2024年中考数学【高分·突破】考点19二次函数的最值问题(原卷版+解析)

这是一份2024年中考数学【高分·突破】考点19二次函数的最值问题(原卷版+解析)，共32页。
一、解答题
1．如图1，已知一次函数的图象与y轴，x轴相交于点A，B，抛物线与y轴交于点C，顶点M在直线上，设点M横坐标为m．
(1)如图2，当时，求此时抛物线的函数表达式；
(2)求当m为何值时，点C的纵坐标最大；
(3)如图3，当时，此时的抛物线与直线相交于D，E两点，连接，并延长，分别与x轴交于P，Q两点．试探究是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
2．如图，抛物线与轴交于，两点，与y轴交于点，点是抛物线的顶点．
(1)求抛物线解析式；
(2)求开口向下的二次函数的最大值时采用的步骤是：第一，求出二次函数的顶点坐标；第二，确定自变量的取值范围；第三判定是否在其范围内，若在，则最大值是顶点纵坐标，若不在，要根据其增减性求最大值，即当时，时，最大；当时，时，最大．若，时，二次函数的最大值是，求的值．
(3)如图，若点是第一象限抛物线上一点，且，求点的坐标．
3．在平面直角坐标系中，直线y＝mx-2m与x轴，y轴分别交于A，B两点，顶点为D的抛物线y＝-x2+2mx-m2+2与y轴交于点C．
(1)如图，当m＝2时，点P是抛物线CD段上的一个动点．
①求A，B，C，D四点的坐标；
②当△PAB面积最大时，求点P的坐标；
(2)在y轴上有一点M（0，m），当点C在线段MB上时，
①求m的取值范围；
②求线段BC长度的最大值．
4．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中．
(1)求B，C的坐标．
(2)如图2，点D是第一象限内抛物线上的动点，连接OD交BC于点E，当的值最大时，求出此时点D的坐标并求出的最大值．
(3)在（2）的条件下，将OD绕点O顺时针旋转90°得到线段，若线段与抛物线对称轴有公共点，直接写出点D的横坐标的取值范围．
5．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，抛物线上一点D的横坐标为．
(1)求直线BD的解析式；
(2)点E是线段BD上的动点，过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当折线EF+BE最大时，在对称轴上找一点P，在y轴上找一点Q，连接QE、OP、PQ，求OP+PQ+QE的最小值；
(3)如图2，连接BC，把△OBC沿x轴翻折，翻折后的△OBC记为△OBC′，现将△OBC′沿着x轴平移，平移后△OBC′记为△O′B′C″，连接DO′、C″B，记C″B与x轴形成较小的夹角度数为α，当∠O′DB=α时，求出此时C″的坐标．
6．某公司成功开发出一种产品，正式投产后，生产成本为5元/件．公司按订单生产该产品（销售量=产量），年销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足如图1所示的函数关系，公司规定产品售价不超过15元/件，受产能限制，年销售量不超过30万件；为了提高该产品竞争力，投入研发费用P万元（P万元计入成本），P与x之间的函数关系式如图2所示，当时可看成抛物线．
(1)求y与x之间的函数关系式．
(2)求这种产品年利润W（万元）与售价x（元/件）满足的函数关系式．
(3)当售价x为多少元时，年利润W最大，并求出这个最大值．
7．某商户在线上投资销售A，B两种商品．已知销售A种商品可获得的月利润（万元）是该商品投资金额的40%，销售B种商品可获得的月利润（万元）与该商品投资金额x（万元）满足函数关系（其图象如图所示）．
(1)求销售A种商品的月利润（万元）与该商品的投资金额x（万元）的函数关系式，并在图中画出其图象．
(2)若只选择其中一种商品投资销售，根据函数图象求销售哪种商品获得的月利润更高？
(3)若该商户共投资10万元同时销售A，B两种商品，要获得月总利润最大，应怎样分配投资金额？并求出最大月总利润．
8．2021年12月5日，镇海区爆发新冠疫情，广大居民捐资捐物，经过全区人民的共同努力，镇海区用两周的时间解除了疫情．某商店也将商品两周的盈利捐出用于购买抗疫物资．经市场调查发现，该商品的周销售量y（件）关于售价x（元/件）的一次函数为y＝﹣2x+200，当售价为40元时，周销售利润为2400元．
(1)该商品每件的进价是多少元？
(2)当每件售价x为多少时，周售价利润w最大？并求出此时的最大利润．
9．直线：与抛物线相交于点A，B，与y轴相交于点C，点在L上且位于点A，B之间，轴交l于点Q．
(1)小静得出结论：l与L有一个公共点在x轴上，请判断小静的结论是否正确，并说明理由．
(2)若，如图1．
①当时，求点Q的坐标；
②当m为何值时，的面积最大？并求出这个最大值．
(3)若n随m的增大而增大，直接写出a的取值范围．
10．在“乡村振兴”行动中，某村办企业开发了一种有机产品，该产品的成本为每盒30元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒，每涨价1元，每天少销售10盒．
(1)设每盒产品的售价是x元（x是整数），每天的利润是w元，求w关于x的函数解析式；
(2)当每盒售价订为多少元时，可使当天获得最大销售利润，销售利润是多少？
(3)现在该企业打算回报社会，每销售1盒捐赠a元给村级经济合作社，物价部门要求该产品销售定价不得超过每盒75元，该企业在严格执行物价部门的定价前提下欲使每天捐赠后的日销售利润随产品售价的增大而增大，求a的取值范围．
11．如图，已知地物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），直线与x轴和y轴分别交于C，D两点．
(1)若抛物线经过点D，且A点的坐标是，求抛物线的函数解析式；
(2)在（1）的条件下，点P是在直线下方二次函数图像上的一个动点，试探究点P的坐标是多少时，的面积最大，并求出最大面积；
(3)当时，抛物线对应的函数有最小值3，求t的值．
12．李大爷每年春节期间都会购进一批新年红包销售，根据往年的销售经验，这种红包平均每天可销售50袋，每袋盈利3元，若每袋降价0.5元，平均每天可多售出25袋，设每袋降x元，平均每天的利润为y元．
(1)请求出y与x的函数表达式；
(2)若李大爷想让每天的利润最大化，应该降价多少元销售？最大利润为多少元？
压轴热点考点19 二次函数的最值问题
压轴突破——2024年【中考冲刺】数学高频热点考点好题精编
一、解答题
1．如图1，已知一次函数的图象与y轴，x轴相交于点A，B，抛物线与y轴交于点C，顶点M在直线上，设点M横坐标为m．
(1)如图2，当时，求此时抛物线的函数表达式；
(2)求当m为何值时，点C的纵坐标最大；
(3)如图3，当时，此时的抛物线与直线相交于D，E两点，连接，并延长，分别与x轴交于P，Q两点．试探究是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)当时，点C的纵坐标最大
(3)9
【分析】（1）当时，根据顶点M在直线上，可得抛物线顶点坐标M为，问题随之得解；
（2）点M在直线上，即，代入抛物线解析式为，即，可得点C的纵坐标为，问题随之得解；
（3）当时，可知抛物线的顶点在y轴上，可得抛物线解析式为，，即，，设直线，即P点坐标为：，联立，可得 ，同理设直线，即Q点坐标为：，即可得，根据，，可得.
【详解】（1）当时，，即；
当时，，则有，即；
当时，根据顶点M在直线上，
可得抛物线顶点坐标M为，
抛物线解析式为，
即；
（2）由题知，点M在直线上，
，
抛物线解析式为，即，
点C的纵坐标为，
，
当时，点C的纵坐标最大．
（3）当时，可知抛物线的顶点在y轴上，
即抛物线的对称轴为，
即，
∴，
结合根据顶点M在直线上以及，
则有：，
，
即，，
∵，
设直线，即P点坐标为：，
联立，
，
同理设直线，即Q点坐标为：，
，
，
，
又P点坐标为：，Q点坐标为：，
，，
.
【点睛】本题是一次函数、二次函数与一元二次方程的综合题，考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程的根与系数的关系，利用待定系数法求解一次函数解析式等知识，掌握一元二次方程的根与系数的关系，是解答本题的关键．
2．如图，抛物线与轴交于，两点，与y轴交于点，点是抛物线的顶点．
(1)求抛物线解析式；
(2)求开口向下的二次函数的最大值时采用的步骤是：第一，求出二次函数的顶点坐标；第二，确定自变量的取值范围；第三判定是否在其范围内，若在，则最大值是顶点纵坐标，若不在，要根据其增减性求最大值，即当时，时，最大；当时，时，最大．若，时，二次函数的最大值是，求的值．
(3)如图，若点是第一象限抛物线上一点，且，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据待定系数法求抛物线解析式即可；
（2）先求出抛物线的对称轴为直线，根据，得出，得出当时，抛物线有最大值，从而得出，解关于t的方程即可；
（3）延长，过点D作轴，过点D作交的延长线于点M，过点M作于点N，交x轴于点Q，过点A作于点K，证明，得出，，求出点，求出直线的解析式为，联立，求出抛物线与直线的交点坐标即可．
【详解】（1）解：把，两点代入抛物线得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴，
∴在对称轴的左侧，
∵，
∴当时，抛物线有最大值，
∴，
解得：或（舍去），
∴．
（3）解：延长，过点D作轴，过点D作交的延长线于点M，过点M作于点N，交x轴于点Q，过点A作于点K，如图所示：
把代入得：，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵轴，
∴，
∵，
∴，
∵，轴，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
设的解析式为，把，代入得：
，解得：，
∴的解析式为，
联立，
解得：或，
∵点P在第一象限，
∴舍去，
∴点P的坐标为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数的解析式，求二次函数的最值，求一次函数的解析式，三角形全等判定和性质，矩形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，数形结合构造全等三角形．
3．在平面直角坐标系中，直线y＝mx-2m与x轴，y轴分别交于A，B两点，顶点为D的抛物线y＝-x2+2mx-m2+2与y轴交于点C．
(1)如图，当m＝2时，点P是抛物线CD段上的一个动点．
①求A，B，C，D四点的坐标；
②当△PAB面积最大时，求点P的坐标；
(2)在y轴上有一点M（0，m），当点C在线段MB上时，
①求m的取值范围；
②求线段BC长度的最大值．
【答案】(1)①A（2，0），B（0，-4），C（0，-2），D（2，2）；
②△PAB的面积的最大值是3，点P（1，1）；
(2)①或；
②13
【分析】对于（1），先求出点A，B的坐标，再将抛物线关系式配方表示出点D的坐标，令
x=0，表示出点C的坐标，然后将m的值代入即可得出①的答案；对于②，先求出直线和抛物线的解析式，再作轴，设点P的横坐标为t，即可表示出点P，E的坐标，然后表示出PE，进而根据三角形的面积公式表示△PAB的面积，再配方讨论极值即可；
对于（2），由（1）可知，点B，C的坐标，再根据点C在线段MB上，分两种情况讨论，求出①的答案即可；对于②，根据①中的情况分别表示BC，再配方二次函数的性质求出答案即可．
【详解】（1）∵直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，
∴A（2，0），B（0，-2m）．
∵，
∴抛物线的顶点坐标是D（m，2）．
令x=0，则，
∴．
①当m=2时，-2m=-4，则，
∴点B（0，-4），C（0，-2），D（2，2）；
②由上可知，直线AB的解析式为，抛物线的解析式为，
如图，过点P作轴交直线AB于点E．
设点P的横坐标为t，
∴，，
∴，
∴△PAB的面积=，
∵-1＜0，
∴当t=1时，△PAB的面积的最大值为3，此时P（1，1）；
（2）由（1）可知，B（0，-2m），C（0，-m2+2），
①∵y轴上有一点，点C在线段MB上，
∴需分两种情况讨论：
当时，解得：，
当时，解得：，
∴m的取值范围是或；
②当时，
∵，
∴当m=1时，BC的最大值为3；
当时，
∴，
当m=-3时，点M与点C重合，BC的最大值为13，
∴BC的最大值是13．
【点睛】这是一道关于一次函数和二次函数的综合问题，考查了求函数关系式，二次函数图象的性质，二次函数与三角形的综合，根据二次函数关系式求极值等．
4．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中．
(1)求B，C的坐标．
(2)如图2，点D是第一象限内抛物线上的动点，连接OD交BC于点E，当的值最大时，求出此时点D的坐标并求出的最大值．
(3)在（2）的条件下，将OD绕点O顺时针旋转90°得到线段，若线段与抛物线对称轴有公共点，直接写出点D的横坐标的取值范围．
【答案】(1)B（6，0），C（0，6）
(2)有最大值为，D点坐标为（3，）
(3)
【分析】（1）根据OA=2，可知A（-2，0）．用待定系数法求出抛物线的解析式，再令x=0，求出y；y=0，求出x的值，即可求解；
（2）过O作ON⊥BC，DM⊥BC，DF⊥x轴交BC于F，易知，再△DME∽△ONE，得，DF∥y轴得，设D（x，），则F（x，-x+6），DF=，可得，根据二次函数的性质可求最大值和D点坐标．
【详解】（1）解：∵，
∴A（-2，0）．
∵抛物线与x轴交于点A，，
∴，
∴ ，
∴，
当y=0时，；当x=0时，y=6，
∴B（6，0），C（0，6）．
（2）解：过O作ON⊥BC，DM⊥BC，DF⊥x轴交BC于F，如图，
则，
∵ON⊥BC，DM⊥BC，
∴∠DME=∠ENO=90°，
又∵∠MED=∠NEO，
∴△DME∽△ONE，
∴，
∵DF⊥x轴，
∴DF∥y轴，
∴，
设直线BC的解析式为y=kx+b，则
，
∴ ，
∴直线BC的解析式为y=-x+6．
设D（x，），则F（x，-x+6），
DF=，
∴．
∵a=，
∴当x=时，有最大值为，D点坐标为（3，）．
（3）解：抛物线的对称轴x=，
当在对称轴x=的左侧时，与对称轴没有交点，
当在对称轴x=上时，与对称轴有唯一交点，
此时过D作DG⊥对称轴于G，作DH⊥x轴于H，如图3，
设D点横坐标为x，则纵坐标为x-2，即D（x，x-2），
∵D在抛物线上，
∴，
解得（舍去）
∵点D是第一象限内抛物线上的动点，
∴D点的横坐标的取值范围是：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，用待定系数法求解析式，二次函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质，解题的关键是综合运用相关知识解决问题．
5．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，抛物线上一点D的横坐标为．
(1)求直线BD的解析式；
(2)点E是线段BD上的动点，过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当折线EF+BE最大时，在对称轴上找一点P，在y轴上找一点Q，连接QE、OP、PQ，求OP+PQ+QE的最小值；
(3)如图2，连接BC，把△OBC沿x轴翻折，翻折后的△OBC记为△OBC′，现将△OBC′沿着x轴平移，平移后△OBC′记为△O′B′C″，连接DO′、C″B，记C″B与x轴形成较小的夹角度数为α，当∠O′DB=α时，求出此时C″的坐标．
【答案】(1)直线BD的解析式为
(2)的最小值为
(3)坐标为
【分析】（1）先求出B、D两点的坐标，再利用待定系数法计算，即可得出结论；
（2）如图3中，设交轴于，则，设，则，设与轴的交点为，则，根据题意，利用三角函数，得出，构建二次函数确定的值，求出点的坐标，如图4中，作点关于轴的对称点，于，连接，交对称轴于，交轴于，当共线时，最小，最小值为，再根据勾股定理，计算即可得出结果；
（3）如图5中，作于，设，则，， ，由，得出，列出方程，计算即可得出结果．
【详解】（1）解：令，则，
解得：或，
∴，，
令，则，
∴，
当时，，
∴点坐标，
设直线解析式为，
则有，解得，
∴直线BD的解析式为；
（2）解：如图3中，设交轴于，则，设，则，设与轴的交点为，则，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴时，的值最大，此时点坐标，
如图4中，作点关于轴的对称点，于，连接，交对称轴于，交轴于，
∵、关于对称轴对称，
∴，
∵、关于轴对称，
∴，
∴，
∴当共线时，最小，最小值为，
在中，
．
∴的最小值为；
（3）解：如图5中，作于，设，则，， ，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍弃），
∴坐标为．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、锐角三角函数、勾股定理、轴对称与折叠、二次函数中的线段最值、定值问题、相似三角形的性质与判定，解本题的关键在充分利用数形结合思想解答问题．
6．某公司成功开发出一种产品，正式投产后，生产成本为5元/件．公司按订单生产该产品（销售量=产量），年销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足如图1所示的函数关系，公司规定产品售价不超过15元/件，受产能限制，年销售量不超过30万件；为了提高该产品竞争力，投入研发费用P万元（P万元计入成本），P与x之间的函数关系式如图2所示，当时可看成抛物线．
(1)求y与x之间的函数关系式．
(2)求这种产品年利润W（万元）与售价x（元/件）满足的函数关系式．
(3)当售价x为多少元时，年利润W最大，并求出这个最大值．
【答案】(1)y与x的函数关系式为：y=-2x+40（）；
(2)
(3)当售价为12元时，年利润最大，最大为49万元．
【分析】（1）根据题意设y与x的函数关系式为：y=kx+b，将点（5，30），（15，10）代入求解即可得；
（2）根据题意及函数图像可得，需要分两部分进行讨论分析：当时，根据图像可得：P=60；当时，；利用利润列出函数解析式即可；
（3）由（2）中结论将函数解析式化为顶点式或利用顶点坐标即可确定最值问题．
【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为：y=kx+b，
将点（5，30），（15，10）代入可得：
，
解得：，
∴y与x的函数关系式为：y=-2x+40（）；
（2）解：当时，根据图像可得：P=60，
∴W=(x-5)y-P=(x-5)(-2x+40)-60=-2+50x-260；
当时，，
由图可得经过点（10，60），将其代入可得：，
解得：m=75，
∴；
∴W=(x-5)y-P=(x-5)(-2x+40)-()=；
综上：；
（3）解：由（2）可得：当时，
W=-2+50x-260=-2，
∴不在，由于开口向下，
在内随x增大而增大，
在x=10时，取得最大值为W=40；
当时，
W=，
对称轴为x=，
由于函数开口向下，
∴当x=12时，W=49，
∴当x=12时，W取得最大值为49；
综上可得：当售价为12元时，年利润最大，最大为49万元．
【点睛】题目主要考查一次函数解析式的确定，二次函数的应用及最值问题，理解题意，列出相应函数解析式是解题关键．
7．某商户在线上投资销售A，B两种商品．已知销售A种商品可获得的月利润（万元）是该商品投资金额的40%，销售B种商品可获得的月利润（万元）与该商品投资金额x（万元）满足函数关系（其图象如图所示）．
(1)求销售A种商品的月利润（万元）与该商品的投资金额x（万元）的函数关系式，并在图中画出其图象．
(2)若只选择其中一种商品投资销售，根据函数图象求销售哪种商品获得的月利润更高？
(3)若该商户共投资10万元同时销售A，B两种商品，要获得月总利润最大，应怎样分配投资金额？并求出最大月总利润．
【答案】(1)；图象见解析
(2)当时，选择B种商品；当时，选A、B 均可；当时，选择A种商品
(3)投资销售B商品为3万元，A商品为7万元，月总利润为4.9万元
【分析】（1）由题意知，，然后作图象即可；
（2）令，则，解得，，可知当时，两种产品的月利润相同，观察图象，比较的大小，然后作答即可；
（3）设投资销售B商品为万元，A商品为万元，月总利润为，由题意知，，根据二次函数的性质求最大时的值，然后作答即可．
【详解】（1）解：由题意知，
∴函数关系式为；
图象如下：
（2）解：令，则
解得，
∴当时，两种产品的月利润相同；
由图象可知，当时，，此时销售种商品月利润更高；
当时，，此时销售种商品月利润更高；
∴当时，选择种商品；当时，均可；当时，选择种商品．
（3）解：设投资销售B商品为万元，A商品为万元，月总利润为
由题意知，

∵
∴时，最大，值为4.9万元
∴应投资销售B商品为3万元，则A商品为7万元，月总利润为4.9万元．
【点睛】本题考查了一次函数解析式与图象，一元二次方程的应用，二次函数的应用，二次函数最值等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
8．2021年12月5日，镇海区爆发新冠疫情，广大居民捐资捐物，经过全区人民的共同努力，镇海区用两周的时间解除了疫情．某商店也将商品两周的盈利捐出用于购买抗疫物资．经市场调查发现，该商品的周销售量y（件）关于售价x（元/件）的一次函数为y＝﹣2x+200，当售价为40元时，周销售利润为2400元．
(1)该商品每件的进价是多少元？
(2)当每件售价x为多少时，周售价利润w最大？并求出此时的最大利润．
【答案】(1)每件商品的进价20元；
(2)当每件售价为60元时，周售价利润w最大，最大利润是3200元
【分析】（1）把x＝40代入求出销售量，再根据利润2400元可得每件利润，售价减利润即为进价；
（2）根据“总利润＝每件商品的利润×销售量”列出函数关系式，再根据二次函数的性质可得答案；
【详解】（1）解：把x＝40代入y＝﹣2x+200可得周销售量y＝120，
∴每件利润为：2400÷120＝20（元），
∵售价为40（元），
∴每件商品的进价为：40-20=20元；
（2）解：设利润为w元，则
w＝（x﹣20）（﹣2x+200）＝﹣2（x﹣60）2+3200，
∵﹣2＜0，二次函数开口向下，
∴当x＝60时，w最大为3200，
答：当每件售价为60元时，周售价利润w最大，最大利润是3200元．
【点睛】本题考查一次函数和二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
9．直线：与抛物线相交于点A，B，与y轴相交于点C，点在L上且位于点A，B之间，轴交l于点Q．
(1)小静得出结论：l与L有一个公共点在x轴上，请判断小静的结论是否正确，并说明理由．
(2)若，如图1．
①当时，求点Q的坐标；
②当m为何值时，的面积最大？并求出这个最大值．
(3)若n随m的增大而增大，直接写出a的取值范围．
【答案】(1)正确，理由见解析
(2)①或；②当时，取得最大值
(3)或
【分析】（1）求得l与L有一个公共点（4，0）在x轴上，即可得出结论；
（2）①把，人攻二次函数解析式，求出点P横坐标，再把点P横坐标代入一次函数解析式，求得出Q纵坐标，即可求解；
②由，则，利用二次函数最值求解即可；
（3）由题意，得L经过原点，对称轴为直线，与l的一个公共点在对称轴右侧．分两种情况，1）若，L开口向下；2）若，L开口向上；分别求解即可．
【详解】（1）解：正确
理由：令y=0，对于函数，则x=4，
∴函数经过点（4，0）；
令y=0，对于函数，则x=0或x=4，
∴函数经过点（4，0）；
∴l与L有一个公共点（4，0）在x轴上，
∴小静的结论是正确的；
（2）解：若，则．
①当时，即，解得．
当时，；
当时，．
∴点Q的坐标为或．
②∵，
∴
．
∴当时，取得最大值．
（3）解：由题意，得L经过原点，对称轴为直线，与l的一个公共点在对称轴右侧．
1）若，L开口向下，点A，B在对称轴两侧，不能使n随m的增大而增大．
2）若，L开口向上，当点A，B重合时，有两个相等的实数根．
化为，由，解得．
当L的顶点在l上时，，解得．
若，则点A，B都在对称轴两侧，n随m的增大而增大；
若，则点A，B都在对称轴右侧（或左侧点在对称轴上），n随m的增大而增大．
∴a的取值范围是或．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数图象交点问题，二次函数与面积综合题目，熟练掌握二次函数与一次函数图象与性质是解题的关键．
10．在“乡村振兴”行动中，某村办企业开发了一种有机产品，该产品的成本为每盒30元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒，每涨价1元，每天少销售10盒．
(1)设每盒产品的售价是x元（x是整数），每天的利润是w元，求w关于x的函数解析式；
(2)当每盒售价订为多少元时，可使当天获得最大销售利润，销售利润是多少？
(3)现在该企业打算回报社会，每销售1盒捐赠a元给村级经济合作社，物价部门要求该产品销售定价不得超过每盒75元，该企业在严格执行物价部门的定价前提下欲使每天捐赠后的日销售利润随产品售价的增大而增大，求a的取值范围．
【答案】(1)w＝-10x2＋1400x-33000；
(2)每盒售价订为70元时，可使当天获得最大销售利润，销售利润是16000元；
(3)974.5
即a>9，
又∵x-30-a＞0，
∴ a＜x-30，其中60≤x≤75，
∴ a＜60-30，即a＜30时，a＜x-30恒成立，
∴ 9