湖南省长沙市周南中学2024届高三下学期数学冲刺训练卷（5）

这是一份湖南省长沙市周南中学2024届高三下学期数学冲刺训练卷（5），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．我市高三年级第二次质量检测的数学成绩近似服从正态分布，且.已知我市某校有800人参加此次考试，据此估计该校数学成绩不低于90分的人数为（ ）
A．64B．81C．100D．121
3．已知向量，满足，，且，则向量，的夹角为（ ）
A．B．C．D．
4．已知当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量y与死亡年数x的关系为．不久前，考古学家在某遗址中提取了数百份不同类型的样品，包括木炭、骨头、陶器等，得到了一系列的碳14测年数据，发现生物组织内碳14的含量是死亡前的．则可以推断，该遗址距离今天大约多少年（参考数据，）（ ）
A．2355B．2455C．2555D．2655
5．一个盒子里有3个分别标有号码为1，2，3的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是3的取法有（ ）
A．12种B．15种C．17种D．19种
6．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为．若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A．B．C．D．
7．已知是可导函数，且对于恒成立，则（ ）
A．B．
C．2D．
8．已知函数没有极值点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知实数a，b，c满足：且，则（ ）
A．B．
C．D．
10．已知数列和各项均为正数的等比数列满足：，，是与的等差中项，数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ）
A．数列是等差数列B．
C．数列是递增数列D．
11．如图，点P是棱长为2的正方体的表面上的一个动点，则下列结论正确的是（ ）
A．当点P在平面上运动时，四棱锥的体积不变
B．当点P在线段AC上运动时，与所成角的取值范围为
C．使直线AP与平面ABCD所成角为的动点P的轨迹长度为
D．若F是的中点，当点P在底面ABCD上运动，且满足平面时，PF长度的最小值为
三、填空题
12．设是虚数单位，复数，则 .
13．已知函数，若关于的方程恰有五个不相等的实数解，则的取值范围是 .
14．《九章算术》是《算经十书》中最重要的一部，全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就，内容十分丰富，在数学史上有其独到的成就．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为“鳖臑”，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．如图，几何体P－ABCD为一个阳马，其中平面ABCD，若，，，且PD＝AD＝2AB＝4，则几何体EFGABCD的外接球表面积为 ．
四、解答题
15．已知函数.
(1)求其最小正周期和对称轴方程；
(2)当时，求函数的单调递减区间和值域.
16．如图，在三棱柱中，平面，，，，点D是棱的中点．
(1)求证：∥平面；
(2)在棱上是否存在点M，使得直线与平面所成角的余弦值为，若存在，求出与长度的比值，若不存在，说明理由．
17．已知函数.
(1)若，证明：当时，；
(2)令，若是极大值点，求实数a的值.
18．设椭圆的左顶点为，上顶点为.已知椭圆的离心率为，.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，与直线交于点，且点均在第一象限，若（表示面积），求的值.
19．马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第次状态是“没有任何关系的”.现有甲、乙两个盒子，盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球.从两个盒子中各任取一个球交换，重复进行次操作后，记甲盒子中黑球个数为，甲盒中恰有1个黑球的概率为，恰有2个黑球的概率为.
(1)求的分布列；
(2)求数列的通项公式；
(3)求的期望.
长沙市周南中学2024届高三下学期数学冲刺训练卷（5）答案和解析
1．B
【详解】由题可知．
故选：B
2．A
【详解】因为数学成绩近似服从正态分布，所以数学成绩关于对称，已知，所以 ，
，所以我市某校有800人参加此次考试，据此估计该校数学成绩不低于90分的人数为，故本题选A.
【点睛】本题考查了正态分布的应用、重点掌握的是当时，关于对称这个重要性质.
3．A
【详解】由题意知，，又，
所以，
又，所以，
即的夹角为.
故选：A
4．B
【详解】设该遗址距离今天大约年，
则，即，
所以，
所以，
即该遗址距离今天大约年.
故选：B.
5．D
【详解】试题分析：分三类：第一类，有一次取到3号球，共有取法；第二类，有两次取到3号球，共有取法；第三类，三次都取到3号球，共有1种取法；共有19种取法.
6．C
【详解】如图，设点关于直线的对称点为，与直线交于，且设饮马处为，

由轴对称性质得，，，
解得，，故，
即与重合时，将军饮马的总路程最短，
则最短路程为.
故选：C
7．B
【详解】令，则．
当时，由得，
所以函数在上是增函数，
于是，即，即.
化简得，，
故选：B.
8．B
【详解】函数没有极值点，
，或恒成立，
由指数爆炸的增长性，不可能恒小于等于0，
恒成立．
令，则，
当时，恒成立，为上的增函数，
因为是增函数，也是增函数，
所以，此时，不合题意；
②当时，为增函数，由得，
令
在上单调递减，在上单调递增，
当时，依题意有，
即，
，，
令，，
则，
令，令，解得，
所以当时，取最大值
故当，，即，时，取得最大值
综上，若函数没有极值点，则的最大值为
故选：B.
9．AB
【详解】因为实数a，b，c满足：且，所以a、b、c同号.
对于A：若，，则，所以；若，，则，所以；故A正确；
对于B：因为，所以，所以成立.故B正确；
对于C：可取，则，所以不成立.故C错误；
对于D：因为，所以.因为，所以.
故D错误.
故选：AB
10．ABC
【详解】设等比数列的公比为，由题意可知，，即，
即，因为，故，解得或（舍），
所以，，
因为，故，B选项正确；
当时，.
当时，.
满足，所以，对任意的，.
所以，，故数列是等差数列，A选项正确；
，故数列为单调递增数列，C选项正确；
当时，，，矛盾，D选项错误.
故选：ABC.
11．ABC
【详解】选项A：底面正方形的面积不变，点到平面的距离为正方体棱长，所以四棱锥的体积不变，正确；
选项B：以为原点，所在的直线分别为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系，可得，
设，则，
设直线与所成角为，则，
因为，则，
当时，可得，所以；
当时，，
当且仅当，即时，等号成立，
可知，且，所以；
所以异面直线与所成角的取值范围是，正确；
对于C：因为直线与平面所成的角为，
若点在平面和平面内，
因为最大，不成立；
在平面内，点的轨迹是；
在平面内，点的轨迹是；
在平面时，作平面，如图所示，
因为，所以，
又因为，所以，所以，
所以点的轨迹是以点为圆心，以2为半径的四分之一圆，
所以点的轨迹的长度为，
综上，点的轨迹的总长度为，所以C正确；
对于D，由，
设，则
设平面的一个法向量为，则，
取，可得，所以，
因为平面，所以，可得，
所以，当时，等号成立，错误.
故选：ABC.
12．5
【详解】因为，所以，所以.
故答案为：.
13．
【详解】作出函数的图象，如图所示，
关于的方程恰有五个不相等的实数解,则与有五个不同的交点，
故答案为：
14．
【详解】设，连接.
依题意，四边形是矩形，所以，
由于平面，平面，
所以，
由于平面，所以平面，
由于平面，所以，
由于，平面，所以面，
由于平面，所以.
同理可证得，
由于，所以都是以为斜边的直角三角形，
所以几何体外接球球心是，且半径，
所以外接球的表面积为.
故答案为：
15．(1)最小正周期为，对称轴方程；
(2)单调递减区间为，值域为.
【详解】（1）依题意，，
则，由解得：，
所以，函数的最小正周期为，对称轴方程为.
（2）由（1）知，因，则，
而正弦函数在上单调递减，在上单调递增，
由解得，由解得，
因此，在上单调递减，在上单调递增，
，而，即，
所以函数的单调递减区间是，值域为.
16．(1)证明见解析
(2)存在；
【详解】（1）连接交于点O，
由于四边形为矩形，所以O为的中点，又D是棱的中点，
故在中，是的中位线，因此//，
平面，平面，所以//平面
（2）由平面，可知，三棱柱为直三棱柱，且底面为直角三角形，故以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系；
则，，，，，
由，得，
，，
设平面的法向量为，则
取，则，得，
设直线与平面所成角为，则，
可得，
因为，
整理得，解得或，
由于，所以，
所以棱上存在点M，使得直线与平面所成角的余弦值为，此时.
17．(1)证明见解析；(2).
【详解】（1）由题意知，函数的定义域为，
当时，，
，
当时，，所以，
即当时，函数单调递增，
又，故在上恒成立，即证；
（2）函数的定义域为，
，
所以，
又为的极大值，所以且周围是单调递减的趋势，
要使单调递减，需在上恒成立，
，且，
所以需在上单调递增，在上单调递减，
即当时，，当时，，
且，又，
所以，解得；
当时，恒成立，即在上单调递减，
又，所以为的极大值，
综上，.
18．（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【详解】（Ⅰ）设椭圆的焦距为，由已知得：，又，
，，，，
椭圆的标准方程为．
（Ⅱ）设， ，由题意知，．
，，直线方程为，即；
由消去可得：，
由消去可得：，
由得：，，即．
由得：，两边平方整理得：，
解得：或．
当时，，不合题意，舍去；
当时，，，符合题意．
的值为.
19．(1)答案见解析(2)(3)1
【详解】（1）（1）由题可知，的可能取值为0，1，2.由相互独立事件概率乘法公式可知：
;;，
故的分布列如下表：
（2）由全概率公式可知：
，
即：，
所以，
所以，
又，
所以，数列为以为首项，以为公比的等比数列，
所以，
即：.
（3）由全概率公式可得：
,
即：,
又,
所以,
所以,
又,
所以,
所以,
所以,
所以.
0
1
2