04，湖北省荆门市部分学校2023-2024学年高一下学期5月联考数学试题

这是一份04，湖北省荆门市部分学校2023-2024学年高一下学期5月联考数学试题，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．假设，且A与B相互独立，则（ ）
A．0.3B．0.4C．0.7D．0.58
2．若复数满足，则（ ）
A．1B．C．D．2
3．已知是两个不共线的向量，向量共线，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．2
4．在中，角的对边分别为，若，则的形状是（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形
C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
5．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为．我们通过设计模拟实验的方法求概率，利用计算机产生之间的随机数：
425123423344144435525332152342
534443512541135432334151312354
若用1，3，5表示下雨，用2，4表示不下雨，则这三天中至少有两天下雨的概率近似为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在四面体中，，分别是与的中点，若，，则与所成的角为（ ）试卷源自 试卷上新，欢迎访问。
A．B．C．D．
7．圆锥中，为圆锥顶点，为底面圆的圆心，底面圆半径为3，侧面展开图面积为，底面圆周上有两动点，则面积的最大值为（ ）
A．4B．C．D．6
8．如图，在正四棱柱中，，O是底面的中心，E，F分别是，的中点，求直线与直线夹角的余弦值是（ ）

A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．某中学选派甲、乙、丙、丁、戊5位同学参加数学竞赛，他们的成绩统计如下：
则下列结论正确的为（ ）
A．这位同学成绩的中位数是
B．这位同学成绩的平均数是
C．这位同学成绩的第百分位数是
D．若去掉戊的成绩，则剩余四人成绩的方差保持不变
10．已知不重合的直线，，和平面，，则（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，，则
D．若，，则
11．如图，已知二面角的棱上有A，B两点，，，，，且，则（ ）
A．当时，直线与平面所成角的正弦值为
B．当二面角的大小为时，直线与所成角为
C．若，则三棱锥的外接球体积的为
D．若，则二面角的余弦值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．设为所在平面内一点，满足，则 .
13．航天发射可以推动一个国家科学技术的不断发展，提升国家的科技水平．航天发射同时还是一个国家综合实力的体现，可以提高一个国家在国际上的地位，中国航天科技集团于2023年1月18日发布的《中国航天科技活动蓝皮书（2022）》显示，我国2023年计划实施近70次宇航发射，1月至12月发射次数依次为：5，2，7，3，4，4，6，8，6，4，5，15，那么这组数据的上四分位数是 ．
14．棱长为10cm的密闭正四面体容器内装有体积为的水，翻转容器，使得水面至少与2条棱平行，且水面是三角形，不考虑容器厚度及其它因素影响，则水面面积的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．在锐角中，内角所对边分别为，．
(1)求角；
(2)若，求面积的取值范围．
16．某在建小区为了提高绿化率，创造更美好的生活环境，计划再建一个四边形花坛（四边形）．已知米，．
(1)若，米，求边的长；
(2)若，求花坛面积的最大值．
17．某学校高一名学生参加数学考试，成绩均在分到分之间，学生成绩的频率分布直方图如下图：

(1)估计这名学生分数的中位数与平均数；(精确到)
(2)某老师抽取了名学生的分数：，已知这个分数的平均数，标准差，若剔除其中的和两个分数，求剩余个分数的平均数与标准差．
(参考公式：)
18．如图，已知在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，E、F分别是的中点．
(1)求证：平面；
(2)求与平面所成角的余弦值．
19．在平面直角坐标系中，为坐标原点，三点满足．
(1)求值；
(2)已知，且，若函数的最小值为，求实数的值．
参考答案：
1．D
【分析】根据给定条件，利用相互独立事件的概率公式及概率的基本性质计算即得.
【详解】由，，且A与B相互独立，得，
所以.
故选：D
2．A
【分析】利用复数的模的性质求复数的模.
【详解】因为，所以：.
故选：A
3．C
【分析】根据给定条件，利用平面向量基本定理求解即得.
【详解】向量不共线，则，由共线，得，，
于是，则且，解得，
所以实数的值为.
故选：C
4．B
【分析】根据正弦定理整理等式，利用差角公式，结合三角形内角的性质，可得答案.
【详解】由得：，即，
即，且，所以.
故选：B．
5．D
【分析】由样本数据，利用频率近似估计概率.
【详解】设事件“三天中至少有两天下雨”，20个随机数中，
至少有两天下雨有，
即事件发生了13次，用频率估计事件的概率近似为．
故选：D．
6．D
【分析】设为的中点，连接，，即可根据中位线得出，则与所成角的度数等于与所成角的度数，再根据中位线得出，结合已知，即可得出，即可在直角三角形中计算得出答案.
【详解】设为的中点，连接，，
则，分别为，的中线．
，且，，且，
则与所成角的度数等于与所成角的度数，
又，，
，
则为直角三角形，，，,
在直角中，，
．
故选：D．
7．D
【分析】根据给定条件，求出圆锥的母线长，进而求出圆锥轴截面顶角即可求解得答案.
【详解】令圆锥母线长为，显然圆锥侧面展开图扇形弧长为，
由侧面展开图面积为，得，解得，
又圆锥轴截面等腰三角形底边长为6，底角满足，即，
因此圆锥轴截面等腰三角形顶角为，等腰的顶角，
则面积，当且仅当时取等号，
所以面积的最大值为6.
故选：D
8．A
【分析】
连接，根据题意可得直线与直线夹角为，再设求解即可.
【详解】连接，因为E，F分别是，的中点，故且，故四边形为平行四边形，故.
又O是底面的中心，故为中点，直线与直线夹角为.
设，则，，，.
故.

故选：A
9．BC
【分析】ABC选项，根据中位数，平均数和百分位数的定义进行求解；D选项，计算出去掉戊的成绩的方差和不去掉戊的成绩的方差，比较后得到结论.
【详解】A选项，将5位同学的成绩从小到大排列，得到，
则这位同学成绩的中位数为76，A错误；
B选项，这位同学成绩的平均数为，B正确；
C选项，，故从小到大，选取第4个数作为第百分位数，即80，C正确；
D选项，五个人的成绩方差为
，
若去掉戊的成绩，剩下4个人的成绩方差为
，故D错误.
故选：BC
10．AD
【分析】根据直线和平面的相关性质逐一判断即可.
【详解】对于A，根据平行传递性可知，若，，则，故A正确；
对于B，若，，则可能出现，或，或相交但不垂直，或异面但不垂直，故B错误；
对于C，若，，，，则或相交，故C错误；
对于D，根据面面垂直判定定理可知，若，，则，故D正确.
故选：AD
11．ABD
【分析】对A：借助空间垂直的转化可得线线垂直，结合线面角的定义计算即可得；对B：借助二面角的定义，作出平行直线且与相交的直线即可计算异面直线夹角；对C：找到底面外接圆圆心，作出过该点且垂直底面的直线，则球心必在该直线上，设出半径，结合勾股定理可得半径，即可得外接球体积；对D：借助二面角定义作出该二面角的平面角，结合意义计算即可得.
【详解】对A选项：当时，因为，，
所以，所以直线与平面所成角为，
又因为，所以，
因为，，所以，
所以，故A正确；
对B选项：如图，过A作，且，连接，，

则四边形为正方形，所以，所以（或其补角）即为直线与所成角，
因为，四边形为正方形，有，所以，
又因为，所以即为二面角的平面角，即，
由、、且、平面，
所以平面，又四边形为正方形，所以，
所以平面，又平面，所以.
由且四边形为正方形，，所以，
所以，即，即直线与所成角为，故B正确；
对于D，如图，作，且，
则二面角的平面角为，不妨取，

由，在中，易得，
在中，由余弦定理得，，
过C点作交线段的延长线于点O，则平面，
过O点作，交线段的延长线于点H，连接，
则为二面角的平面角，
易得，，，
所以，故D正确.
对C选项：同选项D可知，
如图，分别取线段，的中点G，M，连接，过G点作平面的垂线，

则球心必在该垂线上，设球的半径为R，则，
又的外接圆半径，而平面平面，
所以平面，即的长为点到平面的距离，则，
所以四面体的外接球的体积为，故C错误．
故选：ABD.
【点睛】关键点睛：本题C选项中外接球半径半径的计算关键是先找到底面外接圆圆心，则球心必在过外接圆圆心且垂直于底面的直线上.
12．0
【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律，结合向量的加减法计算即得.
【详解】由，得，则，
由，得，则，
于是，所以.
故答案为：0
13．
【分析】根据百分位数的定义求解即可.
【详解】将这12个数从小到大排列为：2，3，4，4，4，5，5，6，6，7，8，15，
因为，
所以这组数据的上四分位数为第9个和第10个数的平均数，
即，
故答案为：
14．
【分析】
首先分水面平行于一组对棱和水面平行于正四面体的一个面两种情况，舍去前一种情况，结合正四面体几何特征求出其体积，根据相似关系得到棱长比，进而求出面积即可.
【详解】若水面至少与2条棱平行，且这两条棱不共面，即两条棱为对棱时，
如图所示，若水面平行与，不妨取特殊情况讨论，
记中点分别为，

则，，则四边形为平行四边形，
即水面形状为平行四边形，不符合题意；
则水面至少平行的2条棱相交共面，不妨设水面为，
下求正四面体体积，
如图所示，即中点为，连接，设平面，则是三等分点，
因为正四面体棱长为10，所以，
，
则，
所以，

如下图所示，正四面体容器倒放时，棱锥部分为水体部分，

设，
则，则，则，
所以水面面积；
如下图所示，正四面体容器正放时，棱台部分为水体部分，

设，
则，则，水面面积更大，不符合.
综上，水面面积的最小值为.
故答案为：
【点睛】
方法点睛：本题考查立体几何的综合应用.解决立体几何问题的常见方法有：
（1）定义法，通过相关的判定定理和性质定理直接求解；
（2）空间向量法，运用空间向量进行基底转化或者运用坐标法结合公式求解；
（3）转化法，通过转化与化归，将所求长度或角度转化求解.
15．(1)
(2)
【分析】（1）已知条件由余弦定理角化边，化简后由余弦定理得，可求角；
（2）由面积公式有，利用正弦定理和角B的取值范围，可求的取值范围，得面积的取值范围.
【详解】（1）在锐角中，，
由余弦定理得，得，
即，可得，
又，得.
（2）,
由正弦定理，得，
在锐角中，，，可得，
则有，，，，
即，得，
所以面积的取值范围为.
16．(1)米
(2)平方米
【分析】（1）利用等边三角形及直角三角形求出，，再根据余弦定理求解；
（2）由正弦定理及三角形面积公式表示四边形面积并化简后利用正弦型函数求最值.
【详解】（1）如图，
连接．因为，，
所以是等边三角形，所以，．
又，所以在中，，，
由余弦定理得，
所以米．
（2）如图，连接，
由（1）知是等边三角形，．
在中，设，
由正弦定理得，即，
所以．
所以
．
因为，，所以当，即时，
四边形面积取得最大值，最大值为平方米，
即花坛面积的最大值为平方米．
17．(1)中位数为，平均数为
(2)平均数为，标准差为
【分析】（1）根据频率分布直方图估计中位数和平均数的方法直接求解即可；
（2）根据已知数据可求得剩余个分数的平均数，结合可求得，进而得到剩余个分数的标准差.
【详解】（1），，
中位数位于之间，设中位数为，
则，解得：，即中位数为；
平均数为.
（2）剩余个分数的平均值为；
，，
剩余个分数的标准差为.
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据中位线定理、平行线的传递性及线面平行的判定定理即可得证；
（2）由于面，故即为与平面的夹角，从而勾股定理求出的三条边长，再根据即可得解.
【详解】（1）取中点为，连接，，如图所示：
因为F，M分别为PD，PC的中点，故可得，且；
又因为且；
故可得，，则四边形为平行四边形，
故可得，又平面平面，
故平面．
（2）连接，如图所示：
因为面，故即为与平面的夹角，
又面，故可得；
在中，，，
故可得，
则，
即与平面所成角的余弦值为．
19．(1)
(2)或
【分析】（1）根据平面向量线性运算法则得到，即可得解；
（2）根据数量积的坐标表示及向量模的坐标表示得到解析式，根据同角三角函数基本关系转化为关于的二次函数，再分、两种情况讨论，根据函数的最小值求出参数的值.
【详解】（1）由题意知三点满足，
可得，所以，即，
即，则，所以.
（2）∵，，，
∴，
，
∴，，
∴，
即，
∵，∴，
①当，即时，当时，
，
解得或，又，∴.
②当，即时，当时，
，解得，
又，∴，
∴综上所述，或.学生
甲
乙
丙
丁
戊
成绩