知方程组的解满足x为非整数，y为负数．
（1）求m得取值范围．
（2）在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式的解为．
19．（6分）作图题：请尺规作图，不写做法，保留作图痕迹．已知△ABC，在BC边上求作一点P，使AP最短．
20．（8分）把△ABC经过平移后得到，已知，，，．
（1）求与C的坐标．
（2）求△ABC得面积．
21．（8分）如图，在△ACB中，，于点D．
（1）求证：．
（2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：．
22．（8分）某公司到果品基地购买某种优质水果慰问医务工作者，果品基地对购买量在3000kg以上（含3000kg）的顾客采用两种销售方案．甲方案：每千克9元，有基地送货上门：乙方案；每千克8元，有顾客自己租车运回．已知该公司租车从基地到公司的运输费用为5000元．
（1））分别写出该公司两种购买方案付款金额y（元）与所购买的水果量x（k）之间的函数关系式，并写书自变量x的取值范围．
（2）当购买量在哪一范围时，选择哪种购买方案付款最少？并说明理由．
23．（8分）如图，△ABC中，，，，△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，且点C恰好为AD的重点．
（1）指出旋转中心，并求出旋转的度数．
（2）求出∠BAE的度数和AE的长．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知点，△AOB为等边三角形，P是x轴上一个动点（不与原O重合），以线段AP为一边在期中右侧作等边三角形△APQ．
（1）求点B的坐标．
（2）在点P的运动过程中，∠ABO的大小是否发生改变？如不改变，求出其大小；如改变，请说明理由．
（3）连接OQ，当时，求Р点的坐标．
参考答案
1．【答案】B
【解析】本题主要考查勾股数的概念．
A项，因为，所以这三条线段不能组成直角三角形．故A项不符合题意．
B项，因为，所以这三条线段能组成直角三角形．故B项符合题意．
C项，因为，所以这三条线段不能组成直角三角形．故C项不符合题意．
D项，因为，所以这三条线段不能组成直角三角形．故D项不符合题意．
故本题正确答案为B．
2．【答案】C
【解析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念判断根据中心对称图形的概念寻找对称中心，图形绕对称中心旋转180°后与原图形重合．
3．【答案】B
【分析】不等式一定成立，表示无论a取什么值，不等号的方向都不会改变，据此分析各个选项，即可确定正确答案．
【解析】A、，若，则，所以A不是一定成立的；
B、，移项合并得，恒成立；
C、，若，则，所以C也不是一定成立的；
D、，若，则，此时原不等式不可能成立．
【点评】本题根据不等式的基本性质，找出恒成立的不等式．解此类题，可以通过举出反例的方法来进行否决．
4．【答案】B
【解析】本题主要考查三角形的三边关系．
三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
由题意可知，该等腰三角形第三边为4或9．
当第三边为4时，不符合三角形的三边关系；
当第三边为9时，符合三角形的三边关系，
所以该等腰三角形第三边为9，周长为．
故本题正确答案为B．
5．【答案】A
【解析】解：根据题意，得，
所以A选项是正确的．
根据每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），可得答案．
6．【答案】B
【解析】分80°角是顶角与底角两种情况讨论：
80°角是顶角时，三角形的顶角为80°；
②80°角是底角时，顶角为．
综上所述，该等腰三角形顶角的度数为80°或20°．故选B．
7．【答案】A
【解析】A、是一个多项式，是两个整式的乘积，且等式左右两边相等，故选A．
B、结果是多项式，不可选．
C、的结果是多项式，不可选．
D、最终结果没有化成整式乘积的形式，故不选．
8．【答案】A
【解析】解：，解之得，
而，并且不等式组解集为，．
所以A选项是正确的．
9．【答案】B
【解析】因为是由△ABC旋转得到的，
所以，，．
因为，
所以，因为，
所以，
所以．
故本题正确答案为B．
10．【答案】C
【解析】本题主要考查等腰三角形的性质和图形与坐标．
如图1所示，分别以O、A为圆心，OA长为半径画圆，与坐标轴交于5个点，分别为、、、、，满足△MOA为等腰三角形；
连接OA，作OA垂直平分线，与坐标轴交于2个点，分别为、．
综上所述，满足题意的点M个数为6，分别为、、、、、，它们的坐标情况如图2所示．
二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）
11．【答案】A．一个三角形中有两个角是直角
B．
【解析】A、用反证法证明命题“一个三角形中不能由两个角是直角”第一步应假设一个三角形中有两个角是直角．
因此，本题正确答案是：一个三角形中有两个角是直角．
根据反证法的第一步是从结论的反面出发进而假设得出即可．
B．解：∵不等式的解集为，
，解得．
故答案为：．
12．【答案】200m
【解析】解：荷塘中小桥的总长为100米，
荷塘周长为：，
因此，本题正确答案是：200m．
13．【答案】
【解析】解：∵一次函数和的图象交点为，
当时，，
即，
不等式的解集为．
因此，本题正确答案是．
14．【答案】
【解析】解：由题意，因为，是边长为2的等边三角形，
所以三角形的高为，即点的坐标为．
根据中心对称的性质可知，所有的三角形都是全等的，
即点，，，…，的纵坐标都为．
因为点的横坐标为5，点的横坐标为9，
所以可知点A的横坐标为4n+1，
故点的坐标为．
三、解答题（共10小题，计78分，应写出相应的解答过程）
15．【答案】（1）
（2）
【解析】解：（1）移项得，合并得，
系数化为1得，用数轴表示为：
（2）
解①得，解②得，
所以不等式组的解集为，用数轴表示为：
16．【答案】见解析
【解析】解：（1）．
（2）．
17．【答案】见解析【解析】如图所示：
18．【答案】见解析
【解析】解：（1）将中的两方程进行加减消元，
可得，
因为，，所以可得，
解得，
所以m的取值范围是．
（2）将不等式整理，得，
因为其解集为，所以，
解得
所以．
结合m取整数，可得，
即当时，不等式的解集为．
19．【答案】见解析
【解析】解：如图所示：即为所求△ABC的外接圆．
20．【答案】见解析
【解析】（1）解：∵把△ABC经过平移后得到，
的对应点是，
B点向左平移2个单位，再向下平移2个单位，
的对应点的坐标是，即，
的对应点C的坐标是，即，
答：，C的坐标分别是，．
（2）解：过B作于D，
，，
轴，
，，
△ABC的面积是．
答：△ABC的面积是．
21．【答案】见解析
【解析】证明：（1），于D，
，，
；
（2）在Rt△AFC中，，
同理在Rt△AED中，，
又∵AF平分∠CAB，
，，又，
．
22．【答案】见解析
【解析】解：（1），
．
（2）当时，即，计算得出．
当千克时，两种付款一样，
当时，有，
计算得出．
当时，选择甲种方案付款少．
当时，有，
当千克时，选择乙种方案付款少．
方法二：图象法
作出它们的函数图象（如图）
由函数图象可得，当购买量大于或等于3000千克且小于5000千克时，选择甲方案付款最少；
当购买量等于5000千克时，两种方案付款一样：
当购买量大于5000千克时，选择乙方案付款最少．
23．【答案】见解析
【解析】解：（1）∵△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，A为顶点，
旋转中心是点A；
根据旋转的性质可以知道：
，
旋转角度是150°；
（2）由（1）可以知道：，
由旋转可以知道：，，，又C为AD中点，
．
24．【答案】见解析
【解析】解：（1）如图1，过点B作轴于点C，
∵△ABC为等边三角形，且，
，，
，而，
，，
点B的坐标为．
（2），始终不变，理由如下：
∵△APQ、△AOB均为等边三角形，
、、，，
在△APO与△AOB中，，
，．
（3）当点P在x轴负半轴上时，点Q在点B的下方，
，，
，
又，可求得，
由（2）可以知道，，，
此时P的坐标为．
（2）如图3，当点P在x轴正半轴上时，点Q在B的上方
此时，若，四边形AOBQO即是梯形，
当时，，
，
又，可求得，
由（2）可以知道，，，
此时P的坐标为．
综上，P的坐标为或．