湖南省长沙市周南中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学考前演练（二）试题（Word版附解析）

这是一份湖南省长沙市周南中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学考前演练（二）试题（Word版附解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设向量，，若，则实数的值为（ ）
A．B．C．2D．1
2．在中，，，，则角的值为（ ）
A．或B．或C．D．
3．已知一组数据：55，64，92，76，88，67，76，90，则这组数据的第百分位数是（ ）
A．90B．88C．82D．76
4．已知圆台的母线长为，上、下底面的直径分别为6和10，则该圆台的体积为（ ）
A．B．C．D．
5．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角B-AC-B1的正切值为（ ）
A．B．C．D．
6．在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为（ ）
A．B．C．D．
7．我国有着丰富悠久的“印章文化”，古时候的印章一般用贵重的金属或玉石制成，本是官员或私人签署文件时代表身份的信物，后因其独特的文化内涵，也被作为装饰物来使用．图1是明清时期的一个金属印章摆件，除去顶部的环可以看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的几何体，如图2.已知正四棱柱和正四棱锥的底面边长为4，体积之比为3:1，且该几何体的顶点在球的表面上，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
8．楔体形构件在建筑工程上有广泛的应用．如图，某楔体形构件可视为一个五面体，其中面为正方形．若，，且与面的距离为，则该楔体形构件的体积为（ ）

A．B．C．D．
二、多选题
9．已知复数，则下列结论正确的是（ ）
A．复数z对应复平面内的向量是单位向量B．复数z的虚部等于i
C．D．z与平面向量对应
10．已知，是两条直线，是两个平面，下列结论不正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
11．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面圆的直径，，点C在底面圆周上，且二面角为，则下列选项正确的是（ ）
A．该圆锥体积为B．该圆锥的侧面积为
C．D．的面积为
三、填空题
12．已知是复数的虚数单位，且，则的值为 ．
13．某高中为了了解学生参加数学建模社团的情况，采用了分层随机抽样的方法从三个年级中抽取了300人进行问卷调查，其中高一、高二年级各抽取了90人．已知该校高三年级共有720名学生，则该校共有学生 人．
14．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，，，，，已知动点E从C点出发，沿外表面经过棱AD上一点到点B的最短距离为，则该棱锥的外接球的体积为 .
四、解答题
15．如图，在直角梯形中，，，，与交于点.
(1)用和表示，；
(2)设，求的值.
16．国务院于2023年开展第五次全国经济普查，为更好地推动第五次全国经济普查工作，某地充分利用信息网络开展普查宣传，向基层普查人员、广大普查对象及社会公众宣传经济普查知识．为了解宣传进展情况，现从参与调查的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄（单位：岁）分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示．
(1)求图中a的值；
(2)求这200人年龄的平均数（同一组数据用该组所在区间的中点值作代表）和中位数（精确到0.1）；
(3)现要从年龄在与的两组中按照人数比例用分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中任选3人进行问卷调查，求从中至少抽到2人进行问卷调查的概率．
17．在中，角的对边分别为.已知，且.
(1)求；
(2)若为边的中点，求的长.
18．如图，在四棱锥中，，平面分别为的中点，.

(1)求证：平面平面；
(2)求二面角的大小.
19．如图，在三棱柱中，侧面为矩形．
(1)设为中点，点在线段上，且，求证：平面；
(2)若二面角的大小为，且，求直线和平面所成角的正弦值．
参考答案：
1．D
【分析】利用向量平行得到方程，求出答案.
【详解】，故，解得.
故选：D
2．D
【分析】利用正弦定理计算可得.
【详解】在中，，，，
由正弦定理，即，解得，
又，所以，即，所以.
故选：D
3．A
【分析】根据百分位数计算规则计算可得.
【详解】将数据从小到大排列为：55，64，67，76，76，88，90，92，
又，
所以这组数据的第百分位数是.
故选：A
4．D
【分析】根据轴截面，求出圆台的高，利用圆台的体积公式直接求出圆台体积.
【详解】如图：做圆台的轴截面

由已知条件：，，
在中，，，，
所以，
所以圆台的体积为：.
故选：D
5．B
【分析】本题连接AB1，B1C，AC，取AC的中点O，连接B1O，BO，可得即为所求二面角，设出正方体棱长后，在Rt△B1OB中，表示出各边长即可求解.
【详解】
如图，连接AB1，B1C，AC，取AC的中点O，连接B1O，BO，
由AB＝BC，得BO⊥AC，
由AB1＝B1C，得B1O⊥AC，
故∠B1OB即为二面角B-AC-B1的平面角，
不妨设正方体的棱长为1，则在△ABC中，BO＝AC＝，
又B1B＝1，在Rt△B1OB中，tan ∠B1OB＝＝．
故选：B．
6．B
【分析】根据正方体性质，将直线平移到，再利用即可求得角的大小.
【详解】连接，如下图所示：

根据正方体性质可知，所以直线与所成的角即为直线与所成的角；
设正方体棱长为2，易知，，，
在中，满足，即，
因此，所以.
故选：B
7．A
【分析】根据题意可知正四棱柱和正四棱锥的高相等，利用几何关系和正四棱柱的对称性得到关于的方程组，再利用球的表面积公式即可得解．
【详解】正四棱柱和正四棱锥的体积之比为，且共一个底面，
正四棱柱和正四棱锥的高相等，
设正四棱柱和正四棱锥的高为，该几何体外接球的半径为，
易知球O是正四棱柱的外接球，也是正四棱锥的外接球，
，
解得，
∴球O的表面积为．
故选：A．
8．C
【分析】设，分别为，的中点，连接，，，由，，，可知为三棱柱，再利用椎体与柱体的体积关系计算该几何体的体积．
【详解】如图所示，

设，分别为，的中点，连接，，，
因为面为正方形，所以，又平面，平面，所以平面，
又平面平面，所以 ，
因为，分别为，的中点，，，
所以，则为平行四边形，则，
同理，又，所以为三棱柱，
由题意，可得；
又；
所以该多面体的体积为．
故选：C．
9．ACD
【分析】计算可得，进而逐项计算判断即可得答案.
【详解】由题意，复数，
对于A项，复数对应复平面内的向量是，是单位向量，故A正确；
对于B项，复数，所以复数z的虚部等于1，故B错误：
对于C项，，故C正确；
对于D项，z与平面向量对应，故D正确.
故选：ACD.
10．ACD
【分析】根据题意，由空间中的线面位置关系，对选项逐一判断，即可求解.
【详解】若，则平行或相交或异面，故A错误；
若，则，故B正确；
若，则平行或相交，故C错误；
若，则平行或相交，故D错误；
故选：ACD
11．ABC
【分析】根据圆锥的体积、侧面积公式判断A、B选项的正确性，利用二面角的知识判断C、D选项的正确性.
【详解】依题意，，，则，
A选项，圆锥的体积为，A选项正确；
B选项，圆锥的侧面积为，B选项正确；
C选项，设是的中点，连接，
易得，所以是二面角的平面角，
则，所以，
故，则，C选项正确；
D选项，，所以，D选项错误.
故选：ABC.
12．
【分析】计算出，从而求出，以及的值.
【详解】因为，
所以，，
所以，
故答案为：.
13．1800
【分析】根据按比例分配的分层随机抽样的特点确定抽样的比例即可求解.
【详解】由题意可知从三个年级中抽取的300人进行问卷调查，其中高三有120人，
所以抽取的比例为
设该校共有名学生，可得，
解得人，即该校共有1800名学生.
故答案为：1800.
14．
【分析】将沿翻折到与共面得到平面四边形如图①所示，设，利用余弦定理求出，将三棱锥补成长方体如图②所示，该棱锥的外接球即为长方体的外接球，求出外接球的半径，即可求出其体积.
【详解】将沿翻折到与共面时，得到平面四边形如图①所示，
设，即，
由题意得，，
在中，由余弦定理得
即
即，
解得或（舍去），
所以，
将三棱锥补成长方体如图②所示，
该棱锥的外接球即为长方体的外接球，
则外接球的半径，
所以外接球的体积.
故答案为：.
15．(1)，
(2)
【分析】（1）利用向量的基底运算可得答案；
（2）先用和表示，再利用向量相等可得答案.
【详解】（1）因为，所以；
因为，所以
.
（2）设，则，
由（1）知，因为，所以，
则，解得.
16．(1)
(2)平均数为；中位数约为42.1
(3)
【分析】(1)用频率分布直方图的面积和为直接求出；
(2)用平均数，中位数的意义可求；
(3)古典概率问题，先求出不同年龄段抽取的人数，再用古典概率公式求出结果.
【详解】（1）由图可知，
解得．
（2）平均数为．
设中位数为x，由已知可得．
且，
解得，即中位数约为42.1．
（3）年龄在和这两组的人数分别为30，20，
则年龄在的应抽取3人，年龄在的应抽取2人，
设“从这5人中任选3人，年龄在内的至少有2人”为事件A，
则．
17．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理可得，再由余弦定理可得；
（2）根据，再由平面向量数量积定义可求得.
【详解】（1）由正弦定理得，可设，
由余弦定理可得，即，
解得或（舍去），
可得.
（2）易知.
又因为，
所以，
可得.
18．(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）利用线面垂直的性质判定、面面垂直的判定推理即得.
（2）取的中点，利用线面垂直的判定，性质证明并计算是二面角的平面角大小即得.
【详解】（1）在四棱锥中，由平面平面，得，
又，即，而平面，则平面，
又在中，分别为中点，即有，因此平面，而平面，
所以平面平面.
（2）如图，取的中点，连接，取的中点，连接，

由平面，得平面，而平面，
则，由，得，
又平面，于是平面，又平面，
因此，是二面角的平面角，
设，则，在中，，则，
在中，，则，
在中，，因此，
所以二面角的大小为.
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接交于，连接，由题可得，然后利用线面平行的判定定理即得；
（2）在平面中，过点C作射线，可得为二面角的平面角，过点作，可得平面，则即为直线和平面所成的角，利用锐角三角函数计算可得.
【详解】（1）连接交于，连接，
因为侧面为矩形，
所以，又为中点，
所以，
又因为，
所以．
所以，又平面，平面，
所以平面．
（2）在平面中，过点作射线，
因为底面为矩形，所以，
所以为二面角的平面角，且．
又，平面，所以平面，
在平面中，过点作，垂足为，连接，
因为平面，平面，
所以，又，平面，平面，
所以平面，
则即为直线和平面所成的角，
于是为点到平面的距离，且，
设直线和平面所成角为，又，
则，
所以直线和平面所成角的正弦值为．