2024年中考数学二次函数压轴题专题01二次函数几何定义(学生版+解析)

这是一份2024年中考数学二次函数压轴题专题01二次函数几何定义(学生版+解析)，共29页。试卷主要包含了知识导航，典例精析，中考真题演练等内容，欢迎下载使用。
1．考向分析：我们已经知道二次函数的图像是抛物线，一种特别的曲线，其本身还具有这样的性质：抛物线上的任意一点到平面中某个定点和某条定直线的距离始终相等．这个点称为抛物线的焦点，这条直线称为抛物线的准线，本专题将讨论一些与抛物线的焦点和准线相关的问题．焦点和准线属于高中内容，高中内容下放也是中考中所常见的．
2．定义：二次函数的图像是抛物线，它也可以这样定义：若一个动点到定点的距离与它到定直线的距离相等，则动点形成的图形就叫抛物线．
3．模型：
（1）已知动点到定点的距离与到定直线的距离相等，请写出动点形成的抛物线的解析式．
解：由题意得：，
过点M作MB⊥直线y=-4，垂足记为B点，则MB=，
∴MA=MB，即，
两边平方，化简得：．
故M点形成的抛物线的解析式为．
（2）若点的坐标是，在（1）中求得的抛物线上是否存在点，使得最短？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
解：过P点做PQ⊥直线y=-4，则PA=PQ，故求PA+PD最短，即求PQ+PD最短．
过点D作直线y=-4的垂线，与抛物线交点即为P点，垂足为Q，此时PQ+PD最短，
PA+PQ=PD+PQ=DQ=8，为最小值，
此时P点坐标为．
4．模型总结：
结论1：对于抛物线，焦点坐标为，准线为直线．
焦点一般会用字母F表示．而且二次项系数很多时候是，只是为了焦点坐标便于计算．
至于形如的抛物线可化为顶点式，然后通过由平移来确定焦点和准线．
结论2：如下图，FM⊥FN．
证明：设，，则，
∴，
∴FM⊥FN．
结论3：取PQ中点E，作EH⊥x轴交x轴于H点，则PH⊥QH．
证明：倍宽中线证两次全等．
结论4：记MN与y轴交于点G，则．
二、典例精析
例一：如图，点为抛物线上一动点．
（1）若抛物线是由抛物线通过图像平移得到的，请写出平移的过程；
（2）若直线经过轴上一点，且平行于轴，点的坐标为，过点作于．
①问题探究：如图一，在对称轴上是否存在一定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标：若不存在，请说明理由．
②问题解决：如图二，若点的坐标为（1，5），求的最小值．
【分析】
（1）向右平移2个单位，向上平移1个单位；
（2）①直线l即为抛物线的准线，所求F点为焦点．
考虑特殊位置，当P点在顶点时，可得F点坐标为（0，1）或（0，-1）（舍掉），
以下证明P在抛物线任意位置，均满足PF=PM：
设P点坐标为，
则，
又，
∴PF=PM，
∴当F点坐标为（0，1）时，PM=PF恒成立．
②由①可得PQ+PF=PQ+PM，
过点Q作QM⊥x轴，与x轴交点即为M点，与抛物线交点为P点，
此时PQ+PM=QM=6，
故QP+PF的最小值为6．
三、中考真题演练
1．（2023·湖北鄂州·中考真题）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点P到定点的距离，始终等于它到定直线l：的距离（该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，叫做抛物线的准线方程．准线l与y轴的交点为H．其中原点O为的中点，．例如，抛物线，其焦点坐标为，准线方程为l：，其中，．

【基础训练】
(1)请分别直接写出抛物线的焦点坐标和准线l的方程：___________，___________；
【技能训练】
(2)如图2，已知抛物线上一点到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，求点P的坐标；
【能力提升】
(3)如图3，已知抛物线的焦点为F，准线方程为l．直线m：交y轴于点C，抛物线上动点P到x轴的距离为，到直线m的距离为，请直接写出的最小值；
【拓展延伸】
该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线平移至．抛物线内有一定点，直线l过点且与x轴平行．当动点P在该抛物线上运动时，点P到直线l的距离始终等于点P到点F的距离（该结论不需要证明）．例如：抛物线
如图4所示，抛物线y＝x2的焦点F（0，1），准线l与y轴交于点H（0，﹣1），E为线段HF的黄金分割点，点M为y轴左侧的抛物线上一点．当＝时，请直接写出△HME的面积值．
3．探照灯的内部可以看成是抛物线的一部分经过旋转得到的抛物曲面．其原理是过某一特殊点的光线，经抛物线反射后所得的光线平行于抛物线的对称轴，我们称这个特殊点为抛物线的焦点．若抛物线的表达式为，则抛物线的焦点为．如图，在平面直角坐标系中，某款探照灯抛物线的表达式为，焦点为F．
(1)点F的坐标是___________；
(2)过点F的直线与抛物线交于A，B两点，已知沿射线FA方向射出的光线，反射后沿射线射出，所在直线与x轴的交点坐标为．
① 画出沿射线方向射出的光线的反射光线；
②所在直线与x轴的交点坐标为___________．
4．已知抛物线方程为，点是抛物线上任意一点．
（1）我们称为抛物线的焦点，直线:为抛物线的准线，连接线段，作于点．
求证：；
（2）已知抛物线过点．
①求抛物线的解析式，并求抛物线的焦点坐标；
②将绕焦点顺时针旋转，得到点，求周宽的最小值；
③直线：与抛物线交于、两点，点是坐标原点，．
求证：直线过定点．
5．如图，在顶点为P的抛物线 的对称轴l上取 ，过A作 交抛物线于B,C两点(B在C左侧)，点和点A关于点P对称，过作 ，又分别过B,C作 ，垂足为E,D，在这里我们把点A叫抛物线的焦点，BC叫抛物线的直径，矩形BCDE叫抛物线的焦点矩形．
(1)直接写出抛物线 的焦点坐标及其直径；
(2)求抛物线 的焦点坐标及其直径；
(3)已知抛物线的直径为 ，求a的值；
(4)①已知抛物线 的焦点矩形的面积为2，求a的值；
②直接写出抛物线的焦点矩形与抛物线 有两个公共点时m的取值范围．

专题01 二次函数几何定义
一、知识导航
1．考向分析：我们已经知道二次函数的图像是抛物线，一种特别的曲线，其本身还具有这样的性质：抛物线上的任意一点到平面中某个定点和某条定直线的距离始终相等．这个点称为抛物线的焦点，这条直线称为抛物线的准线，本专题将讨论一些与抛物线的焦点和准线相关的问题．焦点和准线属于高中内容，高中内容下放也是中考中所常见的．
2．定义：二次函数的图像是抛物线，它也可以这样定义：若一个动点到定点的距离与它到定直线的距离相等，则动点形成的图形就叫抛物线．
3．模型：
（1）已知动点到定点的距离与到定直线的距离相等，请写出动点形成的抛物线的解析式．
解：由题意得：，
过点M作MB⊥直线y=-4，垂足记为B点，则MB=，
∴MA=MB，即，
两边平方，化简得：．
故M点形成的抛物线的解析式为．
（2）若点的坐标是，在（1）中求得的抛物线上是否存在点，使得最短？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
解：过P点做PQ⊥直线y=-4，则PA=PQ，故求PA+PD最短，即求PQ+PD最短．
过点D作直线y=-4的垂线，与抛物线交点即为P点，垂足为Q，此时PQ+PD最短，
PA+PQ=PD+PQ=DQ=8，为最小值，
此时P点坐标为．
4．模型总结：
结论1：对于抛物线，焦点坐标为，准线为直线．
焦点一般会用字母F表示．而且二次项系数很多时候是，只是为了焦点坐标便于计算．
至于形如的抛物线可化为顶点式，然后通过由平移来确定焦点和准线．
结论2：如下图，FM⊥FN．
证明：设，，则，
∴，
∴FM⊥FN．
结论3：取PQ中点E，作EH⊥x轴交x轴于H点，则PH⊥QH．
证明：倍宽中线证两次全等．
结论4：记MN与y轴交于点G，则．
二、典例精析
例一：如图，点为抛物线上一动点．
（1）若抛物线是由抛物线通过图像平移得到的，请写出平移的过程；
（2）若直线经过轴上一点，且平行于轴，点的坐标为，过点作于．
①问题探究：如图一，在对称轴上是否存在一定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标：若不存在，请说明理由．
②问题解决：如图二，若点的坐标为（1，5），求的最小值．
【分析】
（1）向右平移2个单位，向上平移1个单位；
（2）①直线l即为抛物线的准线，所求F点为焦点．
考虑特殊位置，当P点在顶点时，可得F点坐标为（0，1）或（0，-1）（舍掉），
以下证明P在抛物线任意位置，均满足PF=PM：
设P点坐标为，
则，
又，
∴PF=PM，
∴当F点坐标为（0，1）时，PM=PF恒成立．
②由①可得PQ+PF=PQ+PM，
过点Q作QM⊥x轴，与x轴交点即为M点，与抛物线交点为P点，
此时PQ+PM=QM=6，
故QP+PF的最小值为6．
三、中考真题演练
1．（2023·湖北鄂州·中考真题）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点P到定点的距离，始终等于它到定直线l：的距离（该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，叫做抛物线的准线方程．准线l与y轴的交点为H．其中原点O为的中点，．例如，抛物线，其焦点坐标为，准线方程为l：，其中，．

【基础训练】
(1)请分别直接写出抛物线的焦点坐标和准线l的方程：___________，___________；
【技能训练】
(2)如图2，已知抛物线上一点到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，求点P的坐标；
【能力提升】
(3)如图3，已知抛物线的焦点为F，准线方程为l．直线m：交y轴于点C，抛物线上动点P到x轴的距离为，到直线m的距离为，请直接写出的最小值；
【拓展延伸】
该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线平移至．抛物线内有一定点，直线l过点且与x轴平行．当动点P在该抛物线上运动时，点P到直线l的距离始终等于点P到点F的距离（该结论不需要证明）．例如：抛物线上的动点P到点的距离等于点P到直线l：的距离．
请阅读上面的材料，探究下题：
(4)如图4，点是第二象限内一定点，点P是抛物线上一动点，当取最小值时，请求出的面积．
【答案】(1)，；
(2)；
(3)
(4)
【分析】（1）根据题中所给抛物线的焦点坐标和准线方程的定义求解即可；
（2）利用两点间距离公式结合已知条件列式整理得，然后根据，求出，进而可得，问题得解；
（3）过点作直线交于点，过点作准线交于点，结合题意和（1）中结论可知，，根据两点之间线段最短可得当，，三点共线时，的值最小；待定系数法求直线的解析式，求得点的坐标为，根据点是直线和直线m的交点，求得点的坐标为，即可求得和的值，即可求得；
（4）根据题意求得抛物线的焦点坐标为，准线l的方程为，过点作准线交于点，结合题意和（1）中结论可知，则，根据两点之间线段最短可得当，，三点共线时，的值最小；求得，即可求得的面积．
【详解】（1）解：∵抛物线中，
∴，，
∴抛物线的焦点坐标为，准线l的方程为，
故答案为：，；
（2）解：由（1）知抛物线的焦点F的坐标为，
∵点到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，
∴，整理得：，
又∵，
∴
解得：或（舍去），
∴，
∴点P的坐标为；
（3）解：过点作直线交于点，过点作准线交于点，结合题意和（1）中结论可知，，如图：

若使得取最小值，即的值最小，故当，，三点共线时，，即此刻的值最小；
∵直线与直线垂直，故设直线的解析式为，
将代入解得：，
∴直线的解析式为，
∵点是直线和抛物线的交点，
令，解得：，（舍去），
故点的坐标为，
∴，
∵点是直线和直线m的交点，
令，解得：，
故点的坐标为，
∴，
．
即的最小值为．
（4）解：∵抛物线中，
∴，，
∴抛物线的焦点坐标为，准线l的方程为，
过点作准线交于点，结合题意和（1）中结论可知，则，如图：

若使得取最小值，即的值最小，故当，，三点共线时，，即此刻的值最小；如图：

∵点的坐标为，准线，
∴点的横坐标为，代入解得，
即，，
则的面积为．
【点睛】本题考查了两点间距离公式结合，两点之间线段最短，三角形的面积，一次函数的交点坐标，一次函数与抛物线的交点坐标等，解决问题的关键是充分利用新知识的结论．
2．某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y＝ax2（a＞0）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点 F（0，）的距离MF，始终等于它到定直线l：y＝﹣上的距离MN（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y＝﹣叫做抛物线的准线方程．其中原点O为FH的中点，FH=2OF= ，例如，抛物线y＝x2，其焦点坐标为F（0，），准线方程为l：y＝﹣．其中MF=MN，FH=2OH=1．
(1)【基础训练】
请分别直接写出抛物线y＝2x2的焦点坐标和准线l的方程： ， ．
(2)【技能训练】
如图2所示，已知抛物线y＝x2上一点P到准线l的距离为6，求点P的坐标；
(3)【能力提升】
如图3所示，已知过抛物线y＝ax2（a＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线l于点A、B、C．若BC＝2BF，AF＝4，求a的值；
(4)【拓展升华】
古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C将一条线段AB分为两段AC和CB，使得其中较宽一段AC是全线段AB与另一段CB的比例中项，即满足：＝＝．后人把这个数称为“黄金分割”把点C称为线段AB的黄金分割点．
如图4所示，抛物线y＝x2的焦点F（0，1），准线l与y轴交于点H（0，﹣1），E为线段HF的黄金分割点，点M为y轴左侧的抛物线上一点．当＝时，请直接写出△HME的面积值．
【答案】(1)（0，），，
(2)，4）或（，4 ）
(3)
(4)或
【分析】（1）根据交点和准线方程的定义求解即可；
（2）先求出点P的纵坐标为4，然后代入到抛物线解析式中求解即可；
（3）如图所示，过点B作BD⊥y轴于D，过点A作AE⊥y轴于E，证明△FDB∽△FHC，推出，则，点B的纵坐标为，从而求出，证明△AEF∽△BDF，即可求出点A的坐标为（，），再把点A的坐标代入抛物线解析式中求解即可；
（4）如图，当E为靠近点F的黄金分割点的时候，过点M作MN⊥l于N，则MN=MF，
先证明△MNH是等腰直角三角形，得到NH=MN，设点M的坐标为（m，），则，求出，然后根据黄金分割点的定义求出，则；同理可求当点E是靠近H的黄金分割点时△HME的面积．
【详解】（1）解：由题意得抛物线y＝2x2的焦点坐标和准线l的方程分别为（0，），，
故答案为：（0，），，
（2）解：由题意得抛物线y＝x2的准线方程为，
∵点P到准线l的距离为6，
∴点P的纵坐标为4，
∴当时，，
解得，
∴点P的坐标为（，4）或（，4 ）；
（3）解：如图所示，过点B作BD⊥y轴于D，过点A作AE⊥y轴于E，
由题意得点F的坐标为F（0，）直线l的解析式为：y＝﹣，
∴，，
∴△FDB∽△FHC，
∴，
∵BC=2BF，
∴CF=3BF，
∴，
∴，
∴，
∴点B的纵坐标为，
∴，
解得（负值舍去），
∴，
∵，
∴△AEF∽△BDF，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴EF=2，
∴，
∴点A的坐标为（，），
∴，
∴，
∴，
解得（负值舍去）；
（4）解：如图，当E为靠近点F的黄金分割点的时候，过点M作MN⊥l于N，则MN=MF，
∵在Rt△MNH中，，
∴∠MHN=45°，
∴△MNH是等腰直角三角形，
∴NH=MN，
设点M的坐标为（m，），
∴，
∴，
∴HN=2，
∵点E是靠近点F的黄金分割点，
∴，
∴；
同理当E时靠近H的黄金分割点点，，
∴，
∴，
综上所述，或
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，等腰直角三角形的性质与判定，黄金分割等，正确理解题意是解题的关键．
3．探照灯的内部可以看成是抛物线的一部分经过旋转得到的抛物曲面．其原理是过某一特殊点的光线，经抛物线反射后所得的光线平行于抛物线的对称轴，我们称这个特殊点为抛物线的焦点．若抛物线的表达式为，则抛物线的焦点为．如图，在平面直角坐标系中，某款探照灯抛物线的表达式为，焦点为F．
(1)点F的坐标是___________；
(2)过点F的直线与抛物线交于A，B两点，已知沿射线FA方向射出的光线，反射后沿射线射出，所在直线与x轴的交点坐标为．
① 画出沿射线方向射出的光线的反射光线；
②所在直线与x轴的交点坐标为___________．
【答案】(1)
(2)①见解析，②
【分析】（1）根据题意得出，即可确定点F的坐标；
（2）①根据题意确定轴，得出，经抛物线反射后所得的光线平行于y轴，轴，据此作出平行线即可；
②设直线的解析式为，利用待定系数法确定直线AB的解析式，然后与联立求解即可得出结果．
【详解】（1）解：根据题意得，，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）由题意可知抛物线的对称轴是y轴，
∴经抛物线反射后所得的光线平行于抛物线的对称轴，即经抛物线反射后所得的光线平行于y轴，
∴轴
∵所在的直线与x轴的交点坐标为，
∴A点的横坐标为4，纵坐标为，
∴，
①经抛物线反射后所得的光线平行于y轴，
∴轴
∴画出沿射线方向射出的光线的反射光线，如下图所示：
②设直线的解析式为，把、代入，
得，
解得：
∴直线的解析式为，
由题意可知，直线与抛物线交于A、B两点，
把代入
整理得，
解得：，，
∵点B在y轴的左侧，
∴B点的横坐标为，
∵轴，
∴所在直线与x轴的交点坐标为，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查二次函数的应用及利用待定系数法求一次函数解析式，一次函数与二次函数的综合问题等，理解题意，综合运用一次函数与二次函数的性质是解题关键．
4．已知抛物线方程为，点是抛物线上任意一点．
（1）我们称为抛物线的焦点，直线:为抛物线的准线，连接线段，作于点．
求证：；
（2）已知抛物线过点．
①求抛物线的解析式，并求抛物线的焦点坐标；
②将绕焦点顺时针旋转，得到点，求周宽的最小值；
③直线：与抛物线交于、两点，点是坐标原点，．
求证：直线过定点．
【答案】（1）见解析；（2）①，点；②11；③见解析
【分析】（1），而，即可求解；
（2）①将点的坐标代入抛物线表达式得：，解得，进而求解；
②求出，当、、三点共线时，此时周宽最小值，即可求解；
③联立与并整理得：，则；再证明，即，得到，解得，即可求解．
【详解】解：（1）如图1，设点，
则，则，
而，
（2）①将点的坐标代入抛物线表达式得：，解得，
故抛物线的表达式为，则点；
②如图2，将图形向下平移1个单位，此时点，对应点，
再将该图形向上平移1个单位，则此时点的坐标为，即为题干要求点的位置，即点，
由（1）知，，而为常数，故当、、三点共线时，为最小，
此时周宽最小值；
③如图3，联立与并整理得：，则，
过点、分别作轴的垂线，垂足分别为、，
，，
，
，即，
则，即，
整理得：，解得，
故直线的表达式为，
当时，，
故直线过定点．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、解直角三角形、图形的平移和旋转、新定义等，有一定的综合性，难度较大．
5．如图，在顶点为P的抛物线 的对称轴l上取 ，过A作 交抛物线于B,C两点(B在C左侧)，点和点A关于点P对称，过作 ，又分别过B,C作 ，垂足为E,D，在这里我们把点A叫抛物线的焦点，BC叫抛物线的直径，矩形BCDE叫抛物线的焦点矩形．
(1)直接写出抛物线 的焦点坐标及其直径；
(2)求抛物线 的焦点坐标及其直径；
(3)已知抛物线的直径为 ，求a的值；
(4)①已知抛物线 的焦点矩形的面积为2，求a的值；
②直接写出抛物线的焦点矩形与抛物线 有两个公共点时m的取值范围．

【答案】(1) (0，1)，4；(2) (3，3)，4；(3) ；(4)① ；② 或
【分析】(1)根据题意可以求得抛物线 的焦点坐标及其直径；
(2)根据题意可以求得抛物线 的焦点坐标及其直径；
(3)根据题意和抛物线的直径为 ，列方程即求a的值；
(4)①根据题意和抛物线的焦点矩形的面积为2，列方程即求的值；
②根据(2)中的结果和图形可以求得抛物线的焦点矩形与抛物线 有两个公共点时m的取值范围．
【详解】(1)∵抛物线中，，，，
∴此抛物线焦点的横坐标是，，纵坐标是：，
∴抛物线的焦点坐标为(0，1)，
将代入得：，
∴此抛物线的直径是：；
(2)∵抛物线中，，，，
∴此抛物线焦点的横坐标是，，纵坐标是：，
∴抛物线的焦点坐标为(3，3)，
将代入得：，
∴此抛物线的直径是：；
(3)∵抛物线的焦点为A(，)，
∴，
解得：，
∴此抛物线的直径是：；
解得：，
∴的值是；
(4)设抛物线解析式为：，
①由(3)得，BC，
焦点为A(，)，顶点为P(，)，
∴，
6．研究发现，二次函数（）图象上任何一点到定点（0，）和到定直线的距离相等．我们把定点（0，）叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．
（1）写出函数图象的焦点坐标和准线方程；
（2）等边三角形OAB的三个顶点都在二次函数图象上，O为坐标原点，求等边三角形的边宽；
（3）M为抛物线上的一个动点，F为抛物线的焦点，P（1，3）为定点，求MP+MF的最小值．
【答案】（1）焦点坐标为：（0，1），准线方程为：y=-1；（2）8；（3）4．
【分析】（1）根据焦点坐标为（0，），准线方程为y＝−，即可得出答案．
（2）根据题意可设A（x，y），B（-x，y），从而根据等边三角形及抛物线的性质可得出∠AOE=30°，继而可得出，代入可得出x和y的值，也可求出等边三角形的边宽．
（3）点P到点F的距离等于点P到准线的距离，从而根据垂线段最短的知识可找到点M的位置，结合图形可得出这个最小值．
【详解】解：（1）由题意得，焦点坐标为：（0，1），准线方程为：y=-1；
（2）设A（x，y），B（-x，y），
∵△OAB是等边三角形，
∴∠AOE=∠AOB=30°，
∴y=x，
将点A坐标（x，y）=（x，x）代入函数解析式，可得x=x2，
解得：x=4，
故可得点A坐标为（4，12），三角形的边宽=OA==8．
（3）过点M作MN⊥准线，交准线于点N，
则由题意可得，MN=MF，
故可得：MP+MF=MP+MN，
结合图形可得过点P作PE⊥准线，交准线于点E，则PE与抛物线的交点M'能满足MP+MF最小，
此时M'P+M'F=PE=4．
【点睛】此题考查了二次函数的综合题，解答本题的关键是仔细审题得出函数的准线与焦点，综合性较强，注意解答过程中将所学知识融会贯通．