2024年四川省广安市邻水县中考数学模拟试卷(含解析)
展开1.−3的绝对值是( )
A. −3B. 3C. ±3D. 13
2.下列运算正确的是( )
A. (−2a3)2=−4a6B. 9=±3C. m2⋅m3=m6D. x3+2x3=3x3
3.邻水县素有“中国脐橙之乡”的美誉,2023年邻水脐橙产量32.86万吨,产值达15亿左右,15亿用科学记数法表示为( )
A. 15×108B. 1.5×108C. 1.5×109D. 0.15×1010
4.下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. 等边三角形B. 平行四边形
C. 正五边形D. 圆
5.函数y= 3x+6中自变量x的取值范围在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
6.若一个正n边形的每个内角为144°,则这个正n边形的所有对角线的条数是( )
A. 7B. 10C. 35D. 70
7.下列命题为真命题的是( )
A. 两组身高数据的方差分别是S甲2=0.01,S乙2=0.02,那么乙组的身高比较整齐
B. “明天下雨”是必然事件
C. 一组数据3,5,4,5,6,7的众数,中位数和平均数都是5
D. 为了解某灯管的使用寿命,可以采用普查的方式进行
8.已知关于x的一元二次方程(a−1)x2−2x+1=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是( )
A. a<2B. a>2C. a<−2D. a<2且a≠1
9.如图,AB是圆O的直径,弦CD⊥AB,∠BCD=30°,CD=4 3,则S阴影=( )
A. 2πB. 83πC. 43πD. 38π
10.如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象,其对称轴为直线x=−1,且过点(0,1).有以下四个结论:①abc>0,②a−b+c>1,③3a+c<0,④若顶点坐标为(−1,2),当m≤x≤1时,y有最大值为2、最小值为−2,此时m的取值范围是−3≤m≤−1.其中正确结论的个数是( )
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
二、填空题:本题共5小题,每小题3分,共15分。
11.分解因式:3a2−12= .
12.如图,直线l1//l2,若∠1=130°,∠2=60°,则∠3=______.
13.若反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点(1,−3),则一次函数y=kx−k(k≠0)的图象经过______象限.
14.某市为治理污水,需要铺设一段全长600m的污水排放管道,铺设120m后,为加快施工进度,后来每天比原计划增加20m,结果共用11天完成这一任务,求原计划每天铺设管道的长度.如果设原计划每天铺设xm管道,那么根据题意,可列方程 .
15.如图在菱形纸片ABCD中,E是BC边上一点,将△ABE沿直线AE翻折,使点B落在B′上,连接DB′.已知∠C=120°,∠BAE=50°,则∠ADB′的度数为______.
三、解答题:本题共10小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
16.(本小题5分)
计算:(13)−1− 27+tan60°+|3−2 3|.
17.(本小题6分)
先化简,再求值:x2x2−1÷(1−2xx−1−x+1),其中x满足x2+7x=0.
18.(本小题6分)
如图,AB=CD,AE=CF,E、F是BD上两点,且BF=DE.求证:AD=BC.
19.(本小题6分)
如图,一次函数y=x+4的图象与反比例函数y=kx(k为常数且k≠0)的图象交于A(−1,a),B两点,与x轴交于点C.
(1)求a,k的值及点B的坐标;
(2)若点P在x轴上,且S△ACP=32S△BOC,直接写出点P的坐标.
20.(本小题6分)
第二届“巴蜀风韵⋅橙意邻水”文化旅游宣传周活动开幕式,2023年12月26日在邻水县邻州广场隆重举行,邻水人民欢迎各界朋友来邻水“观邻景、品邻果、赏邻韵”,共享发展良机,共谋开放平台,共创美好未来!邻水县有A,B,C,D,E五个景区深受游客喜爱.一旅行社对以上五个景区旅游(只选一个景区)的意向,在某小区居民做了一次随机调查统计,并根据这个统计结果制作了如下两幅不完整的统计图:
(1)该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数是______人,m= ______,并补全条形统计图;
(2)若该小区有居民1200人,试估计去B地旅游的居民约有多少人?
(3)小军同学已去过E地旅游,暑假期间计划与父母从A,B,C,D四个景区中,任选两个去旅游,求选到A,C两个景区的概率.(要求画树状图或列表求概率)
21.(本小题8分)
某学校为了改善办学条件,计划购置一批电子白板和一批笔记本电脑,经投标,购买1块电子白板比买3台笔记本电脑多3000元,购买4块电子白板和5台笔记本电脑共需80000元.
(1)求购买1块电子白板和一台笔记本电脑各需多少元?
(2)根据该校实际情况,需购买电子白板和笔记本电脑的总数为396,要求购买的总费用不超过2700000元,并购买笔记本电脑的台数不超过购买电子白板数量的3倍,该校有哪几种购买方案?
(3)上面的哪种购买方案最省钱?按最省钱方案购买需要多少钱?
22.(本小题8分)
为了测量山坡上的电线杆PQ的高度,某数学活动小组的同学们带上自制的测倾器和皮尺来到山脚下,他们在A处测得信号塔顶端P的仰角是45°,信号塔底端点Q的仰角为30°,沿水平地面向前走100米到B处,测得信号塔顶端P的仰角是60°,求信号塔PQ得高度.
23.(本小题8分)
如图,每个小方格都是边长为1的正方形,在图中添加阴影,使阴影部分既是轴对称图形,又是中心对称图形,且阴影部分的面积是9,请在图①、②、③中各画出一幅图形,所画的三幅图形互不全等.
24.(本小题9分)
如图,点E是△ABC的内心,AE的延长线交BC于点F,交△ABC的外接圆⊙O于点D,连接BD,过点D作直线DM,使∠BDM=∠DAC;
(1)求证:直线DM是⊙O的切线;
(2)若DF=2,AF=5,求BD长.
25.(本小题10分)
如图,抛物线y=x2+bx+c与直线y=12x−3交于A、B两点,其中点A在y轴上,点B坐标为(−4,−5),点P为y轴左侧的抛物线上一动点,过点P作PC⊥x轴于点C,交AB于点D.
(1)求抛物线的解析式;
(2)以O,A,P,D为顶点的平行四边形是否存在?如存在,求点P的坐标;若不存在,说明理由.
(3)当点P运动到直线AB下方某一处时,过点P作PM⊥AB,垂足为M,连接PA使△PAM为等腰直角三角形,请直接写出此时点P的坐标.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解:−3的绝对值是3.
故选:B.
当a是负有理数时,a的绝对值是它的相反数−a.
本题主要考查的是绝对值的性质,熟练掌握绝对值的性质是解题的关键.
2.【答案】D
【解析】解:A、(−2a3)2=(−2)2⋅(a3)2=4a6,故本选项错误;
B、 9=3,故本选项错误;
C、m2⋅m3=m2+3=m5,故本选项错误;
D、x3+2x3=3x3,故本选项正确.
故选:D.
根据积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方再把所得的幂相乘;算术平方根的定义,同底数幂相乘,底数不变指数相加;以及合并同类项法则对各选项分析判断即可得解.
本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、算术平方根的定义,熟练掌握运算性质和法则是解题的关键.
3.【答案】C
【解析】解:15亿=1500000000=1.5×109.
故选:C.
用科学记数法表示较大的数时,一般形式为a×10n,其中1≤|a|<10,n为整数,据此判断即可.
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数,一般形式为a×10n,其中1≤|a|<10,确定a与n的值是解题的关键.
4.【答案】D
【解析】解:等边三角形是轴对称图形不是中心对称图形;
平行四边形不是轴对称图形是中心对称图形;
正五边形是轴对称图形不是中心对称图形;
圆是轴对称图形又是中心对称图形,
故选:D.
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可.
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后两部分重合.
5.【答案】A
【解析】【分析】
此题考查了在数轴上表示不等式的解集,以及函数自变量的取值范围,熟练掌握平方根定义是解本题的关键.
根据负数没有平方根求出x的范围,表示在数轴上即可.
【解答】
解:由函数y= 3x+6,得到3x+6≥0,
解得:x≥−2,
表示在数轴上,如图所示:
故选:A.
6.【答案】C
【解析】解:∵一个正n边形的每个内角为144°,
∴144n=180×(n−2),解得:n=10.
这个正n边形的所有对角线的条数是:n(n−3)2=10×72=35.
故选:C.
由正n边形的每个内角为144°结合多边形内角和公式,即可得出关于n的一元一次方程,解方程即可求出n的值,将其代入n(n−3)2中即可得出结论.
本题考查了多边形的内角以及多边形的对角线,解题的关键是求出正n边形的边数.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,根据多边形的内角和公式求出多边形边的条数是关键.
7.【答案】C
【解析】解:A、∵S甲2=0.01,S乙2=0.02,∴S甲2
C、数据3,5,4,5,6,7的众数是5,中位数是5,平均数是16(3+5+4+5+6+7)=5,故本选项是真命题;
D、由于了解某灯管的使用寿命会给灯管带来损伤破坏,所以不宜采用普查的方式进行,故此选项是假命题;
故选:C.
根据方差的意义、随机事件、众数、中位数、平均数以及全面调查和抽样调查的定义分别对每一项进行分析,即可得出答案.
本题考查了命题与定理,用到的知识点方差的意义、随机事件、众数、中位数、平均数以及全面调查和抽样调查等知识点;解决本题要熟悉常用的化学知识.
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系:
(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根;
(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根;
(3)△<0⇔方程没有实数根.
若一元二次方程有两不等根,则根的判别式△=b2−4ac>0,建立关于a的不等式,求出a的取值范围.
【解答】
解:∵方程有两个不相等的实数根,
∴△=(−2)2−4×(a−1)=4−4a+4=8−4a>0,
解得a<2,
又∵方程(a−1)x2−2x+1=0为一元二次方程,
∴a−1≠0,
即a≠1,
故选D.
9.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了垂径定理、扇形面积的计算,通过含30°角的直角三角形和勾股定理得到相关线段的长度是解答本题的关键.根据垂径定理求得CE=ED=2 3,然后由圆周角定理知∠DOE=60°,然后通过含30°角的直角三角形和勾股定理求得线段OD、OE的长度,最后将相关线段的长度代入S阴影=S扇形ODB−S△DOE+S△BEC求解即可.
【解答】
解:如图,假设线段CD、AB交于点E,
∵AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,
∴CE=ED=2 3,
又∵∠BCD=30°,
∴∠DOE=2∠BCD=60°,∠ODE=30°,
∴OD=2OE,
由勾股定理得出OE=2,
∴OD=2OE=4,
∴BE=2,
∴S阴影=S扇形ODB−S△DOE+S△BEC=60π×OD2360−12OE×DE+12BE⋅CE
=8π3−2 3+2 3=8π3.
故选B.
10.【答案】A
【解析】解:∵二次函数y=ax2+bx+c的图象,其对称轴为直线x=−1,且过点(0,1),
∴−b2a=−1,c=1,
∴ab>0,
∴abc>0,故①正确;
从图中可以看出,当x=−1时,函数值大于1,
因此将x=−1代入得,(−1)2⋅a+(−1)⋅b+c>1,
即a−b+c>1,故②正确;
∵−b2a=−1,
∴b=2a,
从图中可以看出,当x=1时,函数值小于0,
∴a+b+c<0,
∴3a+c<0,故③正确;
∵二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标为(−1,2),
∴设二次函数的解析式为y=a(x+1)2+2,
将(0,1)代入得,1=a+2,
解得a=−1,
∴二次函数的解析式为y=−(x+1)2+2,
∴当x=1时,y=−2;
∴根据二次函数的对称性,得到−3≤m≤−1,故④正确;
综上所述,①②③④均正确,故有4个正确结论,
故选A.
①:根据二次函数的对称轴−b2a=−1,c=1,即可判断出abc>0;
②:结合图象发现,当x=−1时,函数值大于1,代入即可判断;
③:结合图象发现,当x=1时,函数值小于0,代入即可判断;
④:运用待定系数法求出二次函数解析式,再利用二次函数的对称性即可判断.
本题考查了二次函数的图象和性质,待定系数法求二次函数解析式等,熟练掌握二次函数的图象和性质是本题的关键.
11.【答案】3(a+2)(a−2)
【解析】本题考查了提公因式法,公式法分解因式,提取公因式后要继续利用平方差公式进行因式分解,分解因式要彻底,直到不能再分解为止.
先提取公因式3,再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.
解:3a2−12
=3(a2−4)
=3(a+2)(a−2).
故答案为:3(a+2)(a−2).
12.【答案】70°
【解析】解:∵直线l1//l2,
∴∠4=∠1=130°,
∴∠5=∠4−∠2=70°
∴∠5=∠3=70°.
故答案为:70°.
根据平行线的性质得到∠4=∠1=130°,由三角形的外角的性质得到∠5=∠4−∠2=70°根据对顶角相等即可得到结论.
本题重点考查了平行线的性质、对顶角相等及三角形外角的性质定理,是一道较为简单的题目.
13.【答案】一、二、四
【解析】【分析】
本题考查了一次函数的性质及利用待定系数法求反比例函数的解析式.
由题意知,k=1×(−3)=−3<0,所以一次函数解析式为y=−3x+3,根据k,b的值判断一次函y=kx−k的图象经过的象限.
【解答】解:∵反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点(1,−3),
∴k=1×(−3)=−3<0,
∴一次函数解析式为y=−3x+3,
∴图象经过一、二、四象限.
故答案为一、二、四.
14.【答案】120x+480x+20=11
【解析】【分析】
本题考查由实际问题抽象出分式方程,解题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件.根据题目中的数量关系,可以列出相应的方程,本题得以解决.
【解答】
解:120x+600−120x+20=11,
即120x+480x+20=11.
故答案为120x+480x+20=11.
15.【答案】80°
【解析】解:∵四边形ABCD是菱形,∠C=120°,
∴AB=AD,∠BAD=∠C=120°,
∵将△ABE沿直线AE翻折,使点B落在B′上,∠BAE=50°,
∴AB′=AB,∠B′AE=∠BAE=50°,
∴AB′=AD,∠B′AD=∠BAD−∠B′AE−∠BAE=120°−50°−50°=20°,
∴∠ADB′=(180°−∠B′AD)÷2=(180°−20)÷2=80°,
故答案为:80°.
求出∠B′AD的度数,证明出AB′=AD,即可利用等边对等角,以及三角形内角和定理求出∠ADB′的度数.
本题考查翻折的性质,菱形的性质,等腰三角形的性质,三角形内角和定理,弄清题意,灵活运用相关图形的性质是解题的关键.
16.【答案】解:(13)−1− 27+tan60°+|3−2 3|
=3−3 3+ 3−3+2 3
=0.
【解析】本题涉及负整数指数幂、二次根式化简、特殊角的三角函数值、绝对值4个考点.在计算时,需要针对每个考点分别进行计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果.
本题主要考查了实数的综合运算能力,是各地中考题中常见的计算题型.解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、二次根式化简、特殊角的三角函数值、绝对值等考点的运算.
17.【答案】解:原式=x2(x+1)(x−1)÷(1−2xx−1−x−11)
=x2(x+1)(x−1)÷−x2x−1
=x2(x+1)(x−1)×x−1−x2
=−1x+1
∵x2+7x=0
x(x+7)=0
∴x1=0,x2=−7
当x=0时,除式(1−2xx−1−x+1)=0,所以x不能为0,
所以x=−7.
当x=−7时,
原式=−1−7+1
=−1−6
=16
【解析】由x满足x2+7x=0,求出x的值.注意x的取值需使分式有意义.化简多项式后,代入求值.
本题考查了一元二次方程的解法,分式的化简求值.本题化简后代入时,确定x的值是关键.
18.【答案】证明:∵BF=DE
∴BE+EF=EF+DF
∴BE=DF
在△ABE和△CDF中
AB=CDAE=CFBE=DF,
∴△ABE≌△CDF(SSS)
∴∠ABD=∠CDB
在△ABD和△CDB中
AB=CD∠ABD=∠CDBBD=DB
∴△ABD≌△CDB(SAS)
∴AD=BC
【解析】由“SSS”可证△ABE≌△CDF,可得∠ABD=∠CDB,由“SAS”可证△ABD≌△CDB,可得AD=BC.
本题考查了全等三角形的判定和性质,熟练运用全等三角形的判定是本题的关键.
19.【答案】解:(1)把点A(−1,a)代入y=x+4,
得a=−1+4,
∴a=3,
∴A(−1,3)
把A(−1,3)代入反比例函数y=kx,得k−1=3,
∴k=−3;
∴反比例函数的表达式为y=−3x,
联立两个函数的表达式得y=x+4y=−3x,
解得x=−1y=3或x=−3y=1,
∴点B的坐标为(−3,1);
(2)点P坐标为(−6,0)或(−2,0).
【解析】【分析】
本题是一次函数和反比例函数综合题,考查利用方程思想求交点坐标及在数形结合基础上的面积表达.
(1)利用点A在y=x+4上求a,进而把点A代入反比例函数y=kx求k,然后联立方程求出交点坐标,确定点B的坐标;
(2)设出点P坐标表示△ACP的面积,利用S△ACP=32S△BOC求出点P坐标.
【解答】
解:(1)见答案;
(2)设点P的坐标为(x,0),
当x+4=0时,得x=−4,
∴点C(−4,0),
∴OC=4,
∴CP=|x+4|,
由(1)可得点A(−1,3),点B(−3,1),
∴S△BOC=12×4×1=2,
∵S△ACP=32S△BOC,
∴12×3×|x+4|=32×2,
解得x1=−6,x2=−2,
∴点P坐标为(−6,0)或(−2,0).
20.【答案】200 35
【解析】解:(1)该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数为:20÷10%=200(人),
∴m%=70÷200×100%=35%,
∴m=35,
去C景区旅游的人数为:200−(20+70+20+50)=40(人),
故答案为:200,35,
补全条形图如下:
(2)1200×35%=420(人),
答:估计去该景区旅游的居民约有420人;
(3)画树状图如下:
共有12种等可能的结果,其中选到A,C两个景区的结果由2种,
∴选到A,C两个景区的概率=212=16.
(1)由去D景区的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数,即可解决问题;
(2)由该小区有居民人数乘以去B地旅游的居民所占的百分比即可;
(3)画树状图,共有12种等可能的结果,其中选到A,C两个景区的结果由2种,再根据概率公式求解即可.
本题考查的是用列表法或树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,适合于两步完成的事件;树状图法适合两步或两步以上完成的事件;用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.
21.【答案】解:(1)设购买1块电子白板需要x元,一台笔记本电脑需要y元,由题意得:
x=3y+30004x+5y=80000,
解得:x=15000y=4000.
答:购买1块电子白板需要15000元,一台笔记本电脑需要4000元.
(2)设购买电子白板a块,则购买笔记本电脑(396−a)台,由题意得:
396−a≤3a15000a+4000(396−a)≤2700000,
解得:99≤a≤101511,
∵a为正整数,
∴a=99,100,101,则电脑依次买:297台,296台,295台.
因此该校有三种购买方案:
方案一:购买笔记本电脑295台,则购买电子白板101块;
方案二:购买笔记本电脑296台,则购买电子白板100块;
方案三:购买笔记本电脑297台,则购买电子白板99块;
(3)解法一:
购买笔记本电脑和电子白板的总费用为:
方案一:295×4000+101×15000=2695000(元)
方案二:296×4000+100×15000=2684000(元)
方案三:297×4000+99×15000=2673000(元)
因此,方案三最省钱,按这种方案共需费用2673000元.
解法二:
设购买笔记本电脑数为z台,购买笔记本电脑和电子白板的总费用为W元,
则W=4000z+15000(396−z)=−11000z+5940000,
∵k=−11000<0,
∴W随z的增大而减小,
∴当z=297时,W有最小值=2673000(元)
因此,当购买笔记本电脑297台、购买电子白板99块时,最省钱,这时共需费用2673000元.
【解析】此题主要考查了二元一次方程组的应用,不等式组的应用,关键是弄清题意,找出题目中的等量关系与不等关系,列出方程组与不等式组.
(1)设购买1块电子白板需要x元,一台笔记本电脑需要y元,由题意得等量关系:①买1块电子白板的钱=买3台笔记本电脑的钱+3000元,②购买4块电子白板的费用+5台笔记本电脑的费用=80000元,由等量关系可得方程组,解方程组可得答案;
(2)设购买电子白板a块,则购买笔记本电脑(396−a)台,由题意得不等关系:①购买笔记本电脑的台数≤购买电子白板数量的3倍;②电子白板和笔记本电脑总费用≤2700000元,根据不等关系可得不等式组,解不等式组,求出整数解即可;
(3)由于电子白板贵,故少买电子白板,多买电脑,根据(2)中的方案确定买的电脑数与电子白板数,再算出总费用.
22.【答案】解:延长PQ交直线AB于点M,连接AQ,如图所示:
则∠PMA=90°,
设PM的长为x米,
在Rt△PAM中,∠PAM=45°,
∴AM=PM=x米,
∴BM=x−100(米),
在Rt△PBM中,∵tan∠PBM=PMBM,
∴tan60°=xx−100= 3,
解得:x=50(3+ 3),
在Rt△QAM中,∵tan∠QAM=QMAM,
∴QM=AM⋅tan∠QAM=50(3+ 3)×tan30°=50( 3+1)(米),
∴PQ=PM−QM=100(米);
答:信号塔PQ的高度约为100米.
【解析】延长PQ交直线AB于点E,连接AQ,设PM的长为x米,先由三角函数得出方程求出PM,再由三角函数求出QM,得出PQ的长度即可.
本题考查解直角三角形的应用、三角函数;由三角函数得出方程是解决问题的关键,注意掌握当两个直角三角形有公共边时,先求出这条公共边的长是解答此类题的一般思路.
23.【答案】解:如图所示:
.
【解析】直接利用已知结合轴对称图形以及中心对称图形的性质分析得出答案.
此题主要考查了利用旋转设计图案,正确把握相关定义是解题关键.
24.【答案】(1)证明:如图所示,连接OD,
∵点E是△ABC的内心,
∴∠BAD=∠CAD,
∴BD=CD,
∴OD⊥BC,
又∵∠BDM=∠DAC,∠DAC=∠DBC,
∴∠BDM=∠DBC,
∴BC//DM,
∴OD⊥DM,
又∵OD为⊙O半径,
∴直线DM是⊙O的切线;
(2)∵BD=CD,
∴∠DBF=∠DAB,
又∵∠BDF=∠ADB(公共角),
∴△DBF∽△DAB,
∴DFDB=DBDA,即DB2=DF⋅DA,
∵DF=2,AF=5∴DA=DF+AF=7
∴DB2=DF⋅DA=14
∴DB= 14.
【解析】(1)根据垂径定理的推论即可得到OD⊥BC,再根据∠BDM=∠DBC,即可判定BC//DM,进而得到OD⊥DM,据此可得直线DM是⊙O的切线;
(2)根据三角形内心的定义以及圆周角定理,得到∠BED=∠EBD,即可得出DB=DE,再判定△DBF∽△DAB,即可得到DB2=DF⋅DA,据此解答即可.
本题主要考查了三角形的内心与外心,圆周角定理以及垂径定理的综合应用,解题时注意:平分弦所对一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧;三角形的内心到三角形三边的距离相等;三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角.
25.【答案】解:(1)∵直线y=12x−3交于A、B两点,其中点A在y轴上,
∴A(0,−3),
∵B(−4,−5),
∴c=−316−4b+c=−5,
∴c=−3b=92,
∴抛物线解析式为y=x2+92x−3,
(2)存在,
设P(m,m2+92m−3),(m<0),
∴D(m,12m−3),
∴PD=|m2+4m|
∵PD//AO,
∴当PD=OA=3,故存在以O,A,P,D为顶点的平行四边形,
∴|m2+4m|=3,
①当m2+4m=3时,
∴m1=−2− 7,m2=−2+ 7(舍),
∴m2+92m−3=−1− 72,
∴P(−2− 7,−1− 72),
②当m2+4m=−3时,
∴m1=−1,m2=−3,
Ⅰ、m1=−1,
∴m2+92m−3=−132,
∴P(−1,−132),
Ⅱ、m2=−3,
∴m2+92m−3=−152,
∴P(−3,−152),
∴点P的坐标为(−2− 7,−1− 72),(−1,−132),(−3,−152).
(3)方法一,如图,
∵△PAM为等腰直角三角形,
∴∠BAP=45°,
∵直线AP可以看做是直线AB绕点A逆时针旋转45°所得,
设直线AP解析式为y=kx−3,
∵直线AB解析式为y=12x−3,
∴k=12+112=3,
∴直线AP解析式为y=3x−3,
联立y=3x−3y=x2+92x−3,
∴x1=0(舍)x2=−32
当x=−32时,y=−152,
∴P(−32,−152).
方法二:如图,
∵直线AB解析式为y=12x−3,
∴直线AB与x轴的交点坐标为E(6,0),
过点A作AF⊥AB交x轴于点F,
∵A(0,−3),
∴直线AF解析式为y=−2x−3,
∴直线AF与x轴的交点为F(−32,0),
∴AE=3 5,AF=32 5,
过点A作∠EAF的角平分线交x轴于点G,与抛物线相较于点P,过点P作PM⊥AB,
∴∠EAG=45°,
∴∠BAP=45°,
即:△PAM为等腰直角三角形.
设点G(m,0),
∴EG=6−m.FG=m+32,
根据角平分线定理得,AEAF=EGFG,
∴3 532 5=6−mm+32,
∴m=1,
∴G(1,0),
∴直线AG解析式为y=3x−3①,
∵抛物线解析式为y=x2+92x−3②,
联立①②得,x=0(舍)或x=−32,
∴y=−152,
∴P(−32,−152).
【解析】(1)先确定出点A坐标,然后用待定系数法求抛物线解析式;
(2)先确定出PD=|m2+4m|,当PD=OA=3,故存在以O,A,P,D为顶点的平行四边形,得到|m2+4m|=3,分两种情况进行讨论计算即可;
(3)由△PAM为等腰直角三角形,得到∠BAP=45°,从而求出直线AP的解析式,最后求出直线AP和抛物线的交点坐标即可.
此题是二次函数综合题,主要考查了待定系数法求函数解析式,平行四边形的性质,等腰直角三角形的性质,解本题的关键是确定以O,A,P,D为顶点的平行四边形时,OA和PD是对边,也是本题的难点.
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