2023-2024学年吉林省普通高中友好学校联合体高一（下）期中数学试卷-普通用卷

这是一份2023-2024学年吉林省普通高中友好学校联合体高一（下）期中数学试卷-普通用卷，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在如图所示的平面直角坐标系中，向量AB的坐标是( )
A. (2,2)B. (−2,−2)C. (1,1)D. (−1,−1)
2.若a是平面α外的一条直线，则直线a与平面α内的直线的位置关系是( )
A. 平行B. 相交C. 异面D. 平行、相交或异面
3.若i是虚数单位，则复数z=i2019⋅(2−3i)的虚部等于( )
A. 2B. −2C. 2iD. −2i
4.如图，已知等腰三角形O′A′B′是一个平面图形的直观图，O′A′=A′B′，斜边O′B′=2，则这个平面图形的面积是( )
A. 2 2
B. 1
C. 2
D. 22
5.已知圆锥的高为 3，其侧面展开图的心角为4π3，则该圆锥的体积为( )
A. 3π8B. 4 3π5C. 5π3D. 8π3
6.如图，在△ABC中，BD+4CD=0，则AD=( )
A. 15AB+45AC
B. 45AB+15AC
C. 16AB+56AC
D. 56AB+16AC
7.在△ABC中，已知|AB+AC|=|AB−AC|，且sinA=2sinBcsC，则△ABC是( )
A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形
8.已知平面上的两个单位向量a，b满足a⋅b=45，若m∈R，则|a+mb|的最小值为( )
A. 52B. 25C. 53D. 35
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.用一个平面去截一个几何体，截面的形状是三角形，那么这个几何体可能是( )
A. 圆锥B. 圆柱C. 三棱锥D. 正方体
10.已知复数z=(m2−1)+(m− 3)(m−1)i(m∈R)，则下列说法正确的是( )
A. 若m=0，则共轭复数z−=1− 3iB. 若复数z=2，则m= 3
C. 若复数z为纯虚数，则m=±1D. 若m=0，则4+2z+z2=0
11.下列命题正确的是( )
A. (a⋅b)⋅c=(b⋅c)⋅a
B. 已知λ，μ为非零实数，若λa=μb，则a与b共线
C. 若a为非零向量，若“a⋅b=a⋅c”则“b=c”
D. 若单位向量a,b,c满足a+b+2c=0，则a与b的夹角为0
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数(3−4i)z=−3+i，则z−在复平面内对应的点位于______象限.
13.已知4根细钢丝的长度分别为2，3，4，6，用其中的3根细钢丝围成一个三角形，则该三角形最小内角的余弦值可以是______.
14.已知向量a=(− 3,3)，|b|=1，且a，b的夹角为π6，则b在a上的投影向量的坐标为______，|a−b|=______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
求实数m的值或取值范围，使得复数z=m2+m−2+(m2−1)i分别满足：
(1)z是实数；
(2)z是纯虚数；
(3)z是复平面中对应的点位于第二象限．
16.(本小题15分)
已知向量OA=(2,1)，OB=(3,−2)，OC=(6−m,−3−m).
(1)若点A，B，C共线，求实数m的值；
(2)若△ABC为直角三角形，求实数m的值．
17.(本小题15分)
正棱锥S−ABCD的底面边长为4，高为1.求：
(1)棱锥的侧棱长和侧面的高；
(2)棱锥的表面积与体积．
18.(本小题17分)
如图，在三棱柱ABC−DEF中，G，O，H，M分别为DE，DF，AC，BC的中点，N为GC的中点.
(1)证明：MN//平面ABED.
(2)证明：平面GOH//平面BCFE.
19.(本小题17分)
如图，旅客从某旅游区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50米/分钟，在甲出发2分钟后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1分钟后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130米/分钟，山路AC长1260米，经测量，csA=1213，csC=35.
(1)求索道AB的长；
(2)问乙出发后多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了向量的坐标运算，属于基础题．
根据向量的坐标运算即可求出．
【解答】
解：由图可知，A(2,2)，B(1,1)，
所以AB=(1,1)−(2,2)=(−1,−1).
故选D.
2.【答案】D
【解析】解：∵a是平面α外的一条直线，∴a//α或a与α相交，
若a//α，则a与平面α内的直线的位置关系是平行或异面；
若a与α相交，则a与α内直线的位置关系是相交或异面．
则直线a与平面α内的直线的位置关系是平行、相交或异面．
故选：D.
由a是平面α外的一条直线，可得a与α的位置关系，然后分类分析得答案．
本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．
3.【答案】B
【解析】解：∵z=i2019⋅(2−3i)=i4×504+3⋅(2−3i)=−i(2−3i)=−3−2i，
∴复数z的虚部等于−2.
故选：B.
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
4.【答案】A
【解析】解：∵Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，斜边O′B′=2，
∴直角三角形的直角边长是 2，
∴直角三角形的面积是12× 2× 2=1，
∴原平面图形的面积是1×2 2=2 2，
故选：A.
根据所给的直观图是一个等腰直角三角形且斜边长是2，得到直角三角形的直角边长，做出直观图的面积，根据平面图形的面积是直观图的2 2倍，得到结果．
本题考查平面图形的直观图，考查直观图与平面图形的面积之间的关系，考查直角三角形的面积，是一个基础题．
5.【答案】B
【解析】解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，
则l2=r2+( 3)2，即l2=r2+3；
其侧面展开图的心角为2πrl=4π3，即rl=23；
解得r2=125，
所以圆锥的体积为V=13πr2h=13π×125× 3=4 3π5.
故选：B.
设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由题意列方程求出r2，再计算圆锥的体积．
本题考查了圆锥的侧面展开图以及体积计算问题，是基础题．
6.【答案】A
【解析】解：∵在△ABC中，BD=4DC，∴AD=AB+BD=AB+45BC=AB+45(AC−AB)=15AB+45AC.
故选：A.
运用平面向量的三角形法则，直接求解．
本题考查了平面向量的基本运算，是基础题．
7.【答案】C
【解析】解：由|AB+AC|=|AB−AC|得(AB+AC)2=(AB−AC)2，所以AB⋅AC=0，所以AB⊥AC，所以△ABC为直角三角形；
由sinA=2sinBcsC得sin(π−B−C)=sin(B+C)=2sinBcsC，
所以sinBcsC+csBsinC=2sinBcsC，所以sinBcsC−csBsinC=0，
即sin(B−C)=0，因为−π