浙教版七年级数学下册(培优特训)专项3.3平方差公式综合高分必刷(原卷版+解析)

这是一份浙教版七年级数学下册(培优特训)专项3.3平方差公式综合高分必刷(原卷版+解析)，共19页。
A．2m+4B．4m+4C．m+4D．2m+2
2．（2023•建始县校级模拟）计算（2m﹣3n）（﹣2m﹣3n）的结果是（ ）
A．﹣4m2+9n2B．﹣4m2﹣9n2C．4m2﹣9n2D．4m2+9n2
3．（2023秋•任城区校级月考）已知a+b＝6，则a2﹣b2+12b的值为（ ）
A．6B．12C．24D．36
4．（2023春•电白区月考）式子（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（21024+1）+1化简的结果为（ ）
A．21024B．21024+1C．22048D．22048+1
5．（2023秋•如东县期中）已知实数m，n满足m2+n2＝2+mn，则（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）的最小值为（ ）
A．24B．C．D．﹣4
6．（2023春•相城区期末）若a2﹣2a﹣1＝0，那么代数式（a+2）（a﹣2）﹣2a的值为（ ）
A．﹣1B．﹣3C．1D．3
7．（2023秋•南召县期中）若一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，则称这个正整数为“好数”．下列正整数中能称为“好数”的是（ ）
A．205B．250C．502D．520
8．（2023秋•梁平区期末）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如（8＝32﹣12，16＝52﹣32，即8，16均为“和谐数”），在不超过2017的正整数中，所有的“和谐数”之和为（ ）
A．255024B．255054C．255064D．250554
9．（2023秋•东莞市期末）如图，边长为m+4的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形，若拼成的矩形一边长为4，则另一边长为 ．
10．（2023秋•同心县校级期末）如图两幅图中，阴影部分的面积相等，则该图可验证的一个初中数学公式为 ．
11．（2023春•市北区期中）数学兴趣小组发现：
（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1
利用你发现的规律：求：72021+72020+72019+…+7+1＝ ．
12．（2023春•碑林区校级期末）计算：20222﹣2024×2020＝ ．
13．（2023春•李沧区期末）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如3＝22﹣12，7＝42﹣32，16＝52﹣32，3，7，16就是三个智慧数．在正整数中，从1开始，第2022个智慧数是 ．
14．（2023秋•闵行区期中）如图，正方形ABCD与正方形CEFG的面积之差是6，求阴影部分的面积．
15．（2023春•西安期末）探究活动：
（1）将图1中阴影部分裁剪下来，重新拼成图②一个长方形，则长表示为 ，宽为 ．
（2）则图2中阴影部分周长表示为 ．
知识应用：运用你得到的公式解决以下问题
（3）计算：已知a＝5m﹣3n，b＝3m+5n，则图2中阴影部分周长是多少？
16．（2023春•天桥区期末）如图，边长为a的正方形中有一个边长为b（b＜a）的小正方形，如图2是由图1中的阴影部分拼成的一个长方形．
（1）设图1阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2，请直接用含a，b的式子表示S1＝ ，S2＝ ，写出上述过程中所揭示的乘法公式 ；
（2）直接应用，利用这个公式计算：
①（﹣x﹣y）（y﹣x）；
②102×98．
（3）拓展应用，试利用这个公式求下面代数式的结果．
（3+1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）×…×（31024+1）+1．
17．（2023秋•大连期末）乘法公式的探究及应用．
（1）如图1，是将图2阴影部分裁剪下来，重新拼成的一个长方形，面积是 ；如图2，阴影部分的面积是 ；比较图1，图2阴影部分的面积，可以得到乘法公式 ；
（2）运用你所得到的公式，计算下列各题：
①103×97；
②（2x+y﹣3）（2x﹣y+3）．
18．（2023春•奉化区校级期末）某同学利用若干张正方形纸片进行以下操作：
（1）从边长为a的正方形纸片中减去一个边长为b的小正方形，如图1，再沿线段AB把纸片剪开，最后把剪成的两张纸片拼成如图2的等腰梯形，这一过程所揭示的公式是 ．
（2）先剪出一个边长为a的正方形纸片和一个边长为b的正方形纸片，再剪出两张边长分别为a和b的长方形纸片，如图3，最后把剪成的四张纸片拼成如图4的正方形．这一过程你能发现什么代数公式？
（3）先剪出两个边长为a的正方形纸片和一个边长为b的正方形纸片，再剪出三张边长分，别为a和b的长方形纸片，如图5，你能否把图5中所有纸片拼成一个长方形？如果可以，请画出草图，并写出相应的等式，如果不能，请说明理由．
19.（2023春•宝安区期末）初中数学的一些代数公式可以通过几何图形的面积来推导和验证．如图①，从边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形后，将其沿虚线裁剪，然后拼成一个矩形（如图②）．
（1）通过计算图①和图②中阴影部分的面积，可以验证的公式是： ＝ ．
（2）小明在计算（2+1）（22+1）（24+1）时利用了（1）中的公式：
（2+1）（22﹣1）（24+1）
＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）
＝ ．
（请你将以上过程补充完整．）
（3）利用以上的结论和方法、计算：+（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）．
（培优特训）专项3.3 平方差公式综合高分必刷
1．（2023春•青白江区校级月考）如图，边长为（m+2）的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后余下部分又剪开拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为2，其面积是（ ）
A．2m+4B．4m+4C．m+4D．2m+2
答案:B
【解答】解：依题意得剩余部分为
（m+2）2﹣m2＝m2+4m+4﹣m2＝4m+4，
而拼成的矩形一边长为2，
∴另一边长是（4m+4）÷2＝2m+2．
∴面积为2（2m+2）＝4m+4．
故选：B．
2．（2023•建始县校级模拟）计算（2m﹣3n）（﹣2m﹣3n）的结果是（ ）
A．﹣4m2+9n2B．﹣4m2﹣9n2C．4m2﹣9n2D．4m2+9n2
答案:A
【解答】解：（2m﹣3n）（﹣2m﹣3n）＝（﹣3n）2﹣（2m）2＝﹣4m2+9n2，
故选：A．
3．（2023秋•任城区校级月考）已知a+b＝6，则a2﹣b2+12b的值为（ ）
A．6B．12C．24D．36
答案:D
【解答】解：∵a+b＝6，
∴a2﹣b2+12b
＝（a+b）（a﹣b）+12b
＝6（a﹣b）+12b
＝6a﹣6b+12b
＝6a+6b
＝6（a+b）
＝6×6
＝36，
故选：D．
4．（2023春•电白区月考）式子（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（21024+1）+1化简的结果为（ ）
A．21024B．21024+1C．22048D．22048+1
答案:C
【解答】解：设S＝（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（21024+1）
∴（2﹣1）S＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（21024+1）
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）…（21024+1）
＝（24﹣1）（24+1）（28+1）…（21024+1）
＝（21024﹣1）（21024+1）
＝22048﹣1，
∴（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（21024+1）+1
＝S+1
＝22048﹣1+1
＝22048．
故选：C．
5．（2023秋•如东县期中）已知实数m，n满足m2+n2＝2+mn，则（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）的最小值为（ ）
A．24B．C．D．﹣4
答案:D
【解答】解：∵m2+n2＝2+mn，
∴（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）
＝4m2+9n2﹣12mn+m2﹣4n2
＝5m2+5n2﹣12mn
＝5（mn+2）﹣12mn
＝10﹣7mn，
∵m2+n2＝2+mn，
∴（m+n）2＝2+3mn≥0（当m+n＝0时，取等号），
∴mn≥﹣，
∴（m﹣n）2＝2﹣mn≥0（当m﹣n＝0时，取等号），
∴mn≤2，
∴﹣≤mn≤2，
∴﹣14≤﹣7mn≤，
∴﹣4≤10﹣7mn≤，
即（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）的最小值为﹣4，
故选：D．
6．（2023春•相城区期末）若a2﹣2a﹣1＝0，那么代数式（a+2）（a﹣2）﹣2a的值为（ ）
A．﹣1B．﹣3C．1D．3
答案:B
【解答】解：（a+2）（a﹣2）﹣2a
＝a2﹣4﹣2a
＝a2﹣2a﹣4，
∵a2﹣2a﹣1＝0，
∴a2﹣2a＝1，
∴原式＝1﹣4＝﹣3．
故选：B．
7．（2023秋•南召县期中）若一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，则称这个正整数为“好数”．下列正整数中能称为“好数”的是（ ）
A．205B．250C．502D．520
答案:D
【解答】解：根据平方差公式得：
（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝4n×2＝8n．
所以两个连续奇数构造的“好数”是8的倍数
205，250，502都不能被8整除，只有520能够被8整除．
故选：D．
8．（2023秋•梁平区期末）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如（8＝32﹣12，16＝52﹣32，即8，16均为“和谐数”），在不超过2017的正整数中，所有的“和谐数”之和为（ ）
A．255024B．255054C．255064D．250554
答案:A
【解答】解：设相邻的两奇数分别为2n+1，2n﹣1（n≥1，且n为正整数），
（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n，
根据题意得：8n≤2017，
∴n≤252，
∴n最大为252，此时2n+1＝505，2n﹣1＝503，
∴32﹣12+52﹣32+...+5032﹣5012+5052﹣5032
＝5052﹣12
＝255024．
故选：A．
9．（2023秋•东莞市期末）如图，边长为m+4的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形，若拼成的矩形一边长为4，则另一边长为 ．
答案:2m+4
【解答】解：设拼成的矩形的另一边长为x，
则4x＝（m+4）2﹣m2＝（m+4+m）（m+4﹣m），
解得x＝2m+4．
故答案为：2m+4．
10．（2023秋•同心县校级期末）如图两幅图中，阴影部分的面积相等，则该图可验证的一个初中数学公式为 ．
答案: a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
【解答】解：第一个图的阴影部分的面积是：a2﹣b2，
第二个图形阴影部分的面积是：（a+b）（a﹣b），
则a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故答案是：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
11．（2023春•市北区期中）数学兴趣小组发现：
（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1
利用你发现的规律：求：72021+72020+72019+…+7+1＝ ．
答案:
【解答】解：72021+72020+72019+…+7+1
＝×（7﹣1）（72021+72020+72019+…+7+1）
＝×（72022﹣1）
＝．
故答案为：．
12．（2023春•碑林区校级期末）计算：20222﹣2024×2020＝ ．
答案:4
【解答】解：原式＝20222﹣（2023+2）（2023﹣2）
＝20222﹣（20232﹣22）
＝20222﹣20222+4
＝4．
故答案为：4．
13．（2023春•李沧区期末）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如3＝22﹣12，7＝42﹣32，16＝52﹣32，3，7，16就是三个智慧数．在正整数中，从1开始，第2022个智慧数是 ．
答案:2699
【解答】解：设两个数分别为k+1，k，其中k≥1，且k为整数．则（k+1）2﹣k2＝（k+1+k）（k+1﹣k）＝2k+1．
设两个数分别为k+1，k﹣1，其中k≥1，且k为整数．则（k+1）2﹣（k﹣1）2＝（k+1+k﹣1）（k+1﹣k+1）＝4k，k＝2时，4k＝8，
∴除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数．
∴4k（k≥2且k为整数）均为智慧数；
除1外，所有的奇数都是智慧数；除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数；这样还剩被4除余2的数，特殊值2，6，10都不是智慧数，也就是被4除余2的正整数都不是智慧数，推广到一般式，证明如下：
∵假设4k+2是智慧数，那么必有两个正整数m和n，使得4k+2＝m2﹣n2，
∴4k+2＝2（2k+1）＝（m+n）（m﹣n） ①，
∵m+n和m﹣n这两个数的奇偶性相同，
∴等式①的右边要么是4的倍数，要么是奇数，而左边一定是偶数，但一定不是4的倍数．可左、右两边不相等．所以4k+2不是智慧数，即被4除余2的正整数都不是智慧数．
∴把从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数，
又∵（2023﹣1）÷3＝673••••••2，
∴第2022个智慧数在1+673+1＝675（组），并且是第三个数，即675×4﹣1＝2699，是个奇数，
∴2k+1＝2699，解得k＝1349，k+1＝1350，
即第2022个智慧数是2699，1349和1350是它的智慧分解．
故答案为：2699．
14．（2023秋•闵行区期中）如图，正方形ABCD与正方形CEFG的面积之差是6，求阴影部分的面积．
【解答】解：设正方形ABCD与正方形CEFG的边长分别为a和b，由题意得：
b2﹣a2＝6．
由图形可得：
S阴＝a（b﹣a）+（b2﹣ab）
＝ab﹣a2+b2﹣ab
＝（b2﹣a2）
＝×6
＝3．
故阴影部分的面积为3．
15．（2023春•西安期末）探究活动：
（1）将图1中阴影部分裁剪下来，重新拼成图②一个长方形，则长表示为 ，宽为 ．
（2）则图2中阴影部分周长表示为 ．
知识应用：运用你得到的公式解决以下问题
（3）计算：已知a＝5m﹣3n，b＝3m+5n，则图2中阴影部分周长是多少？
【解答】解：（1）由题意可得：
图2长方形的长为：a+b，宽为：a﹣b，
故答案为：a+b，a﹣b；
（2）图2中阴影部分周长表示为：2（a+b+a﹣b）＝4a，
故答案为：4a；
（3）∵a＝5m﹣3n，b＝3m+5n．
∴阴影部分周长是4a＝4（5m﹣3n）＝20m﹣12n．
16．（2023春•天桥区期末）如图，边长为a的正方形中有一个边长为b（b＜a）的小正方形，如图2是由图1中的阴影部分拼成的一个长方形．
（1）设图1阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2，请直接用含a，b的式子表示S1＝ ，S2＝ ，写出上述过程中所揭示的乘法公式 ；
（2）直接应用，利用这个公式计算：
①（﹣x﹣y）（y﹣x）；
②102×98．
（3）拓展应用，试利用这个公式求下面代数式的结果．
（3+1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）×…×（31024+1）+1．
【解答】解：（1）S1＝a2﹣b2，S2＝（a+b）（a﹣b），
∵S1＝S2，
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
（2）①（﹣x﹣y）（y﹣x）＝（﹣x）2﹣y2＝x2﹣y2；
②102×98＝（100+2）×（100﹣2）＝9996．
（3）（3+1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）×（31024+1）+1，
＝（3﹣1）×[（3+1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）×（31024+1）]÷（3﹣1）+1，
＝（32﹣1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）×（31024+1）÷2+1，
＝[（31024）2﹣12]÷2+1，
＝（32048﹣1）÷2+1，
＝
17．（2023秋•大连期末）乘法公式的探究及应用．
（1）如图1，是将图2阴影部分裁剪下来，重新拼成的一个长方形，面积是 ；如图2，阴影部分的面积是 ；比较图1，图2阴影部分的面积，可以得到乘法公式 ；
（2）运用你所得到的公式，计算下列各题：
①103×97；
②（2x+y﹣3）（2x﹣y+3）．
【解答】解：（1）由拼图可知，图形1的长为（a+b），宽为（a﹣b），因此面积为（a+b）（a﹣b），图形2的阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即a2﹣b2，
由图形1，图形2的面积相等可得，（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，
故答案为：（a+b）（a﹣b），a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
（2）①103×97＝（100+3）（100﹣3）
＝1002﹣32
＝10000﹣9
＝9991；
②原式＝（2x+y﹣3）[2x﹣（y﹣3）]
＝（2x）2﹣（y﹣3）2
＝4x2﹣（y2﹣6y+9）
＝4x2﹣y2+6y﹣9．
18．（2023春•奉化区校级期末）某同学利用若干张正方形纸片进行以下操作：
（1）从边长为a的正方形纸片中减去一个边长为b的小正方形，如图1，再沿线段AB把纸片剪开，最后把剪成的两张纸片拼成如图2的等腰梯形，这一过程所揭示的公式是 ．
（2）先剪出一个边长为a的正方形纸片和一个边长为b的正方形纸片，再剪出两张边长分别为a和b的长方形纸片，如图3，最后把剪成的四张纸片拼成如图4的正方形．这一过程你能发现什么代数公式？
（3）先剪出两个边长为a的正方形纸片和一个边长为b的正方形纸片，再剪出三张边长分，别为a和b的长方形纸片，如图5，你能否把图5中所有纸片拼成一个长方形？如果可以，请画出草图，并写出相应的等式，如果不能，请说明理由．
【解答】解：（1）图1的面积为a2﹣b2，图2的面积为（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b），因此有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
（2）拼图前的面积为a2+2ab+b2，拼图后的面积为（a+b）2，因此可得a2+2ab+b2＝（a+b）2，即完全平方公式；
（3）拼图前的面积为2a2+3ab+b2，因此可以拼成长（2a+b），宽为（a+b）的长方形，拼图如图所示：
19.（2023春•宝安区期末）初中数学的一些代数公式可以通过几何图形的面积来推导和验证．如图①，从边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形后，将其沿虚线裁剪，然后拼成一个矩形（如图②）．
（1）通过计算图①和图②中阴影部分的面积，可以验证的公式是： ＝ ．
（2）小明在计算（2+1）（22+1）（24+1）时利用了（1）中的公式：
（2+1）（22﹣1）（24+1）
＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）
＝ ．
（请你将以上过程补充完整．）
（3）利用以上的结论和方法、计算：+（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）．
【解答】解：（1）图①中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，图②是长为a+b，宽为a﹣b的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b），
由图①、图②面积相等可得：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，
故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
（2）原式＝（2﹣1）•（2+1）（22+1）（24+1）
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）
＝（24﹣1）（24+1）
＝28﹣1，
故答案为：28﹣1；
（3）原式＝+（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）
＝+（32﹣1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）
＝+（34﹣1）（34+1）（38+1）（316+1）
＝+（38﹣1）（38+1）（316+1）
＝+（316﹣1）（316+1）
＝+（332﹣1）
＝+﹣
＝．