山东省济宁市2023-2024学年高一下学期期中数学试卷(解析版)

这是一份山东省济宁市2023-2024学年高一下学期期中数学试卷(解析版)，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）复数z＝i+i2（i为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．（5分）函数的最小正周期为（ ）
A．πB．C．2D．4
3．（5分）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形O′A′B′C′，且O′A′∥B′C′，O′A′＝2B′C′＝4，A′B′＝2，则该平面图形的高为（ ）
A．B．2C．D．
4．（5分）我们学过度量角有角度制与弧度制，最近，有学者提出用“面度制”度量角，因为在半径不同的同心圆中，同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数，从而称这个常数为该角的面度数，这种用面度作为单位来度量角的单位制，叫做面度制．在面度制下，角θ的面度数为，则角θ的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
5．（5分）四等分切割如图所示的圆柱，再将其重新组合成一个新的几何体，若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了10，则圆柱的侧面积是（ ）
A．10πB．20πC．10D．20
6．（5分）已知向量，满足||＝2||＝2，且|2﹣|＝，则|﹣|＝（ ）
A．1B．2C．D．
7．（5分）如图所示，O为线段A0A2025外一点，若A0，A1，A2，A3，⋯，A2025中任意相邻两点间的距离相等，，则用，表示，其结果为（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且△ABC的面积，，则＝（ ）
A．B．C．2D．﹣2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
（多选）9．（6分）已知复数z1，z2满足z1＝1+，z2＝﹣1+i，则下列说法正确的是（ ）
A．z1•z2＝2iB．|z1|＝|z2|
C．z1﹣的虚部为2D．
（多选）10．（6分）软木锅垫的正、反面可加置印刷公司lg、图片、产品、广告、联系方式等，表面较强的摩擦力既可以防止玻璃、瓷杯滑落，又可保护桌面不被烫坏．如图②，这是一个边长为20厘米的正六边形的软木锅垫ABCDEF，则下列选项正确的是（ ）
A．向量在向量上的投影向量为
B．
C．
D．点P是正六边形内部（包括边界）的动点，的最小值为﹣200
（多选）11．（6分）已知函数f（x）＝Acs（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．函数f（x）的周期为T＝π
B．函数f（x）的图象关于对称
C．函数f（x）在区间上的最大值为2
D．直线y＝1与的图像所有交点的横坐标之和为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（5分）如图所示，长方体ABCD﹣A1B1C1D1，M，N分别为棱A1B1，C1D1的中点．用平面BCNM把这个长方体分成两部分，则左侧几何体是 .（填：棱柱、棱锥、棱台其中一个）
13．（5分）已知向量，若，则实数x的取值范围是 ．
14．（5分）已知向量，若＝﹣2，则sin2α+cs2α＝ ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知2﹣i是关于x的方程x2+mx+n＝0（m，n∈R）的一个根，其中i为虚数单位．
（1）求m+2n的值；
（2）记复数z＝m+ni，求复数的模．
16．（15分）已知单位向量满足．
（1）求的值；
（2）设与的夹角为θ，求csθ的值．
17．（15分）兴隆塔，建于隋朝，位于区博物馆内．某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量兴隆塔的高度，为此，他们设计了测量方案．如图，兴隆塔垂直于水平面，他们选择了与兴隆塔底部D在同一水平面上的A，B两点，测得AB＝54米，在A，B两点观察塔顶C点，仰角分别为45°和α，其中csα＝，∠ADB＝45°．
（1）求兴隆塔的高CD的长；
（2）在（1）的条件下求多面体A﹣BCD的表面积；
（3）在（1）的条件下求多面体A﹣BCD的内切球的半径；
18．（17分）已知向量＝（csx，2sinx），，函数f（x）＝．
（1）求函数f（x）＝在[0，π]上的单调递减区间；
（2）若f（x0）＝，且，求cs2x0的值；
（3）将g（x）图象上所有的点向左平移个单位，然后再向上平移1个单位，最后使所有点的纵坐标变为原来的2倍，得到函数f（x）的图象，当时，方程g（x）＝m有一解，求实数m的取值范围．
19．（17分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C对应的边分别为a，b，c，2sinAsinBsinC＝（sin2B﹣cs2C+cs2A）．
（1）求A；
（2）若b＝1，c＝3，D为线段BC内一点，且BD：DC＝1：2，求线段AD的长；
（3）法国著名科学家柯西在数学领域有非常高的造诣；很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如对于任意的x1，x2，y1，y2∈R，都有（x1•x2+y1•y2）2≤（+）（+）被称为柯西不等式；在（1）的条件下，若a＝2，求：的最小值．
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）复数z＝i+i2（i为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根据已知条件，结合复数的乘除法原则和复数的几何意义，即可求解．
【解答】解：∵z＝i+i2＝﹣1+i，
∴复数z在复平面内对应的点（﹣1，1）所在象限为第二象限．
故选：B．
【点评】本题考查了复数的几何意义，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
2．（5分）函数的最小正周期为（ ）
A．πB．C．2D．4
【分析】根据三角函数的周期公式求解即可．
【解答】解：函数的最小正周期为：＝2．
故选：C．
【点评】本题主要考查三角函数的周期，属于基础题．
3．（5分）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形O′A′B′C′，且O′A′∥B′C′，O′A′＝2B′C′＝4，A′B′＝2，则该平面图形的高为（ ）
A．B．2C．D．
【分析】根据给定条件，求出O′C′，再作出水平放置的原平面图形作答．
【解答】解：在直角梯形O′A′B′C′中，O′A′∥B′C′，O′A′＝2B′C′＝4，A′B′＝2，
显然∠A′O′C′＝45°，于是，
直角梯形O′A′B′C′对应的原平面图形为如图中直角梯形OABC，
BC∥OA，OC⊥OA，OA＝2BC＝4，，
所以该平面图形的高为．
故选：C．
【点评】本题考查了直观图的画法与应用问题，是基础题．
4．（5分）我们学过度量角有角度制与弧度制，最近，有学者提出用“面度制”度量角，因为在半径不同的同心圆中，同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数，从而称这个常数为该角的面度数，这种用面度作为单位来度量角的单位制，叫做面度制．在面度制下，角θ的面度数为，则角θ的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】结合面度制的定义，以及扇形的面积公式，即可求解．
【解答】解：设角θ所在的扇形的半径为r，
则＝，解得，
故．
故选：D．
【点评】本题主要考查扇形的面积公式，属于基础题．
5．（5分）四等分切割如图所示的圆柱，再将其重新组合成一个新的几何体，若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了10，则圆柱的侧面积是（ ）
A．10πB．20πC．10D．20
【分析】根据新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了两个长方形的面积，即可求解．
【解答】解：如图，设圆柱的母线长为l，底面半径为r，
即AB＝l，OA＝r，
则切割以后得侧面积增加了两个长方形的面积，
且长方形CDEF的面积为S＝rl，
因为新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了10，
所以2rl＝10，
即rl＝5，
所以圆柱的侧面积为2πrl＝2π×5＝10π．
故选：A．
【点评】本题考查圆柱侧面积公式的应用，属于基础题．
6．（5分）已知向量，满足||＝2||＝2，且|2﹣|＝，则|﹣|＝（ ）
A．1B．2C．D．
【分析】由平面向量数量积的运算，结合平面向量的模的运算求解．
【解答】解：已知向量，满足||＝2||＝2，且|2﹣|＝，
则，
即，
则|﹣|＝＝．
故选：B．
【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的模的运算，属中档题．
7．（5分）如图所示，O为线段A0A2025外一点，若A0，A1，A2，A3，⋯，A2025中任意相邻两点间的距离相等，，则用，表示，其结果为（ ）
A．B．C．D．
【分析】设A0A2025的中点为A，利用三角形中线向量的表示法，化简求和即得．
【解答】解：因A0，A1，A2，A3，⋯，A2025中任意相邻两点间的距离相等，
不妨设A0A2025的中点为A，
则点A也是A1A2024，A2A2023，⋯，A1012A1013的中点，
则，同理可得：
，
则．
故选：D．
【点评】本题考查平面向量的线性运算，属中档题．
8．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且△ABC的面积，，则＝（ ）
A．B．C．2D．﹣2
【分析】根据已知条件，结合余弦定理，以及三角形的面积公式，即可求解．
【解答】解：∵△ABC的面积，
∴，
，
则，
由余弦定理可知，a2+c2﹣b2＝2ac•csB，即，
化简整理可得，，
∵B∈（0，π），
∴，sinB＝，
∴ac＝4
∴＝﹣2．
故选：D．
【点评】本题主要考查余弦定理的应用，属于基础题．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
（多选）9．（6分）已知复数z1，z2满足z1＝1+，z2＝﹣1+i，则下列说法正确的是（ ）
A．z1•z2＝2iB．|z1|＝|z2|
C．z1﹣的虚部为2D．
【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，复数模公式，复数的概念，即可求解．
【解答】解：z1＝1+＝1﹣i，z2＝﹣1+i，
z1z2＝（1﹣i）（﹣1+i）＝2i，故A正确；
，故B正确；
，其虚部为0，故C错误；
，
则，
，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，复数模公式，复数的概念，属于基础题．
（多选）10．（6分）软木锅垫的正、反面可加置印刷公司lg、图片、产品、广告、联系方式等，表面较强的摩擦力既可以防止玻璃、瓷杯滑落，又可保护桌面不被烫坏．如图②，这是一个边长为20厘米的正六边形的软木锅垫ABCDEF，则下列选项正确的是（ ）
A．向量在向量上的投影向量为
B．
C．
D．点P是正六边形内部（包括边界）的动点，的最小值为﹣200
【分析】以A为原点，以所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，利用坐标系法，结合投影向量公式、向量的线性运算、模长公式及数量积公式对各选项逐一分析即可判断．
【解答】解：以A为原点，AB所在直线为x轴，AE所在直线为y轴，
建立平面直角坐标系，如图所示，
对于A，由图可知B（20，0），，，，
所以，，
向量在上的投影向量为，故A正确；
对于B，由图可知A（0，0），，
所以，，，
所以，故B正确；
对于C，，，
所以，故C错误；
对于D，设P（x，y），则，，所以，
因为点P是正六边形内部（包括边界）的动点，所以﹣10≤x≤30，
所以当x＝﹣10时，•有最小值，最小值为﹣200，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查平面向量的线性运算及数量积运算，属中档题．
（多选）11．（6分）已知函数f（x）＝Acs（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．函数f（x）的周期为T＝π
B．函数f（x）的图象关于对称
C．函数f（x）在区间上的最大值为2
D．直线y＝1与的图像所有交点的横坐标之和为
【分析】由最值求A，由周期求ω，然后结合特殊点的坐标可求φ，进而可求函数解析式，然后结合正弦函数的性质检验各选项即可判断．
【解答】解：由题意得，A＝2，T＝4（）＝π，A正确；
故ω＝2，f（x）＝2sin（2x+φ），
又2×＝+2kπ，k∈Z，|φ|＜π，
所以φ＝，f（x）＝2sin（2x+），
当x＝﹣时，2×＝0，此时f（x）不是取得最值，即x＝﹣不是函数的对称轴，B错误；
当﹣时，，
故﹣1≤sin（2x+）≤1，即函数的最大值为2，C正确；
y＝1与的图像所有交点共2个，且关于直线x＝对称，横坐标之和为，D正确．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查了函数性质在函数y＝Asin（ωx+φ）解析式求解中的应用，还考查了正弦函数性质的应用，属于中档题．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（5分）如图所示，长方体ABCD﹣A1B1C1D1，M，N分别为棱A1B1，C1D1的中点．用平面BCNM把这个长方体分成两部分，则左侧几何体是 棱柱 .（填：棱柱、棱锥、棱台其中一个）
【分析】根据棱柱的定义即可．
【解答】解：左侧几何体有两个面互相平行，其余各面都是四边形，
并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，所以左侧几何体为棱柱．
故答案为：棱柱．
【点评】本题主要考查棱柱的结构特征，属于基础题．
13．（5分）已知向量，若，则实数x的取值范围是 {x|x≠﹣2} ．
【分析】根据向量夹角的范围即可求解．
【解答】解：因为两个向量的夹角θ∈[0，π]，
而向量，，
所以向量与不共线，
当向量与共线时，1×4﹣（﹣2）x＝0，解得x＝﹣2．
故实数x的取值范围是{x|x≠﹣2}．
故答案为：{x|x≠﹣2}．
【点评】本题主要考查向量的坐标运算，属于基础题．
14．（5分）已知向量，若＝﹣2，则sin2α+cs2α＝ ．
【分析】根据数量积的坐标运算求得tanα，然后利用二倍角公式及弦切互化代入计算即可．
【解答】解：因为向量，，
所以3sinα+（﹣2）×（1﹣csα）＝3sinα+2csα﹣2＝﹣2，所以3sinα＝﹣2csα，
所以，
所以sin2α+cs2α＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了平面向量的数量积运算和三角函数求值问题，是基础题．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知2﹣i是关于x的方程x2+mx+n＝0（m，n∈R）的一个根，其中i为虚数单位．
（1）求m+2n的值；
（2）记复数z＝m+ni，求复数的模．
【分析】（1）把2﹣i代入方程x2+mx+n＝0，整理后利用复数相等的条件列式求解m与n的值，则答案可求；
（2）求出z，代入，然后利用商的模等于模的商求解．
【解答】解：（1）∵2﹣i是关于x的方程x2+mx+n＝0（m，n∈R）的一个根，
∴（2﹣i）2+m（2﹣i）+n＝0，即4﹣4i+i2+2m﹣mi+n＝0，
∴3+2m+n﹣（4+m）i＝0，
则3+2m+n＝0，4+m＝0，
解得：m＝﹣4，n＝5，得m+2n＝6；
（2）z＝﹣4+5i，，
∴，则＝．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．
16．（15分）已知单位向量满足．
（1）求的值；
（2）设与的夹角为θ，求csθ的值．
【分析】（1）根据题目条件得到方程，求出，进而求出，求出模长；
（2）先计算出，利用向量夹角余弦公式求出答案．
【解答】解：（1）因为为单位向量，所以，
所以由，可得，
则，
则；
（2）因为，
所以，而，
所以csθ＝＝＝，
即．
【点评】本题考查平面向量数量积的运算，考查向量的模长公式及夹角公式，属中档题．
17．（15分）兴隆塔，建于隋朝，位于区博物馆内．某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量兴隆塔的高度，为此，他们设计了测量方案．如图，兴隆塔垂直于水平面，他们选择了与兴隆塔底部D在同一水平面上的A，B两点，测得AB＝54米，在A，B两点观察塔顶C点，仰角分别为45°和α，其中csα＝，∠ADB＝45°．
（1）求兴隆塔的高CD的长；
（2）在（1）的条件下求多面体A﹣BCD的表面积；
（3）在（1）的条件下求多面体A﹣BCD的内切球的半径；
【分析】（1）设塔高CD＝x，用x表示AD、BD，再利用余弦定理列方程求解即可；
（2）利用题意判断四个面均为直角三角形，结合（1）的结果，利用三角形面积公式分别求出四个面的面积，求和即可；
（3）根据题意将多面体分为以各面为底，内切球半径为高的四个三棱锥，利用等体积法即可求解．
【解答】解：（1）设CD＝x米，在△ACD中，∠CDA＝90°，∠CAD＝45°，则AD＝x，
在△BCD中，∠CDB＝90°，∠CBD＝α，且，
则，所以，
因为∠ADB＝45°，所以由余弦定理得，
整理得x2＝542，解得x＝54（米）；
（2）由（1）知△ABD，△ACD，△BCD均为直角三角形，
CD＝DA＝AB＝54，，
所以，，
所以在△ABC中，满足AB2+AC2＝BC2，所以△ABC为直角三角形，
所以S△ABD＝S△ACD＝1458，，
所以平方米；
（3）设多面体A﹣BCD的内切球的半径为r，
根据等体积转换，
所以米．
【点评】本题考查解三角形的应用以及几何体表面积和内切球体积的计算，属于中档题．
18．（17分）已知向量＝（csx，2sinx），，函数f（x）＝．
（1）求函数f（x）＝在[0，π]上的单调递减区间；
（2）若f（x0）＝，且，求cs2x0的值；
（3）将g（x）图象上所有的点向左平移个单位，然后再向上平移1个单位，最后使所有点的纵坐标变为原来的2倍，得到函数f（x）的图象，当时，方程g（x）＝m有一解，求实数m的取值范围．
【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标表示结合二倍角公式、辅助角公式化简f（x），再根据三角函数的性质整体代换计算即可求单调区间；
（2）利用同角三角函数的平方关系得，再根据余弦的和角公式计算即可；
（3）根据三角函数图象变换得g（x），再根据三角函数的性质计算即可．
【解答】解：（1）因为＝，
所以，
即，k∈Z，
又因为x∈[0，π]，
所以函数f（x）在[0，π]上的单调递减区间为；
（2）若，则，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以，
故；
（3）将g（x）图象上所有的点向左平移个单位，然后再向上平移1个单位，最后使所有点的纵坐标变为原来的2倍，得到函数f（x）的图象，
则将 图象上所有的点的纵坐标变为原来的，再向下平移1个单位，最后再向右平移个单位得到函数g（x）的图象，
即，
当时，，
由方程g（x）＝m有一解，可得m的取值范围为[﹣1，0）∪{}．
【点评】本题主要考查了和差角公式，二倍角公式，辅助角公式，同角基本关系，还考查了三角函数图象的变换及正弦函数性质的应用，属于中档题．
19．（17分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C对应的边分别为a，b，c，2sinAsinBsinC＝（sin2B﹣cs2C+cs2A）．
（1）求A；
（2）若b＝1，c＝3，D为线段BC内一点，且BD：DC＝1：2，求线段AD的长；
（3）法国著名科学家柯西在数学领域有非常高的造诣；很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如对于任意的x1，x2，y1，y2∈R，都有（x1•x2+y1•y2）2≤（+）（+）被称为柯西不等式；在（1）的条件下，若a＝2，求：的最小值．
【分析】（1）由同角基本关系式及余弦定理可得tanA的值，再由角A的范围，可得角A的大小；
（2）由向量的运算性质可得AD的长；
（3）由柯西不等式的性质可得所求的代数式的最小值．
【解答】解：（1）因为
＝（sin2B+1﹣cs2C﹣1+cs2A）＝（sin2B+sin2C﹣sin2A），
所以，
由正弦定理，
再由余弦定理可得：，
即，又因为A∈（0，π），
所以；
（2）由题意知：，所以，
所以＝，
可得AD＝；
（3）根据柯西不等式：
＝
，（当且仅当△ABC为正三角形时取等号），
即的最小值为48．
【点评】本题考查正弦定理，余弦定理的应用，及柯西不等式的应用，属于中档题．