2023-2024学年浙江省台州市十校联盟高二（下）期中数学试卷-普通用卷

这是一份2023-2024学年浙江省台州市十校联盟高二（下）期中数学试卷-普通用卷，共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.Ax2=6，则x的值是( )
A. 6B. 4C. 3D. 2
2.设随机变量X的概率分布列如表所示，则P(|X−3|=1)=( )
A. 14B. 512C. 12D. 34
3.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且Δx→0limf(3+Δx)−f(3)2Δx=2，则f′(3)=( )
A. 2B. 1C. 8D. 4
4.《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生2》三部贺岁片引爆了2024年春节电影市场.某电影院同时段播放这三部电影，小李和他的三位同学每人只能选择看其中的一场电影，则不同的选择方案有( )
A. 43种B. 34种C. A43种D. C43种
5.某科研院校培育大枣新品种，新培育的大枣单果质量近似服从正态分布N(90,4)(单位：g)，现有该新品种大枣10000个，估计单果质量在(86,92)范围内的大枣个数约为( )
附：若X∼N(μ,σ2)，则P(μ−σA. 8186B. 8400C. 9545D. 9759
6.关于二项式(1+ax+x2)(1−x)8，若展开式中含x2的项的系数为21，则a=( )
A. 3B. 2C. 1D. −1
7.如图所示的五个区域中，中心区域是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色，有四种颜色可供选择.要求每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为( )
A. 84B. 72C. 64D. 56
8.已知函数f(x)=ax2+(a−2)x−lnx，若f(x)有两个零点，则a的取值范围是( )
A. (0,1)B. (1e,1)C. (1,e)D. (1e,e)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知定义域为[−3,5]的函数f(x)的导函数为f′(x)，且f′(x)的图象如图所示，则( )
A. f(x)在(−2,2)上单调递减
B. f(x)有极小值f(2)
C. f(x)有3个极值点
D. f(x)在x=−3处取得最大值
10.(x+2 x)7的展开式中，下列结论正确的是( )
A. 展开式共7项B. 含x项的系数为480
C. 无常数项D. 所有项的二项式系数之和为128
11.饺子是我国的传统美食，不仅味道鲜美而且寓意美好，现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的速冻饺子，已知甲箱中有3盒肉馅饺子，2盒三鲜馅饺子和5盒青菜馅饺子，乙箱中有3盒肉馅饺子，3盒三鲜馅饺子和4盒青菜馅饺子，则下列正确的是( )
A. 从甲箱中取出两盒饺子都是肉馅的概率是115
B. 依次从甲箱中取出两盒饺子，第一盒是肉馅的条件下，第二盒是青菜馅的概率是16
C. 先从甲箱中随机取出一盒饺子放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒饺子，则乙箱取出的饺子是肉馅的概率是310
D. 先从甲箱中随机取出一盒饺子放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒饺子，若从乙箱取出的饺子是肉馅的，则从甲箱中取出三鲜㿟饺子的概率是211
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数f(x)=xsinx，则f′(π2)=______.
13.若X∼B(3,15)，则D(5X−1)=______.
14.定义：设X，Y是离散型随机变量，则X在给定事件Y=y条件下的期望为E(X|Y=y)=i=1nxi⋅P(X=xi|Y=y)=i=1nxi⋅P(X=xi,Y=y)P((Y=y),其中{x1,x2,…，xn}为X的所有可能取值集合，P(X=x,Y=y)表示事件“X=x”与事件“Y=y”都发生的概率.某日小张掷一枚质地均匀的骰子，若掷出1点向上两次时即停止.设A表示第一次掷出1点向上时的投掷次数，B表示第二次掷出1点向上时的投掷次数，则E(A|B=4)=______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)=x3+ax2+b在x=−2时取得极大值3.
(1)求实数a，b的值；
(2)求函数f(x)在区间[−1,2]上的最值.
16.(本小题15分)
已知(2x−1)10=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a10x10，x∈R.
(1)求a3的值；
(2)求a1+a2+a3+…+a10的值；
(3)求|a0|+|a1|+|a2|+…+|a10|的值.
17.(本小题15分)
现有4名男生和3名女生.
(1)若安排7名学生站成一排照相，要求甲乙排在一起，这样的排法有多少种？
(2)若安排7名学生站成一排照相，要求3名女生互不相邻，这样的排法有多少种？
(3)若邀请7名学生中的4名参加一项活动，其中男生甲和女生乙不能同时参加，求邀请的方法种数.
18.(本小题17分)
在某诗词大会的“个人追逐赛”环节中，参赛选手应从10个不同的题目中随机抽取3个题目进行作答.已知这10个题目中，选手甲只能正确作答其中的7个，选手乙正确作答每个题目的概率均为0.7，而且甲、乙两位选手对每个题目作答都是相互独立的.
(1)求选手乙正确作答2个题目的概率；
(2)求选手甲正确作答的题目个数的概率分布列和数学期望；
(3)从期望和方差的角度分析，你认为甲、乙两位选手谁晋级的可能性更大？请说明理由.
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=(x−2)ex−12ax2+ax.
(1)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线的斜率为e2，求a的值；
(2)若a>0，讨论函数f(x)的单调性；
(3)当x≥2时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：Ax2=6，
则x(x−1)=6，解得x=3或x=−2(舍去).
故选：C.
结合排列数公式，即可求解．
本题主要考查排列数公式，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：根据题意，因为|X−3|=1，所以X=2或X=4，
所以P(|X−3|=1)=P(X=2或X=4)=P(X=2)+P(X=4)=m+16=1−14=34.
故选：D.
根据题意，分析可得：P(|X−3|=1)=P(X=2或X=4)，结合分布列计算可得答案．
本题考查随机变量的分布列，涉及概率的计算，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：由题意得f′(3)=Δx→0limf(3+Δx)−f(3)Δx=2Δx→0limf(3+Δx)−f(3)2Δx=4.
故选：D.
根据导数的定义直接计算即可．
本题考查了导数的定义，是基础题．
4.【答案】B
【解析】解：依题意，每个人选择方案有3种，
所以4个人不同的选择方案有34种．
故选：B.
根据给定条件，利用分步计数乘法原理列式即可．
本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分步乘法计数原理，属基础题．
5.【答案】A
【解析】解：因为新培育的大枣单果质量近似服从正态分布N(90,4)，
所以μ=90，σ=2，
所以86=μ−2σ，92=μ+σ，
所以P(86所以现有该新品种大枣10000个，估计单果质量在(86,92)范围内的大枣个数约为10000×0.8186=8186.
故选：A.
利用正态分布曲线的对称性求解．
本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：根据排列组合原理，x2的系数为1×C82×(−1)2+a×C81×(−1)+1×C80=21，
解得a=1.
故选：C.
根据排列组合原理，由已知利用x2的系数建立方程，进而即可求解a的值．
本题考查了排列组合原理及二项式定理，是比较常见的题型，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了两个计数原理的综合应用，属于中档题.
分类要全要细．每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，然后分类研究，A、C不同色；A、C同色两大类.
【解答】
解：先涂A有4种颜色可选，再涂B有3种颜色可选，
剩下的分两种情况：
(1)A、C不同色(注意：B、D可同色、也可不同色，D只要不与A、C同色，所以D可以从剩余的2中颜色中任意取一色)：有4×3×2×2=48种；
(2)A、C同色(注意：B、D可同色、也可不同色，D只要不与A、C同色，所以D可以从剩余的3中颜色中任意取一色)：有4×3×1×3=36种，
共有48+36=84种.
故选A.
8.【答案】A
【解析】解：已知函数f(x)=ax2+(a−2)x−lnx，函数f(x)的定义域为(0,+∞)
f′(x)=2ax+a−2−1x=(ax−1)(2x+1)x，
当a≤0时，f′(x)<0恒成立，所以f(x)在(0,+∞)上单调递减，f(x)至多有一个零点，不符合题意；
当a>0时，令f′(x)=0得x=1a，当x∈(0,1a)时，f′(x)<0，f(x)上单调递减；
当x∈(1a,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
此时最小值为f(1a)=1−1a+lna，
①当a=1时，由于f(1a)=0，故f(x)只有一个零点；
②当a>1时，1−1a+lna>0即f(1a)>0，故f(x)没有零点；
③当0又f(1e)=a(1e)2+(a−2)(1e)−ln1e=ae2+ae+1−2e>0；
f(3a)=a(3a)2+(a−2)(3a)−ln3a=3+3a−ln3a>4>0，
由零点存在定理知f(x)在(0,1a)上有一个零点；在(1a,+∞)有一个零点．
所以f(x)有两个零点，a的取值范围为(0,1).
故选：A.
根据已知条件，分类讨论求导函数判断函数单调性及极值点，结合零点存在定理可得参数范围．
本题主要考查利用导数研究函数的极值与最值，考查函数零点个数问题，考查运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】ABC
【解析】解：由f′(x)的图象可知x∈(−2,2)时，f′(x)<0，
则f(x)单调递减，故A正确；又x∈(2,4)时，f′(x)>0，则f(x)单调递增，
所以当x=2时，f(x)有极小值f(2)，故B正确；
由f′(x)的图象可知x=−2，2，4时，f(x)有极值，所以f(x)有3个极值点，故C正确；
当x∈(−3,−2)时，f′(x)>0，则f(x)单调递增，所以f(−3)则f(x)在x=−3处不能取得最大值，故D错误．
故选：ABC.
首先分析给定图像，由f′(x)的图象可知x∈(−2,2)时，f′(x)<0，则f(x)单调递减，进一步分析其他选项，由f′(x)的图象可知当x=−2，2，4时，f(x)有极值，所以f(x)有3个极值点，再找出最大值和极小值即可．
本题考查了导数与单调性及极值关系的应用，属于基础题．
10.【答案】CD
【解析】解：由于二项式(x+2 x)7的展开式满足Tr+1=C7r⋅2r⋅x7−3r2(r=0,1,2,3,4,5,6,7)，
对于A：展开式一共有8项，故A错误；
对于B：根据二项式的展开式含x项的系数为r=4时，C74⋅24=560，故B错误；
对于C：由于r为整数，故无论r为何值，x的指数不可能为0，故C正确；
对于D：所有项的二项式系数和为27=128，故D正确．
故选：CD.
直接利用二项式的展开式，赋值法的应用判断A、B、C、D的结论．
本题考查的知识点：二项式的展开式，赋值法，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
11.【答案】ACD
【解析】解：对于A，从甲箱中取出两盒饺子都是肉馅的概率是P1=C32C102=115，故A正确；
对于B，依次从甲箱中取出两盒饺子，
第一盒是肉馅的条件下，第二盒是青菜馅的概率为：
P2=310×59310=59，故B错误；
对于C，先从甲箱中随机取出一盒饺子放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒饺子，
则乙箱取出的饺子是肉馅的概率是：
P3=310×411+710×311=310，故C正确；
对于D，先从甲箱中随机取出一盒饺子放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒饺子，
若从乙箱取出的饺子是肉馅的，则从甲箱中取出三鲜馅饺子的概率为：
P1=210×311310=211，故D正确．
故选：ACD.
利用古典概型判断A；利用条件概率判断B；利用全概率公式判断C；利用贝叶斯公式判断D.
本题考查古典概型、条件概率、全概率、贝叶斯公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
12.【答案】1
【解析】解：f′(x)=sinx+xcsx，
∴f′(π2)=sinπ2+π2csπ2=1，
故答案为：1.
根据导数的运算法则即可求出f′(π2)
本题考查了导数的运算法则和函数值的求法，属于基础题．
13.【答案】12
【解析】解：因为X∼B(3,15)，所以D(X)=3×15×(1−15)=1225，
所以D(5X−1)=52×D(X)=25×1225=12.
故答案为：12.
利用二项分布的方差公式可得D(X)，进而得解．
本题考查了二项分布的方差计算问题，是基础题．
14.【答案】2
【解析】解：根据题意可得P(B=4)=C31×(16)2×(1−16)2，
又P(A=1,B=4)=(16)2×(1−16)2，∴P(A=1,B=4)P(B=4)=13，
又P(A=2,B=4)=(16)2×(1−16)2，∴P(A=2,B=4)P(B=4)=13，
又P(A=3,B=4)=(16)2×(1−16)2，∴P(A=3,B=4)P(B=4)=13，
∴E(A|B=4)=1×13+2×13+3×13=2，
故答案为：2.
根据新定义，条件概率公式，期望的概念，即可求解．
本题考查新定义，条件概率公式，期望的概念，属中档题．
15.【答案】解：(1)f′(x)=3x2+2ax，
因为函数f(x)=x3+ax2+b在x=−2时取得极大值3，
所以f′(−2)=3×4−4a=0f(−2)=−8+4a+b=3，
解得a=3，b=−1，
此时f(x)=x3+3x2−1，f′(x)=3x2+6x=3x(x+2)，
令f′(x)=0得，x=0或−2，
当x∈(−∞,−2)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(−2,0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(0,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
所以f(x)在x=−2时取得极大值，符合题意，
所以a=3，b=−1；
(2)由(1)得，f(x)在[−1,−2)单调递增，在(−2,0)单调递减，在(0,2]单调递增，
又因为f(−2)=3，f(0)=−1，f(2)=19，
所以函数f(x)在区间[−1,2]上的最大值为19，最小值为−1.
【解析】(1)求出f′(x)，由f′(−2)=0和f(−2)=3求出a，b的值，再检验即可；
(2)由(1)可知f(x)在[−1,−2)单调递增，在(−2,0)单调递减，在(0,2]单调递增，进而求出函数f(x)在区间[−1,2]上的最值．
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、极值和最值，属于中档题．
16.【答案】解：(1)T8=C107(2x)3(−1)7=−960x3，所以a3=−960.
(2)令x=0，得a0=1，
令x=1，得a0+a1+a2+a3+...+a10=(−1)10=1，
所以a1+a2+a3+...+a10=0.
(3)因为展开式的通项为：Tk+1=C10k(2x)10−k(−1)k，
所以当k为奇数时，项的系数为负数．|a0|+|a1|+|a2|+...+|a10|=a0−a1+a2−...+a10，
令x=−1，得|a0|+|a1|+|a2|+...+|a10|=a0−a1+a2+...+a10=310.
【解析】(1)直接利用二项式的展开式求出结果；
(2)利用赋值法求出结果；
(3)利用二项式的展开式以及赋值法的应用求出结果．
本题考查的知识点：二项式的展开式，赋值法，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)利用捆绑法，则共有排法数为A22⋅A66=1440种；
(2)利用插空法，可得共有排法数为A44⋅A53=1440种；
(3)由题意可知：邀请这7名学生中的4名参加一项活动共有C74种方法，
男生甲和女生乙同时参加的方法有C52，
共有邀请方法数为C74−C52=25种．
【解析】(1)利用捆绑法，结合排列组合知识求解；
(2)利用插空法，结合排列组合知识求解；
(3)利用间接法求解．
本题主要考查了排列组合知识，属于基础题．
18.【答案】解：(1)设事件A为“选手乙正确作答2个题目”，
则P(A)=C32×0.72×(1−0.7)=0.441；
(2)设选手甲正确作答的题目个数为X，
则X服从超几何分布，X取值为0，1，2，3，
则P(X=0)=C70C33C103=1120，P(X=1)=C71C32C103=21120=740，P(X=2)=C31C72C103=63120=2140，P(X=3)=C73C103=35120=724，
所以X的分布列为：
所以E(X)=0×1120+1×740+2×2140+3×724=2110；
(3)设选手乙正确作答题目个数为Y，则Y服从二项分布，Y的所有可能取值为0，1，2，3，
所以E(Y)=np=3×0.7=2.1，D(Y)=np(1−p)=3×0.7×0.3=0.63，
由(1)可得，E(X2)=12×740+22×2140+32×35120=4910，D(X)=E(X2)−(E(X))2=4910−(2110)2=49100=0.49，
因为E(X)=E(Y)，D(X)即甲乙答对题目数一样，但甲较稳定，所以可以认为选手甲晋级的可能性更大．
【解析】(1)利用独立事件的概率乘法公式求解；
(2)设选手甲正确作答的题目个数为X，则X服从超几何分布，X取值为0，1，2，3，利用超几何分布的概率公式求出相应的概率，得到X的分布列，再结合期望公式求解；
(3)求出E(X)，E(Y)，D(X)，D(Y)，再比较即可．
本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
19.【答案】解：(1)函数f(x)=(x−2)ex−12ax2+ax，
则f′(x)=(x−1)(ex−a)f′(2)=e2−a=e2，a=0.
(2)由题..，可得f′(x)=(x−1)(ex−a)，
由于a>0，f′(x)=0的解为x1=lna，x2=1.
①当lna=1，即a=e时，f′(x)≥0，则f(x)在(−∞,+∞)上单调递增；
②当lna<1，即0在区间(−∞,lna)，(1,+∞)上，f′(x)>0，在区间(lna,1)上，f′(x)<0，
所以f(x)的单调增区间为(−∞,lna)，(1,+∞)；单调减区间为(lna,1)；
③当lna>1，即a>e时，
在区间(−∞,1)，(lna,+∞)上，f′(x)>0，在区间(1,lna)上，f′(x)<0，
所以f(x)的单调增区间为(−∞,1)，(lna,+∞)；单调减区间为(1,lna).
(3)f′(x)=(x−1)(ex−a)，
①当a≤0时，因为x≥2，所以x−1>0，ex−a>0，所以f′(x)>0，
则f(x)在[2,+∞)上单调递增，f(x)≥f(2)=0成立；
②当00，
所以f(x)在[2,+∞)上单调递增，所以f(x)≥f(2)=0成立；
③当a>e2时，在区间(2,lna)上，f′(x)<0：在区间(lna,+∞)，f′(x)>0，
所以f(x)在(2,lna)上单调递减，(lna,+∞)上单调递增，所以f(x)≤f(2)=0，不符合题意．
综上所述，a的取值范围是(−∞,e2].
【解析】(1)求导数f′(x)=(x−1)(ex−a)，f′(2)=e2，可得结果；
(2)由题意得f′(x)=(x−1)(ex−a)，讨论lna=1，lna<1，lna>1，根据f′(x)>0，f′(x)<0判定其单调区间；
(3)由题意得f′(x)=(x−1)(ex−a)，讨论a≤0，0e2，根据单调性判定f(x)≥f(2)=0是否成立即可得出．
本题主要考查求单调区间和切线方程，属于中档题．X
2
3
4
P
m
14
16
X
0
1
2
3
P
1120
740
2140
724