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福州市部分学校教学联盟2023-2024学年高一下学期期末模拟考试数学试题（Word版附答案）
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这是一份福州市部分学校教学联盟2023-2024学年高一下学期期末模拟考试数学试题（Word版附答案），文件包含数学试卷docx、数学试卷pdf、数学答案docx、数学答案pdf等4份试卷配套教学资源，其中试卷共17页， 欢迎下载使用。
2023~2024学年第二学期福州市部分学校教学联盟高一年级期末模拟考试
数 学 试 卷
考试时间： 2024 年 5 月 23 日 完卷时间： 120 分钟 满 分： 150 分
友情提示：请将所有答案填写到答题卡的相应位置上，在本卷上作答均无效！
单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
1．在复平面内，复数z=12+i对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知复数z的共轭复数z满足1+i⋅z=2i，则z⋅z=（ ）
A．2 B．1 C．2 D．4
3．已知两个不同的平面α,β和两条不同的直线m,n，下面四个命题中，正确的是（ ）
A．若m//n，n⊂α，则m//α B．若m//α，n//α且m⊂β，n⊂β，则α//β
C．若m//α，n⊂α，则m//n D．若α//β，m⊂α，则m//β
4．已知向量a,b满足a=1,b=2，向量a与b的夹角为60∘，则4a−b=（ ）
A．12B．4C．23D．2
5．已知向量|a|=2,|b|=4,|2a−b|=43，则a在b上的投影向量为（ ）
A．−bB．bC．14bD．−14b
6．如图，四边形ABCD的斜二测画法直观图为等腰梯形A′B′C′D′．已知A′B′=4，C′D′=2，则下列说法正确的是（ ）
A．AB=2 B．A′D′=22
C．四边形ABCD的周长为4+22+23 D．四边形ABCD的面积为62
7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2+c2−b2+2ac=2bcsinA，则B=（ ）
A．π6B．π3C．π2D．2π3
8．如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=2AB=2BC=2，点B到平面ACD1的距离为（ ）
A．69B．13C．23D．63
多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列命题正确的是（ ）
A．若asinA=bsinB,则△ABC一定为等腰三角形
B．若A>B,则csA>csB
C．若a:b:c=3:5:7,则△ABC的最大内角为120∘
D．若△ABC为锐角三角形,则sinA>csB
10．在图示正方体中，O为BD中点，直线A1C∩平面C1BD=M，下列说法
正确的是（ ）
A．A，C，C1，A1四点共面B．C1，M，O三点共线
C．M∈平面BB1D1DD．A1C与BD异面
11．如图，棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E，F，G分别是棱AD，DD1，CD的中点，则下列说法正确的有（ ）
A．直线A1G与直线C1E共面
B．VD1−BEF=13
C．二面角D1−AC−B1的平面角余弦值为13
D．过点B，E，F的平面，截正方体的截面面积为9
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．陶瓷茶壶是中国人很喜爱的一种茶具，不少陶瓷茶壶兼具实用性与艺术性，
如图所示的陶瓷茶壶的主体可近似看作一个圆台型容器，忽略茶壶的壁厚，该圆台型容器的轴截面下底为10cm，上底为6cm，面积为80cm2，则该茶壶的容积约为
L（结果精确到0.1，参考数据：π≈3；1L=1000cm3）．
13．海宝塔位于银川市兴庆区，始建于北朝晚期，是一座方形楼阁式砖塔，内有木梯可盘旋登至顶层，极目远眺，巍巍贺兰山，绵绵黄河水，塞上江南景色尽收眼底.如图所示，为了测量海宝塔的高度，某同学（身高173cm）在点A处测得塔顶D的仰角为45°，然后沿点A向塔的正前方走了38m到达点B处，此时测得塔顶D的仰角为75°，据此可估计海宝塔的高度约为 m.（计算结果精确到0.1）
14．中国古代数学著作《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”.在如图所示的堑堵
ABC−A1B1C1中，AA1=AC=5,AB=3,BC=4，则阳马C1−ABB1A1的
外接球的体积与表面积之比是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,2b−ccsA=acsC．
(1)求A；
(2)若△ABC的面积为3,BC边上的高为1，求△ABC的周长．
16．（15分）如图1，在边长为4的正方形ABCD中，点P、Q分别是边AB、BC的中点，将△APD、△CDQ分别沿DP、DQ折叠，使A、C两点重合于点M，连BM、PQ，得到图2所示几何体．
(1)求证：PM⊥DQ；
(2)在线段MD上是否存在一点F，使BM∥平面PQF，如果存在，求FMFD的值，如果不存在，说明理由．
17．（15分）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E,F分别为PC,PD的中点，G为线段BD上一点，且BD=4BG．
(1)证明：EG//平面ACF；
(2)若四棱锥P−ABCD为正四棱锥，且PA=5AB，求四棱锥P−ABCD
的外接球与正四棱锥P−ABCD的体积之比．
18．（17分）如图，在三棱锥P−ABC中，∠APC=∠BPC=45°，△BPA是正三角形．
(1)求证：平面PBC⊥平面PAC；
(2)若AB=1，PC=528，求AP与平面ABC所成角的正弦值．
19．（17分）如图，斜三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=BC，D为AB的中点，D1为A1B1的中点，平面ABC⊥平面ABB1A1．
(1)求证：直线A1D//平面BC1D1；
(2)设直线AB1与直线BD1的交点为点E，若三角形ABC是等边三角形且边长为2，侧棱AA1=72，且异面直线BC1与AB1互相垂直，求异面直线A1D与BC1所成角；
(3)若AB=2,AC=BC=2,tan∠A1AB=22，在三棱柱ABC−A1B1C1内放置两个半径相等的球，使这两个球相切，且每个球都与三棱柱的三个侧面及一个底面相切．求三棱柱ABC−A1B1C1的高．
2023~2024学年第二学期福州市部分学校教学联盟高一年级期末模拟考试
数 学 试 卷
考试时间： 2024 年 5 月 23 日 完卷时间： 120 分钟 满 分： 150 分
友情提示：请将所有答案填写到答题卡的相应位置上，在本卷上作答均无效！
单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
1．在复平面内，复数z=12+i对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知复数z的共轭复数z满足1+i⋅z=2i，则z⋅z=（ ）
A．2 B．1 C．2 D．4
3．已知两个不同的平面α,β和两条不同的直线m,n，下面四个命题中，正确的是（ ）
A．若m//n，n⊂α，则m//α B．若m//α，n//α且m⊂β，n⊂β，则α//β
C．若m//α，n⊂α，则m//n D．若α//β，m⊂α，则m//β
4．已知向量a,b满足a=1,b=2，向量a与b的夹角为60∘，则4a−b=（ ）
A．12B．4C．23D．2
5．已知向量|a|=2,|b|=4,|2a−b|=43，则a在b上的投影向量为（ ）
A．−bB．bC．14bD．−14b
6．如图，四边形ABCD的斜二测画法直观图为等腰梯形A′B′C′D′．已知A′B′=4，C′D′=2，则下列说法正确的是（ ）
A．AB=2 B．A′D′=22
C．四边形ABCD的周长为4+22+23 D．四边形ABCD的面积为62
7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2+c2−b2+2ac=2bcsinA，则B=（ ）
A．π6B．π3C．π2D．2π3
8．如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=2AB=2BC=2，点B到平面ACD1的距离为（ ）
A．69B．13C．23D．63
多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列命题正确的是（ ）
A．若asinA=bsinB,则△ABC一定为等腰三角形
B．若A>B,则csA>csB
C．若a:b:c=3:5:7,则△ABC的最大内角为120∘
D．若△ABC为锐角三角形,则sinA>csB
10．在图示正方体中，O为BD中点，直线A1C∩平面C1BD=M，下列说法
正确的是（ ）
A．A，C，C1，A1四点共面B．C1，M，O三点共线
C．M∈平面BB1D1DD．A1C与BD异面
11．如图，棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E，F，G分别是棱AD，DD1，CD的中点，则下列说法正确的有（ ）
A．直线A1G与直线C1E共面
B．VD1−BEF=13
C．二面角D1−AC−B1的平面角余弦值为13
D．过点B，E，F的平面，截正方体的截面面积为9
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．陶瓷茶壶是中国人很喜爱的一种茶具，不少陶瓷茶壶兼具实用性与艺术性，
如图所示的陶瓷茶壶的主体可近似看作一个圆台型容器，忽略茶壶的壁厚，该圆台型容器的轴截面下底为10cm，上底为6cm，面积为80cm2，则该茶壶的容积约为
L（结果精确到0.1，参考数据：π≈3；1L=1000cm3）．
13．海宝塔位于银川市兴庆区，始建于北朝晚期，是一座方形楼阁式砖塔，内有木梯可盘旋登至顶层，极目远眺，巍巍贺兰山，绵绵黄河水，塞上江南景色尽收眼底.如图所示，为了测量海宝塔的高度，某同学（身高173cm）在点A处测得塔顶D的仰角为45°，然后沿点A向塔的正前方走了38m到达点B处，此时测得塔顶D的仰角为75°，据此可估计海宝塔的高度约为 m.（计算结果精确到0.1）
14．中国古代数学著作《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”.在如图所示的堑堵
ABC−A1B1C1中，AA1=AC=5,AB=3,BC=4，则阳马C1−ABB1A1的
外接球的体积与表面积之比是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,2b−ccsA=acsC．
(1)求A；
(2)若△ABC的面积为3,BC边上的高为1，求△ABC的周长．
16．（15分）如图1，在边长为4的正方形ABCD中，点P、Q分别是边AB、BC的中点，将△APD、△CDQ分别沿DP、DQ折叠，使A、C两点重合于点M，连BM、PQ，得到图2所示几何体．
(1)求证：PM⊥DQ；
(2)在线段MD上是否存在一点F，使BM∥平面PQF，如果存在，求FMFD的值，如果不存在，说明理由．
17．（15分）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E,F分别为PC,PD的中点，G为线段BD上一点，且BD=4BG．
(1)证明：EG//平面ACF；
(2)若四棱锥P−ABCD为正四棱锥，且PA=5AB，求四棱锥P−ABCD
的外接球与正四棱锥P−ABCD的体积之比．
18．（17分）如图，在三棱锥P−ABC中，∠APC=∠BPC=45°，△BPA是正三角形．
(1)求证：平面PBC⊥平面PAC；
(2)若AB=1，PC=528，求AP与平面ABC所成角的正弦值．
19．（17分）如图，斜三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=BC，D为AB的中点，D1为A1B1的中点，平面ABC⊥平面ABB1A1．
(1)求证：直线A1D//平面BC1D1；
(2)设直线AB1与直线BD1的交点为点E，若三角形ABC是等边三角形且边长为2，侧棱AA1=72，且异面直线BC1与AB1互相垂直，求异面直线A1D与BC1所成角；
(3)若AB=2,AC=BC=2,tan∠A1AB=22，在三棱柱ABC−A1B1C1内放置两个半径相等的球，使这两个球相切，且每个球都与三棱柱的三个侧面及一个底面相切．求三棱柱ABC−A1B1C1的高．
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