2024年甘肃省定西市中考数学二模试卷

这是一份2024年甘肃省定西市中考数学二模试卷，共33页。试卷主要包含了选题题，填空题，解答题，八年级学生，分别从七等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）﹣2021的倒数的绝对值为（ ）
A．﹣2021B．C．2021D．
2．（3分）我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘徽割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．2x4÷x3＝2xB．（x3）4＝x7C．x4+x3＝x7D．x3•x4＝x12
4．（3分）用配方法解方程x2﹣2x＝2时，配方后正确的是（ ）
A．（x+1）2＝3B．（x+1）2＝6C．（x﹣1）2＝3D．（x﹣1）2＝6
5．（3分）中央财政给某市投入“全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件”专项补助资金1692亿元，将169200000000用科学记数法表示应是（ ）
A．0.1692×1012B．1.692×1012
C．1.692×1011D．16.92×1010
6．（3分）最近，甘肃“天水麻辣烫”在网上爆火，吸号引了全国很多游客，为了给游客带大更便捷的体验，当地开通了天水火车站和天水南站两条“麻辣烫”公交专线，据介绍，想要成就一份香喷喷美味的麻辣烫，甘谷辣椒、秦安花椒、武山蔬菜、于擀粉缺一不可，为了了解外地游客对麻烫口味的喜爱程度，当地相关部门随机调查了部分游客的意见（A不满意；B一般；C非常满意；D较满意；E不清楚．五者任选其一），根据调查情况进行统计，绘制了如图所示的不完整的条形统计图和不完整的扇形统计图．根据统计图中的信息，下列结论错误的是（ ）
A．选择“C满意”的人数最多
B．抽样调查的样本容量是240
C．样本中“A不满意”的百分比为10%
D．若周末到天水吃“麻辣烫”的人数为800人，则觉得口味“B一般”的人数大约为160人
7．（3分）分式方程的解为（ ）
A．x＝4B．x＝2C．x＝0D．x＝5
8．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若∠BAC＝29°，则∠D＝ °．
9．（3分）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若∠1＝155°，∠2＝30°，则∠3的度数为（ ）
A．45°B．50°C．55°D．60°
10．（3分）如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝6，AC＝8，点P为线段AB上的动点．以每秒1个单位长度的速度从点A向点B移动，到达点B时停止．过点P作PM⊥AC于点M．作PN⊥BC于点N，连结MN，线段MN的长度y与点P的运动时间t（秒）的函数关系如图所示，则函数图象最低点E的坐标为（ ）
A．（5，5）B．（6，）C．（，）D．（，5）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）分解因式：4x3﹣xy2＝ ．
12．（3分）关于x的一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围部是 ．
13．（3分）把二次函数y＝2（x+3）2﹣1先向右平移2个单位，再向下平移3个单位后解析式为 ．
14．（3分）近年来，我国科技工作者践行“科技强国”使命，不断取得世界级的科技成果．如由我国研制的中国首台作业型全海深自主遥控潜水器“海斗一号”，最大下潜深度10907米，填补了中国水下万米作业型无人潜水器的空白；由我国自主研发的极目一号Ⅲ型浮空艇“大白鲸”，升空高度至海拔9050米，创造了浮空艇原位大气科学观测海拔最高的世界纪录．如果把海平面以上9050米记作“+9050米”，那么海平面以下10907米记作 ．
15．（3分）如图，矩形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，AB＝2，AD＝3．以点B为圆心，BE为半径画弧，交BC于点F，则图中阴影部分的面积是 （结果保留π）．
16．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E是边AD的中点，点P是对角线BD上的一个动点，则线段PA+PE的最小值是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共32分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（5分）计算：（﹣π）0﹣6tan30°+（）﹣2+|1﹣|
18．（5分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
19．（5分）化简：．
20．（5分）《九意算术》是我国古代数学名著，也是东方数学的代表作之一，书中记载了这样一个回题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容圆半径几何”译文：如图今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的半径是多少步？
（1）如图，已知Rt△ABC，请你根据以下步骤完成作图过程：
①作∠BAC的平分线AD，∠ABC的平分线BE，两条射线交于点O：
②过点O作AB的垂线OF（提示：取点P，使点P和点O位于AB的异侧，以O为圆心，OP长为半径画弧，交AB于M、N两点，线段MN的垂直平分线即为AB的垂线），交AB于点H；
③以点O为圆心，OH为半径作⊙O，则⊙O即为Rt△ABC的内切圆．
（2）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，求（1）中所作的⊙O的半径．
21．（5分）2023年9月23日至10月8日在杭州举办第19届亚运会，吉祥物为“宸宸、琮琮、莲莲”．我校举办了“第19届亚运会”知识竞赛活动，拟将一些吉祥物“A宸宸、B琮琮、C莲莲”作为竞赛奖品．主持人在3张完全相同的卡片上分别写上“A、B、C”后放入一个盒子里．
（1）某获奖者随机从盒子里抽取一张卡片恰好抽到“A宸宸”的概率为 ；
（2）某获奖者随机从盒子里抽取一张卡片后放回，再随机抽取一张卡片．请借助列表法或树状图求“两次抽取卡片上字母相同”的概率．
22．（7分）贵州旅游资源丰富．某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚A为起点，沿途修建AB、CD两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与AF平行的观光平台BC为50m．索道AB与AF的夹角为15°，CD与水平线夹角为45°，A、B两处的水平距离AE为576m，DF⊥AF，垂足为点F．（图中所有点都在同一平面内，点A、E、F在同一水平线上）
（1）求索道AB的长（结果精确到1m）；
（2）求水平距离AF的长（结果精确到1m）．
（参考数据：sin15°≈0.25，cs15°≈0.96，tan15°≈0.26，）
四、解答题（本大题共5小题，共40分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
23．（8分）为了解学生的课外阅读情况，某校调研了七、八年级学生，分别从七、八年级中各随机抽取20名学生了解平均每天课外阅读时长（单位：小时），对调查结果整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
信息1．七年级20名学生平均每天课外阅读时长如下所示：
3.0 2.8 2.6 2.5 2.4 2.3 2.0 2.0 2.0 1.7 1.6 1.6 1.4 1.2 1.0 1.0 0.8 0.6 0.3 0.2
信息2．（1）八年级20名学生平均每天课外阅读时长的频数分布直方图如图：（阅读时长用x表示，数据分为六组：0≤x＜0.5，0.5≤x＜1.0，1.0≤x＜1.5，1.5≤x＜2.0，2.0≤x＜2.5，2.5≤x≤3）；
（2）八年级阅读时长范围为1.5≤x＜2.5的数据如下：
1.6 1.8 1.9 2.0 2.1 2.1 2.1 2.4；
信息3．七、八年级抽取学生平均每天课外阅读时长统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ ，b＝ ；请补全频数分布直方图；
（2）该校八年级共1800人，估计八年级每天课外阅读不少于1.5小时的学生人数；
（3）根据以上数据，你认为该校七、八年级在课外阅读方面哪个年级做得更好？请说明理由．（写出一条理由即可）
24．（8分）如图，一次函数y＝k1x+b（k1≠0）与反比例函数y＝（k2≠0）的图象交于点A（2，3），B（n，﹣1）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）判断点P（﹣2，1）是否在一次函数y＝k1x+b的图象上，并说明理由；
（3）直接写出不等式k1x+b≥的解集．
25．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD，垂足为E，DA平分∠BDE．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若，DE＝1cm，求BD和弧CD的长．
26．（8分）已知正方形ABCD，E为对角线AC上一点．
【建立模型】
（1）如图1，连接BE，DE．求证：BE＝DE；
【模型应用】
（2）如图2，F是DE延长线上一点，FB⊥BE，EF交AB于点G．
①判断△FBG的形状并说明理由；
②若G为AB的中点，且AB＝4，求AF的长．
【模型迁移】
（3）如图3，F是DE延长线上一点，FB⊥BE，EF交AB于点G，BE＝BF．请写出GE与DE之间的数量关系，并说明理由．
27．（8分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣2x2+4x+6与y轴交于点A，与x轴交于点E，B（E在B的左侧）．
（1）如图2，抛物线的顶点为点Q，求△BEQ的面积；
（2）如图3，过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在AC上方），作PD平行于y轴交AB于点D、交AC于点F，当点P在何位置时，PD+CF最大？求出最大值；
（3）在（2）条件下，当PD+CF最大时，将抛物线y＝﹣2x2+4x+6沿着射线AB平移，使得抛物线经过点C，此时得到新抛物线y′，点N是原抛物线对称轴上一点，在新抛物线y′上是否存在一点M，使以点A，D，M，N为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点M的所有坐标，若不存在，请说明理由．
2024年甘肃省定西市中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选题题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项）
1．（3分）﹣2021的倒数的绝对值为（ ）
A．﹣2021B．C．2021D．
【分析】利用倒数的定义结合绝对值的性质即可答案．
【解答】解：﹣2021的倒数为，
的绝对值为＝|﹣|＝．
故选：D．
【点评】本题考查了倒数的定义及绝对值的性质．倒数的定义：乘积为1的两个数称互为倒数；绝对值的性质：正数的绝对值是它本身；0的绝对值是0；负数的绝对值是它的相反数．
2．（3分）我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘徽割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：选项A、B、C都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项D能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：D．
【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．2x4÷x3＝2xB．（x3）4＝x7C．x4+x3＝x7D．x3•x4＝x12
【分析】直接利用整式的除法运算法则、幂的乘方运算法则、同底数幂的乘法运算法则、合并同类项法则分别判断得出答案．
【解答】解：A．2x4÷x3＝2x，故此选项符合题意；
B．（x3）4＝x12，故此选项不合题意；
C．x4+x3，无法合并，故此选项不合题意；
D．x3•x4＝x7，故此选项不合题意．
故选：A．
【点评】此题主要考查了整式的除法运算、幂的乘方运算、同底数幂的乘法运算、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4．（3分）用配方法解方程x2﹣2x＝2时，配方后正确的是（ ）
A．（x+1）2＝3B．（x+1）2＝6C．（x﹣1）2＝3D．（x﹣1）2＝6
【分析】方程左右两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．
【解答】解：x2﹣2x＝2，
x2﹣2x+1＝2+1，即（x﹣1）2＝3．
故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
5．（3分）中央财政给某市投入“全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件”专项补助资金1692亿元，将169200000000用科学记数法表示应是（ ）
A．0.1692×1012B．1.692×1012
C．1.692×1011D．16.92×1010
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：169200000000＝1.692×1011．
故选：C．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
6．（3分）最近，甘肃“天水麻辣烫”在网上爆火，吸号引了全国很多游客，为了给游客带大更便捷的体验，当地开通了天水火车站和天水南站两条“麻辣烫”公交专线，据介绍，想要成就一份香喷喷美味的麻辣烫，甘谷辣椒、秦安花椒、武山蔬菜、于擀粉缺一不可，为了了解外地游客对麻烫口味的喜爱程度，当地相关部门随机调查了部分游客的意见（A不满意；B一般；C非常满意；D较满意；E不清楚．五者任选其一），根据调查情况进行统计，绘制了如图所示的不完整的条形统计图和不完整的扇形统计图．根据统计图中的信息，下列结论错误的是（ ）
A．选择“C满意”的人数最多
B．抽样调查的样本容量是240
C．样本中“A不满意”的百分比为10%
D．若周末到天水吃“麻辣烫”的人数为800人，则觉得口味“B一般”的人数大约为160人
【分析】由“C满意”的人数，从而可判断A；由“B一般”的人数及其占比可求得抽取的总人数，则可判断B；可以计算出样本中“A不满意”的百分比，从而判断C；根据口味“B一般”的人数占比，即可求得周末到天水吃“麻辣烫”的人数为800人中，觉得口味“B一般”的大约人数，从而判断D．
【解答】解：由题意知，选择“C满意”的人数最多，故A正确，不符合题意；
抽取的人数中，口味“B一般”的人数为20人，其占比为20%，则抽取的总人数为：20÷20%＝100（人），故抽样调查的样本容量是100，故B错误，符合题意；
“A不满意”的人数为100﹣（20+40+25+5）＝10（人），样本中“A不满意”的百分比为，故C正确；不符合题意；
周末到天水吃“麻辣烫”的人数为800人中，觉得口味“B一般”的人数为：（人），
即周末到天水吃“麻辣烫”的人数为800人中，觉得口味“B一般”的大约人数为160人．不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，掌握用样本估计总体数量等知识是解题的关键．
7．（3分）分式方程的解为（ ）
A．x＝4B．x＝2C．x＝0D．x＝5
【分析】按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可．
【解答】解；
去分母得：2（x+3）＝5x，
去括号得：2x+6＝5x，
移项得：2x﹣5x＝﹣6，
合并同类项得：﹣3x＝﹣6，
系数化为1得：x＝2，
检验，当x＝2时，x（x+3）≠0，
∴x＝2是原方程的解，
故选：B．
【点评】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是掌握相关运算．
8．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若∠BAC＝29°，则∠D＝ 61 °．
【分析】如图，连接BC，证明∠ACB＝90°，求出∠ABC，可得结论．
【解答】解：如图，连接BC．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝61°，
∴∠D＝∠ABC＝61°，
故答案为：61．
【点评】本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，属于中考常考题型．
9．（3分）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若∠1＝155°，∠2＝30°，则∠3的度数为（ ）
A．45°B．50°C．55°D．60°
【分析】由平行线的性质求出∠OFB＝25°，由对顶角的性质得到∠POF＝∠2＝30°，由三角形外角的性质即可求出∠3的度数．
【解答】解：∵AB∥OF，
∴∠1+∠OFB＝180°，
∵∠1＝155°，
∴∠OFB＝25°，
∵∠POF＝∠2＝30°，
∴∠3＝∠POF+∠OFB＝30°+25°＝55°．
故选：C．
【点评】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角的性质，关键是由平行线的性质求出∠OFB的度数，由对顶角的性质得到∠POF的度数，由三角形外角的性质即可解决问题．
10．（3分）如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝6，AC＝8，点P为线段AB上的动点．以每秒1个单位长度的速度从点A向点B移动，到达点B时停止．过点P作PM⊥AC于点M．作PN⊥BC于点N，连结MN，线段MN的长度y与点P的运动时间t（秒）的函数关系如图所示，则函数图象最低点E的坐标为（ ）
A．（5，5）B．（6，）C．（，）D．（，5）
【分析】根据矩形的性质和直角三角形的性质，可以得到CP⊥AB时，CP取得最小值，此时MN取得最小值，然后即可求得点E的坐标．
【解答】解：连接CP，
∵AB＝10，BC＝6，AC＝8，
∴AC2+BC2＝82+62＝102＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，
∵PM⊥AC，PN⊥BC，
∴∠PMC＝∠PNC＝90°，
∴∠PMC＝∠PNC＝∠ACB＝90°，
∴四边形CMPN是矩形，
∴MN＝CP，
当CP⊥AB时，CP取得最小值，此时CP＝＝＝，AP＝＝＝，
∴函数图象最低点E的坐标为（，），
故选：C．
【点评】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）分解因式：4x3﹣xy2＝ x（2x+y）（2x﹣y） ．
【分析】原式提取x，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝x（4x2﹣y2）＝x（2x+y）（2x﹣y），
故答案为：x（2x+y）（2x﹣y）
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12．（3分）关于x的一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围部是 且k≠0 ．
【分析】根据一元二次方程的定义和△的意义得到k≠0且Δ＞0，即（﹣2）2﹣4×k×1＞0，然后解不等式即可得到k的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴k≠0且Δ＞0，即（﹣3）2﹣4×k×1＞0，
解得k＜且k≠0．
∴k的取值范围为k＜且k≠0．
故答案为：k＜且k≠0．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
13．（3分）把二次函数y＝2（x+3）2﹣1先向右平移2个单位，再向下平移3个单位后解析式为 y＝2（x+1）2﹣4 ．
【分析】根据函数平移的规律上加下减，左加右减直接代入即可得到答案；
【解答】解：∵二次函数y＝2（x+3）2﹣1的图象先向右平移2个单位．再向下平移3个单位，
∴解析式为y＝2（x+1）2﹣4，
故答案为：y＝2（x+1）2﹣4．
【点评】本题考查二次函数平移的规律，熟练掌握平移规律是关键．
14．（3分）近年来，我国科技工作者践行“科技强国”使命，不断取得世界级的科技成果．如由我国研制的中国首台作业型全海深自主遥控潜水器“海斗一号”，最大下潜深度10907米，填补了中国水下万米作业型无人潜水器的空白；由我国自主研发的极目一号Ⅲ型浮空艇“大白鲸”，升空高度至海拔9050米，创造了浮空艇原位大气科学观测海拔最高的世界纪录．如果把海平面以上9050米记作“+9050米”，那么海平面以下10907米记作 ﹣10907米 ．
【分析】根据正数与负数的实际意义即可得出答案．
【解答】解：∵海平面以上9050米记作“+9050米”，
∴海平面以下10907米记作“﹣10907米”，
故答案为：﹣10907米．
【点评】本题考查正数与负数的实际意义，正数和负数是一对具有相反意义的量，此为基础知识点，必须熟练掌握．
15．（3分）如图，矩形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，AB＝2，AD＝3．以点B为圆心，BE为半径画弧，交BC于点F，则图中阴影部分的面积是 4﹣π （结果保留π）．
【分析】利用矩形的性质以及结合角平分线的性质分别求出AE，BE的长以及∠EBF的度数，进而利用图中阴影部分的面积＝S矩形ABCD﹣S△ABE﹣S扇形EBF，求出答案．
【解答】解：∵矩形ABCD的边AB＝2，BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBF＝45°，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE＝45°，
∴AB＝AE＝2，BE＝2，
∴图中阴影部分的面积＝S矩形ABCD﹣S△ABE﹣S扇形EBF
＝2×3﹣×2×2﹣＝4﹣π．
故答案为：4﹣π．
【点评】此题主要考查了扇形面积求法以及矩形的性质等知识，正确得出BE的长以及∠EBC的度数是解题关键．
16．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E是边AD的中点，点P是对角线BD上的一个动点，则线段PA+PE的最小值是 ．
【分析】根据正方形的轴对称性可知，A、C关于BD对称，连接EC交BD于点P，CP+PE最小值为CE，利用勾股定理即可求出答案．
【解答】解：连接CE，
∵正方形是关于对角线所在直线的轴对称图形，A点的对称点是C点，
∴CP+PE的最小值为CE，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：
CE＝＝＝．
∴线段PA+PE的最小值是．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了正方形的轴对称性质，轴对称﹣最短路线问题，理解CP+PE的最小值为CE是解题的关键．
三、解答题（本大题共6小题，共32分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（5分）计算：（﹣π）0﹣6tan30°+（）﹣2+|1﹣|
【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，特殊角的三角函数值，以及绝对值的代数意义化简即可得到结果．
【解答】解：原式＝1﹣2+4+﹣1＝4﹣．
【点评】此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（5分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【分析】正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【解答】解：，
解不等式①得：x≤1，
解不等式②得：x＜4，
∴不等式组的解集为：x≤1，
∴表示在数轴上为：
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19．（5分）化简：．
【分析】先通分括号内的式子，再算括号外的除法即可．
【解答】解：
＝•
＝
＝
＝．
【点评】本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
20．（5分）《九意算术》是我国古代数学名著，也是东方数学的代表作之一，书中记载了这样一个回题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容圆半径几何”译文：如图今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的半径是多少步？
（1）如图，已知Rt△ABC，请你根据以下步骤完成作图过程：
①作∠BAC的平分线AD，∠ABC的平分线BE，两条射线交于点O：
②过点O作AB的垂线OF（提示：取点P，使点P和点O位于AB的异侧，以O为圆心，OP长为半径画弧，交AB于M、N两点，线段MN的垂直平分线即为AB的垂线），交AB于点H；
③以点O为圆心，OH为半径作⊙O，则⊙O即为Rt△ABC的内切圆．
（2）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，求（1）中所作的⊙O的半径．
【分析】（1）①利用尺规作图画角平分线即可；②利用尺规作图画垂直平分线即可；③用圆规画圆即可；
（2）过点O作OE⊥BC，垂足为E，过点O作OF⊥AC，垂足为F，可以得到正方形OFCE，设圆的半径为r，结合切线定理可以得到AB＝AF+BE，建立方程即可求得答案．
【解答】解：（1）①点O如下图所示；
②点H如下图所示；
③⊙O如下图所示；
（2）如上图所示③，过点O作OE⊥BC，垂足为E，过点O作OF⊥AC，垂足为F，
设圆的半径为r，
根据题意得OF＝OE＝r，且四边形OFCE为正方形，
∴FC＝OE＝r，
∵∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，
∴，
∴AF＝AC﹣FC＝12﹣r，BE＝BC﹣EC＝5﹣r，
∵AH＝AF，BH＝BE，
∴AB＝AF+BE，
∴13＝12﹣r+5﹣r，
∴r＝2，
∴⊙O的半径为2．
【点评】此题考查了尺规作图，掌握勾股定理，切线长定理，正方形的判定与性质是解题的关键．
21．（5分）2023年9月23日至10月8日在杭州举办第19届亚运会，吉祥物为“宸宸、琮琮、莲莲”．我校举办了“第19届亚运会”知识竞赛活动，拟将一些吉祥物“A宸宸、B琮琮、C莲莲”作为竞赛奖品．主持人在3张完全相同的卡片上分别写上“A、B、C”后放入一个盒子里．
（1）某获奖者随机从盒子里抽取一张卡片恰好抽到“A宸宸”的概率为 ；
（2）某获奖者随机从盒子里抽取一张卡片后放回，再随机抽取一张卡片．请借助列表法或树状图求“两次抽取卡片上字母相同”的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有9种等可能的结果，符合题意的结果有3种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）由题意可得，
从中任意抽取1张，抽得卡片上的图案恰好为“A宸宸”的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
共有9种等可能的结果，“两次抽取卡片上字母相同”的结果有3种，
∴P（两次抽取卡片上字母相同）＝．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
22．（7分）贵州旅游资源丰富．某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚A为起点，沿途修建AB、CD两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与AF平行的观光平台BC为50m．索道AB与AF的夹角为15°，CD与水平线夹角为45°，A、B两处的水平距离AE为576m，DF⊥AF，垂足为点F．（图中所有点都在同一平面内，点A、E、F在同一水平线上）
（1）求索道AB的长（结果精确到1m）；
（2）求水平距离AF的长（结果精确到1m）．
（参考数据：sin15°≈0.25，cs15°≈0.96，tan15°≈0.26，）
【分析】（1）通过解Rt△ABE可求得AB的长；
（2）延长BC交DF于G，证明四边形BEFG是矩形，可得EF＝BG，∠CGD＝∠BGF＝90°，再解Rt△CDG可求解CG的长，进而可求解．
【解答】解：（1）在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，∠A＝15°，AE＝576m，
∴AB＝（m），
即AB的长约为600m；
（2）延长BC交DF于G，
∵BC∥AE，
∴∠CBE＝90°，
∵DF⊥AF，
∴∠AFD＝90°，
∴四边形BEFG为矩形，
∴EF＝BG，∠CGD＝∠BGF＝90°，
∵CD＝AB＝600m，∠DCG＝45°，
∴CG＝CD•cs∠DCG＝600×cs45°＝600×＝（m），
∴AF＝AE+EF＝AE+BG＝AE+BC+CG＝576+50+≈1049（m），
即AF的长为1049m．
【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，掌握三角函数的概念是解题的关键．
四、解答题（本大题共5小题，共40分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
23．（8分）为了解学生的课外阅读情况，某校调研了七、八年级学生，分别从七、八年级中各随机抽取20名学生了解平均每天课外阅读时长（单位：小时），对调查结果整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
信息1．七年级20名学生平均每天课外阅读时长如下所示：
3.0 2.8 2.6 2.5 2.4 2.3 2.0 2.0 2.0 1.7 1.6 1.6 1.4 1.2 1.0 1.0 0.8 0.6 0.3 0.2
信息2．（1）八年级20名学生平均每天课外阅读时长的频数分布直方图如图：（阅读时长用x表示，数据分为六组：0≤x＜0.5，0.5≤x＜1.0，1.0≤x＜1.5，1.5≤x＜2.0，2.0≤x＜2.5，2.5≤x≤3）；
（2）八年级阅读时长范围为1.5≤x＜2.5的数据如下：
1.6 1.8 1.9 2.0 2.1 2.1 2.1 2.4；
信息3．七、八年级抽取学生平均每天课外阅读时长统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ 2.0 ，b＝ 1.7 ；请补全频数分布直方图；
（2）该校八年级共1800人，估计八年级每天课外阅读不少于1.5小时的学生人数；
（3）根据以上数据，你认为该校七、八年级在课外阅读方面哪个年级做得更好？请说明理由．（写出一条理由即可）
【分析】（1）分别根据众数和中位数的定义解答即可；
（2）用1800乘样本中每天课外阅读不少于1.5小时的学生人数所占比例即可；
（3）比较平均数，中位数、众数和方差的大小即可．
【解答】解：（1）由题意可知，在七年级抽取的学生平均每天课外阅读时长中，2.0出现的次数最多，故众数a＝2.0；
把八年级抽取的学生平均每天课外阅读时长从小到大排列，排在中间的两个数分别是1.6，1.8，故中位数b＝＝1.7，
八年级阅读时长范围为1.5≤x＜2.5的人数为：20﹣2﹣3﹣4﹣3＝8，
补全频数分布直方图如下：
故答案为：2.0，1.7；
（2）1800×＝990（人），
答：估计八年级每天课外阅读不少于1.5小时的学生大约有990人；
（3）八年级在课外阅读方面做得更好，理由如下：
因为七、八年级抽取学生平均每天课外阅读时长的平均数相同，但八年级的中位数和众数均大于七年级，且方差比七年级小，所以年级在课外阅读方面做得更好．
【点评】本题考查频数分布直方图、中位数、众数的意义和用样本估计总体，理解各个数量之间的关系式解决问题的关键．
24．（8分）如图，一次函数y＝k1x+b（k1≠0）与反比例函数y＝（k2≠0）的图象交于点A（2，3），B（n，﹣1）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）判断点P（﹣2，1）是否在一次函数y＝k1x+b的图象上，并说明理由；
（3）直接写出不等式k1x+b≥的解集．
【分析】（1）待定系数法求解．
（2）将x＝﹣2代入一次函数解析式求解．
（3）通过观察图象求解．
【解答】解：（1）将A（2，3）代入y＝得3＝，
解得k2＝6，
∴y＝，
把B（n，﹣1）代入y＝得﹣1＝，
解得n＝﹣6，
∴点B坐标为（﹣6，﹣1）．
把A（2，3），B（﹣6，﹣1）代入y＝k1x+b得：
，
解得，
∴y＝x+2．
（2）把x＝﹣2代入y＝x+2得y＝﹣2×+2＝1，
∴点P（﹣2，1）在一次函数y＝k1x+b的图象上．
（3）由图象得x≥2或﹣6≤x＜0时k1x+b≥，
∴不等式k1x+b≥的解集为x≥2或﹣6≤x＜0．
【点评】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用，解题关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及一次函数与反比例函数的性质．
25．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD，垂足为E，DA平分∠BDE．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若，DE＝1cm，求BD和弧CD的长．
【分析】（1）连接OA，根据角之间的互余关系可得∠OAE＝∠DEA＝90°，故AE⊥OA，即AE是⊙O的切线；
（2）根据圆周角定理，可得在Rt△AED中，∠AED＝90°，∠EAD＝30°，有AD＝2DE；在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，∠ABD＝30°，有BD＝2AD＝4DE，即可得出答案；根据弧长的公式计算即可．
【解答】（1）证明：连接OA，
∵DA平分∠BDE，
∴∠BDA＝∠EDA．
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，
∴∠OAD＝∠EDA，
∴OA∥CE．
∵AE⊥CE，
∴AE⊥OA，
∵OA是半径，
∴AE是⊙O的切线．
（2）解：∵BD是直径，
∴∠BCD＝∠BAD＝90°．
∵sin∠DBC＝，
∴∠DBC＝30°，∠BDC＝60°，
∴∠BDE＝120°．
∵DA平分∠BDE，
∴∠BDA＝∠EDA＝60°．
∴∠ABD＝∠EAD＝30°．
∵在Rt△AED中，∠AED＝90°，∠EAD＝30°，
∴AD＝2DE．
∵在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，∠ABD＝30°，
∴BD＝2AD＝4DE．
∵DE的长是1cm，
∴BD的长是4cm；
连接OC，
∴∠DOC＝2∠DBC＝60°，
∴的长＝＝π（cm）．
【点评】此题主要考查了切线的判定，角平分线的性质，含30°的直角三角形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，构造出直角三角形是解本题的关键，是一道中等难度的中考常考题．
26．（8分）已知正方形ABCD，E为对角线AC上一点．
【建立模型】
（1）如图1，连接BE，DE．求证：BE＝DE；
【模型应用】
（2）如图2，F是DE延长线上一点，FB⊥BE，EF交AB于点G．
①判断△FBG的形状并说明理由；
②若G为AB的中点，且AB＝4，求AF的长．
【模型迁移】
（3）如图3，F是DE延长线上一点，FB⊥BE，EF交AB于点G，BE＝BF．请写出GE与DE之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）先判断出AB＝AD，∠BAE＝∠DAE＝45°，进而判断出△ABE≌△ADE，即可得出结论；
（2）①先判断出∠AGD＝∠FBG，进而判断出∠FBG＝∠FGB，即可得出结论；
②过点F作FH⊥AB于H，先求出AG＝BG＝2，AD＝4，进而求出AH＝3，进而求出FH＝2，最后用勾股定理即可求出答案；
（3）先判断出EF＝BE，由（1）知，BE＝DE，由（2）知，FG＝BF，即可判断出结论．
【解答】（1）证明：∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴AB＝AD，∠BAE＝∠DAE＝45°，
∵AE＝AE，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴BE＝DE；
（2）解：①△FBG为等腰三角形，理由：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠GAD＝90°，
∴∠AGD+∠ADG＝90°，
由（1）知，△ABE≌△ADE，
∴∠ADG＝∠EBG，
∴∠AGD+∠EBG＝90°，
∵FB⊥BE，
∴∠FBG+∠EBG＝90°，
∴∠AGD＝∠FBG，
∵∠AGD＝∠FGB，
∴∠FBG＝∠FGB，
∴FG＝FB，
∴△FBG是等腰三角形；
②如图，过点F作FH⊥AB于H，
∵四边形ABCD为正方形，点G为AB的中点，AB＝4，
∴AG＝BG＝2，AD＝4，
由①知，FG＝FB，
∴GH＝BH＝1，
∴AH＝AG+GH＝3，
在Rt△FHG与Rt△DAG中，∵∠FGH＝∠DGA，
∴tan∠FGH＝tan∠DGA，
∴＝2，
∴FH＝2GH＝2，
在Rt△AHF中，AF＝＝；
（3）GE＝（﹣1）DE．理由如下：
∵FB⊥BE，
∴∠FBE＝90°，
在Rt△EBF中，BE＝BF，
∴EF＝BE，
由（1）知，BE＝DE，
由（2）知，FG＝BF，
∴GE＝EF﹣FG＝BE﹣BF＝DE﹣DE＝（﹣1）DE．
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，作出辅助线构造出直角三角形是解（2）的关键．
27．（8分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣2x2+4x+6与y轴交于点A，与x轴交于点E，B（E在B的左侧）．
（1）如图2，抛物线的顶点为点Q，求△BEQ的面积；
（2）如图3，过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在AC上方），作PD平行于y轴交AB于点D、交AC于点F，当点P在何位置时，PD+CF最大？求出最大值；
（3）在（2）条件下，当PD+CF最大时，将抛物线y＝﹣2x2+4x+6沿着射线AB平移，使得抛物线经过点C，此时得到新抛物线y′，点N是原抛物线对称轴上一点，在新抛物线y′上是否存在一点M，使以点A，D，M，N为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点M的所有坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先求出点Q，点B，点E的坐标，然后根据三角形面积公式求解即可；
（2）求出A（0，6），C（2，6），再用待定系数法求出直线AB的函数表达式为y＝﹣2x+6，设P（a，﹣2a2+4a+6），则D（a，﹣2a+6），得出PD＝﹣2a2+6a，CF＝2﹣a，得出PD+CF的表达式，根据二次函数性质即可求解；
（3）由（2）可得：，设点A平移后对应点坐标为（t，﹣2t+6），则点A向右平移t个单位长度，向下平移6﹣（﹣2t+6）＝2t个单位长度，得出y′＝﹣2（x﹣1﹣t）2+8﹣2t，把C（2，6）代入求出y′＝﹣2（x﹣2）2+6＝﹣2x2+8x﹣2，设点M（m，﹣2m2+8m﹣2），点N（1，n），然后进行分类讨论：①当AD是对角线时，②当AM是对角线时，③当AN是对角线时，根据平行四边形对角线互相平分，即可解答．
【解答】解：（1）y＝﹣2x2+4x+6＝﹣2（x﹣1）2+8，
∴Q（1，8），
把y＝0代入y＝﹣2x2+4x+6得：0＝﹣2x2+4x+6，
解得：x1＝3，x2＝﹣1，
∴B（3，0），E（﹣1，0），
∴BE＝3﹣（﹣1）＝4，
∴S△BEQ＝×4×8＝16；
（2）当x＝时，PD+CF有最大值；
把x＝0代入y＝﹣2x2+4x+6得：y＝6，
∴A（0，6），
把y＝6代入y＝﹣2x2+4x+6得：6＝﹣2x2+4x+6，
解得：x1＝0，x2＝2，
∴C（2，6），
设直线AB的函数表达式为y＝kx+b，
把A（0，6），B（3，0）代入得：
，
解得：，
∴直线AB的函数表达式为y＝﹣2x+6，
设P（a，﹣2a2+4a+6），则D（a，﹣2a+6），
∵A（0，6），P（a，﹣2a2+4a+6），AC∥x轴，
∴F（a，6），
∴PD＝﹣2a2+4a+6﹣（﹣2a+6）＝﹣2a2+6a，
CF＝2﹣a，
∴PD+CF＝﹣2a2+6a+2﹣a＝﹣2a2+5a+2＝+，
∵﹣2＜0，
∴a＝，
∴P（，），
∴当P位于（，）时，PD+CF有最大值；最大值为；
（3）在新抛物线y′上存在一点M，使以点A，D，M，N为顶点的四边形为平行四边形，理由如下：
由（2）可得：D（，），
∵直线AB的函数表达式为y＝﹣2x+6，
∴设点A平移后对应点坐标为（t，﹣2t+6），
∵A（0，6），
∴点A向右平移t个单位长度，向下平移6﹣（﹣2t+6）＝2t个单位长度，
∵抛物线y＝﹣2x2+4x+6沿着射线AB平移，
∴y′＝﹣2（x﹣1﹣t）2+8﹣2t，
把C（2，6）代入得：6＝﹣2（2﹣1﹣t）2+8﹣2t，
解得：t＝1或t＝0（舍去），
∴y′＝﹣2（x﹣2）2+6＝﹣2x2+8x﹣2，
∵点M在y′上，
∴设点M（m，﹣2m2+8m﹣2），
∵N是y＝﹣2x2+4x+6＝﹣2（x﹣1）2+8对称轴上一点，
∴设点N（1，n），
①当AD是对角线时，
∵A（0，6），D（，），M（m，﹣2m2+8m﹣2），N（1，n），
∴0+＝m+1，
解得：m＝；
∴M（，﹣）；
②当AM是对角线时，
∵A（0，6），D（，），M（m，﹣2m2+8m﹣2），N（1，n），
∴0+m＝+1，
解得：m＝，
∴M（，）；
③当AN是对角线时，
∵A（0，6），D（，），M（m，﹣2m2+8m﹣2），N（1，n），
∴+m＝0+1，
解得：m＝﹣，
∴M（﹣，﹣）；
综上：M（，﹣）或M（，）或M（﹣，﹣）；．
【点评】本题主要考查二次函数综合，解题的关键是掌握将二次函数表达式化为顶点式的方法和步骤，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数平移的规律，以及平行四边形的性质．
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
1.65
1.65
a
0.63
八年级
1.65
b
2.1
0.61
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
1.65
1.65
a
0.63
八年级
1.65
b
2.1
0.61