新教材(广西专版)高考数学一轮复习第三章函数与基本初等函数第一节函数的概念及其表示课件

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知识梳理1.函数的概念一般地,设A,B是　　　　的实数集,如果对于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有　　　　　　的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A. 
2.函数的定义域、值域
(1)在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的　　　　;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的　　　　　　　　叫做函数的　　　　. (2)如果两个函数的　　　　　　相同,并且　　　　 　完全一致,那么这两个函数是同一个函数. 
函数的定义域和值域必须写成集合(或区间)的形式
集合{f(x)|x∈A}
微点拨对函数概念的理解 (1)函数的三要素是定义域、值域和对应关系;(2)如果两个函数的定义域和对应关系相同,这两个函数就是同一个函数,这是判断两个函数是否为同一个函数的依据;(3)函数常用的表示方法有:解析法、列表法、图象法.
(1)若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函数的值域的并集,分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.
解析式中含有绝对值的函数经常可化为分段函数
微拓展复合函数:一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过变量u,y可以表示成x的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数,记作y=f(g(x)),其中y=f(u)叫做复合函数y=f(g(x))的外层函数,u=g(x)叫做y=f(g(x))的内层函数.
常用结论1.直线x=a(a为常数)与函数y=f(x)的图象至多有一个交点.2.只要两个函数的定义域和对应关系相同,那么它们的值域一定相同.
4.常见函数的定义域:①一次函数、二次函数的定义域为R;②分式函数中分母不能为0;③偶次根式函数的被开方式非负;④零次幂的底数不能为0;⑤y=ax(a>0,a≠1),y=sin x,y=cs x的定义域为R;⑥y=lgax(a>0,a≠1)的定义域为(0,+∞);⑦y=tan x的定义域为
对点演练1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)若两个函数的值域和对应关系相同,则这两个函数必为同一个函数.(　　)
(2)任何函数的图象均不可能是一条封闭的曲线.(　　)
答案 (-∞,0)∪(0,1]　
解析要使函数f(x)有意义,则 即x∈(-∞,0)∪(0,1].
答案 [0,1)　解析 依题意得ax2-2ax+1≠0对∀x∈R恒成立.当a=0时,满足条件;当a≠0时,应有Δ=4a2-4a<0,解得0例1.(1)已知函数f(x)=ln x+ ,则函数f(2x)的定义域为(　　)A.(0,1)B.(1,2)C.(0,4]D.(0,2]
答案 (1)D (2)(-∞,1)∪(1,3]　
突破技巧1.求函数定义域的三种常考类型及求解策略(1)已知函数的解析式:构建使解析式有意义的不等式(组)求解.(2)复合函数:①若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出;②若已知函数f(g(x))的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]时的值域.(3)实际问题:既要使构建的函数解析式有意义,又要考虑实际问题的要求.
2.求函数定义域的注意点(1)不要对解析式进行化简变形,以免定义域变化.(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时,定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集.(3)定义域是一个集合,要用集合或区间表示,若用区间表示,不能用“或”连接,而应该用并集符号“∪”连接.
(2)已知函数y=f 的定义域是[1,+∞),则函数y=f(x)的定义域是　　　　　. 
答案 (1)C　(2)(1,2]　
对点训练1(1)(2023河北衡水中学模拟)已知函数y=f(x)的定义域为[0,4],则函数y= +(x-2)0的定义域是(　　)A.(1,5]B.(1,2)∪(2,5)C.(1,2)∪(2,3]D.(1,3]
典例突破例2.根据下列条件求函数的解析式:(1)已知f(x)是一次函数,且满足3f(x)-2f(x-1)=2x+5,求f(x)的解析式;(2)已知函数f(x)满足f(cs x-1)=cs 2x-1,求f(x)的解析式;
(4)已知f(x)+2f(-x)=x2+2x,求f(x)的解析式.
解 (1)依题意设f(x)=ax+b(a≠0),则由3f(x)-2f(x-1)=2x+5可得3(ax+b)-2[a(x-1)+b]=2x+5,
(2)函数f(x)满足f(cs x-1)=cs 2x-1=2cs2x-1-1=2cs2x-2,设cs x-1=t,则cs x=t+1,由cs x∈[-1,1]知t∈[-2,0],故原函数可转化为f(t)=2(t+1)2-2=2t2+4t,t∈[-2,0],即f(x)的解析式为f(x)=2x2+4x(-2≤x≤0).
故函数f(x)的解析式为f(x)=x2-2(x≥2).(4)因为f(x)+2f(-x)=x2+2x,①所以f(-x)+2f(x)=x2-2x,所以2f(-x)+4f(x)=2x2-4x,②
方法总结求函数解析式的常用方法
对点训练2(1)若函数f(x)满足f(x)-2f =x+2,则f(2)=(　　)A.0B.2C.3D.-3
答案 (1)D　(2)B　
考向1.求值问题典例突破
答案 (1)A　(2)2　
(2)f(f( ))=f(6-4)=f(2)=|2-3|+a=3,故a=2.
解析(1)由题意,当a<1时,由f(1-a)=f(a-1),得41-a=21,即22-2a=21,解得a= ;当a>1时,由f(1-a)=f(a-1),得22a-1=4a-1,即22a-1=22a-2,方程无解.综上,实数a的值为 .故选A.
突破技巧求解分段函数求值问题的策略(1)求分段函数的函数值时,要先确定所求值的自变量属于哪一区间,然后代入该区间对应的解析式求值;(2)当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值;(3)当自变量的值所在区间不确定时,要分类讨论,分类标准应参照分段函数不同段的端点;(4)求参数或自变量的值或取值范围时,先在分段函数的各段上分别求解,然后将求出的值或取值范围与该段函数的自变量的取值范围求交集,最后将各段的结果合起来(取并集)即可.
答案 (1)ln 2　(2)C　
解析(1)由题意知,当x>0时,f(x)<0;当x≤0时,f(x)=x2+2x+4=(x+1)2+3≥3.由f(x)=4,得x2+2x+4=4,x≤0,解得x=0或x=-2.因为f(a)=0不存在,所以舍去.由f(a)=-2,即-ea=-2,得a=ln 2.(2)∵26>4,∴f(26)=lg5(26-1)=2,又2<4,∴f(f(26))=f(2)=e2-2=1.故选C.
考向2.分段函数与不等式典例突破
例4.设函数f(x)= 则不等式f(1-|x|)+f(2)>0的解集为　　　　　. 
答案 (-3,3)　解析 由函数解析式知f(x)在R上单调递增,且-f(2)=-2=f(-2),则f(1-|x|)+f(2)>0⇒f(1-|x|)>-f(2)=f(-2),由单调性知1-|x|>-2,解得-3突破技巧解决分段函数与不等式问题的基本策略(1)分类讨论:解由分段函数构成的不等式,一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论,根据每一段的解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值(取值范围)是否符合相应段的自变量的取值范围,然后将各段的结果求并集即可.(2)数形结合:解决分段函数问题时,通过画出函数的图象,对代数问题进行转化,结合图形直观地分析判断,可以快速准确地解决问题.
考向3.与分段函数有关的最值与范围问题典例突破
例5.(1)已知函数f(x)= 若存在实数a,b,c,当a(2)已知函数f(x)= 若f(x1)=f(x2),则|x1-x2|的最大值是　　　　　. 
由图可知a+b=-4,0名师点析 解决分段函数最值或范围问题的基本方法(1)由两个自变量的函数值相等求这两个自变量差的最值时,可采取减少变量的方法,即将相等的函数值设为一个新变量,然后用这个新变量将两个自变量表示出来,从而将自变量之差表示为新变量的函数,同时借助图象确定新变量的取值范围,从而利用求函数最值的方法求得自变量差的最值.(2)由两个以上自变量的函数值相等求这些自变量和的取值范围时,通常要借助图象的对称性,得到其中两个自变量的和为某一定值,从而只求剩下的一个自变量的取值范围即可,这时可借助函数图象观察得到结果.