人教版高中数学选择性必修第三册6.3.1 二项式定理B组能力提高训练（含解析）

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1．（2021·四川南充高二期末）在的展开式中.常数项为（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·深圳市龙岗区龙城高级中学）已知，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·福建三明市高二期末）的展开式中常数项是（ ）
A．-252B．-220C．220D．252
4．（2021·江西吉安高二期末）展开式中项的系数为160，则（ ）
A．2B．4C．D．
5. （多选题）（2021·全国高二专题练）若的展开式中有且仅有三个有理项，则正整数的取值为（ ）
A． B． C． D．
6．（多选题）（2021·重庆西南大学附中高二期末）的展开式中（ ）
A．的系数为40B．的系数为32
C．常数项为16D．常数项为8
二、填空题
7．（2021·江苏省新海高级中学高二期末）的展开式中的系数为，则________．
8．（2021·全国高二课时练）在的展开式中，的系数为__________．
9．（2021·湖南师大附中高二期末）已知二项式(且)展开式的第项是常数项，则的值是__________-
10．（2021·全国高二课时练）若的展开式中项的系数为20，则的最小值_______
三、解答题
11．（2021·全国高二单元测）已知在的展开式中，第9项为常数项．求：
（1）n的值；
（2）展开式中x5的系数；
（3）含x的整数次幂的项的个数．
12.（2021·上海市嘉定区封浜高级中学高二期末）已知的二项展开式中，第三项的系数为7.
（1）求证：前三项系数成等差数列；
（2）求出展开式中所有有理项（即的指数为整数的项）.
人教版高中数学选择性必修第三册
6.3.1 二项式定理B组能力提高训练（解析版）
一、选择题
1．（2021·四川南充高二期末）在的展开式中.常数项为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】：二项式展开式的通项为，
令，解得，所以，故选：B
2．（2021·深圳市龙岗区龙城高级中学）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】，则其展开式的通项为：，
当时，，所以．
3．（2021·福建三明市高二期末）的展开式中常数项是（ ）
A．-252B．-220C．220D．252
【答案】A
【详解】由，可得二项式的展开式通项为，
令，解得，所以展开式的常数项为.
4．（2021·江西吉安高二期末）展开式中项的系数为160，则（ ）
A．2B．4C．D．
【答案】C
【详解】二项式展开式的通项为，
令可得二项式展开式中的系数为，
∴展开式中的系数为，
可得，解得，故选：C．
5. （多选题）（2021·全国高二专题练）若的展开式中有且仅有三个有理项，则正整数的取值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【详解】的通项公式是
设其有理项为第，则的乘方指数为，
依题意为整数，注意到，对照选择项知、、，
逐一检验：时，、，不满足条件；
时，、、，成立；
时，、、，成立，故选：BD.
6．（多选题）（2021·重庆西南大学附中高二期末）的展开式中（ ）
A．的系数为40B．的系数为32
C．常数项为16D．常数项为8
【答案】AC
【详解】，展开式中的系数分为两部分，一部分是中含的系数，另一部分是中含项的系数，所以含的系数是，故A正确；展开式中常数项只有展开式的常数项，故C正确.
二、填空题
7．（2021·江苏省新海高级中学高二期末）的展开式中的系数为，则________．
【答案】
【详解】解：由二项式定理展开式的通项公式得
，
令，解得，
所以展开式中项为，其系数为，解得.
8．（2021·全国高二课时练）在的展开式中，的系数为__________．
【答案】60
【解析】, 而在中 ， ，，则 ，的系数为60.
9．（2021·湖南师大附中高二期末）已知二项式(且)展开式的第项是常数项，则的值是__________-
【答案】
【详解】，由得．
10．（2021·全国高二课时练）若的展开式中项的系数为20，则的最小值_______
【答案】
【解析】展开式的通项为，令得，所以，由得，从而，当且仅当时，的最小值为.
三、解答题
11．（2021·全国高二单元测）已知在的展开式中，第9项为常数项．求：
（1）n的值；
（2）展开式中x5的系数；
（3）含x的整数次幂的项的个数．
【详解】
二项展开式的通项Tk+1==(-1)k．
（1）因为第9项为常数项，即当k=8时，2n-k=0，解得n=10．
（2）令2n-k=5，得k=(2n-5)=6，
所以x5的系数为(-1)6．
（3）要使2n-k，即为整数，只需k为偶数，由于k=0，1，2，3，…，9，10，
故符合要求的有6项，分别为展开式的第1，3，5，7，9，11项．
12.（2021·上海市嘉定区封浜高级中学高二期末）已知的二项展开式中，第三项的系数为7.
（1）求证：前三项系数成等差数列；
（2）求出展开式中所有有理项（即的指数为整数的项）.
【详解】（1）
∵，（负值舍去）
所以前三项分别为，，
所以前三项系数分别为1，4，7，
前三项系数成等差数列.
（2），
∴，展开式中的指数为整数，
所以展开式中所有有理项为：
、、.