湖北省武汉市新洲区问津教育联合体2025届高二下学期5月联考数学试题

这是一份湖北省武汉市新洲区问津教育联合体2025届高二下学期5月联考数学试题，共5页。

考试时间：分钟 满分：分
*注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(共8题；共40分)
1. 若集合 ， ， 则（ ）
2. 某商场进行有奖促销活动，满500元可以参与一次掷飞镖游戏.每次游戏可掷7只飞镖，采取积分制，掷中靶盘，得1分，不中得0分，连续掷中2次额外加1分，连续掷中3次额外加2分，以此类推，连续掷中7次额外加6分.小明购物满500元，参加了一次游戏，则小明在此次游戏中得分的可能取值有（ ）种
3. 若 ， ， ， 则（ ）
4. 设为等差数列的前项和，若 ， 则（ ）
5. 已知随机变量的分布列如下所示，则的最大值为（ ）
6. 下列说法中正确的是（ ）
①设随机变量服从二项分布 ， 则
②一批零件共有20个，其中有3个不合格.随机抽取8个零件进行检测，则至少有一件不合格的概率为
③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则；
④；.
7. “杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示.下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（ ）
8. 已知过点可以作曲线的两条切线，则实数的取值范围是（ ）
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.(共3题；共18分)
9. 数学中蕴含着无穷无尽的美，尤以对称美最为直观和显著.回文数是对称美的一种体现，它是从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3443，94249等，显然两位回文数有9个：11，22，33，…，99；三位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999.下列说法正确的是（ ）
10. 现有编号为1，2，3的三个口袋，其中1号口袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号口袋内装有两个1号球，一个3号球；3号口袋内装有三个1号球，两个2号球；第一次先从1号口袋内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，下列说法正确的是（ ）
11. 甲盒中装有3个蓝球、2个黄球，乙盒中装有2个蓝球、3个黄球，同时从甲、乙两盒中取出（）个球交换，分别记交换后甲、乙两个盒子中蓝球个数的数学期望为 ， ， 则下列结论正确的是（ ）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.(共3题；共15分)
12. 已知数列满足 ， ， 则____________________.
13. 若 ， 则____________________.
14. 已知函数 ， 若 ， 则实数的取值范围为____________________.
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(共5题；共77分)
15. 在①各项系数之和为；②常数项为；③各项系数的绝对值之和为1536这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题.
在的展开式中，____.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
（1） 求展开式中项的系数；
（2） 求被7除的余数.
16. 已知数列满足 ， 且 ， 其前项和记为.
（1） 求数列的通项公式；
（2） 记数列的前项和记为 ， 求证：.
17. 某商场为了回馈顾客，开展一个抽奖活动，在抽奖箱中放8个大小相同的小球，其中红球4个，白球4个.规定：①每次抽奖时顾客从抽奖箱中随机摸出两个小球，如果摸出的两个小球颜色相同即为中奖，颜色不同即为不中奖；②每名顾客只能选一种抽奖方案进行抽奖，方案如下：
方案一：共进行两次抽奖，第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖；
方案二：共进行两次抽奖，第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖.
（1） 顾客甲欲参加抽奖活动，请从中奖的数字特征角度为顾客甲提供决策依据；
（2） 已知有300位顾客按照方案二抽奖，则其中中奖2次的人数为多少的概率最大？
18. 已知函数（）.
（1） 讨论函数的单调性；
（2） 当时，恒成立，求实数的取值范围.
19. AI机器人，即人工智能机器人，是一种基于人工智能（AI）技术的机器人，目前应用前景广阔．我国某企业研发的家用AI机器人，其生产共有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道工序是出厂检测工序，包括智能自动检测与人工抽检，其中智能自动检测为次品的会被自动淘汰，合格的进入流水线进行人工抽检.已知该家用机器人在生产中前三道工序的次品率分别为 ， ， .
（1） 已知某批次的家用机器人智能自动检测显示合格率为99%，求在人工抽检时，工人抽检一个家用AI机器人恰好为合格品的概率；
（2） 该企业利用短视频直播方式扩大产品影响力，在直播现场进行家用AI机器人推广活动，现场人山人海，场面火爆，从现场抽取幸运顾客参与游戏，游戏规则如下：参与游戏的幸运顾客，每次都要有放回地从10张分别写有数字1～10的卡片中随机抽取一张，指挥家用机器人运乒乓球，直到获得奖品为止，每次游戏开始时，甲箱中有足够多的球，乙箱中没有球，若抽的卡片上的数字为奇数，则从甲箱中运一个乒乓球到乙箱；若抽的卡片上的数字为偶数，则从甲箱中运两个乒乓球到乙箱，当乙箱中的乒乓球数目达到9个时，获得奖品优惠券400元；当乙箱中的乒乓球数目达到10个时，获得奖品大礼包一个，获得奖品时游戏结束.
①求获得“优惠券”的概率；
②若有32个幸运顾客参与游戏，每人参加一次游戏，求该企业预备的优惠券总金额的期望值.A .
B .
C .
D .
A . 10
B . 11
C . 13
D . 14
A .
B .
C .
D .
A . 5
B . 10
C .
D . 15
1
2
3
A .
B .
C .
D .
A . ①②
B . ②③
C . ①③④
D . ①②③
A .
B . 记第行的第个数为 ， 则
C . 第30行中第12个数与第13个数之比为13：18
D . 第2023行中从左往右第1011个数与第1012个数相等
A .
B .
C .
D .
A . 四位回文数有45个
B . 四位回文数有90个
C . （）位回文数有个
D . （）位回文数有个
A . 在第一次抽到2号球的条件下，第二次也抽到2号球的概率是
B . 在第一次抽到3号球的条件下，第二次抽到1号球的概率是
C . 第二次取到1号球的概率
D . 如果第二次取到1号球，则它来自3号口袋的概率最大
A .
B .
C .
D .