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2024福州一中高三下学期5月模拟考试数学试题
展开(完卷时间:120分钟;满分:150分)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.
第Ⅰ卷
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知A={x|2x>1},B={x|x2+x−2≤0},则A∪B=
A.{x|x>−2}B.{x|x≥−2}C.{x|0
A.±2B.2C.−2D.2
3.等比数列{an}的前n项和为Sn,若an>0,q>1,a3+a5=20,a2⋅a6=64,则S5=
A.30B.31C.62D.63
4.将甲、乙等5名同学分配到3个社区进行志愿服务,要求每个社区不能少于1人,且甲、乙在同一社区,则不同的安排方法数为
A.54B.45C.36D.27
5.已知函数fx是偶函数,当x>0时,fx=x3+2x,则曲线y=fx在x=−1处的切线方程为
A.y=−5x−2B.y=−5x−8C.y=5x+2D.y=5x+8
6.已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为78,且该圆锥的母线是底面半径的2倍,若△SAB的面积为515,则该圆锥的表面积为
A.402πB.40+402πC.802πD.40+802π
7.当药品A注射到人体内,它在血液中的残余量会以每小时25%的速度减少,另一种药物B注射到人体内,它在血液中的残余量会以每小时10%的速度减少.现同时给两位患者分别注射800mg药品A和500mg药品B,当两位患者体内药品的残余量恰好相等时,所经过的时间约为(参考数据:lg2=0.301,lg3=0.477)
A.0.57hB.1.36hC.2.58hD.3.26h
8.在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,点M为边BC的中点,若AM=AC,cs2B=csA+C,则sin∠BAC=( )
A.33B.63C.217D.277
二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.下列说法中,正确的命题是
A.数据40,27,32,30,38,54,31,50的第50百分位数为32
B.已知随机变量ξ服从正态分布N2,δ2,Pξ<4=0.84,则P2<ξ<4=0.34
C.已知两个变量具有线性相关关系,其回归直线方程为y=a+bx,若b=2,x=1,y=3,则a=1
D.若样本数据x1,x2,⋯,x10的方差为2,则数据2x1−1,2x2−1,⋯,2x10−1的方差为4
10.已知F1,F2为椭圆Γ:x2a2+y2=1a>1的左、右焦点,P为平面上一点,若PF1⋅PF2=0,则
A.当P为Γ上一点时,△PF1F2的面积为1
B.当P为Γ上一点时,1PF1+1PF2的值可以为1
C.当满足条件的点P均在Γ内部时,则Γ的离心率小于22
D.当点P在Γ的外部时,在Γ上必存在点M,使得MF1⋅MF2=0
11.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中,M,N,P分别是AA1,CC1,C1D1的中点,Q是线段D1A1上的动点,则
A.存在点Q,使PQ//平面MBN
B.存在点Q,点Q到直线BP的距离等于23
C.过A,M,B,N四点的球的体积为9π2
D.过Q,M,N三点的平面截正方体ABCD−A1B1C1D1所得截面为六边形
第Ⅱ卷
三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知复数z满足z3−4i=1+i2(i是虚数单位),则z= .
13.能说明“若fx
若A={1,2,3,⋯,2024},A1,A2为A的2阶分拆,集合A1所有元素的平均值为P,集合A2所有元素的平均值为Q,则P−Q的最小值等于 ,最大值等于 .
四、解答题:本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)
已知数列{an}中,a1=12,an+1=2an−3csnπ3−π6.
(1)证明:数列{an−csnπ3}为常数列;
(2)求数列{nan}的前2024项和.
16.(15分)
如图,在四棱锥P−ABCD中,△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形,BC//AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,PC=2,E,F分别为PD,BE的中点.
(1)证明:P,A,C,F四点共面;
(2)求直线DF与平面PAC所成角的正弦值.
17.(15分)
某快餐连锁店招聘外卖骑手,该快餐连锁店外卖覆盖A,B两个区域,骑手入职只能选择其中一个区域.其中区域A无底薪,外卖业务每完成一单提成5元;区域B规定每日底薪150元,外卖业务的前35单没有提成,从第36单开始,每完成一单提成8元.为激励员工,快餐连锁店还规定,凡当日外卖业务超过55单的外卖骑手可额外获得“精英骑手”奖励50元.该快餐连锁店记录了骑手每天的人均业务量,整理得到如图所示的两个区域外卖业务量的频率分布直方图.
用频率估计概率,回答以下问题.
(1)从以往统计数据看,新入职骑手选择区域A的概率为0.6,选择区域B的概率为0.4,
(ⅰ)随机抽取一名骑手,求该骑手获得当日“精英骑手”奖励的概率;
(ⅱ)若新入职的甲,乙、丙三名骑手分别到该快餐连锁店应聘,三人区域选择相互独立,求至少有两名骑手选择区域A的概率;
(2)若仅从人均日收入的角度考虑,新聘骑手应选择入职哪一区域?请说明你的理由(同组中的每个数据用该组区间的中点值代替).
18.(17分)
已知双曲线C:y2−x23=1的上、下顶点分别为A,B.
(1)若直线l:y=kx+2与C交于M,N两点,记直线AM与BN的斜率分别为k1,k2,求k1k2的值;
(2)过C上一点D作抛物线x2=23y的切线l1和l2,切点分别为P,Q,证明:直线PQ与圆x2+y2=1相切.
19.(17分)
已知函数fx=ex,gx=sinx+csx,其中e为自然对数的底数.
(1)证明:x≥0时,fx−1≥x≥sinx;
(2)求函数ℎx=fx−gx在−54π,+∞内的零点个数;
(3)若fx+gx≥ax+2,求a的取值范围.
【参考答案】
2024年福州一中高三模拟考试
第Ⅰ卷
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.B 2.D 3.B 4.C 5.A 6.B 7.C 8.C
二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.BC 10.ACD 11.AC
第Ⅱ卷
三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分.
12.25
13.fx=−sinx,fx=5,x=0x,x∈(0,2]等
14.0; 1012
四、解答题:本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(1) 解:证明:an+1−csn+1π3=2an−3csnπ3−π6−csn+1π3
=2an−3csnπ3csπ6+sinnπ3sinπ6−csnπ3csπ3−sinnπ3sinπ3
=2an−2csnπ3=2an−csnπ3,
又a1−csπ3=0,所以an−csnπ3=0,
所以数列{an−csnπ3}为常数列.
(2) 由(1)知,数列an−csnπ3=0,an=csnπ3,设bn=nan=ncsnπ3,则当k∈N时,b6k+1=6k+1cs6k+1π3=6k+12,b6k+2=6k+2cs6k+2π3=−6k+22,b6k+3=6k+3cs6k+3π3=−6k+3,b6k+4=6k+4cs6k+4π3=−6k+42,b6k+5=6k+5cs6k+5π3=6k+52,b6k+6=6k+6cs6k+6π3=6k+6,
所以b6k+1+b6k+2+b6k+3+b6k+4+b6k+5+b6k+6=3,
又2024=6×337+2,所以b1+b2+b3+…+b2024=b1+b2+…+b6+b7+b8+…+b12+…+b2017+b2018+…+b2022+b2023+b2024
=3×337+2023cs2023π3+2024cs2024π3=20212.
16.(1) 解:取AD的中点O,连PO,CO;
∵△PAD为等腰直角三角形,
∴PO⊥AD,PO=12AD=1;
又梯形ABCD中,BC//AD,BC=12AD,BA⊥AD,
∴四边形ABCF为矩形且CO⊥AD,CO=1;
又PC=2,∴PO2+CO2=PC2,即PO⊥CO;
∴PO,CO,AD两两垂直;
以O为原点,OC,OD,OP所在直线为x轴、y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图;
∴A0,−1,0,B1,−1,0,C1,0,0,D0,1,0,P0,0,1;
16.(1) 证明:当E、F为PD,BE中点时,E0,12,12,F12,−14,14,
∴AF=12,34,14,AC=1,1,0,AP=0,1,1,
设AF=λAC+μAP,则12,34,14=λ,λ+μ,μ;
∴λ=12,μ=14;
∴AF=12AC+14AP;
∴P,A,C,F四点共面.
(2) ∵AC=1,1,0,AP=0,1,1,DF=12,−54,14,
设面PAC的一个法向量n=x0,y0,z0;
则n→⊥AC→n→⊥AP→⇒n→⋅AC→=x0+y0=0n→⋅AP→=y0+z0=0;
令y0=−1,则x0=z0=1,∴n=1,−1,1,∴cs⟨DF,n⟩=OF⋅nOF⋅n=23⋅304=41015,
设直线DF与平面PAC所成角为θ,则sinθ=cs⟨DF,n⟩=41015,
所以直线DF与平面PAC所成角的正弦值为41015.
17.(1) (ⅰ) 解:设“随机抽取一名骑手是区域A骑手”为事件M,“骑手获得‘精英骑手’奖励”为事件N,则PM=0.6,PM=0.4,
结合频率分布直方图知,PN|M=0.3,PN|M=0.2,
所以PN=PMPN|M+PMPN|M=0.6×0.3+0.4×0.2=0.26,
因此该骑手获得当日“精英骑手”奖励的概率为0.26.
(ⅱ) 设X为选择区域A的骑手人数,则X∼B3,0.6,
PX≥2=PX=2+PX=3=C32×0.62×0.4+0.63=0.648.
(2) 设Y1为区域A骑手日工资,则随机变量Y1分布列为
EY1=100×0.05+150×0.1+200×0.25+250×0.3+350×0.2+400×0.1=255.
设Y2为区域B骑手日工资,则随机变量Y2分布列为
EY2=150×0.25+190×0.25+270×0.3+400×0.15+480×0.05=250.
因为EY1>EY2,所以新聘骑手应选择区域A.
18.(1) 解:由已知,A0,1,B0,−1,设Mx1,y1,Nx2,y2,
联立y=kx+2y2−x23=1得3k2−1x2+12kx+9=0,所以x1+x2=−12k3k2−1①x1x2=93k2−1②,②①得kx1x2=−34x1+x2,
又因为k1=kAN=y1−1x1,k2=kBN=y2+1x2,
所以k1k2=y1−1x2y2+1x1=kx1+1x2kx2+3x1=kx1x2+x2kx1x2+3x1=−34x1+x2+x2−34x1+x2+3x1=−34x1+14x294x1−34x2=−13.
(2) 法一:设切点Px3,y3,Qx4,y4,设直线PQ方程为y=nx+m,
联立y=nx+mx2=23y得x2−23nx−23m=0,所以x3+x4=23n,x3x4=−23m
对抛物线y=x223求导得y′=x3,
所以抛物线x2=23y在点Px3,y3处切线的斜率为k=x33
所以切线DP的方程为y−y3=x33x−x3
又因为x32=23y3
所以切线DP的方程为y=3x33x−3x326
同理,切线DQ的方程为y=3x43x−3x426
联立y=3x33x−3x326y=3x43x−3x46得Dx3+x42,x3x423
所以D3n,−m,
又因为D3n,−m在双曲线y2−x23=1上,
所以m2−n2=1,所以m2=n2+1①,所以圆x2+y2=1的圆心O0,0到直线y=nx+m的距离d=mn2+1=1
所以直线PQ与圆x2+y2=1相切.
法二:设切点Px3,y3,Qx4,y4,
对抛物线y=x223求导得y′=x3,
所以抛物线x2=23y在点Px3,y3处切线的斜率为k=x33
所以切线DP的方程为y−y3=x33x−x3
又因为x32=23y3
所以切线DP的方程为y=3x33x−3x326
同理,切线DQ的方程为y=3x43x−3x426
联立y=3x33x−3x326y=3x43x−3x46得Dx3+x42,x2x423
又因为Dx3+x42,x3x423在双曲线y2−x23=1上,
所以x3x4212−x3+x4212=1,所以x3+x42=x3x42−12①,
由已知,直线PQ斜率存在,kPQ=y3−y4x3−x4=x3223−x4223x3−x4=x3+x423,
所以直线PQ方程为y−y3=x3+x423x−x3,即23y−23y3=x3+x4x−x3x4−x32,
又因为x32=23y3,
所以直线PQ方程为x3+x4x=23y+x3x4,
所以圆x2+y2=1的圆心O0,0到直线PQ的距离d=x3x4x3+x42+12②,①代入②得d=∣x3x4∣x3+x42+12=1,
所以直线PQ与圆x2+y2=1相切.
19.(1) 解:证明:令f1x=ex−1−x,x≥0,则f1′x=ex−1≥0,
所以f1x在[0,+∞)单调递增,所以f1x=f10=0,所以x≥0时,fx−1≥x;
再令f2x=x−sinx,则f2′x=1−csx≥0,
所以f2x在[0,+∞)单调递增,所以f2x=f20=0,所以x≥0时,x≥sinx.
综上所述,x≥0时,fx−1≥x≥sinx.
(2) ℎx=fx−gx=ex−sinx−csx,ℎ′x=ex−csx+sinx=ex+2sinx−π4,
①x>0时,由(1)知,ℎx=ex−sinx−csx>x+1−sinx−csx=x−sinx+1−csx≥0
ℎx在0,+∞没有零点;
②x=0时,ℎ0=0,所以x=0是函数ℎx的零点;
③当x∈−π4,0时,ℎ′x=ex−csx+sinx,ℎ′0=0,
ℎ′′x=ex+sinx+csx=ex+2sinx+π4>0,
则函数ℎ′x在−π4,0上单调递增,则ℎ′x<ℎ′0=0,
则函数ℎx在−π4,0上单调递减,则ℎx>ℎ0=0;ℎx在−π4,0没有零点;
④当x∈[−5π4,−π4],ℎx=ex−2sinx+π4>0,没有零点;
综上所述,当x∈−54π,+∞时,函数ℎx的零点个数为1.
(3) 由(2)知,当x>−54π时,ℎx=ex−sinx−csx≥0,
令φx=fx+gx−ax−2=ex+sinx+csx−ax−2,
则φ′x=ex+csx−sinx−a,φ′′x=ex−sinx−csx≥0,故φ′x单调递增,(ⅰ)当a>2时,
φ′0=2−a<0,φ′lna+2=2−2sin[lna+2−π4]>0,
∃x1∈(0,lna+2)使得φ′x1=0,
当0
若x∈−5π4,0时,总有φ′x≥0(不恒为零),则ℎx在−5π4,+∞上为增函数,
但φ0=0,故当x∈−5π4,0时,φx<0,不合题意.
故在x∈−5π4,0上,φ′x<0有解,故∃x2∈−5π4,0,使得φ′x2=0,
又φ′x在x∈−5π4,0时单调递增,所以当x2
故当x∈x2,0时,φx<φ0=0,不符合题意,故a<2不符合题意;
(ⅲ)当a=2时,φ′x=ex+csx−sinx−2,
由于φ′x单调递增,φ′0=0,故−54π
当x≤−5π4时,ℎx=ex+sinx+csx−2x−2≥0−2+52π−2>0,
综上可得,a=2.Y1
100
150
200
250
350
400
P
0.05
0.1
0.25
0.3
0.2
0.1
Y2
150
190
270
400
480
P
0.25
0.25
0.3
0.15
0.05
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