2024年北京市清华附中高考数学统练试卷（二）（含详细答案解析）

这是一份2024年北京市清华附中高考数学统练试卷（二）（含详细答案解析），共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.抛物线y2=2x的焦点坐标是( )
A. (0,12)B. (0,−12)C. (−12,0)D. (12,0)
2.已知集合A={x|2x−3x>0}，B={0,1,2,3,4}，则A∩B=( )
A. {0}B. {1,2,3}C. {0,4}D. {3,4}
3.曲线y=f(x)与曲线y=csx关于x轴对称，则( )
A. f(x)=sinxB. f(x)=−sinxC. f(x)=csxD. f(x)=−csx
4.已知数列{an}为等差数列，{bn}为等比数列，a4=b4=4，则( )
A. b3b5≥a3a5B. b3+b5≥a3+a5C. b3b5≤a3a5D. b3+b5≤a3+a5
5.如图，在▱OACB中，E是AC的中点，F是BC上的一点，且BC=3BF，若OC=mOE+nOF，其中m，n∈R，则m+n的值为( )
A. 1B. 32C. 75D. 73
6.已知z−表示复数z的共轭复数，z1，z2为非零复数，“z1z2∈R”是“存在非零实数t，使得z1=tz2−”( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件
7.斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致．如图是重庆千斯门嘉陵江大桥，共有10对永久拉索，在索塔两侧对称排列．已知拉索上端相邻两个锚的间距|PiPi+1|(i=1,2,3,⋯,9)均为3.4m，拉索下端相邻两个锚的间距|AiAi+1|(i=1,2,3,⋯,9)均为16m.最短拉索的锚P1，A1满足|OP1|=66m，|OA1|=86m，则最长拉索所在直线的斜率为( )
A. ±0.47B. ±0.45C. ±0.42D. ±0.40
8.已知三棱锥S−ABC中，SC=2 3，AB=2，E，F分别是SA，BC的中点，EF=1，则EF与AB所成的角大小为( )
A. π4
B. π3
C. 2π3
D. 3π4
9.已知函数f(x)=1−|x+1|,x0，且|f(x)|≤f(π6)恒成立，f(x)在(π3,5π6)上单调，则ω的取值范围是______.
15.数列{an}的前n项和为Sn，若数列{an}与函数f(x)满足：①f(x)的定义域为R；②数列{an}与函数f(x)均单调递增；③∃n∈N*使Sn=f(an)成立，则称数列{an}与函数f(x)具有“单调偶遇关系”.有下面四个结论：
①an=2n+1与f(x)=x具有“单调偶遇关系”
②an=2n与f(x)=2x−2不具有“单调偶遇关系”
③与数列{2n+1}具有“单调偶遇关系的函数有有限个
④与数列{2n}具有“单调偶遇关系”的函数有无数个
其中正确结论的序号为______.
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题13分)
如图，在△ABC中，AB=2，csB=13，点D在线段BC上．
(1)若∠ADC=34π，求AD的长；
(2)若BD=2DC，△ACD的面积为43 2，求sin∠BADsin∠CAD的值．
17.(本小题13分)
某大学A学院共有学生千余人，该学院体育社团为了解学生参与跑步运动的情况，按性别分层抽样，已知A学院男生与女生人数之比为16：9，从该学院所有学生中抽取若干人作为样本，对样本中的每位学生在5月份的累计跑步里程进行统计，得到下表.
用样本频率估计总体概率，
(1)求a的值，并估计从A学院所有学生中抽取一人，该学生5月份累计跑步里程s(km)在[0,30)中的概率；
(2)从A学院所有男生中随机抽取2人，从A学院所有女生中随机抽取2人，估计这4人中恰有2人在5月份的累计跑步里程不低于60km的概率；
(3)该大学B学院男生与女生人数之比为λ，B学院体育社团为了解学生参与跑步运动的情况，也按性别进行分层抽样已知A学院和B学院的样本数据整理如下表.
5月份累计跑步里程平均值(单位：km)
设A学院样本中学生5月份累计跑步里程平均值为x−A，B学院样本中学生5月份累计跑步里程平均值为x−B，是否存在λ，使得x−A≥x−B？如果存在，求λ的最大值；如果不存在，说明理由.
18.(本小题14分)
四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥AB，E为棱PA的中点，过点B，C，E的平面交棱PD于点F.
(1)求证：F为PD中点；
(2)若PA=AB=2，PD=3，再从条件①，条件②，条件③中选择一个作为已知，使四棱锥唯一确定，求二面角D−CF−E的余弦值.
条件①：PC⊥BD
条件②：PC=BC
条件③：PC与平面ABCD所成角的正切值为2
如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
19.(本小题15分)
已知点(1,32)在椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上，且E的离心率为12.
(1)求E的方程；
(2)设F为椭圆E的右焦点，点P(m,n)是E上的任意一点，直线PF与直线3mx+4ny=0相交于点Q，求|PQ|的值.
20.(本小题15分)
设函数f(x)=ln(ax+1)−x，a∈R，曲线y=f(x)在原点处的切线为x轴.
(1)求a的值；
(2)求方程f(x)=−x2x+2的解；
(3)证明：e0，
当x=1时，不满足2x−3x>0，
当x=2时，不满足2x−3x>0，
当x=3时，不满足2x−3x>0，
当x=4时，满足2x−3x>0，
B={0,1,2,3,4}，
则A∩B={0,4}.
故选：C.
根据已知条件，结合交集的定义，即可求解．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：曲线y=f(x)与曲线y=csx关于x轴对称，
则f(x)=−csx.
故选：D.
根据已知条件，结合函数关于x轴的性质，即可求解．
本题主要考查余弦函数的图象，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：由数列{an}为等差数列，{bn}为等比数列，a4=b4=4，
可得a3+a5=2a4=8，b3b5=b42=16，
由a3a5≤(a3+a52)2=16，可得a3a5≤b3b5，故A正确，C错误；
当b1>0，可得b3+b5≥2 b3b5=8=a3+a5；
当b10,b>0)，根据题意可得ab≥2，再取一组值，即可得解．
本题考查双曲线的几何性质，不等式思想，属基础题．
13.【答案】2
【解析】解：f(x)=|x2−4x+(a+4)x+b|=|x2−4x−[−(a+4)x−b]|，函数可理解为：
当横坐标相同时，函数g(x)=x2−4x，x∈[0,4]与函数h(x)=−(a+4)x−b，x∈[0,4]图象上点的纵向距离，
则M即为函数g(x)=x2−4x与函数h(x)=−(a+4)x−b图象上点的纵坐标差的绝对值的最大值，
由图象可知：当函数h(x)的图象刚好为y=−2时，M取得最小值为2，此时−(a+4)=0，且−b=−2，即a=−4，b=2.
故答案为：2.
根据题意，可得f(x)=|x2−4x−[−(a+4)x−b]|，则M即为函数g(x)=x2−4x与函数h(x)=−(a+4)x−b图象上点的纵坐标差的绝对值的最大值，因此作出图象，根据图象观察即可得出答案．
本题主要考查二次函数的图象与性质、函数的最值及其几何意义等知识，属于中档题．
14.【答案】(0,32]
【解析】解：因为f(x)=sin(ωx+φ)，其中ω>0，且|f(x)|≤f(π6)恒成立，
所以f(π6)=1，即π6ω+φ=2kπ+π2(k∈Z)，
解得φ=π2−ωπ6+2kπ,k∈Z.
由π3