湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2023-2024学年高二下学期第一次大练习数学试题

这是一份湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2023-2024学年高二下学期第一次大练习数学试题，文件包含精品解析湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2023-2024学年高二下学期第一次大练习数学试题原卷版docx、精品解析湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2023-2024学年高二下学期第一次大练习数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共23页， 欢迎下载使用。

命题：高二数学备课组 审题：高二数学备课组
时量：120分钟 满分：150分
一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，满分40．分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则的元素个数为（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据直线与圆的位置关系判断交集中元素的个数即可.
【详解】因为的圆心为，半径为，直线方程为，
所以圆心到直线的距离，
所以直线与圆相离，无交点，
所以，即的元素个数为，
故选：B
2. 已知，则（ ）
A. B. C. －2D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数除法运算计算，再求的值.
【详解】，所以，
故选：A
3. 样本数据24，15，33，29，23，17，19，25，32，35分位数是（ ）
A. 24B. 19C. 29D. 32
【答案】D
【解析】
【分析】根据百分位数的定义计算即可.
【详解】数据从小到大排列为：，
因为，
所以分位数是从小到大第8位数.
故选：D
4. 在正方体中，点M，N分别是棱和线段上的动点，则满足与垂直的直线MN（ ）
A. 有且仅有1条B. 有且仅有2条
C. 有且仅有3条D. 有无数条
【答案】D
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量垂直的数量积表示计算得解.
【详解】以正方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系，如图，
设正方体棱长为1，
则，
所以，
若，则，
即，方程有无数组解，
故选：D
5. 甲，乙、丙、丁等6人排成一排，甲、乙相邻，丙、丁不相邻，共有排法（ ）
A. 72种B. 36种C. 144种D. 108种
【答案】C
【解析】
【分析】利用捆绑法与插空法解决相邻与不相邻问题即可.
【详解】先把甲乙捆绑起来，和除丙丁之外的2人排列后形成4个空，再将丙、丁插入 2个空中，
故有种不同的排法.
故选：C
6. 平面直角坐标系中，等边的边长为，M为BC中点，B，C分别在射线，上运动，记M的轨迹为，则（ ）
A. 为部分圆B. 为部分线段
C. 为部分抛物线D. 为部分椭圆
【答案】D
【解析】
【分析】由题意建立适当的平面直角坐标系设出点的坐标，由得，进一步由结合即可得出点的轨迹方程由此即可得解.
【详解】如图，
由题意不妨设，则，
而，即，
又，
所以，即，
因为，所以，即为部分椭圆.
故选：D.
7. 三棱锥P-ABC中，是边长为3的正三角形，，．则三棱锥P-ABC的体积最大为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由，初步锁定P的位置，再由确定的运动轨迹，进而可确定三棱锥体积最大时的位置算出最大体积.
【详解】因为，所以P在过C点且与BC垂直的平面上，
过A作l得垂线段交l于点，则，且，因为，所以P点在以为底面圆心的圆周上，如图，且，
由图可知P到底面ABC的最大高度为，
所以三棱锥体积最大值为：.
故选：C.
8. 双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与双曲线的右支交于，两点（其中点在第一象限）．设，的内切圆半径为，，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设、分别为，的内心，为双曲线的右顶点，利用双曲线定义及内心性质可得，同理可得，设直线的倾斜角为，由均在双曲线右支结合渐近线斜率可得，则通过化简讨论范围即可.
【详解】对于双曲线，则，，，
设、分别为，的内心，为双曲线的右顶点，则，
设的内切圆在上的切点分别为，
则，
由，
得，
∴，即与重合，又x轴，故，同理可得，
则，，，
设直线的倾斜角为，
∵、均双曲线右支，则或，
即或，则，
∵，
则
，
当时，；
当，，
因为，所以，
所以，则，
即，
综上，的取值范围是，即的取值范围是.
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题关键是推导出内切圆与的切点为双曲线的右顶点，从而得到，再将其转化为关于直线的倾斜角的三角函数.
二、选择题：本大题共3个小题，每小题6分，满分18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数的最大值为2
B. 函数的图象可由函数的图象向右平移个单位得到
C. 函数的对称轴为
D. ，，使得且
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据三角函数的性质即可求解ACD，根据函数图象的平移即可求解B.
【详解】对于A，函数的最大值为2，A正确，
对于B，将函数的图象向右平移个单位可得，B正确，
对于C，令,可得，故C错误，
对于D，取，满足，，D正确.
故选：ABD
10. 已知椭圆的焦距为2c，左、右焦点分别为，，右顶点为A，上顶点为B．点P为椭圆上的动点，若，则（ ）
A. a，b，c成等比数列
B. 椭圆的离心率
C. 以为圆心，为半径的圆与椭圆有3个交点
D. 的外接圆半径的最小值为
【答案】AD
【解析】
【分析】根据椭圆的几何性质及条件可得，化简即可判断AB，再由椭圆的几何性质确定椭圆上点到距离为的只有一个判断C，根据正弦定理及椭圆性质判断D.
【详解】对A，如图，
由题意，在中，，可得，故A正确；
对B，由可得，即，解得或（舍去），故B错误；
对C，由椭圆的几何性质知，椭圆上到点距离最近的点只有一个，即右端点，所以不存在其它点，使得，故C错误；
对D，由椭圆的几何性质知，当运动到椭圆短轴端点处（不妨取点），此时最大，由题意知，，
又的外接圆半径，即的外接圆半径的最小值为，故D正确.
故选：AD
11. 已知函数与函数的定义域均为R，且是的导数，若是偶函数，为奇函数，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】分析得到关于直线,对称即可求得的周期，函数关于点对称，结合已知分析即得解.
【详解】为偶函数，可得，
关于直线对称，设，，所以选项A错误；
为奇函数，，所以函数关于点对称.
令得.故选项B正确；
关于直线对称，所以，，
,∴，
∴,
令，则，∴，即，
关于直线对称，∴，
∴，即，∴，故选项C错误；
由，∵是的导数，∴，
由可得：，
∴，即，所以，故选项D正确.
故选：BD
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据，其经验回归方程为，且，，则相应于点的残差为______．
【答案】
【解析】
【分析】将样本中心代入可得，即可根据残差定义求解.
【详解】将，代入可得，
所以，
故当时，，
所以残差为，
故答案为：
13. 已知，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据同角关系可得，进而根据弦切互化即可求解.
【详解】,所以，故，
所以
所以，
故答案为：
14. 若非空集合G关于运算•满足：（1）对任意的a，，都有，（2）对任意的a，b，，都有，（3）存在，对，都有，则称G关于运算•构成“幺半群”．现给出下列集合和运算：
① G为正自然数集，•为整数的加法．
② G为奇数集，•为整数的乘法．
③ G为素数集，•为整数的乘法．
④ G为平面向量集，•为平面向量的数量积．
⑤ G为所有二次三项式的集合，•为多项式加法．
⑥ G为纯虚数集，•为复数的乘法．
其中G关于运算•构成“幺半群"的是______．
【答案】②
【解析】
【分析】逐一验证几个选项是否分别满足““幺半群”的三个条件，若三个条件都满足，是““幺半群”，有一个不满足，则不是““幺半群”．
【详解】对①，设，则且，不满足（3），
故①不是“幺半群”
对②，对任意两个奇数，积仍为奇数，满足（1），
乘法满足结合律，满足（2），
且对于奇数1，任何奇数乘1等于1乘这个数，等于这个数，满足（3），
故②是“幺半群”，
对③，由已知知，则，不满足（1），故③不是“幺半群”；
对⑤，对任意两个平面向量，数量积为数量，不满足（1），故④不是“幺半群”；
对⑥，对任意两个二次项系数相反的二次三项式，和可能不是二次三项式，不满足（1），故⑤不是“幺半群”；
对于虚数，，不是虚数，不满足（1），故⑥不是“幺半群”；
故答案为：②
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知等差数列的前n项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意得到，解方程组即可；
（2）由（1），得到，再利用错位相减法即可求出.
小问1详解】
有题知，解得.
所以.
【小问2详解】
因为，，所以，.
①，
②，
①②得：
，
.
16. 所有棱长均为3的三棱柱中，平面平面，D，E分别在棱，上，满足，，且．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取中点，连接，由面面垂直的性质得线面垂直，再由线面垂直的判定定理得证；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的余弦即可.
【小问1详解】
取中点，连接，如图，
则由为正三角形可知，，
又平面平面，且为交线，平面，
所以平面，又平面，
所以，又，，平面，
所以平面.
【小问2详解】
因为，，
所以，且，又，
所以，即为平面四边形，
在中，,
作交于，由（1）知，平面，
且，
分别以为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，
所以,
设平面，平面的法向量分别为，
则，令，则，
由，令，则，
则，
所以二面角的余弦值为.
17. 已知函数在区间上的最小值为－2．
（1）求a；
（2）（ⅰ）若过点存在2条直线与曲线相切，求m的值；
（ⅱ）问过点，，分别存在几条直线与曲线相切?（只需写出结论）
【答案】（1）
（2）（ⅰ）或（ⅱ）1；1；2
【解析】
【分析】（1）首先利用导数判断单调性，再对和情况讨论单调性，进而利用最小值列方程即可求解.
（2）（ⅰ）设切点，并求的切线方程，进而代入可得，令用导数讨论单调性，从而利用有两个零点可求m的值；
（ⅱ）由（ⅰ）容易得出结果.
【小问1详解】
由题意，，令，解得，
在和上，则单调递增，
在上，则单调递减.
当时，在区间上单调递减，则，
解得，不满足题意；
当时，在区间和上单调递增，
在区间上单调递减，
则，即，或，即；
综上所述，.
【小问2详解】
设过点的直线与曲线相切于点，则
，且切线斜率为，所以切线方程为，
因此，整理得：，
设，则“过点存在2条直线与曲线相切”等价于“有2个不同零点”， ，
与的情况如下：
所以，是的极大值，是的极小值，
当或即或时，过点存在2条直线与曲线相切，故或.
（ⅱ）过点存在1条直线与曲线相切；
过点存在1条直线与曲线相切；
过点存在2条直线与曲线相切.
【点睛】关键点睛：本小题主要考查导数的几何意义、导数在函数中的应用等基础知识的同时，考查分类讨论、函数与方程、转化与化归等数学思想，考查同学们分析问题与解决问题的能力.利用导数研究函数问题是高考的热点，在每年的高考试卷中占分比重较大，熟练这部分的基础知识、基本题型与基本技能是解决这类问题的关键.
18. 已知点是焦点为F的抛物线C：上一点，A，B是抛物线C上异于P的两点，且直线PA，PB的倾斜角互补，设直线PA的斜率为．
（1）证明：直线AB的斜率为定值，并求出此定值；
（2）令焦点F到直线AB的距离为d，求的最大值．
【答案】（1）证明见解析，定值为
（2）
【解析】
【分析】（1）将点代入抛物线方程可求，设，与抛物线联立可求得点的坐标，进而可得的坐标，可得直线的斜率为定值；
（2）把直线方程表示出来，从而可表示，再将表示出来，利用换元法，结合基本不等式即可．
【小问1详解】
将点代入抛物线方程可得：，抛物线；
设，与抛物线方程联立可得：，
，
由于直线PA，PB的倾斜角互补，所以直线的斜率为，
用代可得：，因此，，即．
小问2详解】
，，
因此，
到直线的距离．
由于，所以
，
，
由于在上 单调递增，所以，
故
当且仅当时取等号．
最大值为．
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（1）几何法，若题目的条件能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，如本题需先将用k表示出来，然后再利用基本不等式长最值．
19. 4月19日是中国传统二十四节气之一的“谷雨”，联合国将这天定为“联合国中文日”，以纪念“中华文字始祖”仓颉[jié]造字的贡献，旨在庆祝多种语言以及文化多样性，促进联合国六种官方语言平等使用．某大学面向在校留学生举办中文知识竞赛，每位留学生随机抽取问题并依次作答，其中每个问题的回答相互独立．若答对一题记2分，答错一题记1分，已知甲留学生答对每个问题的概率为，答错的概率为．
（1）甲留学生随机抽取题，记总得分为，求的分布列与数学期望；
（2）（ⅰ）若甲留学生随机抽取道题，记总得分恰为分概率为，求数列的前项和；
（ⅱ）记甲留学生已答过的题累计得分恰为分的概率为，求数列的通项公式．
【答案】（1）分布列见解析，
（2）（ⅰ）；（ⅱ）
【解析】
【分析】（1）依题意的可能取值为、、、，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望；
（2）（ⅰ）依题意可得，利用等比数列求和公式计算可得；
（ⅱ）首先求出，，当时，利用构造法求出通项公式.
【小问1详解】
依题意可得的可能取值为、、、，
则，，
，，
所以的分布列为
所以.
【小问2详解】
（ⅰ）若甲留学生随机抽取道题，总得分恰为分，即道题均答对了，
所以，
设数列的前项和为，则.
（ⅱ）依题意可得，，，
当时，
所以，
所以为常数数列，又，
所以，
则，所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
经检验当、上式也成立，所以.
0
2
+
0
0
+
递增
递减
递增