专题03 抽象函数单调性的证明及解不等式（期末大题2）-2023~2024年高一上学期期末数学大题秒杀技巧及专项练习

这是一份专题03 抽象函数单调性的证明及解不等式（期末大题2）-2023~2024年高一上学期期末数学大题秒杀技巧及专项练习，共24页。试卷主要包含了 已知定义在上的函数满足，函数的定义域为，并满足以下条件，设函数对任意，定义域为的函数满足等内容，欢迎下载使用。

题型 抽象函数单调性的证明及解不等式
抽象函数的单调性（正规解法）
使用前提：题中没有给出具体函数的解析式，只给出函数的性质，需要利用所给的性质证明函数的单调性.
解题步骤：
第一步：确定函数的奇偶性，取值定大小：设任意，且；
第二步：结合函数单调性的定义即可确定函数的单调性.
抽象函数具体化（秒杀）
使用前提：题中没有给出具体函数的解析式，但是可以根据所给的函数特征确定函数模型，属于抽象函数的内容延伸和实例化.
解题步骤：
第一步：由函数的解析式确定函数所属的模型；
常见函数模型包括：
Ⅰ：若，可认为函数为幂函数(的范围或数值需要其他条件确定)；
Ⅱ：若，可认为函数为对数函数(的范围或数值需要其他条件确定)；
Ⅲ：若，可认为函数为指数函数(的范围或数值需要其他条件确定)；
Ⅳ：若，可认为函数为正比例函数或
Ⅵ：若，可认为是余弦函数.
Ⅶ：若，可认为函数为一次函数或
第二步：结合函数模型和函数的单调性的定义确定函数的单调性.
模型1、 已知定义在上的函数满足：
① 对任意，，有.
②当时，.试判定函数的单调性.
解：第一步：确定函数的奇偶性，取值定大小：设任意，且；；
令，，，
令，，.
则函数是奇函数.设，则，
第二步：结合函数单调性的定义即可确定函数的单调性.
为上减函数.
模型2、函数的定义域为，并满足以下条件：①对任意，有；②对任意，有；③.
（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求证：在上是单调增函数；
（Ⅲ）若，且，求证：.
解：正规方法：
(Ⅰ)令得： 因为，所以；
（Ⅱ）第一步：确定函数的奇偶性，取值定大小：设任意，且；
任取且设则
第二步：结合函数单调性的定义即可确定函数的单调性.
因为，所以，所以在上是单调增函数；
（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）知，因为
又，
所以
所以
秒杀方法：
(Ⅰ)因为对任意，有，且对任意，
所以，当时故．
（Ⅱ）因为，所以
所以在上是单调增函数，即在上是单调增函数
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，，
而，所以
所以
模型3、已知定义域为,对任意,都有,当时, ,.
（1）求; （2）试判断在上的单调性,并证明;
（3）解不等式:.
解：（1）由题意，令，得，解得
令，得，所以.
（2）函数在上单调递减，证明如下：
第一步：确定函数的奇偶性，取值定大小：设任意，且；
任取，且，
第二步：结合函数单调性的定义即可确定函数的单调性.
可得
，因为，所以，所以
即，所以在上单调递减.
（3）令，得，∴
∴
∴，又在上的单调且
∴，∴.
∴，即不等式解集为.
模型4、设函数对任意、都有，且当时，.
（1）证明为奇函数；（2）证明在R上是减函数；
（3）若，求在区间上的最大值和最小值.
解：（1）第一步：确定函数的奇偶性
由于函数对任意、都有，
该函数的定义域为，令，可得，
再令，可得，即，，
因此，函数为奇函数；
⑵第二步：取值定大小：设任意，且；
设，则，
，则，所以，，
因此，函数在上是减函数；
（3）第二步：结合函数单调性的定义即可确定函数的单调性.
因为函数在上是减函数，所以，函数在上也是减函数，
所以，函数在上的最大值和最小值分别为和，
而，，
因此，函数在上的最大值为，最小值为.
模型5、设是定义在R上的函数,对任意的,恒有，且当时, .
(1)求的值;(2)求证:对任意,恒有.(3)求证:在R上是减函数.
解：(1) 令,有,当时,,所以有,于是有；
(2)当时,有,因为,所以,已知当时,,所以,由(1)可知,所以有；已知当时,；
由(1)可知,故对任意,恒有；
(3)第一步：确定函数的奇偶性，取值定大小：设任意，且；
设且,所以有,而已知当时,,因此有
,
第二步：结合函数单调性的定义即可确定函数的单调性.
而,由(2)的证明过程可知：,
于是由可得,所以有,根据(2)的性质可知：,所以有,因此在R上是减函数.
模型6、定义域为的函数满足：，若时，.试证明：
(1)，(2)是的奇函数，(3)在上单调递增.
解：第一步：由函数的解析式确定函数所属的模型；
联想符合的一个原型，
时，，故，结合它性质尝试有下解：
第二步：结合函数模型和函数的单调性的定义确定函数的单调性.
(1)，即
(2)，即，所以，是上的奇函数.
(3)任取且，则.由已知得，，
又因为即f(x)在R上单调递减.
1．已知函数的定义域为，对，总有成立.若时，.
(1)判断并证明函数的单调性；
(2)若，求解关于的不等式的解集.
【答案】(1)在上单调递减，证明见解析
(2)
【分析】（1）赋值法求出，，且，则，根据单调性的定义结合已知即可证明；
（2）赋值法求出，根据已知结合函数的单调性，将不等式化为.求解结合函数的单调性，即可得出答案.
【详解】（1）在上单调递减，证明如下：
令，由已知可得，，
则.
由已知可得，.
，且，则，
则，所以，，
所以，在上单调递减.
（2）令，由已知可得.
又，
不等式化为.
由（1）知，在上单调递减，所以，.
又，，所以，所以有，
整理可得，，
解得，所以，.所以，不等式的解集为.
2．已知函数在定义域上恒为正，，对任意的，都有，当时，.
(1)求，的值；
(2)用定义证明：为上的减函数；
(3)求不等式的解集.
【答案】(1)，(2)证明见解析(3)
【分析】（1）利用赋值法即可求解函数值.
（2）利用单调性的定义证明即可.
（3）把原不等式化为，然后利用单调性解不等式即可.
【详解】（1）令，则，又，所以.
因为，所以.
（2）在上单调递减.证明如下：
设，则
，
又，所以，所以，
又，所以，即，
所以为上的减函数.
（3）由（1）知，则即，
又在上单调递减，所以，解得，
所以不等式的解集为.
3．已知定义域为，对任意x，，都有，当时，，且.
(1)求和的值；
(2)证明：函数在上单调递增；
(3)求不等式的解集.
【答案】(1)，(2)证明见解析(3)
【分析】（1）根据已知条件分别赋值和，即可求出；
（2）利用单调性的定义证明函数单调递增；
（3）将条件不等式按照函数关系转换成利用单调性求解自变量的范围不等式即可.
【详解】（1）因为对任意，都有，
所以，令，则，所以；
令，，则，因为，
所以；
（2）任取，且，
则
当时，，，，，，在上单调递增；
（3）
，
，得
所以原不等式可化为；
由和（1）可得，
，所以，，
根据（2）得，为单调递增函数，所以，，
，得，
所以，不等式的解集为：
4．若非零函数对任意x，y均有，且当时，.
(1)求，并证明；
(2)求证：为上的减函数；
(3)当时，对时恒有，求实数的取值范围.
【答案】(1)，证明见解析(2)证明见解析(3)或或
【分析】（1）取可得，取，计算时的即可；
（2）任取，通过计算的符号来证明；
（3）先求出，再利用函数单调性去掉不等式中的，得到关于的一次不等式恒成立问题，直接根据范围的端点处成立来列不等式求解即可.
【详解】（1）取得，又，
，
取得，
当时，，，，
综合得；
（2）任取，，
则，
由得，，，
，为上的减函数；
（3）取得，，
，
又由（2）为上的减函数得，
即对时恒有，
，解得或或.
所以或或
5．设函数的定义域是，且对任意的正实数x、y都有恒成立，已，且时，
(1)求与的值；
(2)求证：函数在上单调递减；
(3)解不等式
【答案】(1)，(2)证明见解析(3)
【分析】（1）根据抽象函数的性质结合，采用赋值法求解与的值即可；
（2）设，则，根据时，可得的符号，从而证得单调性；
（3）结合抽象函数的性质将不等式转化为，结合单调性解不等式即可得的取值集合.
【详解】（1）令，，则，故
令，则可得，
令，得，
（2）设，则
即，∵，故，
即，故在上单调递减
（3）由于，
所以
所以，即．
因为在上单调递减，
所以，解得或，
所以不等式的解为：.
6．已知函数满足，当时，，且.
(1)求的值；
(2)判断的单调性并证明；
(3)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)，(2)增函数，证明见解析(3)
【分析】（1）利用赋值法可得解；
（2）利用单调性的定义证明；
（3）利用已知等式把不等式转化为，利用函数的单调性，结合分离参数法、配方法进行求解即可.
【详解】（1）令，得，得，
令，得，得；
（2）设是任意两个不相等的实数，且，所以，
，
因为，所以，所以，
因此，即在上为增函数；
（3）因为，，即，
又，所以，
又因为在上为增函数，所以在上恒成立，得在上恒成立，
即在上恒成立，
因为，当时，取最小值，
所以，即的取值范围为.
7．已知函数的定义域为，当时，．
(1)求的值；
(2)证明：函数在上为单调减函数；
(3)解不等式．
【答案】(1)-1(2)证明见解析(3)
【分析】（1）令，代入题意中的等式即可求解；
（2）由题意可得，令，利用定义法即可证明函数的单调性；
（3）将原不等式转化为，由（1）得，结合（2）建立不等式组，解之即可求解.
【详解】（1）由题意知，令，
则，得；
（2）当时，有，且当时，
，且，则，.
由，得，
有，
即，所以函数在上为单调减函数；
（3）由，得，
由，得，
即，由（1）知，
所以，
由（2）知函数在上为单调减函数，
所以，解得，
即原不等式的解集为.
8．设函数是定义在上的减函数，且满足，
(1)求的值；
(2)如果，求的取值集合．
【答案】(1)0(2)
【分析】（1）采用赋值法，令即可求得结果；
（2）结合已知条件和单调性将函数值不等关系转化为自变量的不等关系，由此求解出结果.
【详解】（1）令，所以，所以，
所以.
（2）因为，所以，
又因为，
所以，
又因为函数是定义在上的减函数，
所以，解得或，
所以不等式的解集为.
9．已知在上有意义，单调递增且满足，.
(1)求的值；
(2)求不等式的的解集.
【答案】(1)0；(2).
【分析】（1）令，得，即可求得.
（2）令，得，利用函数的单调性及定义域列出不等式组求解即得．
【详解】（1）由，取，得，解得，
所以.
（2）由，得，
则不等式化为，而函数在上单调递增，
于是，解得，
所以不等式的的解集为.
10．定义在上的函数，对任意的，都有成立，且当时，．
(1)求的值；
(2)证明：在上为增函数；
(3)当时，解不等式．
【答案】(1)0(2)证明见解析(3)
【分析】（1）直接令，即可求出的值
（2）利用已知，结合函数单调性的定义进行证明即可
（3）根据，可得，然后利用函数的单调性进行求解即可．
【详解】（1）令，则； 所以.
（2）设，则，所以，
，
即，所以在上为增函数；
（3），
，，
在上为增函数，
解得：，
所以不等式的解集为．
11．已知定义在上的函数满足、，；，.
(1)求的值；
(2)证明是上的增函数；
(3)若，求的取值范围.
【答案】(1)(2)证明见解析(3)
【分析】（1）在等式中，令，可求得的值；
（2）、，，可得出，然后利用函数单调性的定义证证明即可；
（3）由（2）中的结论可得出，解之即可.
【详解】（1）解：令，得到，解得.
（2）解：、，，则，所以，，
则
，即，
所以是上的增函数.
（3）解：因为是上的增函数，且，所以，解得.
因此，实数的取值范围是.
12．设函数的定义域是，且对任意的正实数都有恒成立，当时，.
(1)判断并证明函数在上的单调性：
(2)若，求不等式的解集.
【答案】(1)在上为增函数，证明见解析
(2)或
【分析】（1）已知条件结合函数单调性的证明方法即可得解.
（2）通过适当变形，把已知不等式转化为方便运用单调性的形式即可.
【详解】（1）在上为增函数.
设，则即，
，故，即，
故在上为增函数；
（2）由得：，
，
所以，
解得或，
所以不等式的解集为：或.
13．定义在上的函数，满足．且当时，．
(1)求证：在上是增函数；
(2)若，解不等式．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）利用单调性的定义证明；
（2）根据得到，然后根据将不等式变形为，最后根据单调性解不等式即可.
【详解】（1）由得，
令，
在中用替换，替换得，，
因为，所以，
因为当时，，所以，
所以在上是增函数.
（2）由，得，
不等式可变形为，
因为，所以不等式可整理为，
因为在上是增函数，所以，解得，
所以.
14．已知为定义在上不恒为的函数，对定义域内任意，满足：，．且当时，．
(1)证明：；
(2)证明：在单调递减；
(3)解关于的不等式：．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)
【分析】（1）当时，，可知，可得，即可得证；
（2）利用定义法证明函数单调性，
（3）根据函数的定义可知，再根据函数的定义域与单调性解不等式.
【详解】（1）当时，成立，
当时，成立，
当时，，且，
所以，所以，
解得，
综上所述，当时，.
（2）由（1）得当时，，
任取，，且，
则，，，，
所以，
所以，即，所以函数在上单调递减；
（3）由（2）得函数在上单调递减，
又，
所以，所以，解得，
所以不等式的解集为.
15．已知函数的定义域为，满足对总有成立，且当时，．
(1)判断函数的单调性，并利用定义证明；
(2)若，求解关于x的不等式的解集．
【答案】(1)在上单调递增；证明见解析(2)．
【分析】（1）定义法判断或证明函数的单调性及利用函数单调性求解不等式求参数，由单调性的定义直接证明即可；
（2）结合题意求出，并利用及单调性脱去“f ”从而构造关于x的不等式求解．
【详解】（1）在上单调递增．证明如下：
任取，
可知，
因为，且当时，，所以，，，
所以，即，故在上单调递增．
（2）由，得．
由，得
再（1）知：在上单调递增，
可得，解得．故所求不等式的解集为．
16．函数满足对一切有，且；当时，有.
(1)求的值;
(2)判断并证明在R上的单调性；
(3)解不等式
【答案】(1)(2)在R上的单调递减，证明过程见解析(3).
【分析】（1）赋值法求出和，进而赋值求出；
（2）先求出时，，进而得到时，，再利用定义法证明出函数的单调性；
（3）变形得到，求出，结合（2）中函数的单调性求出，从而求出答案.
【详解】（1）中，令，
则，因为，所以，
令得，，解得，
令得，，即，
解得；
（2）设，则，
所以，所以时，，
又因为时，有，且，所以时，，
在R上的单调递减，证明过程如下：
设，且，则，
则，
因为时，，
所以，故，
故在R上的单调递减；
（3）由题意得，
因为，
所以，
即，解得，
中，令得，，
故，
故，
由（2）可知，在R上的单调递减，
故，解得或，
所以原不等式的解集为.
17．已知定义在上的函数满足对任意的，恒成立.当时，，且.
(1)判断的单调性并证明，
(2)求不等式的解集.
【答案】(1)在上单调递增，证明见解析(2)
【分析】（1）由时，，，可考虑设，构造，变形得，进而得证；
（2）由可得，则，即，结合（1）所证单调性去“”即可求解.
【详解】（1）在上单调递增.
证明如下：设，则.
因为当时，，所以.
因为，所以，
则，即，
故在上单调递增；
（2）因为，所以，即.
因为，所以，则等价于
，即，
即，
由（1）可知在上单调递增，则，
解得，即不等式的解集是.
18．已知函数满足，当时，，且.
(1)求，的值，并判断的单调性并证明；
(2)当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】(1)，，在上为增函数，证明见解析(2)
【分析】（1）赋值法求出，的值，并利用单调性的定义证明；
（2）利用已知等式把不等式转化为，利用函数的单调性，结合常变量分离法、配方法进行求解即可.
【详解】（1）令，得，得
令，得，得
设是任意两个不相等的实数，且，所以，所以
因为，所以，所以，
因此
即在上为增函数
（2）因为，
，即
又，所以
又因为在上为增函数，所以在上恒成立
得在上恒成立
即在上恒成立
因为，当时，取最小值，所以，
即时满足题意.
19．函数的定义域为，对于，，，且当时，．
(1)证明：为减函数；
(2)若，求不等式的解集．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）根据函数单调性的定义及当函数中时，的性质即可证明；
（2）由抽象函数的性质化简，结合函数单调性及定义域列出不等式组可得解.
【详解】（1）设，且，
则，，
因为，
所以，即为减函数.
（2）因为，
所以，
令，则，即，所以，
又因为在上单调递减，
所以，解得，所以不等式的解集为.
20．定义在R上的函数对任意，都有，当时，.
(1)求的值；
(2)试判断在R上的单调性，并说明理由；
(3)解不等式.
【答案】(1)
(2)在R上单调递增，理由见解析(3)
【分析】（1）赋值法求出；
（2）设，则，从而得到，故，得到在R上单调递增；
（3）变形得到，结合在R上单调性，得到不等式，求出解集.
【详解】（1）令，可得，解得.
（2）在R上单调递增，理由如下：
设，则，
，
因为当时，，所以，
则，即.
故在R上单调递增；
（3），
即，
因为在R上单调递增，所以，解得，
故原不等式的解集为.