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    2023-2024学年山东省济宁市高一(下)期中数学试卷(含解析)
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    2023-2024学年山东省济宁市高一(下)期中数学试卷(含解析)

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    这是一份2023-2024学年山东省济宁市高一(下)期中数学试卷(含解析),共13页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    1.复数z=i+i2(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( )
    A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
    2.函数f(x)=tan(−π2x+π3)的最小正周期为( )
    A. πB. π2C. 2D. 4
    3.如图,一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形O′A′B′C′,且O′A′//B′C′,O′A′=2B′C′=4,A′B′=2,则该平面图形的高为( )
    A. 2 2B. 2C. 4 2D. 2
    4.我们学过度量角有角度制与弧度制,最近,有学者提出用“面度制”度量角,因为在半径不同的同心圆中,同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数,从而称这个常数为该角的面度数,这种用面度作为单位来度量角的单位制,叫做面度制.在面度制下,角θ的面度数为5π6,则角θ的正弦值为( )
    A. 32B. 12C. −12D. − 32
    5.四等分切割如图所示的圆柱,再将其重新组合成一个新的几何体,若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了10,则圆柱的侧面积是( )
    A. 10πB. 20πC. 10D. 20
    6.已知向量a,b满足|a|=2|b|=2,且|2a−b|= 15,则|b−a|=( )
    A. 1B. 2C. 2D. 3
    7.如图所示,O为线段A0A2025外一点,若A0,A1,A2,A3,⋯,A2025中任意相邻两点间的距离相等,OA0=a,OA2025=b,则用a,b表示OA0+OA1+OA2+⋯+OA2025,其结果为( )
    A. 2025(a+b)B. 2026(a+b)C. 1012(a+b)D. 1013(a+b)
    8.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,且△ABC的面积S△ABC= 3,S△ABC= 34(a2+c2−b2),则AB⋅BC=( )
    A. 3B. − 3C. 2D. −2
    二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
    9.已知复数z1,z2满足z1=1+1i,z2=−1+i,则下列说法正确的是( )
    A. z1⋅z2=2iB. |z1|=|z2|C. z1−z2−的虚部为2D. |z1z2|=|z1||z2|
    10.软木锅垫的正、反面可加置印刷公司lg、图片、产品、广告、联系方式等,表面较强的摩擦力既可以防止玻璃、瓷杯滑落,又可保护桌面不被烫坏.如图②,这是一个边长为20厘米的正六边形的软木锅垫ABCDEF,则下列选项正确的是( )
    A. 向量BF在向量DE上的投影向量为−32AB
    B. AD−BE+CF=0
    C. |AC+AE|=30
    D. 点P是正六边形内部(包括边界)的动点,AP⋅AB的最小值为−200
    11.已知函数f(x)=Acs(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,则下列结论正确的是( )
    A. 函数f(x)的周期为T=π
    B. 函数f(x)的图象关于x=−π12对称
    C. 函数f(x)在区间[−π3,π2]上的最大值为2
    D. 直线y=1与y=f(x)(−π12⩽x⩽11π12)的图像所有交点的横坐标之和为π3
    三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
    12.如图所示,长方体ABCD−A1B1C1D1,M,N分别为棱A1B1,C1D1的中点.用平面BCNM把这个长方体分成两部分,则左侧几何体是______.(填:棱柱、棱锥、棱台其中一个)
    13.已知向量a=(1,−2),b=(x,4),若〈a,b〉∈(0,π),则实数x的取值范围是______.
    14.已知向量a=(3sinα,−2),b=(1,1−csα),若a⋅b=−2,则sin2α+cs2α= ______.
    四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
    15.(本小题13分)
    已知2−i是关于x的方程x2+mx+n=0(m,n∈R)的一个根,其中i为虚数单位.
    (1)求m+2n的值;
    (2)记复数z=m+ni,求复数z−1+i的模.
    16.(本小题15分)
    已知单位向量a满足(a+b)⋅(a−b)=a⋅b=−1.
    (1)求|2a−b|的值;
    (2)设a+b与2a−b的夹角为θ,求csθ的值.
    17.(本小题15分)
    兴隆塔,建于隋朝,位于区博物馆内.某校开展数学建模活动,有建模课题组的学生选择测量兴隆塔的高度,为此,他们设计了测量方案.如图,兴隆塔垂直于水平面,他们选择了与兴隆塔底部D在同一水平面上的A,B两点,测得AB=54米,在A,B两点观察塔顶C点,仰角分别为45°和α,其中csα= 63,∠ADB=45°.
    (1)求兴隆塔的高CD的长;
    (2)在(1)的条件下求多面体A−BCD的表面积;
    (3)在(1)的条件下求多面体A−BCD的内切球的半径;
    18.(本小题17分)
    已知向量a=(csx,2sinx),b=(2csx, 3csx),函数f(x)=a⋅b.
    (1)求函数f(x)=a⋅b在[0,π]上的单调递减区间;
    (2)若f(x0)=115,且x0∈(π6,π3),求cs2x0的值;
    (3)将g(x)图象上所有的点向左平移π6个单位,然后再向上平移1个单位,最后使所有点的纵坐标变为原来的2倍,得到函数f(x)的图象,当x∈[0,π2]时,方程g(x)=m有一解,求实数m的取值范围.
    19.(本小题17分)
    在△ABC中,∠A,∠B,∠C对应的边分别为a,b,c,2sinAsinBsinC= 3(sin2B−cs2C+cs2A).
    (1)求A;
    (2)若b=1,c=3,D为线段BC内一点,且BD:DC=1:2,求线段AD的长;
    (3)法国著名科学家柯西在数学领域有非常高的造诣;很多数学的定理和公式都以他的名字来命名,如对于任意的x1,x2,y1,y2∈R,都有(x1⋅x2+y1⋅y2)2≤(x12+y12)(x22+y22)被称为柯西不等式;在(1)的条件下,若a=2,求:(a2+b2+c2)[21−cs2A+1cs2(π2−B)+1sin2(π+C)]的最小值.
    答案和解析
    1.【答案】B
    【解析】解:∵z=i+i2=−1+i,
    ∴复数z在复平面内对应的点(−1,1)所在象限为第二象限.
    故选:B.
    根据已知条件,结合复数的乘除法原则和复数的几何意义,即可求解.
    本题考查了复数的几何意义,以及复数代数形式的乘除法运算,需要学生熟练掌握公式,属于基础题.
    2.【答案】C
    【解析】解:函数f(x)=tan(−π2x+π3)的最小正周期为:π|−π2|=2.
    故选:C.
    根据三角函数的周期公式求解即可.
    本题主要考查三角函数的周期,属于基础题.
    3.【答案】C
    【解析】解:在直角梯形O′A′B′C′中,O′A′//B′C′,O′A′=2B′C′=4,A′B′=2,
    显然∠A′O′C′=45°,于是O′C′=O′A′−B′C′cs∠A′O′C′=2cs45∘=2 2,
    直角梯形O′A′B′C′对应的原平面图形为如图中直角梯形OABC,
    BC/​/OA,OC⊥OA,OA=2BC=4,OC=2O′C′=4 2,
    所以该平面图形的高为4 2.
    故选:C.
    根据给定条件,求出O′C′,再作出水平放置的原平面图形作答.
    本题考查了直观图的画法与应用问题,是基础题.
    4.【答案】D
    【解析】解:设角θ所在的扇形的半径为r,
    则12r2θr2=5π6,解得θ=5π3,
    故sinθ=sin5π3=−sinπ3=− 32.
    故选:D.
    结合面度制的定义,以及扇形的面积公式,即可求解.
    本题主要考查扇形的面积公式,属于基础题.
    5.【答案】A
    【解析】解:如图,设圆柱的母线长为l,底面半径为r,
    即AB=l,OA=r,
    则切割以后得侧面积增加了两个长方形的面积,
    且长方形CDEF的面积为S=rl,
    因为新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了10,
    所以2rl=10,
    即rl=5,
    所以圆柱的侧面积为2πrl=2π×5=10π.
    故选:A.
    根据新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了两个长方形的面积,即可求解.
    本题考查圆柱侧面积公式的应用,属于基础题.
    6.【答案】B
    【解析】解:已知向量a,b满足|a|=2|b|=2,且|2a−b|= 15,
    则4a2−4a⋅b+b2=15,
    即a⋅b=14×(4×4+1−15)=12,
    则|b−a|= b2−2b⋅a+a2= 1−2×12+4=2.
    故选:B.
    由平面向量数量积的运算,结合平面向量的模的运算求解.
    本题考查了平面向量数量积的运算,重点考查了平面向量的模的运算,属中档题.
    7.【答案】D
    【解析】解:因A0,A1,A2,A3,⋯,A2025中任意相邻两点间的距离相等,
    不妨设A0A2025的中点为A,
    则点A也是A1A2024,A2A2023,⋯,A1012A1013的中点,
    则OA0+OA2025=2OA=a+b,同理可得:
    OA1+OA2024=OA2+OA2023=⋯=OA1012+OA1013=2OA=a+b,
    则OA0+OA1+OA2+⋯+OA2025=20262(a+b)=1013(a+b).
    故选:D.
    设A0A2025的中点为A,利用三角形中线向量的表示法,化简求和即得.
    本题考查平面向量的线性运算,属中档题.
    8.【答案】D
    【解析】解:∵△ABC的面积S△ABC= 3=12acsinB,
    ∴acsinB=2 3,
    S△ABC= 34(a2+c2−b2),
    则 34(a2+c2−b2)=12acsinB,
    ∴tanB=sinBcsB= 3,
    ∵B∈(0,π),
    ∴B=π3,sinB= 32,
    ∴ac=4
    ∴AB⋅BC=accs(π−B)=−2.
    故选:D.
    根据已知条件,结合余弦定理,以及三角形的面积公式,即可求解.
    本题主要考查余弦定理的应用,属于基础题.
    9.【答案】ABD
    【解析】解:z1=1+1i=1−i,z2=−1+i,
    z1z2=(1−i)(−1+i)=2i,故A正确;
    |z1|=|z2|= 2,故B正确;
    z1−z2−=1−i−(−1−i)=2,其虚部为0,故C错误;
    z1z2=1−i−1+i=−1,
    则|z1z2|=1,
    |z1||z2|= 2 2=1,故D正确.
    故选:ABD.
    根据已知条件,结合复数的四则运算,复数模公式,复数的概念,即可求解.
    本题主要考查复数的四则运算,复数模公式,复数的概念,属于基础题.
    10.【答案】ABD
    【解析】解:以A为原点,AB所在直线为x轴,AE所在直线为y轴,
    建立平面直角坐标系,如图所示,
    对于A,由图可知B(20,0),F(−10,10 3),D(20,20 3),E(0,20 3),
    所以BF=(−30,10 3),DE=(−20,0),
    向量BF在DE上的投影向量为BF⋅DE|DE|2DE=600400DE=32DE=−32AB,故A正确;
    对于B,由图可知A(0,0),C(30,10 3),
    所以AD=(20,20 3),BE=(−20,20 3),CF=(−40,0),
    所以AD−BE+CF=(20+20−40,20 3−20 3+0)=(0,0)=0,故B正确;
    对于C,AC=(30,10 3),AE=(0,20 3),
    所以|AC+AE|= 302+(30 3)2= 3600=60,故C错误;
    对于D,设P(x,y),则AP=(x,y),AB=(20,0),所以AP⋅AB=20x,
    因为点P是正六边形内部(包括边界)的动点,所以−10≤x≤30,
    所以当x=−10时,AP⋅AB有最小值,最小值为−200,故D正确.
    故选:ABD.
    以A为原点,以AB所在直线为x轴,AE所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,利用坐标系法,结合投影向量公式、向量的线性运算、模长公式及数量积公式对各选项逐一分析即可判断.
    本题考查平面向量的线性运算及数量积运算,属中档题.
    11.【答案】ACD
    【解析】解:由题意得,A=2,T=4(2π3−5π12)=π,A正确;
    故ω=2,f(x)=2sin(2x+φ),
    又2×2π3+φ=3π2+2kπ,k∈Z,|φ|<π,
    所以φ=π6,f(x)=2sin(2x+π6),
    当x=−π12时,2×(−π12)+π6=0,此时f(x)不是取得最值,即x=−π12不是函数的对称轴,B错误;
    当−π3≤x≤π2时,−π2≤2x+π6≤7π6,
    故−1≤sin(2x+π6)≤1,即函数的最大值为2,C正确;
    y=1与y=f(x)(−π12⩽x⩽11π12)的图像所有交点共2个,且关于直线x=π6对称,横坐标之和为π3,D正确.
    故选:ACD.
    由最值求A,由周期求ω,然后结合特殊点的坐标可求φ,进而可求函数解析式,然后结合正弦函数的性质检验各选项即可判断.
    本题主要考查了函数性质在函数y=Asin(ωx+φ)解析式求解中的应用,还考查了正弦函数性质的应用,属于中档题.
    12.【答案】棱柱
    【解析】【分析】
    本题主要考查棱柱的结构特征,属于基础题.
    根据棱柱的定义即可.
    【解答】
    解:左侧几何体有两个面互相平行,其余各面都是四边形,
    并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,所以左侧几何体为棱柱.
    13.【答案】{x|x≠−2}
    【解析】解:因为两个向量的夹角θ∈[0,π],
    而向量a=(1,−2),b=(x,4),〈a,b〉∈(0,π),
    所以向量a与b不共线,
    当向量a与b共线时,1×4−(−2)x=0,解得x=−2.
    故实数x的取值范围是{x|x≠−2}.
    故答案为:{x|x≠−2}.
    根据向量夹角的范围即可求解.
    本题主要考查向量的坐标运算,属于基础题.
    14.【答案】−713
    【解析】解:因为向量a=(3sinα,−2),b=(1,1−csα),a⋅b=−2,
    所以3sinα+(−2)×(1−csα)=3sinα+2csα−2=−2,所以3sinα=−2csα,
    所以tanα=−23,
    所以sin2α+cs2α=2sinαcsα+cs2α−sin2α=2sinαcsα+cs2α−sin2αsin2α+cs2α=2tanα+1−tan2αtan2α+1=2×(−23)+1−(−23)2(−23)2+1=−713.
    故答案为:−713.
    根据数量积的坐标运算求得tanα,然后利用二倍角公式及弦切互化代入计算即可.
    本题考查了平面向量的数量积运算和三角函数求值问题,是基础题.
    15.【答案】解:(1)∵2−i是关于x的方程x2+mx+n=0(m,n∈R)的一个根,
    ∴(2−i)2+m(2−i)+n=0,即4−4i+i2+2m−mi+n=0,
    ∴3+2m+n−(4+m)i=0,
    则3+2m+n=0,4+m=0,
    解得:m=−4,n=5,得m+2n=6;
    (2)z=−4+5i,z−=−4−5i,
    ∴z−1+i=−4−5i1+i,则|z−1+i|=|−4−5i1+i|=|−4−5i||1+i|= (−4)2+(−5)2 12+12= 41 2= 822.
    【解析】(1)把2−i代入方程x2+mx+n=0,整理后利用复数相等的条件列式求解m与n的值,则答案可求;
    (2)求出z,代入z−1+i,然后利用商的模等于模的商求解.
    本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,考查复数模的求法,是基础题.
    16.【答案】解:(1)因为a为单位向量,所以|a|=1,
    所以由(a+b)⋅(a−b)=a2−b2=−1,可得|b|= 2,
    则|2a−b|2=4a2+b2−4a⋅b=4+2+4=10,
    则|2a−b|= 10;
    (2)因为|a+b|2=a2+b2+2a⋅b=2+1−2=1,
    所以|a+b|=1,而(a+b)⋅(2a−b)=2a2+a⋅b−b2=−1,
    所以csθ=(a+b)⋅(2a−b)|a+b||2a−b|=−11× 10=− 1010,
    即csθ=− 1010.
    【解析】(1)根据题目条件得到方程,求出|b|= 2,进而求出|2a−b|2=10,求出模长;
    (2)先计算出|a+b|=1,(a+b)⋅(2a−b)=−1,利用向量夹角余弦公式求出答案.
    本题考查平面向量数量积的运算,考查向量的模长公式及夹角公式,属中档题.
    17.【答案】解:(1)设CD=x米,在△ACD中,∠CDA=90°,∠CAD=45°,则AD=x,
    在△BCD中,∠CDB=90°,∠CBD=α,且csα= 63,
    则tanα= 22,所以BD= 2x,
    因为∠ADB=45°,所以由余弦定理得x2+2x2−2x⋅ 2xcs45°=542,
    整理得x2=542,解得x=54(米);
    (2)由(1)知△ABD,△ACD,△BCD均为直角三角形,
    CD=DA=AB=54,BD=54 2,
    所以AC=54 2,BC=54 3,
    所以在△ABC中,满足AB2+AC2=BC2,所以△ABC为直角三角形,
    所以S△ABD=S△ACD=1458,S△ABC=S△BCD=1458 2,
    所以SA−BCD全=2916(1+ 2)平方米;
    (3)设多面体A−BCD的内切球的半径为r,
    根据等体积转换VA−BCD=13S△ABD⋅CD=13SA−BCD全⋅r,
    所以r=27( 2−1)米.
    【解析】(1)设塔高CD=x,用x表示AD、BD,再利用余弦定理列方程求解即可;
    (2)利用题意判断四个面均为直角三角形,结合(1)的结果,利用三角形面积公式分别求出四个面的面积,求和即可;
    (3)根据题意将多面体分为以各面为底,内切球半径为高的四个三棱锥,利用等体积法即可求解.
    本题考查解三角形的应用以及几何体表面积和内切球体积的计算,属于中档题.
    18.【答案】解:(1)因为f(x)=a⋅b=2cs2x+2 3sinxcsx=cs2x+1+ 3sin2x=2cs(2x−π3)+1,
    所以2kπ≤2x−π3≤π+2kπ,
    即kπ+π6≤x≤2π3+kπ,k∈Z,
    又因为x∈[0,π],
    所以函数f(x)在[0,π]上的单调递减区间为[π6,2π3];
    (2)若f(x0)=115,则2cs(2x0−π3)+1=115,
    所以cs(2x0−π3)=35,
    因为x0∈(π6,π3),
    所以2x0−π3∈(0,π3),
    所以sin(2x0−π3)= 1−cs2(2x0−π3)=45,
    所以cs2x0=cs(2x0−π3+π3)=cs(2x0−π3)csπ3−sin(2x0−π3)sinπ3=35×12−45× 32=3−4 310,
    故cs2x0=3−4 310;
    (3)将g(x)图象上所有的点向左平移π6个单位,然后再向上平移1个单位,最后使所有点的纵坐标变为原来的2倍,得到函数f(x)的图象,
    则将f(x)=2cs(2x−π3)+1图象上所有的点的纵坐标变为原来的12,再向下平移1个单位,最后再向右平移π6个单位得到函数g(x)的图象,
    即g(x)=cs(2x−2π3)−12,
    当x∈[0,π2]时,2x−2π3∈[−2π3,π3],
    由方程g(x)=m有一解,可得m的取值范围为[−1,0)∪{12}.
    【解析】(1)利用平面向量数量积的坐标表示结合二倍角公式、辅助角公式化简f(x),再根据三角函数的性质整体代换计算即可求单调区间;
    (2)利用同角三角函数的平方关系得sin(2x0−π3)=45,再根据余弦的和角公式计算即可;
    (3)根据三角函数图象变换得g(x),再根据三角函数的性质计算即可.
    本题主要考查了和差角公式,二倍角公式,辅助角公式,同角基本关系,还考查了三角函数图象的变换及正弦函数性质的应用,属于中档题.
    19.【答案】解:(1)因为2sinAsinBsinC= 3(sin2B−cs2C+cs2A)
    = 3(sin2B+1−cs2C−1+cs2A)= 3(sin2B+sin2C−sin2A),
    所以2sinAsinBsinC= 3(sin2B+sin2C−sin2A),
    由正弦定理2bcsinA= 3(b2+c2−a2),
    再由余弦定理可得:sinA= 3b2+c2−a22bc= 3csA,
    即tanA= 3,又因为A∈(0,π),
    所以A=π3;
    (2)由题意知:BD=12DC,所以AD=23AB+13AC,
    所以AD2=(23AB+13AC)2=19(2AB+AC)2=19(4c2+b2+4bccsA)=19(36+1+4⋅3⋅12)=439,
    可得AD= 433;
    (3)根据柯西不等式:(a2+b2+c2)[21−cs2A+1cs2(π2−B)+1sin2(π+C)]
    =(a2+b2+c2)(1sin2A+1sin2B+1sin2C)
    ≥(asinA+bsinB+csinC)2=9(2sinπ3)2=48,(当且仅当△ABC为正三角形时取等号),
    即(a2+b2+c2)[21−cs2A+1cs2(π2−B)+1sin2(π+C)]的最小值为48.
    【解析】(1)由同角基本关系式及余弦定理可得tanA的值,再由角A的范围,可得角A的大小;
    (2)由向量的运算性质可得AD的长;
    (3)由柯西不等式的性质可得所求的代数式的最小值.
    本题考查正弦定理,余弦定理的应用,及柯西不等式的应用,属于中档题.
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