2022-2023学年浙江省台州市八校联盟高一（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年浙江省台州市八校联盟高一（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知复数是纯虚数，则实数(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图，在中，，若，，则(    )

A.
B.
C.
D.

3.  已知空间中点，，直线，平面，若，，，，则下列结论正确的是(    )

A.  B. 与相交 C.  D. 以上都有可能

4.  在中，角，，所对的边分别是，，，若，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，已知一个直四棱柱的侧棱长为，底面是对角线长分别是和的菱形，则这个四棱柱的侧面积是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  在中，为边上的任意一点，点在线段上，且满足，若，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，在圆中，，点，在圆上，，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  已知四棱锥中，平面，四边形为正方形，，平面过，，的中点，则下列关于平面截四棱锥所得的截面正确的为(    )

A. 所得截面是正五边形 B. 截面过棱的三等分点
C. 所得截面面积为 D. 截面不经过中点

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  已知复数，，下列结论正确的有(    )

A.  B. 若，则的最大值为
C.  D. 在复平面内对应的点在第二象限

10.  在中，角、、的对边分别为，，，若，，则使此三角形有两解的的值可以是(    )

A.  B.  C.  D.

11.  的内角，，的对边分别为，，，其外接圆半径为，下列结论正确的有(    )

A. 若，，则
B. 若，则可能是直角三角形
C. 若，则
D. 若，则是直角三角形

12.  如图，圆锥底面的直径为，：，为的中点，则下列说法正确的有(    )

A. 圆锥的体积为
B. 圆锥内切球的半径为
C. 过截圆锥所得截面面积最大为
D. 点沿圆锥表面到的最短路经长为
 

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  已知向量，，，若，则______．

14.  已知复数满足，则的取值范围为______ ．

15.  已知圆柱体的底面半径为，高为，一只蜗牛从圆柱体底部开始爬行，绕圆柱体圈到达顶部，则蜗牛爬行的最短路径长为______ ．

16.  在中，，，，对任意，有恒成立，点是直线上，则的最小值是______ ．

四、解答题（本大题共5小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已如为虚数单位，复数．
Ⅰ当实数取何值时，是纯虚数；
Ⅱ若，求的值．

18.  本小题分
已知在中，角，，，所对的边为，，，若．
求角的大小；
若，求面积的最大值．

19.  本小题分
台州黄岩被誉为“模具之乡”，为市场对球形冰淇淋的需求，特地制作了一款中空的正三棱柱模具，其内壁恰好是球体的表面，且内壁与棱柱的每一个面都相切内壁厚度忽略不计，店家可以将不同口味的冰淇淋放入该模具中，再通过按压的方式得到球形冰淇淋已知该模具底部边长为．
求内壁的面积；
求制作该模具所需材料的体积；
求模具顶点到内壁的最短距离．

20.  本小题分
已知在中，角，，所对的边为，，，且满足．
判断角与角的关系，并说明理由；
若，求的范围．

21.  本小题分
如图，梯形，，，为的中点，是上的任意一点，设．
当是的三等分点时，试用向量，表示向量；
若，求证：的最小值与无关．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：复数是纯虚数，
，解得．
故选：．
把已知复数变形，再由实部为且虚部不为列式求解值．
本题考查复数的基本概念，是基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：，．
故



．
故选：．
根据，直接进行向量的线性运算即可求得．
本题主要考查平面向量的线性运算，属简单题．
 

3.【答案】 

【解析】解：因为，，且，，
所以．
故选：．
根据空间中的直线与平面的位置关系，判断即可．
本题考查了空间中的直线与平面的位置关系应用问题，是基础题．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
直接利用正弦定理的应用和三角函数值的应用求出结果．

【解答】

解：在中，角，，所对的边分别是，，若，，，
利用正弦定理：，
整理得：．
故选：．

5.【答案】 

【解析】解：根据题意，直四棱柱的底面是对角线长分别是和的菱形，设其底面边长为，
则有，变形可得，
则这个四棱柱的侧面积．
故选：．
根据题意，设直四棱柱的底面边长为，由菱形的性质分析可得的值，结合直四棱柱的侧面积公式计算可得答案．
本题考查棱柱的侧面积，涉及棱柱的几何结构，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：设，，
所以


，
又，
所以．
故选：．
设，将用、表示出来，即可找到和的关系，从而求出的值．
本题主要考查了平面向量的基本定理，即平面内任一向量都可由两不共线的向量唯一表示出来．属中档题．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图，取的中点，连接，
由圆的几何性质知，，
．
故选：．

取的中点，由圆的几何性质知，，再由向量数量积的几何意义知，从而求出．
本题考查圆的几何性质及投影法求向量的数量积，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：在四棱锥中，，取，，，中点分别为，，，，连接，，，如图，

因底面为正方形，，，分别是棱，，的中点，
则，，所以四边形是平行四边形，
对于，令，有，在上取点，使，
连接，，，则，
因为点平面，有平面，
所以点平面，平面，
因此五边形是平面截四棱锥所得的截面多边形，
而，，
所以截面不是正五边形，A错误；
对于，由选项分析，可知截面过棱的四等分点，B错误；
对于，底面，平面，则，
而，，则，
又，，平面，因此平面，平面，
于是得，有，
所以矩形面积等于，，
而，则边上的高等于，
所以，
所以截面五边形面积为，C正确；
对于，截面经过中点，D错误．
故选：．
根据给定条件，作出平面截四棱锥所得的截面多边形，再逐一判断各选项即可．
本题考查能确定一个平面的充要条件的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意平面的基本性质及推论的合理运用．
 

9.【答案】 

【解析】解：，，，，，
则，故A正确；
满足的复数对应的点在以为圆心，以为半径的圆上，如图，

则的最大值为，故B错误；
，故C正确；
，在复平面内对应的点的坐标为，在第二象限，故D正确．
故选：．
直接利用复数代数形式的乘除运算判断；利用复数模的几何意义判断；求出判断；求出在复平面内对应的点的坐标判断．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：由正弦定理以及可得：，
三角形有两解；
故．
的取值范围是．
故选：．
利用正弦定理结合已知条件能求出的取值范围，进而求得结论．
本题考查的知识点是正弦定理，难度不大，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：：由正弦定理可得：，解得，故A正确；
：由余弦定理可得：，所以为锐角，所以，还有可能为直角，故B正确；
：由正弦定理可得：，则，因为，所以，故C错误；
：由，则，由正弦定理可得：，
则，化简可得：或，所以三角形为直角三角形，故D正确．
故选：．
：利用正弦定理化简即可判断；：利用余弦定理判断得出角为锐角，由此即可判断；：利用正弦定理化简即可判断；：利用正余弦定理化简即可判断．
本题考查了解三角形问题，涉及到正余弦定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：圆锥底面的直径为，圆锥底面的半径为，
圆锥底面的面积为，
由：，得侧面面积为，
设母线长为，，解得，
设圆锥的高为，，体积，故A错误；
如图，由圆锥的内切球球心作，垂足为点，
设，则，由，
即，解得，故B正确；
，，所以，则，
过点作平面截圆锥的截面面积最大时，对应三角形为等腰直角三角形，故C正确；
如图，把圆锥的侧面展开一半，点展开到，，，，
由余弦定理，
所以从点沿圆锥表面到的最近路线长为，故D正确．

故选：．
结合圆锥的直径为，可求底面面积，进而求得侧面面积，可求得母线，圆锥的高，进而可求体积判断；由内接球的性质，结合几何关系和勾股定理即可求解内切球半径，判断；由可判断过点作平面截圆锥的截面面积最大时对应三角形为等腰直角三角形，结合面积公式可求解判断；由侧面展开图，结合余弦定理求解判断．
本题考查了立体几何的综合应用，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：；
；
；
；
；
．
故答案为：．
根据即可求出，从而可求出，这样即可求出的值．
考查向量平行时的坐标关系，以及向量坐标的加法运算，根据向量的坐标可求向量的长度．
 

14.【答案】 

【解析】解：满足的复数对应的点在以原点为圆心，以为半径的圆上，
的几何意义为圆上的点到定点的距离，如图：

，则的取值范围为．
故答案为：．
由题意画出图形，再由复数模的几何意义求解．
本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，是基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：根据题意，从圆柱体底部点绕圆柱体的侧面旋转圈到达顶部的点，
我们沿将侧面展开后，最短路程如下图所示：
其中矩形的高等于圆柱的高，矩形的宽等于圆柱底面圆周长的倍，即，
则蜗牛爬行的最短路径．
故答案为：．
根据题意，将圆柱的侧面沿展开后，易将一个空间问题转化为一个平面问题，画出平面图形后，利用数形结合，我们易得结论．
本题考查圆柱表面的最短路径问题，涉及圆柱的几何结构，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：因为，所以，
由减法与数乘的几何意义，为点到的垂线段，所以，
因为，，所以，，，所以，
在中，由余弦定理易得，，
设关于直线对称点为，连接，连接交于，

易得，此时最小，，
，
即的最小值为．
故答案为：．
由得为点到的垂线段，再通过将军饮马模型进行计算即得．
本题考查平面向量得基本定理和余弦定理，属于中档题．
 

17.【答案】解：Ⅰ因为为纯虚数，
所以且，
则；
Ⅱ当时，，
所以． 

【解析】Ⅰ利用纯虚数的定义列出关于的方程，求解即可；
Ⅱ求出，然后利用复数模的运算性质求解即可．
本题考查了复数的运算以及复数基本概念的理解，复数模的运算性质的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．
 

18.【答案】解：根据正弦定理设，，，
，
，即：，
由余弦定理，
；
由余弦定理可知，
当且仅当时等号成立，
即，
，
面积的最大值为． 

【解析】由正弦定理得到，代入余弦定理即可求解；
由余弦定理可知，利用基本不等式和三角形的面积公式即可求解．
本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于中档题．
 

19.【答案】解：如图，

三棱柱为正三棱柱，且底面三角形的边长为，
底面三角形一边上的高．
设正三棱柱的内切球的球心为，与上、下底面分别切于，，与作侧面切于，
则，．
内壁的面积为；
制作该模具所需材料的体积；
模具顶点到内壁的最短距离为． 

【解析】由题意画出图形，求出正三棱柱内切球的半径．
由球的表面积公式求解；由棱柱的体积公式求解；求出球心到一个顶点的距离，减去球的半径得答案．
本题考查根据实际问题选择函数模型，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．
 

20.【答案】解：，．
由，
可得，
整理得，
又，，
故有，或，
显然不成立，
故B、之间的关系为．
由正弦定理可得，
．，
，，，
故 

【解析】运用倍角公式，和差角公式，诱导公式等进行三角变换，即可找出两角关系；
利用正弦定理，化边为角，再利用中结论，可求出范围．
本题综合考查了三角变换、正弦定理等知识，属中档题．
 

21.【答案】解：因为为的中点，，
所以 + \dfrac {3}{2} \overrightarrow{DC}" title="latexImg" />，
当，即时，
，
，即当时，
．
证明：由，
则，
当时，的最小值为，与无关． 

【解析】可得，分，分别运算；
由，即可证明的最小值与无关．
本题考查了向量的线性运算、模的运算，属于中档题．