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2024秦皇岛部分示范高中高三下学期三模试题数学含答案
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这是一份2024秦皇岛部分示范高中高三下学期三模试题数学含答案，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第I卷（选择题 共58分）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合，，则（ ）
A.B.C.D.
2.已知，表示两条不同的直线，表示平面，则（ ）
A.若，，则B.若，，则
C.若，，则D.若，，则
3.已知函数，，则如图所示的函数图像可能是（ ）
A.B.
C.D.
4.已知等比数列的前项和为，满足，，则的公比为（ ）
A.B.2C.3D.4
5.若的展开式中含项的系数为10，则的值是（ ）
A.3B.4C.5D.6
6.已知复数，满足，，则（ ）
A.3B.C.D.
7.已知正数，，满足，则（ ）
A.B.C.D.
8.已知函数在上单调，的图像关于点中心对称且关于直线对称，则的取值个数是（ ）
A.1B.2C.3D.4
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.美国数学史专家、穆伦堡学院名誉数学教授威廉・邓纳姆在1994年出版的《The Mathematical Universe》一书中写道：“相比之下，数学家达到的终极优雅是所谓的‘无言的证明’，在这样的证明中一个极好的令人信服的图示就传达了证明，甚至不需要任何解释，很难比它更优雅了”.如图所示正是数学家所达到的“终极优雅”，该图（为矩形）完美地展示并证明了正弦和余弦的二倍角公式，则可推导出的正确选项为（ ）
A.B.C.D.
10.双曲线：的左、右焦点分别为，，为的右支上一点，分别以线段，为直径作圆，圆，线段与圆相交于点，其中为坐标原点，则（ ）
A.
B.
C.点为圆和圆的另一个交点
D.圆与圆有一条公切线的倾斜角为
11.在正四面体中，，分别为棱和（包括端点）的动点，直线与平面，平面所成角分别为，，则（ ）
A.的正负与点，位置都有关系
B.的正负由点位置确定，与点位置无关
C.的最大值为
D.的最小值为
第II卷（非选择题 共92分）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12.已知，为平面向量，若为单位向量，，与的夹角为，则与的数量积为______
13.从0，2，4，6中任意选1个数字，从1，3，5中任意选2个数字，得到没有重复数字的三位数，在所组成的三位数中任选一个，则该数是偶数的概率为______
14.已知数列是给定的等差数列，其前项和为，若，且当与时，取得最大值，则的值为______
四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（13分）
在中，内角，，所对的边分别为，，，且，的外接圆半径为.
（1）求的面积；
（2）求边上的高.
16.（15分）
如图，是圆的直径，点是圆上异于，的点，平面，，，，分别为，的中点，平面与平面的交线为，在圆上.
（1）在图中作出交线（说明画法，不必证明），并求三棱锥的体积；
（2）若点满足，且与平面所成角的正弦值为，求的值.
17.（15分）
已知椭圆：的离心率为，过点的直线交于点，，且当轴时，.
（1）求的方程
（2）记的左焦点为，若过，，三点的圆的圆心恰好在轴上，求直线的斜率.
18.（17分）
将保护区分为面积大小相近的多个区域，用简单随机抽样的方法抽取其中15个区域进行编号，统计抽取到的每个区域的某种水源指标和区域内该植物分布的数量，得到数组.已知，，.
（1）求样本的样本相关系数；
（2）假设该植物的寿命为随机变量（可取任意正整数），研究人员统计大量数据后发现，对于任意的，寿命为的样本在寿命超过的样本里的数量占比与寿命为1的样本在全体样本中的数量占比相同，均为0.1，这种现象被称为“几何分布的无记忆性”.
（i）求的表达式；
（ii）推导该植物寿命期望的值（用表示，取遍），并求当足够大时，的值.
附：样本相关系数；当足够大时，.
19.（17分）
帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数，，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足，，，…，（注：，，，，…）.已知函数.
（1）求函数在处的阶帕德近似，并求的近似数（精确到0.001）；
（2）在（1）的条件下
（i）求证：；
（ii）若恒成立，求的取值范围.
参考答案及解析
一、选择题
1.D 2.D 3.A 4.C 5.B 6.D 7.A 8.B
二、选择题
9.ACD 10.BCD11.BD
三、填空题
12.13.14.21
四、解答题
15.解：（1）在中，，，
根据余弦定理得，
即，
所以，
所以，所以.
（2），
所以.
16.解：（1）过点作，交圆与点，
（，分别为，的中点，所以，又，所以，故为平面与平面的交线）
因为是圆的直径，
所以，
又，所以，
所以四边形为矩形，
因为，，
所以，
因为平面，为的中点，
所以点到平面的距离为，
所以.
（2）以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，，.
设平面的法向量为，
则即
不妨取，得.
因为与平面所成角的正弦值为，
所以，
所以，所以或.
17.解：（1）当轴时，，
所以点在上，
依题意解得，，，
所以的方程为.
（2）设圆心，，，，
显然直线的斜率存在，设：，
由，得，
又，代人得到，
同理可得，
则，分别是方程的两根，
由韦达定理可得.
又联立：与，
得，
所以，
所以
故，解得，
故直线的斜率为.
18.解：（1）由，，，
得样本相关系数.
（2）（i）依题意，，
又，
则，
当时，把换成，
则，
两式相减得，
即，
又，
所以对任意都成立，
从而是首项为0.1，公比为0.9的等比数列，
所以.
（ii）由定义知，，
而，
显然，
于是，
两式相减得，
因此，
当足够大时，，
则，可认为，
所以该植物寿命期望的值是10.
19.（1）解：由题可知函数在处的阶帕德近似为，
，，
由，得，所以，
则，
又由，得，
所以，
由，得，
所以，
所以.
（2）（i）证明：令，，
因为，
所以在，上单调递减.
当时，，即，
又，所以，即；
当时，，即，
又，所以，即.
所以不等式恒成立.
（ii）解：由，得在上恒成立，
令，且，
所以是的极大值点.
又，
所以，则，
当时，，
所以，
当时，，
则，故在上单调递增，
所以当时，，
当时，，
令，
因为，
所以在上单调递减，
所以，
又因为在上，，
所以当时，.
综上，当时，恒成立.
第I卷（选择题 共58分）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合，，则（ ）
A.B.C.D.
2.已知，表示两条不同的直线，表示平面，则（ ）
A.若，，则B.若，，则
C.若，，则D.若，，则
3.已知函数，，则如图所示的函数图像可能是（ ）
A.B.
C.D.
4.已知等比数列的前项和为，满足，，则的公比为（ ）
A.B.2C.3D.4
5.若的展开式中含项的系数为10，则的值是（ ）
A.3B.4C.5D.6
6.已知复数，满足，，则（ ）
A.3B.C.D.
7.已知正数，，满足，则（ ）
A.B.C.D.
8.已知函数在上单调，的图像关于点中心对称且关于直线对称，则的取值个数是（ ）
A.1B.2C.3D.4
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.美国数学史专家、穆伦堡学院名誉数学教授威廉・邓纳姆在1994年出版的《The Mathematical Universe》一书中写道：“相比之下，数学家达到的终极优雅是所谓的‘无言的证明’，在这样的证明中一个极好的令人信服的图示就传达了证明，甚至不需要任何解释，很难比它更优雅了”.如图所示正是数学家所达到的“终极优雅”，该图（为矩形）完美地展示并证明了正弦和余弦的二倍角公式，则可推导出的正确选项为（ ）
A.B.C.D.
10.双曲线：的左、右焦点分别为，，为的右支上一点，分别以线段，为直径作圆，圆，线段与圆相交于点，其中为坐标原点，则（ ）
A.
B.
C.点为圆和圆的另一个交点
D.圆与圆有一条公切线的倾斜角为
11.在正四面体中，，分别为棱和（包括端点）的动点，直线与平面，平面所成角分别为，，则（ ）
A.的正负与点，位置都有关系
B.的正负由点位置确定，与点位置无关
C.的最大值为
D.的最小值为
第II卷（非选择题 共92分）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12.已知，为平面向量，若为单位向量，，与的夹角为，则与的数量积为______
13.从0，2，4，6中任意选1个数字，从1，3，5中任意选2个数字，得到没有重复数字的三位数，在所组成的三位数中任选一个，则该数是偶数的概率为______
14.已知数列是给定的等差数列，其前项和为，若，且当与时，取得最大值，则的值为______
四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（13分）
在中，内角，，所对的边分别为，，，且，的外接圆半径为.
（1）求的面积；
（2）求边上的高.
16.（15分）
如图，是圆的直径，点是圆上异于，的点，平面，，，，分别为，的中点，平面与平面的交线为，在圆上.
（1）在图中作出交线（说明画法，不必证明），并求三棱锥的体积；
（2）若点满足，且与平面所成角的正弦值为，求的值.
17.（15分）
已知椭圆：的离心率为，过点的直线交于点，，且当轴时，.
（1）求的方程
（2）记的左焦点为，若过，，三点的圆的圆心恰好在轴上，求直线的斜率.
18.（17分）
将保护区分为面积大小相近的多个区域，用简单随机抽样的方法抽取其中15个区域进行编号，统计抽取到的每个区域的某种水源指标和区域内该植物分布的数量，得到数组.已知，，.
（1）求样本的样本相关系数；
（2）假设该植物的寿命为随机变量（可取任意正整数），研究人员统计大量数据后发现，对于任意的，寿命为的样本在寿命超过的样本里的数量占比与寿命为1的样本在全体样本中的数量占比相同，均为0.1，这种现象被称为“几何分布的无记忆性”.
（i）求的表达式；
（ii）推导该植物寿命期望的值（用表示，取遍），并求当足够大时，的值.
附：样本相关系数；当足够大时，.
19.（17分）
帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数，，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足，，，…，（注：，，，，…）.已知函数.
（1）求函数在处的阶帕德近似，并求的近似数（精确到0.001）；
（2）在（1）的条件下
（i）求证：；
（ii）若恒成立，求的取值范围.
参考答案及解析
一、选择题
1.D 2.D 3.A 4.C 5.B 6.D 7.A 8.B
二、选择题
9.ACD 10.BCD11.BD
三、填空题
12.13.14.21
四、解答题
15.解：（1）在中，，，
根据余弦定理得，
即，
所以，
所以，所以.
（2），
所以.
16.解：（1）过点作，交圆与点，
（，分别为，的中点，所以，又，所以，故为平面与平面的交线）
因为是圆的直径，
所以，
又，所以，
所以四边形为矩形，
因为，，
所以，
因为平面，为的中点，
所以点到平面的距离为，
所以.
（2）以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，，.
设平面的法向量为，
则即
不妨取，得.
因为与平面所成角的正弦值为，
所以，
所以，所以或.
17.解：（1）当轴时，，
所以点在上，
依题意解得，，，
所以的方程为.
（2）设圆心，，，，
显然直线的斜率存在，设：，
由，得，
又，代人得到，
同理可得，
则，分别是方程的两根，
由韦达定理可得.
又联立：与，
得，
所以，
所以
故，解得，
故直线的斜率为.
18.解：（1）由，，，
得样本相关系数.
（2）（i）依题意，，
又，
则，
当时，把换成，
则，
两式相减得，
即，
又，
所以对任意都成立，
从而是首项为0.1，公比为0.9的等比数列，
所以.
（ii）由定义知，，
而，
显然，
于是，
两式相减得，
因此，
当足够大时，，
则，可认为，
所以该植物寿命期望的值是10.
19.（1）解：由题可知函数在处的阶帕德近似为，
，，
由，得，所以，
则，
又由，得，
所以，
由，得，
所以，
所以.
（2）（i）证明：令，，
因为，
所以在，上单调递减.
当时，，即，
又，所以，即；
当时，，即，
又，所以，即.
所以不等式恒成立.
（ii）解：由，得在上恒成立，
令，且，
所以是的极大值点.
又，
所以，则，
当时，，
所以，
当时，，
则，故在上单调递增，
所以当时，，
当时，，
令，
因为，
所以在上单调递减，
所以，
又因为在上，，
所以当时，.
综上，当时，恒成立.
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