2023-2024学年吉林省四平市高一（下）期中数学试卷-普通用卷

这是一份2023-2024学年吉林省四平市高一（下）期中数学试卷-普通用卷，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知复数z=5i+(2−i)2，则z在复平面内对应的点在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.菱形ABCD绕对角线AC所在直线旋转一周所得到的几何体为( )
A. 由两个圆台组成B. 由一个圆锥和一个圆台组成
C. 由两个圆锥组成D. 由两个棱台组成
3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a= 3,b=1,B=π6，则c=( )
A. 3B. 2C. 1或2D. 2或 3
4.如图，△A′O′B′为水平放置的△AOB斜二测画法的直观图，且O′A′=32，O′B′=4，则△AOB的周长为( )
A. 9B. 10C. 11D. 12
5.已知平面向量a，b满足|a|=|b|=1，且|a+2b|= 3，则a，b的夹角为( )
A. π6B. π3C. π2D. 2π3
6.如图，在△ABC中，AB=4DB,P为CD的中点，则BP=( )
A. −14AB+12AC
B. −14AB+13AC
C. −58AB+12AC
D. −58AB+13AC
7.平面内顺次连接A(1,1)，B(2,0)，C(0,−2)，D(−2,0)所组成的图形是( )
A. 平行四边形B. 直角梯形C. 等腰梯形D. 以上都不对
8.如图，某市人民广场正中央有一座铁塔，为了测量塔高AB，小胡同学先在塔的正西方点C处测得塔顶的仰角为45∘，然后从点C处沿南偏东30∘方向前进140米到达点D处，在D处测得塔顶的仰角为30∘，则铁塔AB的高度是( )
A. 70米
B. 80米
C. 90米
D. 100米
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知复数z=2−i，z−为z的共轭复数，则下列各选项正确的是( )
A. z是虚数B. z−的虚部为−iC. z>z−D. |z−|⋅|z|=5
10.若e1，e2是平面α内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是( )
A. λe1+μe2(λ,μ∈R)可以表示平面α内的所有向量
B. 对于平面α中的任一向量a，使a=λe1+μe2的实数λ，μ有无数多对
C. λ1，μ1，λ2，μ2均为实数，且向量λ1e1+μ1e2与λ2e1+μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使λ1e1+μ1e2=λ(λ2e1+μ2e2)
D. 若存在实数λ，μ，使λe1+μe2=0，则λ=μ=0
11.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a=2 3，且b2+c2−12=bc，则下列说法正确的是( )
A. A=π3
B. △ABC面积的最大值为3 32
C. 若D为边BC的中点，则AD的最大值为3
D. 若△ABC为锐角三角形，则其周长的取值范围为(6+2 3,6 3]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数z=(m2−3m+2)+(m2+3m−10)i是纯虚数，其中i为虚数单位，则实数m的值为______.
13.如图，三棱台ABC−A1B1C1的上、下底边长之比为1：3，三棱锥C1−ABC的体积为V1，四棱锥B1−ACC1A1的体积为V2，则V1V2=______.
14.在平行四边形ABCD中，E是直线BD上的一点，且AE⊥BD，若AE⋅AC=18，则|AE|=______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，三棱柱ABC−A1B1C1内接于一个圆柱，且底面是正三角形，如果圆柱的体积是2π，底面直径与母线长相等．
(Ⅰ)求该圆柱的侧面积；
(Ⅱ)求三棱柱ABC−A1B1C1的体积．
16.(本小题15分)
已知向量a=(2,4),b=(m,1),c=(1,2)，且(a−2b)⊥c.
(1)求m的值；
(2)求向量a−b与2b−3c的夹角的余弦值.
17.(本小题15分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m=( 3a,b),n=(3csA,sinB)且m//n.
(1)求角A；
(2)若a= 7,c=2，求△ABC内切圆的半径.
18.(本小题17分)
如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC= 3,∠BAC=30∘，F是线段AC上的动点(异于端点)，BC=3BE.
(1)若F是AC边的中点，求AE⋅BF的值；
(2)当AE⋅BF=−7+ 34时，请确定点F的位置.
19.(本小题17分)
在平面四边形ABCD中(B,D在AC的两侧)，AD=CD=1，∠ADC=120∘.
(1)若∠DAB=90∘,BC=3 22，求∠ABC；
(2)若AB=2BC，求四边形ABCD的面积的最大值.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：由题意复数z=5i+(2−i)2=5i+4−4i−1=3+i.
z在复平面内对应的点为(3,1)，在第一象限．
故选：A.
结合复数的四则运算，先对z化简，再结合复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，复数的几何意义，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：根据题意，菱形的对角线互相垂直平分，
故将菱形绕对角线所在的直线旋转一周，可知得到的组合体是两个同底的圆锥．
故选：C.
根据题意，由圆锥的定义分析可得答案．
本题考查圆锥的定义，注意常见旋转体的定义，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：因为a= 3,b=1,B=π6，
所以由余弦定理得csB=a2+c2−b22ac= 32，化简得c2−3c+2=0，
解出c=1或2.
故选：C.
由已知利用余弦定理即可求解．
本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：如图，△A′O′B′为水平放置的△AOB斜二测画法的直观图，且O′A′=32，O′B′=4，
∴在△OAB中，OA=3，OB=4，OA⊥OB，
∴AB= 32+42=5，
∴△OAB的周长为：3+4+5=12.
故选：D.
由斜二测画法的直观图得到在△OAB中，OA=3，OB=4，OA⊥OB，由此能求出AB=5，由此能求出△OAB的周长．
本题考查三角形周长的求法，考查斜二测画法的直观图等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
5.【答案】D
【解析】解：∵|a+2b|= 3，|a|=|b|=1，
∴|a+2b|2=3，a2+4a⋅b+4b2=3，
设a，b夹角为θ，则1+4csθ+4=3，即csθ=−12，
又∵θ∈[0,π]，
∴θ=2π3.
故选：D.
由已知结合向量数量积的性质及夹角公式即可求解．
本题主要考查了向量数量积性质的应用，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：根据题意，可得BD=−14AB，BC=AC−AB，
因为BP是△DBC的中线，所以BP=12(BD+BC)=−18AB+12(AC−AB)=−58AB+12AC.
故选：C.
根据题意，以AB,AC作为基底，依次表示出BD,BC，然后根据三角形中线的性质算出答案．
本题主要考查三角形中线的性质、平面向量的线性运算法则等知识，属于中档题．
7.【答案】B
【解析】解：A(1,1)，B(2,0)，C(0,−2)，D(−2,0)，
则AB=(1,−1)，DC=(2,−2)，BC=(−2,−2)，DA=(3,1)，
故DC=2AB，AB⊥BC，CD⊥BC，BC≠AD，
所以四边形ABCD为直角梯形．
故选：B.
根据已知条件，结合向量的坐标运算法则，即可求解．
本题主要考查向量的坐标运算，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】解：设AB=h，在Rt△ABC中，∠ACB=45∘，所以BC=ABtan45∘=h米，
在Rt△ABD中，∠ADB=30∘，可得BD=ABtan30∘= 3h米．
在△BCD中，∠BCD=60∘，BC=h米，BD= 3h米，
根据余弦定理，可得BD2=BC2+CD2−2BC⋅CDcs60∘，
即( 3h)2=h2+1402−2h×140×12，解得h=70米或h=−140米(舍负).
综上所述，铁塔AB的高度70米．
故选：A.
根据题意，设塔AB的高度为h，求出BC=h、BD= 3h，然后在△BCD中利用余弦定理，建立关于h的方程，解出h的值即可得到铁塔AB的高度．
本题主要考查正弦定理与余弦定理、解三角形知识在实际问题中的应用，属于中档题．
9.【答案】AD
【解析】解：因为z=2−i，所以z−=2+i，
对于A选项，由于z=2−i虚部不为0，所以z是虚数，故选项A正确；
对于B选项，z−=2+i的虚部为1，故选项B错误；
对于C选项，当复数的虚部不为零时，不能比大小，故选项C错误；
对于D选项，|z−|= 22+12= 5，|z|= 22+(−1)2= 5，∴|z−|⋅|z|=5，故选项D正确．
故选：AD.
结合复数共轭复数的概念，复数模公式，复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数的概念，复数模公式，复数的几何意义，属于基础题．
10.【答案】BC
【解析】解：由题意知，e1，e2可以看成一组基底向量，
根据平面向量基本定理知，A，D正确，B错误；
对于C，当λ1=λ2=μ1=μ2=0时，则λ1e1+μ1e2=λ2e1+μ2e2=0，
此时任意实数λ均有λ1e1+μ1e2=λ(λ2e1+μ2e2)，所以选项C错误；
故选：BC.
根据平面向量基本定理结合线性运算分析判断．
本题考查了平面向量基本定理应用问题，是基础题．
11.【答案】ACD
【解析】解：对于A，由题意可知b2+c2−12=b2+c2−a2=bc，
利用余弦定理得csA=b2+c2−a22bc=12，
因为A∈(0,π)，
所以A=π3，故A正确；
对于B，由上述可知，△ABC的面积S=12bcsinA= 34bc，且易知b2+c2−12=bc≥2bc−12，解出12≥bc，当且仅当b=c=2 3时取等号，
此时S= 34bc=3 3，故B错误；
对于C，在△ABD和△ACD中，对∠ADB和∠ADC利用余弦定理可得BD2+AD2−AB22BD⋅AD=−CD2+AD2−AC22CD⋅AD，
化简后有AD2=3+bc2，
由上述知，bc的最大值为12，因此AD最大为3，故C正确；
对于D，利用正弦定理，bsinB=csinC=asinA=4，
则b=4sinB，c=4sinC，
于是△ABC的周长L=2 3+4sinB+4sinC
=2 3+4sinB+4sin(2π3−B)
=2 3+4sinB+4( 32csB+12sinB)
=2 3+6sinB+2 3csB
=2 3+4 3sin(B+π6)，
由于是锐角三角形，
因此0