冲刺2024年高考数学-真题重组卷03（文）（全国甲卷、乙卷通用）（原卷版+解析版）

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第I卷（选择题）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
第II卷（非选择题）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13． 14． 15．（中任意一个皆可以） 16．
三、解答题：共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选做题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分.
17．（12分）
【答案】（I）；（II）；（III）
【详解】（I）因为，由正弦定理可得，
，；
（II）由余弦定理可得；
（III），，
，，
所以.
18．（12分）
【答案】(1)证明详见解析
(2)
【详解】（1）由于，是的中点，所以.
由于，所以，
所以，故，
由于，平面，
所以平面，
由于平面，所以平面平面.
（2）[方法一]：判别几何关系
依题意，，三角形是等边三角形，
所以，
由于，所以三角形是等腰直角三角形，所以.
，所以，
由于，平面，所以平面.
由于，所以，
由于，所以，
所以，所以，
由于，所以当最短时，三角形的面积最小
过作，垂足为，
在中，，解得，
所以，
所以
过作，垂足为，则，所以平面，且，
所以，
所以.
[方法二]：等体积转换
，，
是边长为2的等边三角形，
连接
19．（12分）
【答案】（1）；（2）；（3）详见解析
【详解】（1）样区野生动物平均数为，
地块数为200，该地区这种野生动物的估计值为
（2）样本(i=1，2，…，20)的相关系数为
（3）由（2）知各样区的这种野生动物的数量与植物覆盖面积有很强的正相关性，
由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物的数量差异很大，
采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性，提高了样本的代表性，
从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计.
20．（12分）
【答案】(1)3 (2)
【详解】（1）由题意知，，，，则在点处的切线方程为，
即，设该切线与切于点，，则，解得，则，解得；
（2），则在点处的切线方程为，整理得，
设该切线与切于点，，则，则切线方程为，整理得，
则，整理得，
令，则，令，解得或，
令，解得或，则变化时，的变化情况如下表：
则的值域为，故的取值范围为.
21．（12分）
【答案】(1)
(2)证明见解析.
【详解】（1）设双曲线方程为，由焦点坐标可知，
则由可得，，
双曲线方程为.
（2）由(1)可得，设，
显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且，
与联立可得，且，
则，

直线的方程为，直线的方程为，
联立直线与直线的方程可得：
，
由可得，即，
据此可得点在定直线上运动.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做。则按所做的第一题记分.
22．（10分）
【答案】（1），（为参数）；
（2）和．
【详解】（1）由题意，的普通方程为，
所以的参数方程为，（为参数）
（2）[方法一]：直角坐标系方法
①当直线的斜率不存在时，直线方程为，此时圆心到直线的距离为，故舍去．
②当切线斜率存在时，设其方程为，即．
故，即，解得．
所以切线方程为或．
两条切线的极坐标方程分别为和．
即和．
[方法二]【最优解】：定义求斜率法
如图所示，过点F作的两条切线，切点分别为A，B．

在中，，又轴，所以两条切线的斜率分别和．
故切线的方程为，，这两条切线的极坐标方程为和．
即和．
23（10分）
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）证明：因为，，，则，，，
所以，
即，所以，当且仅当，即时取等号．
（2）证明：因为，，，
所以，，，
所以，，
当且仅当时取等号．
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A
C
C
D
C
D
C
A
C
D
B
D
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0
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