2024年中考数学二次函数压轴题专题05三角形面积最值问题(学生版+解析)

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求三角形的面积是几何题中常见问题之一，可用的方法也比较多，比如面积公式、割补、等积变形、三角函数甚至海伦公式，本文介绍的方法是在二次函数问题中常用的一种求面积的方法——铅垂法．
【问题描述】在平面直角坐标系中，已知、、，求△ABC的面积．
【分析】显然对于这样一个位置的三角形，面积公式并不太好用，割补倒是可以一试，比如这样：
构造矩形ADEF，用矩形面积减去三个三角形面积即可得△ABC面积．
这是在“补”，同样可以采用“割”：
此处AE+AF即为A、B两点之间的水平距离．
由题意得：AE+BF=6．
下求CD：
根据A、B两点坐标求得直线AB解析式为：
由点C坐标（4,7）可得D点横坐标为4，
将4代入直线AB解析式得D点纵坐标为2，
故D点坐标为（4,2），CD=5,
．
【方法总结】
作以下定义：
A、B两点之间的水平距离称为“水平宽”；
过点C作x轴的垂线与AB交点为D，线段CD即为AB边的“铅垂高”．
如图可得：
【解题步骤】
（1）求A、B两点水平距离，即水平宽；
（2）过点C作x轴垂线与AB交于点D，可得点D横坐标同点C；
（3）求直线AB解析式并代入点D横坐标，得点D纵坐标；
（4）根据C、D坐标求得铅垂高；
（5）利用公式求得三角形面积．
【思考】如果第3个点的位置不像上图一般在两定点之间，如何求面积？
铅垂法其实就是在割补，重点不在三个点位置，而是取两个点作水平宽之后，能求出其对应的铅垂高！因此，动点若不在两定点之间，方法类似：
【铅垂法大全】
（1）取AB作水平宽，过点C作铅垂高CD．
（2）取AC作水平宽，过点B作BD⊥x轴交直线AC于点D，BD即对应的铅垂高，
（3）取BC作水平宽，过点A作铅垂高AD．
甚至，还可以横竖互换，在竖直方向作水平宽，在水平方向作铅垂高．
（4）取BC作水平宽，过点A作铅垂高AD．
（5）取AC作水平宽，过点B作铅垂高BD．
（6）取AB作水平宽，过点C作铅垂高CD．
二、典例精析
例一、
如图，已知抛物线经过，两点，与轴的另一个交点为．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点为该抛物线上一动点（与点、不重合），设点的横坐标为m．当点在直线的下方运动时，求的面积的最大值．
【分析】
（1），
（2）取BC两点之间的水平距离为水平宽，过点P作PQ⊥x轴交直线BC于点Q，则PQ即为铅垂高．
根据B、C两点坐标得B、C水平距离为4，
根据B、C两点坐标得直线BC解析式：y=x+1，
设P点坐标为（m，m²+6m+5），则点Q（m，m+1），
得PQ=-m²-5m-4，
考虑到水平宽是定值，故铅垂高最大面积就最大．
当时，△BCP面积最大，最大值为．
【小结】选两个定点作水平宽，设另外一个动点坐标来表示铅垂高．
例二、
在平面直角坐标系中，将二次函数的图像向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），，经过点的一次函数的图像与轴正半轴交于点，且与抛物线的另一个交点为，的面积为5．
（1）求抛物线和一次函数的解析式；
（2）抛物线上的动点在一次函数的图像下方，求面积的最大值，并求出此时点的坐标．

【分析】
（1）抛物线解析式：；
一次函数解析式：．
（2）显然，当△ACE面积最大时，点E并不在AC之间．
已知A（-1,0）、，
设点E坐标为，过点E作EF⊥x轴交直线AD于F点，
F点横坐标为m，代入一次函数解析式得
可得
考虑到水平宽是定值，故铅垂高最大面积最大．
既然都是固定的算法，那就可以总结一点小小的结论了，
对坐标系中已知三点、、，
按铅垂法思路，可得：
如果能记住也不要直接用，可以当做是检验的方法咯．
【总结】铅垂法是求三角形面积的一种常用方法，尤其适用于二次函数大题中的三角形面积最值问题，弄明白方法原理，熟练方法步骤，加以练习，面积最值问题轻轻松松．
三、中考真题演练
1．（2023·辽宁阜新·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和点，与y轴交于点C．

(1)求这个二次函数的表达式．
(2)如图1，二次函数图象的对称轴与直线交于点D，若点M是直线上方抛物线上的一个动点，求面积的最大值．
2．（2023·湖南娄底·中考真题）如图，抛物线过点、点，交y轴于点C．

(1)求b，c的值．
(2)点是抛物线上的动点
①当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值；
3．（2023·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．

(1)求抛物线对应的函数解析式，并直接写出顶点P的坐标；
(2)求的面积．
注：抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是．
4．（2023·山东青岛·中考真题）如图，在菱形中，对角线相交于点O，，．动点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，动点Q从点A出发，沿方向匀速运动，速度为．以为邻边的平行四边形的边与交于点E．设运动时间为，解答下列问题：

(1)当点M在上时，求t的值；
(2)连接．设的面积为，求S与t的函数关系式和S的最大值；
5．（2023·湖南张家界·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点和点两点，与y轴交于点．点D为线段上的一动点．

(1)求二次函数的表达式；
(3)如图2，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值．
8．（2023·湖南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，且与直线交于两点（点在点的右侧），点为直线上的一动点，设点的横坐标为．

(1)求抛物线的解析式．
(2)过点作轴的垂线，与拋物线交于点．若，求面积的最大值．
9.（2023·湖南怀化·中考真题）如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．

(1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标；
(2)点为第三象限内抛物线上一点，作直线，连接、，求面积的最大值及此时点的坐标；
10．（2023·四川达州·中考真题）如图，抛物线过点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)设点是直线上方抛物线上一点，求出的最大面积及此时点的坐标；
专题05 三角形面积最值问题
一、知识导航
求三角形的面积是几何题中常见问题之一，可用的方法也比较多，比如面积公式、割补、等积变形、三角函数甚至海伦公式，本文介绍的方法是在二次函数问题中常用的一种求面积的方法——铅垂法．
【问题描述】在平面直角坐标系中，已知、、，求△ABC的面积．
【分析】显然对于这样一个位置的三角形，面积公式并不太好用，割补倒是可以一试，比如这样：
构造矩形ADEF，用矩形面积减去三个三角形面积即可得△ABC面积．
这是在“补”，同样可以采用“割”：
此处AE+AF即为A、B两点之间的水平距离．
由题意得：AE+BF=6．
下求CD：
根据A、B两点坐标求得直线AB解析式为：
由点C坐标（4,7）可得D点横坐标为4，
将4代入直线AB解析式得D点纵坐标为2，
故D点坐标为（4,2），CD=5,
．
【方法总结】
作以下定义：
A、B两点之间的水平距离称为“水平宽”；
过点C作x轴的垂线与AB交点为D，线段CD即为AB边的“铅垂高”．
如图可得：
【解题步骤】
（1）求A、B两点水平距离，即水平宽；
（2）过点C作x轴垂线与AB交于点D，可得点D横坐标同点C；
（3）求直线AB解析式并代入点D横坐标，得点D纵坐标；
（4）根据C、D坐标求得铅垂高；
（5）利用公式求得三角形面积．
【思考】如果第3个点的位置不像上图一般在两定点之间，如何求面积？
铅垂法其实就是在割补，重点不在三个点位置，而是取两个点作水平宽之后，能求出其对应的铅垂高！因此，动点若不在两定点之间，方法类似：
【铅垂法大全】
（1）取AB作水平宽，过点C作铅垂高CD．
（2）取AC作水平宽，过点B作BD⊥x轴交直线AC于点D，BD即对应的铅垂高，
（3）取BC作水平宽，过点A作铅垂高AD．
甚至，还可以横竖互换，在竖直方向作水平宽，在水平方向作铅垂高．
（4）取BC作水平宽，过点A作铅垂高AD．
（5）取AC作水平宽，过点B作铅垂高BD．
（6）取AB作水平宽，过点C作铅垂高CD．
二、典例精析
例一、
如图，已知抛物线经过，两点，与轴的另一个交点为．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点为该抛物线上一动点（与点、不重合），设点的横坐标为m．当点在直线的下方运动时，求的面积的最大值．
【分析】
（1），
（2）取BC两点之间的水平距离为水平宽，过点P作PQ⊥x轴交直线BC于点Q，则PQ即为铅垂高．
根据B、C两点坐标得B、C水平距离为4，
根据B、C两点坐标得直线BC解析式：y=x+1，
设P点坐标为（m，m²+6m+5），则点Q（m，m+1），
得PQ=-m²-5m-4，
考虑到水平宽是定值，故铅垂高最大面积就最大．
当时，△BCP面积最大，最大值为．
【小结】选两个定点作水平宽，设另外一个动点坐标来表示铅垂高．
例二、
在平面直角坐标系中，将二次函数的图像向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），，经过点的一次函数的图像与轴正半轴交于点，且与抛物线的另一个交点为，的面积为5．
（1）求抛物线和一次函数的解析式；
（2）抛物线上的动点在一次函数的图像下方，求面积的最大值，并求出此时点的坐标．

【分析】
（1）抛物线解析式：；
一次函数解析式：．
（2）显然，当△ACE面积最大时，点E并不在AC之间．
已知A（-1,0）、，
设点E坐标为，过点E作EF⊥x轴交直线AD于F点，
F点横坐标为m，代入一次函数解析式得
可得
考虑到水平宽是定值，故铅垂高最大面积最大．
既然都是固定的算法，那就可以总结一点小小的结论了，
对坐标系中已知三点、、，
按铅垂法思路，可得：
如果能记住也不要直接用，可以当做是检验的方法咯．
【总结】铅垂法是求三角形面积的一种常用方法，尤其适用于二次函数大题中的三角形面积最值问题，弄明白方法原理，熟练方法步骤，加以练习，面积最值问题轻轻松松．
三、中考真题演练
1．（2023·辽宁阜新·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和点，与y轴交于点C．

(1)求这个二次函数的表达式．
(2)如图1，二次函数图象的对称轴与直线交于点D，若点M是直线上方抛物线上的一个动点，求面积的最大值．
【详解】（1）解：由题意得，
；
（2）解：如图1，
作于，作于，交于，
，，
，
，
抛物线的对称轴是直线：，
，
，
，
，
故只需的边上的高最大时，的面积最大，
设过点与平行的直线的解析式为：，
当直线与抛物线相切时，的面积最大，
由得，
，
由△得，
得，
，
，
，
，
，
，
，
；
2．（2023·湖南娄底·中考真题）如图，抛物线过点、点，交y轴于点C．

(1)求b，c的值．
(2)点是抛物线上的动点
①当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值；
【详解】（1）解：将、代入抛物线中，
可得：，解得：，
即：，；
（2）①由（1）可知：，
当时，，即，
设的解析式为：，
将，代入中，
可得，解得：，
∴的解析式为：，
过点P作轴，交于点E，交轴于点，

∵，则，
∴点E的横坐标也为，则纵坐标为，
∴，
的面积
，
∵，
∴当时，的面积有最大值，最大值为；
3．（2023·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．

(1)求抛物线对应的函数解析式，并直接写出顶点P的坐标；
(2)求的面积．
注：抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是．
【答案】(1)抛物线对应的解析式，
(2)
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的表达式，再根据解析式求点P的坐标即可；
（2）求出点和抛物线顶点，，利用即可得到答案．
【详解】（1）抛物线经过点，，
，
解这个方程组，得．
抛物线对应的解析式．
点是抛物线的顶点坐标，
，即：，，
．
（2）如图，连接OP．

，，，，
，
，
．
，
．
【点睛】此题考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象和性质等知识，掌握数形结合的思想和割补法求三角形面积是解题的关键．
4．（2023·山东青岛·中考真题）如图，在菱形中，对角线相交于点O，，．动点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，动点Q从点A出发，沿方向匀速运动，速度为．以为邻边的平行四边形的边与交于点E．设运动时间为，解答下列问题：

(1)当点M在上时，求t的值；
(2)连接．设的面积为，求S与t的函数关系式和S的最大值；
【分析】（1）证明， 则 ， 即可求解；
（2）由 即可求解；
【详解】（1）∵平行四边形，
∴，，，
由题意得∶，，
如下图，点在上时，

∵，，，
∴，
∴，
则 即
解得：
（2）如上图，
∵，
∴，
∵四边形是菱形，
则，
∴，
∴为等腰三角形， 则
过点作于点，
则
即 解得∶ ，
则 ，
设中边上的高为，则
即：
，故有最大值，
当时， 的最大值为；
5．（2023·湖南张家界·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点和点两点，与y轴交于点．点D为线段上的一动点．

(1)求二次函数的表达式；
(3)如图2，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值．
【分析】（1）根据题意设抛物线的表达式为，将代入求解即可；
（3）由待定系数法确定直线的表达式为，直线的表达式为，设，然后结合图形及面积之间的关系求解即可．
【详解】（1）解：由题意可知，设抛物线的表达式为，
将代入上式得：，
所以抛物线的表达式为；
（3）由已知点，，，
设直线的表达式为，
将，代入中，，解得，
∴直线的表达式为，
同理可得：直线的表达式为，
∵，
∴设直线表达式为，
由（1）设，代入直线的表达式
得：，
∴直线的表达式为：，
由，得，
∴，
∵P，D都在第一象限，
∴
，
∴当时，此时P点为.
．
【点睛】题目主要考查二次函数的综合应用，包括待定系数法确定函数解析式，周宽最短问题及面积问题，理解题意，熟练掌握运用二次函数的综合性质是解题关键．
6．（2023·山东聊城·中考真题）如图①，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接AC，BC.点P是x轴上任意一点．
(1)求抛物线的表达式；
(3)如图②，当点从点A出发沿x轴向点B运动时（点P与点A，B不重合），自点P分别作，交AC于点E，作，垂足为点D．当m为何值时，面积最大，并求出最大值．
【答案】(1)
(2)点Q坐标，或或；
(3)时，有最大值，最大值为．
【分析】（1）将，代入，待定系数法确定函数解析式；
（3）如图，过点D作，过点E作，垂足为G，F，
可证，；运用待定系数法求直线解析式，直线 解析式；设点，，则，，，，运用解直角三角形，中，，，中，，可得，，；中，，可得，，，，于是，从而确定时，最大值为．
【详解】（1）将，代入，得
，解得
∴抛物线解析式为：
（3）如图，过点D作，过点E作，垂足为G，F，
∵，
∴
∴
∵
∴，同理可得
设直线的解析式为：
则，解得
∴直线：
同理由点，，可求得直线 ：
设点，，
则，，，
中，，
∴，
中，
∴，解得，
∴
∵
∴；
中，
∴，解得，
∴
∵
∴
∴，
即．
∵
∴时，，有最大值，最大值为．
【点睛】本题考查待定系数法确定函数解析式，平行四边形的性质，一元二次方程求解，解直角三角形，结合动点运动情况，分类讨论是解题的关键．
7．（2023·湖北荆州·中考真题）已知：关于的函数．

(1)若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且，则的值是___________；
(2)如图，若函数的图象为抛物线，与轴有两个公共点，，并与动直线交于点，连接，，，，其中交轴于点，交于点．设的面积为，的面积为．
①当点为抛物线顶点时，求的面积；
②探究直线在运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)0或2或
(2)①6，②存在，
【分析】（1）根据函数与坐标轴交点情况，分情况讨论函数为一次函数和二次函数的时候，按照图像的性质以及与坐标轴交点的情况即可求出值．
（2）①根据和的坐标点即可求出抛物线的解析式，即可求出顶点坐标，从而求出宽度，再利用和的坐标点即可求出的直线解析式，结合即可求出点坐标，从而求出宽度，最后利用面积法即可求出的面积．
②观察图形，用值表示出点坐标，再根据平行线分线段成比例求出宽度，利用割补法表示出和，将二者相减转化成关于的二次函数的顶点式，利用取值范围即可求出的最小值．
【详解】（1）解：函数的图象与坐标轴有两个公共点，
，
，
，
当函数为一次函数时，，
．
当函数为二次函数时，
，
若函数的图象与坐标轴有两个公共点，即与轴，轴分别只有一个交点时，
，
．
当函数为二次函数时，函数的图象与坐标轴有两个公共点， 即其中一点经过原点，
，
，
．
综上所述，或0．
故答案为：0或2或．
（2）解：①如图所示，设直线与交于点，直线与交于点．

依题意得：，解得：
抛物线的解析式为：．
点为抛物线顶点时，，，
，，
由，得直线的解析式为，
在直线上，且在直线上，则的横坐标等于的横坐标，
，
，，
，
．
故答案为：6．
②存在最大值，理由如下：
如图，设直线交轴于．
由①得：，，，，，
，
，，
，
，
即，
，，
，
，
，，
当时，有最大值，最大值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，涉及到函数与坐标轴交点问题，二次函数与面积问题，平行线分线段成比例，解题的关键在于分情况讨论函数与坐标轴交点问题，以及二次函数最值问题．
8．（2023·湖南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，且与直线交于两点（点在点的右侧），点为直线上的一动点，设点的横坐标为．

(1)求抛物线的解析式．
(2)过点作轴的垂线，与拋物线交于点．若，求面积的最大值．
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据题意，联立抛物线与直线，求得点的横坐标，表示出的宽，根据二次函数的性质求得的最大值，根据即可求解；
【详解】（1）解：∵抛物线经过点和点，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为：；
（2）解：∵抛物线与直线交于两点，（点在点的右侧）
联立，
解得：或，
∴，
∴，
∵点为直线上的一动点，设点的横坐标为．
则，，
∴，当时，取得最大值为，
∵，
∴当取得最大值时，最大，
∴，
∴面积的最大值；
9.（2023·湖南怀化·中考真题）如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．

(1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标；
(2)点为第三象限内抛物线上一点，作直线，连接、，求面积的最大值及此时点的坐标；
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）如图所示，过点作轴于点，交于点，得出直线的解析式为，设，则，得出，当取得最大值时，面积取得最大
∴当取得最大值时，面积取得最大值
∴面积的最大值为，
此时，
∴
10．（2023·四川达州·中考真题）如图，抛物线过点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)设点是直线上方抛物线上一点，求出的最大面积及此时点的坐标；
【分析】（1）利用待定系数法代入求解即可；
（2）利用待定系数法先确定直线的解析式为，设点，过点P作轴于点D，交于点E，得出，然后得出三角形面积的函数即可得出结果；
【详解】（1）解：将点代入解析式得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）设直线的解析式为，将点B、C代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵，
∴，
设点，过点P作轴于点D，交于点E，如图所示：

∴，
∴，
∴，
∴当时，的最大面积为，
，
∴