2024年中考数学二次函数压轴题专题23将军饮马模型(学生版+解析)

这是一份2024年中考数学二次函数压轴题专题23将军饮马模型(学生版+解析)，共29页。试卷主要包含了知识导航，如图，A，中考真题演练等内容，欢迎下载使用。
考情分析：通过全国中考试题分析来看，将军饮马的模型多出现在中考二次函数压轴题第二问中出现，难度不大，但需要注意对称点的选择，动点通常在对称轴上，而且已知定点中往往有一个与x轴的交点.
考法主要有以下几种：1.求取最小值时动点坐标2.求最小值.3.求三角形或四边形周长最小值.
模型一：两定点一动点
如图，A,B为定点，P为l上动点，求AP+BP最小值
解析：作点A关于直线的对称点A'，连接PA'，则PA'=PA，所以PA+PB=PA'+PB
当A'、P、B三点共线的时候，PA'+PB=A'B，此时为最小值（两点之间线段最短）
模型二：一定点两动点
如图，P为定点，M、N分别为OA和OB上的动点，求△PMN周长最小值
解析：分别作点P关于OA、OB的对称点，则△PMN的周长为PM+MN+NP=P'M+MN+NP''，
当P'、M、N、P''共线时，△PMN周长最小．
模型三：两定点两动点
如图，P、Q为两定点，M、N分别为OA、OB上的动点，求四边形PQMN的最小值.
解析：∵PQ是条定线段，
∴只需考虑PM+MN+NQ最小值即可，
分别作点P、Q关于OA、OB对称，
PM+MN+NQ=P'M+MN+NQ'，
当P'、M、N、Q'共线时，四边形PMNQ的周长最小。
模型四：一定点两动点
如图，P为定点，M、N分别为OA、OB上的动点，求PM+MN最小值。
解析：作点P关于OA对称的点P'，
PM+MN=P'M+MN，
过点P'作OB垂线分别交OA、OB于点M、N，
得PM+MN最小值（点到直线的连线中，垂线段最短）
模型五：将军饮马有距离
例一、如图，A、D为定点，B、C为直线l上两动点，BC为定值，求AB+BC+CD最小值？
解析：BC为定值，只需求AB+CD最小即可；
平移AB至CE,则变成求CE+CD的最小值，基本将军饮马的模型
例二、如图，A、D为定点，B、C为直线l1 、l2上两动点，BC⊥l1，求AB+BC+CD最小值？
解析：BC为定值，只需求AB+CD最小即可；
平移CD至BE，则变成求AB+BE最小，基本将军饮马.
二、典例精析
例一：如图1（注：与图2完全相同），在直角坐标系中，抛物线经过点、、三点．
（1）求抛物线的解析式和对称轴；
（2）是抛物线对称轴上的一点，求满足的值为最小的点坐标（请在图1中探索）；
【分析】（1）将点、的坐标代入二次函数表达式得：，即可求解；
（2）连接、交对称轴于点，此时的值为最小，即可求解；
【解答】解：（1）将点、的坐标代入二次函数表达式得：，
则，解得：，
抛物线的表达式为：，函数的对称轴为：，顶点坐标为；
（2）连接、交对称轴于点，此时的值为最小，
将点、的坐标代入一次函数表达式：得：，
解得：，
直线的表达式为：，
当时，，
故点；
例二：如图，直线与轴、轴分别交于、两点，抛物线经过点、，与轴另一交点为，顶点为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在轴上找一点，使的值最小，求的最小值；
【分析】（1）直线与轴、轴分别交于、两点，则点、的坐标分别为、，将点、的坐标代入二次函数表达式，即可求解；
（2）如图1，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时为最小，即可求解；
【解答】解：（1）直线与轴、轴分别交于、两点，则点、的坐标分别为、，
将点、的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，
故函数的表达式为：，令，则或3，故点；
（2）如图1，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时为最小，
函数顶点坐标为，点，
将、的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线的表达式为：，
当时，，
故点，，
则的最小值为；
三、中考真题演练
1．（2023·宁夏·中考真题）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线．

(1)直接写出点的坐标；
(2)在对称轴上找一点，使的值最小．求点的坐标和的最小值；
(3)第一象限内的抛物线上有一动点，过点作轴，垂足为，连接交于点．依题意补全图形，当的值最大时，求点的坐标．
2．（2023·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与探究
如图，抛物线上的点A，C坐标分别为，，抛物线与x轴负半轴交于点B，点M为y轴负半轴上一点，且，连接，．

(1)求点M的坐标及抛物线的解析式；
(4)将抛物线沿x轴的负方向平移得到新抛物线，点A的对应点为点，点C的对应点为点，在抛物线平移过程中，当的值最小时，新抛物线的顶点坐标为______，的最小值为______．
5．如图，已知抛物线与x轴的交点A（-3，0），B（1，0），与y轴的交点是点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是抛物线对称轴上一点，当PB＋PC的值最小时，求点P的坐标；
(3)点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M，N，使得且以点C，M，N为顶点的三角形与相似？若存在，求出点M和点N的坐标；若不存在，说明理由．
6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c经过点A（4，0）、B（0，4）、C．其对称轴l交x轴于点D，交直线AB于点F，交抛物线于点E．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为直线l上的动点，求△PBC周长的最小值；
(3)点N为直线AB上的一点（点N不与点F重合），在抛物线上是否存在一点M，使以点E、F、N、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由．
7．已知，抛物线，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，抛物线的顶点为点D．
（1）求的长度和点D的坐标；
（2）在该抛物线的对称轴上找一点P，求出的值最小时P点的坐标；
（3）点M是第三象限抛物线上一点，当最大时，求点M的坐标，并求出的最大值．
将军饮马模型
一、知识导航
考情分析：通过全国中考试题分析来看，将军饮马的模型多出现在中考二次函数压轴题第二问中出现，难度不大，但需要注意对称点的选择，动点通常在对称轴上，而且已知定点中往往有一个与x轴的交点.
考法主要有以下几种：1.求取最小值时动点坐标2.求最小值.3.求三角形或四边形周长最小值.
模型一：两定点一动点
如图，A,B为定点，P为l上动点，求AP+BP最小值
解析：作点A关于直线的对称点A'，连接PA'，则PA'=PA，所以PA+PB=PA'+PB
当A'、P、B三点共线的时候，PA'+PB=A'B，此时为最小值（两点之间线段最短）
模型二：一定点两动点
如图，P为定点，M、N分别为OA和OB上的动点，求△PMN周长最小值
解析：分别作点P关于OA、OB的对称点，则△PMN的周长为PM+MN+NP=P'M+MN+NP''，
当P'、M、N、P''共线时，△PMN周长最小．
模型三：两定点两动点
如图，P、Q为两定点，M、N分别为OA、OB上的动点，求四边形PQMN的最小值.
解析：∵PQ是条定线段，
∴只需考虑PM+MN+NQ最小值即可，
分别作点P、Q关于OA、OB对称，
PM+MN+NQ=P'M+MN+NQ'，
当P'、M、N、Q'共线时，四边形PMNQ的周长最小。
模型四：一定点两动点
如图，P为定点，M、N分别为OA、OB上的动点，求PM+MN最小值。
解析：作点P关于OA对称的点P'，
PM+MN=P'M+MN，
过点P'作OB垂线分别交OA、OB于点M、N，
得PM+MN最小值（点到直线的连线中，垂线段最短）
模型五：将军饮马有距离
例一、如图，A、D为定点，B、C为直线l上两动点，BC为定值，求AB+BC+CD最小值？
解析：BC为定值，只需求AB+CD最小即可；
平移AB至CE,则变成求CE+CD的最小值，基本将军饮马的模型
例二、如图，A、D为定点，B、C为直线l1 、l2上两动点，BC⊥l1，求AB+BC+CD最小值？
解析：BC为定值，只需求AB+CD最小即可；
平移CD至BE，则变成求AB+BE最小，基本将军饮马.
二、典例精析
例一：如图1（注：与图2完全相同），在直角坐标系中，抛物线经过点、、三点．
（1）求抛物线的解析式和对称轴；
（2）是抛物线对称轴上的一点，求满足的值为最小的点坐标（请在图1中探索）；
【分析】（1）将点、的坐标代入二次函数表达式得：，即可求解；
（2）连接、交对称轴于点，此时的值为最小，即可求解；
【解答】解：（1）将点、的坐标代入二次函数表达式得：，
则，解得：，
抛物线的表达式为：，函数的对称轴为：，顶点坐标为；
（2）连接、交对称轴于点，此时的值为最小，
将点、的坐标代入一次函数表达式：得：，
解得：，
直线的表达式为：，
当时，，
故点；
例二：如图，直线与轴、轴分别交于、两点，抛物线经过点、，与轴另一交点为，顶点为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在轴上找一点，使的值最小，求的最小值；
【分析】（1）直线与轴、轴分别交于、两点，则点、的坐标分别为、，将点、的坐标代入二次函数表达式，即可求解；
（2）如图1，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时为最小，即可求解；
【解答】解：（1）直线与轴、轴分别交于、两点，则点、的坐标分别为、，
将点、的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，
故函数的表达式为：，令，则或3，故点；
（2）如图1，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时为最小，
函数顶点坐标为，点，
将、的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线的表达式为：，
当时，，
故点，，
则的最小值为；
三、中考真题演练
1．（2023·宁夏·中考真题）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线．

(1)直接写出点的坐标；
(2)在对称轴上找一点，使的值最小．求点的坐标和的最小值；
(3)第一象限内的抛物线上有一动点，过点作轴，垂足为，连接交于点．依题意补全图形，当的值最大时，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)点，的最小值为
【分析】（1）根据抛物线的对称性，进行求解即可；
（2）根据抛物线的对称性，得到，得到当三点共线时，的值最小，为的长，求出直线的解析式，解析式与对称轴的交点即为点的坐标，两点间的距离公式求出的长，即为的最小值；
【详解】（1）解：∵点关于对称轴的对称点为点，对称轴为直线，
∴点为；
（2）当时，，
∴，
连接，

∵，
∴，
∵点关于对称轴的对称点为点，
∴，
∴当三点共线时，的值最小，为的长，
设直线的解析式为：，
则：，解得：，
∴，
∵点在抛物线的对称轴上，
∴；
∴点，的最小值为；
2．（2023·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与探究
如图，抛物线上的点A，C坐标分别为，，抛物线与x轴负半轴交于点B，点M为y轴负半轴上一点，且，连接，．

(1)求点M的坐标及抛物线的解析式；
(4)将抛物线沿x轴的负方向平移得到新抛物线，点A的对应点为点，点C的对应点为点，在抛物线平移过程中，当的值最小时，新抛物线的顶点坐标为______，的最小值为______．
【分析】（1）根据点M在y轴负半轴且可得点M的坐标为，利用待定系数法可得抛物线的解析式为；
（4）设抛物线沿x轴的负方向平移m个单位长度得到新抛物线，将点M右平移m个单位长度得到点，由平移的性质可知，，的值最小就是最小值，作出点C关于直线对称的对称点，连接交直线于点，连接则此时取得最小值，即为的长度，利用两点间的距离公式求这个长度，用待定系数法求出直线的解析式，从而确定的坐标，继而确定平移距离，将原抛物线的解析式化为顶点式，从而得到其顶点，继而确定新抛物线的顶点．
【详解】（1）解：∵点M在y轴负半轴且，
∴
将，代入，得
解得
∴抛物线的解析式为
（4），，
补充求解过程如下：
设抛物线沿x轴的负方向平移m个单位长度得到新抛物线，
将点M向右平移m个单位长度得到点，作出图形如下：

由平移的性质可知，，
∴的值最小就是最小值，
显然点在直线上运用，
作出点C关于直线对称的对称点，连接交直线于点，连接则此时取得最小值，即为的长度，

∵点C关于直线对称的对称的点是点，
∴，
∴，
设直线的解析式是：
将点，代入得：
解得：
直线的解析式是：
令，解得：，
∴，
∴平移的距离是
又∵，
∴平移前的抛物线的坐标是
∴新抛物线的顶点坐标为即
故答案是：，．
【点睛】本题考查求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与几何变换综合，二次函数与相似三角形综合，最短路径问题，三角形面积公式等知识，难度较大，综合性大，作出辅助线和掌握转换思想是解题的关键，第二问的解题技巧是使用铅锤公式计算面积，第三问的技巧是转化成直角三角形的讨论问题，如果直接按相似讨论，则有四种情况，可以降低分类讨论的种类，第四问的技巧，是将点M向反方向移动，从而将两个动点转化成一个动点来解决．
3．（2023·湖南张家界·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点和点两点，与y轴交于点．点D为线段上的一动点．

(1)求二次函数的表达式；
(2)如图1，求周长的最小值；
【分析】（1）根据题意设抛物线的表达式为，将代入求解即可；
（2）作点O关于直线的对称点E，连接，根据点坐特点及正方形的判定得出四边形为正方形，，连接AE，交于点D，由对称性，此时有最小值为AE的长，再由勾股定理求解即可；
【详解】（1）解：由题意可知，设抛物线的表达式为，
将代入上式得：，
所以抛物线的表达式为；
（2）作点O关于直线的对称点E，连接，
∵，，，
∴，
∵O、E关于直线对称，
∴四边形为正方形，
∴，
连接，交于点D，由对称性，
此时有最小值为的长，
∵的周长为，
，的最小值为10，
∴的周长的最小值为；
4．（2023·山东枣庄·中考真题）如图，抛物线经过两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与轴交于点D．

(1)求该抛物线的表达式；
(2)若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求的最小值；
【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点，进而得到的最小值为的长，利用两点间距离公式进行求解即可；
【详解】（1）解：∵抛物线经过两点，
∴，解得：，
∴；
（2）∵，
∴，
设直线，
则：，解得：，
∴，
当时，，
∴；
作点关于轴的对称点，连接，
则：，，
∴当三点共线时，有最小值为的长，

∵，，
∴，
即：的最小值为：；
5．如图，已知抛物线与x轴的交点A（-3，0），B（1，0），与y轴的交点是点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是抛物线对称轴上一点，当PB＋PC的值最小时，求点P的坐标；
(3)点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M，N，使得且以点C，M，N为顶点的三角形与相似？若存在，求出点M和点N的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)P(-1，-4)
(3)M（-1，-8），N（0， ）或M，N（0， ）．
【分析】（1）将A（-3，0），B（1，0）代入，求出a和b即可；
（2）根据抛物线的性质可知，即，即AC与对称轴的交点即为点P，根据抛物线求出C点坐标，从而可求出AC的直线解析式，从而即可求出点P的坐标；
（3）设M点的坐标为（t， ），分t>0和t0时，没有符合的点，
存在点M，N，使得，点M和点N的坐标分别为M（-1，-8），N（0， ）或M，N（0， ）．
【点睛】本题是二次函数综合题，涉及最短路径问题，相似三角形问题，整体难度较大．
6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c经过点A（4，0）、B（0，4）、C．其对称轴l交x轴于点D，交直线AB于点F，交抛物线于点E．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为直线l上的动点，求△PBC周长的最小值；
(3)点N为直线AB上的一点（点N不与点F重合），在抛物线上是否存在一点M，使以点E、F、N、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，（，）或（，-）或（，-）
【分析】（1）把点A（4，0）、B（0，4）代入抛物线y=-x2+bx+c中，求得b和c即可；
（2）作点B关于直线l的对称轴B′，连接B′C交l于一点P，点P即为使△PBC周长最小的点，由对称可知，PB′=PB，即△PBC周长的最小值为：BC+CB′；
（3）设M（m，-m2+3m+4），①当EF为边时，则EF∥MN，则N（m，-m+4），所以NM=EF=，即|-m2+3m+4-（-m+4）|=，求出m的值，代入即可；②当EF为对角线时，EF的中点为（，），由中点坐标公式可求得点N的坐标，再由点N是直线AB上一点，可知-3+m+4=m2-3m+，解得m的值即可．
【详解】（1）解：把点A（4，0）、B（0，4）代入抛物线y=-x2+bx+c中，
得，，解得，
∴抛物线的解析式为：y=-x2+3x+4；
（2）解：由抛物线解析式可知，对称轴直线l：x=，
∵点A（4，0），
∴点C（-1，0），
如图，作点B关于直线l的对称轴B′，连接B′C交l于一点P，点P即为使△PBC周长最小的点，
此时B′（3，4），
设直线B′C的解析式为y=kx+b1，
∴，
解得：，
∴直线B′C的解析式为：y=x+1，
把x=代入得：y=+1=，
∴P（，），
∵B（0，4），C（-1，0），B′（3，4），
∴BC=，CB′==4，
∴△PBC周长的最小值为：；
（3）解：存在，以点E、F、N、M为顶点的四边形为平行四边形的点M的坐标为（，）或（，-）或（，-）．理由如下：
由抛物线解析式可知，E（，），
∵A（4，0）、B（0，4），
∴直线AB的解析式为：y=-x+4，
∴F（，）．
∴EF=．
设M（m，-m2+3m+4），
①当EF为边时，则EF∥MN，
∴N（m，-m+4），
∴NM=EF=，即|-m2+3m+4-（-m+4）|=，
解得m=（舍）或或或，
∴M（，）或（，-）或（，-）．
②当EF为对角线时，EF的中点为（，），
∴点N的坐标为（3-m，m2-3m+），
∴-3+m+4=m2-3m+，解得m=（舍），m=，
∴M（，）．
综上，满足以点E、F、N、M为顶点的四边形为平行四边形的点M的坐标为（，）或（，-）或（，-）．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，平行四边形存在性问题，解题过程中注意需要分类讨论．
7．已知，抛物线，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，抛物线的顶点为点D．
（1）求的长度和点D的坐标；
（2）在该抛物线的对称轴上找一点P，求出的值最小时P点的坐标；
（3）点M是第三象限抛物线上一点，当最大时，求点M的坐标，并求出的最大值．
【答案】（1）AB=4，D坐标为（-1，-4）；（2）点P坐标为（-1，-2）；（3）当点M坐标为时，最大值为．
【分析】（1）分别求出点A、B坐标，即可求出AB的长度，将抛物线配成顶点式，即可确定点D坐标；
（2）求出抛物线对称轴为直线x=-1，根据抛物线的对称性得当点P位于直线AC上时，PA+PC的值最小，即PB+PC的值最小，求出直线AC解析式为y=-x-3，根据点P在直线x=-1上，即可求出点P坐标；
（3）连接AM，MC，OM，设点M坐标为，根据得到关
∴
，
∵＜0，
∴当时，有最大值，最大值为，
此时点M坐标为．
【点睛】本题为二次函数的综合题，考查了二次函数与一元二次方程的关系，将军饮马问题，利用二次函数性质求面积等知识，熟知将军饮马问题数学模型是解第（2）问关键，利用得到函数解析式，并熟知二次函数性质是解题关键．