河北省沧州市运东五校2023-2024学年高二下学期5月月考数学试题

这是一份河北省沧州市运东五校2023-2024学年高二下学期5月月考数学试题，共10页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，答题前，考生务必用直径0，本卷命题范围，有以下几组的统计数据，的展开式中项的系数为，已知，为实数，则“”是“”的，下列命题中正确的为等内容，欢迎下载使用。

考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4.本卷命题范围：人教A版必修第一册第一章第三章，选择性必修第三册。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则（ ）
A.B.
C.D.
2.已知随机变量的分布列为
则（ ）
A.B.C.D.或
3.已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则（ ）
A.19B.C.1D.
4.若关于的不等式的解集为，则（ ）
A.180B.360C.475D.495
5.有以下几组的统计数据：，，，，，要使剩下的数据具有更强的线性相关关系，应去掉的一组数据是（ ）
A.B.C.D.
6.的展开式中项的系数为（ ）
A.112B.136C.184D.236
7.已知，为实数，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
8.将7名身高不同的学生从左往右排成一列，记第名学生的身高为，当时，由于学生的身高变化像字母，所以也叫“数列”，则满足条件的“数列”共有（ ）
A.61个B.65个C.68个D.71个
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知，则使函数的定义域为，且为奇函数的的值为（ ）
A.1B.C.3D.2
10.下列命题中正确的为（ ）
A.随机变量，若，，则
B.若将一组数据中的每个数据扩大为原来的2倍，则方差也扩大为原来的2倍
C.随机变量，若，则
D.某人在10次射击中，击中目标的次数为，，则当时概率最大
11.已知定义域为的函数，对任意，，且不恒为0，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.为偶函数
C.若，则关于中心对称
D.若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.命题“，使得”的否定为______.
13.已知，，且，则的最小值为______.
14.2023年中国成功举办了第31届世界大学生夏季运动会和第19届亚运会，某市积极响应全民锻炼的号召，组织村级足球联赛，其中组有甲、乙、丙、丁4支足球队，每支球队都要跟组内其他球队进行一场比赛，最后按各队的积分排列名次（积分多者名次靠前，积分同者名次并列），积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，比赛结束时，在甲队输给乙队的情况下，其积分仍超过其余三支球队的积分的概率为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分13分）
已知集合，.
（1）若，求；
（2）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围
16.（本小题满分15分）
假期中，来自沿海城市的小明和小强去四川旅游，他们发现自己带的小面包的包装袋鼓了起来.原来随着海拔升高，气压也随之降低，包装袋内的气压大于外面气压，从而使得面包袋鼓了起来.研究发现在一定范围内大气压与海拔高度是近似线性的关系.
（1）利用线性回归分析求与之间的线性回归方程；（的值精确到0.001）
（2）小明和小强打算去九寨沟，可以利用（1）中的方程，估计九寨沟景点（海拔2800m）的大气压.（精确到0.01）
附：①对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.
②参考数据：，.
17.（本小题满分15分）
已知函数，.
（1）是否存在实数，使恒成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由；（2）若关于的方程有两个正实数根，，求的最小值.
18.（本小题满分17分）
时下流行的直播带货与主播的学历层次有某些相关性，某调查小组就两者的关系进行调查，从网红的直播中得到容量为200的样本，将所得直播带货和主播的学历层次的样本观测数据整理如下：
（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为直播带货的评级与主播的学历层次有关联？
（2）统计学中常用表示在事件条件下事件发生的优势，称为似然比，当时，我们认为事件条件下发生有优势.现从这200人中任选1人，表示“选到的主播带货良好”.表示“选到的主播学历层次为专科及以下”，请利用样本数据，估计的值，并判断事件条件下发生是否有优势：
（3）现从主播学历层次为本科及以上的样本中，按分层抽样的方法选出5人组成一个小组，从抽取的5人中再抽取3人参加主播培训，求这3人中，主播带货优秀的人数的概率分布和数学期望.
附：，.
19.（本小题满分17分）
对于定义在上的函数和.若对任意给定的.不等式都成立，则称函数是函数的“从属函数”.
（1）若函数是函数的“从属函数”，且是偶函数，求证：是偶函数；
（2）设，，求证：当时，函数是函数的“从属函数”；
（3）若定义在上的函数和的图象均为一条连续曲线，且函数是函数的“从属函数”，求证：“函数在上是严格增函数或严格减函数”是“函数在上是严格增函数或严格减函数”的必要不充分条件.
2023~2024学年度第二学期高二年级5月份月考试卷·数学
参考答案、提示及评分细则
1.A 集合，集合，所以.故选A.
2.C 由分布列的性质，得，即，解得或，当时，，不符合分布列的性质，所以.故选C.
3.D 因为函数是定义域为的奇函数，所以.故选D.
4.D 由题意可知，，是方程的两根，所以则，，所以.故选D.
5.C ，，，，，在坐标系中画出这五个点，除了之外，其余的点都在一条线附近，去掉点以后剩下的数据具有更强的线性相关关系.故选C
6.B 的展开式的通项为，要得到项，必有，所以，所以，或.当时，，而展开式中的项为，故中项的系数为；当时，，而中的常数项为1，故中项的系数为，所以所求项的系数为.故选B.
7.A 由，得，所以，充分性成立；由，得，推不出，从而得不到，必要性不成立.故选A.
8.D 记这7名学生的身高由低到高分别为数字1，2，3，4，5，6，7，因为，，，都比大，所以只能为1，2或3.当时，，有种选法，剩余数字中的最大值作为，所以，有种选法，剩下一个数作为，共有个“数列”；当时，，，有种选法，剩余数字中的最大值作为，剩余两个数排，，有种选法，共有个“数列”；当时，，，从4，5，6，7中选2个数作为，有种选法，剩余2个数为，，共有6个“数列”综上所述，满足条件的“数列”共有71个.故选D.
9.AC 因为的定义域为，所以，又因为为奇函数，所以.故选AC.
10.ACD 对于A，因为，且，，所以，选项A正确；对于B，若将一组数据中的每个数据都扩大为原来的2倍，则方差随之扩大为原来的4倍，选项B错误；对于C，因为，且，所以，选项C正确；对于D，因为，所以，，令，解得，因为，所以，即时，概率最大，选项D正确.故选ACD.
11.BC 对于A，令，，有，而不恒为0，则，A错误；对于B，由A知，令，，有，即，则函数为偶函数，B正确；对于C，若，令，，有，则关于中心对称，C正确；对于D，显然关于中心对称，又为偶函数，则，即，因此，是周期为4的周期函数，显然，.即，所以，D错误.故选BC.
12.， ，使得的否定为全称量词命题，即，.
13.3 由得，，所以，当且仅当，即，时取得等号
14. 若甲与丙、丁的两场比赛一赢一平，则甲只得4分，这时乙丙、乙丁两场比赛中乙只能输，否则乙的分数不小于4分，不合题意，在乙输的情况下，丙、丁已有3分，那么它们之间的比赛无论什么情况，丙、丁中有一队得分不小于4分，不合题意；若甲与丙、丁的两场比赛全赢（概率为）时，甲得6分，其他3队分数最高为5分，这时乙丙，乙丁两场比赛中乙不能赢，否则乙的分数不小于6分，只有乙平或乙输：若乙一平一输，概率为.如乙平丙，乙输丁，则丙丁比赛时，丁不能赢，概率为；若乙两场均平，概率为，丙丁这场比赛无论结果如何均符合题意；若乙两场都输，概率为，丙丁这场比赛只能平，概率为.综上所述，在甲队输给乙队的情况下，其积分仍超过其余三支球队的积分的概率为.
15.解：（1），
当时，，
所以.
（2）由（1）得，
因为“”是“”的必要条件，所以，
所以，解得
所以实数的取值范围是.
16.解：（1）由表中数据得，
，
又，
所以，
，
所以经验回归方程.
（2）当时，，
所以九寨沟在景点处（海拔）的大气压约为
17.解：（1）若存在实数，使恒成立，则有解，
即，又，故不存在实数，使恒成立.
（2）方程有两个正实数根，，等价于有两个正实数根，，
则
解得.
则，
令，则，，
当且仅当即时取等号，此时满足题意，
故的最小值为6.
18.解：（1）零假设为：直播带货的评级与主播的学历无关
由题意得，
所以根据小概率值的独立性检验，可推断不成立，认为直播带货的评级与主播的学历层次有关联
（2）因为，因为，
所以认为事件条件下发生有优势，
（3）按照分层抽样，直播带货优秀的有3人，直播带货良好的有2人，随机变量的可能取值为1，2，3，
，
，
，
所以的分布列为：
所以数学期望
19.证明：（1）因为是上的偶函数，故对任意的都有，
又是的“从属函数”，
所以恒成立，即对任意的成立，故是偶函数.
（2）不妨设，当时，在上是严格增函数，有，
而，
所以，
因此，当时，函数是函数的“从属函数”.
（3）举反例证明不具备充分性.
令，，显然在上是严格增函数，
因为，
所以函数是函数的“从属函数”，但在上不是单调函数.
因此是严格增函数或严格减函数不是是严格增函数或严格减函数的充分条件.
必要性证明，即证：函数是函数的“从属函数”，若函数在上为严格增函数或严格减函数，则函数在上是严格增函数或严格减函数.
任取，且，有，即对任意，且，有.
下面证明：对任意的实数，有或成立.
若存在，，使得且①，
其中不妨设②，
当①或②式中有等号成立时，则与（其中）矛盾!
当①②两式中等号均不成立时，考虑，，
因为，
由连续函数的零点存在定理知，必存在使得，即，也与（其中）矛盾！
同理可证且也不可能.
5
10
15
海拔高度
10
50
100
500
1000
大气压
101.2
100.6
100.2
94.8
88.2
直播带货评级
合计
优秀
良
主播的学历层次
本科及以上
60
40
100
专科及以下
30
70
100
合计
90
110
200
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
1
2
3