数学：广西钦州市2023-2024学年高一下学期期中考试试卷（解析版）

这是一份数学：广西钦州市2023-2024学年高一下学期期中考试试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 化简（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】.
故选：A.
2. 已知扇形的半径为3，面积为则该扇形的圆心角的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设扇形的圆心角为，
因为扇形的半径为，面积为，可得，解得.
故选：C．
3. 在中，，则（ ）
A. 4B. C. 3D.
【答案】C
【解析】因为，所以，
由正弦定理得，解得.
故选：C.
4. 不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】依题意，得，解得，
所以不等式的解集为.
故选：A.
5. 已知向量，则在上的投影向量的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，
所以在上的投影向量的坐标为．
故选：D．
6. 已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，将函数图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由函数的图象，可得，
则，所以，则，
因为点在图象上，所以，
则，即，
又因为，则，所以，
将函数图象上所有点向左平移个单位长度，
得到.
故选：D．
7. 设的内角的对边分别为若的周长为则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意可知，
由正弦定理得
即整理得
由余弦定理得，
又所以
故选：A．
8. 已知内有一点满足，则向量与的夹角为（ ）
A. 锐角B. 直角C. 钝角D. 平角
【答案】B
【解析】由条件得，则，
所以，
所以，
则，即，
所以，则，所以向量与的夹角为．
故选：．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知函数，则（ ）
A. 的最小正周期为B. 是偶函数
C. 的图象关于直线对称D. 在区间上单调递增
【答案】BC
【解析】对于A中，因为，可得，所以A错误；
对于B中，由是偶函数，所以B正确；
对于C中，由，所以C正确；
对于D中，由，可得，
因为在不单调，所以D错误．
故选：BC．
10. 某校数学兴趣小组欲对当地一唐代古塔进行测量，如图是该古塔的示意图，其中与地面垂直，从地面上点看塔顶的仰角为沿直线向外前进米到点处，此时看塔顶的仰角为根据以上数据得到塔高为米，则（ ）
A. 米B. 米
C. 米D. 米
【答案】BCD
【解析】对于A，在中，由正弦定理得，
所以米，故A错误；
对于B，在中米，故B正确；
对于C，在中，由正弦定理得，所以米，
故C正确；
对于D，在中，米，所以米，
故D正确．
故选：BCD．
11. 已知是平面内两两不共线的向量，且则（ ）
A. B.
C. D. 当时，与夹角为锐角
【答案】ACD
【解析】A选项，由两边平方，得所以
所以，A正确；
B选项，由得，所以，
所以，所以，B错误；
C选项，由不共线可得，故，
所以，C正确；
D选项，因为是两个不共线的向量，所以不共线，
要使与的夹角为锐角，则
即所以D正确．
故选：ACD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，则__________．
【答案】
【解析】因为，所以．
故答案为：.
13. 在边长为2的菱形中，分别为的中点，，则__________.
【答案】
【解析】记与交于点O，，
由题知，①，
在中，由余弦定理有②，
联立①②解得，
所以，
因为，所以，
所以，
以O为原点，所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，
则，
所以，
所以.
故答案为：.
14. 在中，角所对的边分别为若且的外接圆的半径为则面积的最大值为______．
【答案】
【解析】在中，
由正弦定理得由余弦定理得
因为为的内角，则，所以，
因为的外接圆的半径为由正弦定理得，
所以由余弦定理得
即
因为所以当且仅当时取等号，
故的面积所以面积的最大值为
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知角以轴的非负半轴为始边，为终边上一点.
（1）求的值；
（2）求值.
解：（1）根据三角函数的定义，得，
所以.
（2）原式，
又，
故原式.
16. 已知向量．
（1）若，求实数的值；
（2）若向量满足且，求向量的坐标．
解：（1）由，
得，
所以，
由，得，解得．
（2）设，
所以，，
由，得，
所以，①
由，得，所以，则，②
由①②得，故．
17. 已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求角的大小；
（2）若的面积为，，求的周长.
解：（1）中，由，
得，
由余弦定理得，
即，
由正弦定理得，
，，得，
，则.
（2）若的面积为，则，得，
，由余弦定理，
得，解得，
周长为.
18. 如图，在梯形中，，，，点分别为线段，上的三等分点，点是线段上的一点.
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）直线分别交线段于M，N两点，若B，N，D三点在同一直线上，求的值.
解：（1）设，，
，
，即．
（2），
．
（3）连接三点共线，，
为的中点，
，
设，则，
设，
在中，，
，
解得，
．
19. 对于分别定义在上的函数以及实数若存在使得则称函数与具有关系
（1）若判断与是否具有关系并说明理由；
（2）若与具有关系求实数的取值范围；
（3）已知为定义在上的奇函数，且满足：
①在上，当且仅当时，取得最大值1；
②对任意有
判断是否存在实数使得与具有关系若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）函数与具有关系，
理由如下：当时；
当时，；
当时，；
当时，，
此时，所以函数与具有关系.
（2）由函数，
且，
因为，当时，，所以，
所以，所以，即实数的取值范围为.
（3）不具有关系，
理由如下：
因为在上，当且仅当时，取得最大值1，
且为定义在上的奇函数，
所以在上，当且仅当时，取得最小值－1，
由对任意有，可得关于点对称，
又，故周期为，
故的值域为，，
当时，，时，，
若，即，此时有；
当时，时，；
若，则时，有，
因为，所以，
所以不存在使得，
故与不具有关系